【文档说明】河北省邯郸市2021届高三下学期5月第三次模拟考试数学试题含答案.docx，共(17)页，1.034 MB，由小赞的店铺上传

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1邯郸市2021届高三下学期5月第三次模拟考试数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3.考生作答

时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书．．．．．．．写的答案无效．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．。4.本卷命题范

围：新高考范围。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集为U，集合A，B为U的子集，若()UAB=ð，则AB=A.UBðB.UAðC.BD.A2.在平面直角坐标系x

Oy中，角的顶点为O，始边为x轴的非负半轴，若点(1,2)P−是角终边上的一点，则tan(2)−等于A.34−B.43−C.34D.433.已知双曲线222:1(0)16xyCaa−=的一条渐近线方程为20xy−=，12,FF分别是双曲线C的左、右

焦点，P为双曲线C上一点，若15PF=，则2PF=A.1B.1或9C.3或9D.94.已知复数21nnziii=++++（i为虚数单位，*nN），若5(,1,2,,)tMzzzzstn===，从M中任取

一个元素，其模为1的概率为A.27B.37C.17D.1n5.生物体的生长都经过发生、发展、成熟三个阶段，每个阶段的生长速度各不相同，通常在发生阶段生长速度较为缓慢、在发展阶段速度加快、在成熟阶段速度又趋于缓慢，按照上述三个阶段生长得到的变化

曲线2称为生长曲线.美国生物学家和人口统计学家雷蒙德•皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用“皮尔曲线”的函数解析式为()(0,1,0)1kxbKfxKaka+=+

.一种刚栽种的果树的生长曲线的函数解析式为10()()13kxbfxx+=+N，x表示果树生长的年数，()fx表示生长第x年果树的高度，若刚栽种时该果树高为1m，经过一年，该果树高为2.5m，则(4)(3)ff−=A.2.5mB.2

mC.1.5mD.1m6.如图，圆台1OO的上底面半径为111OA=，下底面半径为2OA=，母线长12AA=，过OA的中点B作OA的垂线交圆O于点C，则异面直线1OO与1AC所成角的大小为A.30B.45C.60D.907.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早在中国南

宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年.在由二项式系数所构成的“杨辉三角”中（如下图），记第2行的第3个数字为a1、第3行的第3个数字为a2，……，第n

（2n…）行的第3个数字为1na−，则12310aaaa++++=A.220B.186C.120D.968.已知点P在直线4xy+=上，过点P作圆22:4Oxy+=的两条切线，切点分别为A，B，则点(3,2)M到直线AB距离的最大值为A.2B.3C.2

D.53二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.在管理学研究中，有一种衡量个体领导力的模型，称为“五力模型”，即

一个人的领导力由五种能力——影响力、控制力、决断力、前瞻力和感召力构成.右图是某企业对两位领导人领导力的测评图，其中每项能力分为三个等级，“一般”记为4分、“较强”记为5分、“很强”记为6分，把分值称为能力指标，则下列判断正确的是A.甲、乙的五项能力指标的均值相同B.甲、乙的五项能力指

标的方差相同C.如果从控制力、决断力、前瞻力考虑，乙的领导力高于甲的领导力D.如果从影响力、控制力、感召力考虑，甲的领导力高于乙的领导力10.已知两个不为零的实数x，y满足xy，则下列结论正确的是A

.||31xy−B.2xyyC.||||xxyyD.11eexyxy−−11.英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法——牛顿迭代平法，做法如下：如图，设r是()0fx=的根，选取0x作为r的初始近似值，过点()()00,xfx作曲线()yfx=的切线()()

()000:'lyfxfxxx−=−，则l与x轴的交点的横坐标()()()()01000'0'fxxxfxfx=−，称1x是r的一次近似值；过点()()11,xfx作曲线()yfx=的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标为x2

，称x2是r的二次近似值；重复以上过程，得r的近似值序列，其中()()()()1'0'nnnnnfxxxfxfx+=−，称1nx+是r的n+1次近似值，这种求方程()0fx=近似解的方法称为牛顿迭代法.若使用该方法求方程22x=的近似解，则4A.若取初始近似值

为1，则该方程解的二次近似值为1712B.若取初始近似值为2，则该方程解的二次近似值为1712C.()()()()()()()()0123400123''''fxfxfxfxxxfxfxfxfx=−−−−D.()()()()

()()()()0123400123''''fxfxfxfxxxfxfxfxfx=−+−+12.已知函数()*()sincosnnfxxxn=+N，则A.对任意正奇数,()nfx为奇函数B.当4n=

时，()fx的单调递增区间是,()4kkk−+ZC.当3n=时，()fx在0,2上的最小值为22D.对任意正整数,()nfx的图象都关于直线4x=对称三、填空题：本题共4小题，每小

题5分，共20分。13.若向量,ab满足||||ab=，|2|3||aba+=，则向量,ab的夹角为.14.请写出一个函数()fx=，使之同时具有如下性质：①xR，()(4)fxfx=−，②xR，(4)

()fxfx+=.15.已知椭圆C的左、右焦点分别为12,FF，直线AB过1F与椭圆交于A，B两点，当2FAB△为正三角形时，该椭圆的离心率为.516.在上、下底面均为正方形的四棱台1111ABCDABCD−中，已知1

1112AABBCCDD====，2AB=，111AB=，则该四棱台的表面积为；该四棱台外接球的体积为.（本小题第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步驟。17.（本小题满分10分）

在等比数列na中，公比0q，其前n项和为nS，且26S=，.（1）求数列na的通项公式；（2）设log2nnab=，且数列nc满足11c=，11nnnnccbb++−=，求数列nc的通项公式.从①430S=，②6496SS−=，③3a是3S与

2的等差中项，这三个条件中任选一个，补充到上面问题中的横线上，并作答.注：如果选择多个条件分别解答，按照第一个解答计分.18.（本小题满分12分）在ABC△中，角A，B，C的对边分别为,,abc，3cossin3bCacB=+，点D在边AC上，且2ADDC=，

2BD=.（1）求角B的大小；（2）求ABC△面积的最大值.19.（本小题满分12分）在三棱柱111ABCABC−中，1AA⊥底面ABC，ABC△为正三角形，12ABAA==，E是1BB的中点.6（1）求证：平面1AEC⊥平面11AACC；（2）

求二面角1BACE−−的余弦值.20.（本小题满分12分）已知抛物线2:4Cxy=的焦点为F，准线为l.设过点F且不与x轴平行的直线m与抛物线C交于A，B两点，线段AB的中点为M，过M作直线垂直于l，垂足为N，直

线MN与抛物线C交于点P.（1）求证：点P是线段MN的中点.（2）若抛物线C在点P处的切线与y轴交于点Q，问是否存在直线m，使得四边形MPQF是有一个内角为60的菱形？若存在，请求出直线m的方程；若不存在，请说明理

由.21.（本小题满分12分）现代战争中，经常使用战斗机携带空对空导弹攻击对方战机，在实际演习中空对空导弹的命中率约为20%，由于飞行员的综合素质和经验的不同，不同的飞行员使用空对空导弹命中对方战机的概率也不尽相同.在一次演习中，红方的甲、乙两名优秀飞行员发射一枚空对空导弹命中蓝

方战机的概率分别为13和14，两名飞行员各携带4枚空对空导弹.（1）甲飞行员单独攻击蓝方一架战机，连续不断地发射导弹攻击，一旦命中或导弹用完即停止攻击，各次攻击相互独立，求甲飞行员能够命中蓝方战机的概率？（2）蓝方机群共有8架

战机，若甲、乙共同攻击（战机均在攻击范围之内，每枚导弹只攻击其中一架战机，甲，乙不同时攻击同一架战机）.①若一轮攻击中，每人只有两次进攻机会，记一轮攻击中，击中蓝方战机数为X，求X的分布列；②若实施两轮攻击（用完携带的导弹），记命中蓝方

战机数为Y，求Y的数学期望E(Y).22.（本小题满分12分）已知函数()ln1()fxaxxa=++R.（1）讨论()fx的单调性；7（2）若不等式()eexxfx„对任意的(1,)x+恒成立，求实数a的取值范围.高三数学参考答案、提示及评分细则1.C因为()UAB=ð

，所以BA，所以ABB=.故选C.2.B由题意得tan2=−，从而222tan2(2)4tan(2)tan21tan1(2)3−−=−=−=−=−−−−，故选B.3.D由题意知42a=，所以2a=，所以41625

c=+=，所以15225PFac=+=+，所以点P在双曲线C的左支上，所以214PFPF−=，所以29PF=，故选D.4.B因为12111nnniziiii+−=++++=−，所以1,,0,1,1,,0,1,nziiii=++，即nz的取值只有四个数1,,0,1

ii+，所以{0,1,1,,2,1,1}Miiii=−+−+，M中共7个元素，其中模为1的有三个元素，故所求概率为37.故选B.5.C根据已知(0)1mf=，(1)2.5mf=，得1310b+=且134kb++=得2b=，1k=−，所以210()13xfx−+=+，从而11030(3)7.5m1

34f−===+，210(4)9m13f−==+，所以(4)(3)1.5mff−=，故选C.6.B在直角梯形11OOAA中，因为B为OA的中点，2OA=，所以111OAOBAB===，连接1AB，易证四边形11

OOAB为矩形，所以11OOAB∥，所以1BAC为异面直线1OO与1AC所成的角，在直角三角形1AAB中，12AA=，所以13AB=；连接OC，在直角三角形OBC中，由1OB=，2OC=，得3BC=；在直角三角形1ABC中，1BCAB=，所以145BAC=，故选B.7.A82

222322232232212310234113341144115511CCCCCCCCCCCCCCaaaa++++=++++=++++=+++=+++=312121110C220321===.故选A..8.D设(,)Pab，则4ab+=，以

OP为直径的圆的方程是()22221224abxyab−+−=+，与圆O的方程224xy+=相减，得直线AB的方程为4axby+=，即40axby+−=，因为4ab+=，所以4ba=−，代入直线AB的方程，得(4)40axay+−−=，

即()440axyy−+−=，当xy=且440y−=，即1x=，1y=时该方程恒成立，所以直线AB过定点N（1，1），点M到直线AB距离的最大值即为点M，N之间的距离，||5MN=，所以点M（3，2）到直线AB距离的最大值为5。故选D.9.AB

甲的五项能力指标为6，5，4，5，4.平均值为654544.85++++=；乙的五项能力指标为6，4，5，4，5，平均值为645454.85++++=，则A正确；由于均值相同，各项指标数也相同（只是顺序不同），所以方差也相同，则B正确；

从控制力、决断力、前瞻力考虑，甲的均值为143，乙的均值为133，所以甲的领导力高于乙的领导力，则C不正确；从影响力、控制力、感召力考虑，甲、乙的指标均值相同，方差也相同，所以甲、乙水平相当，则D不正确.故选AB.10.AC因为xy，所以||0xy−，所以||31

xy−，则A正确；因为xy，当0y时，2xyy，当0y时，2xyy，则B错误；令()||fxxx=，易知()fx在R上单调递增，又xy，所以()()fxfy，即||||xxyy，则C正确；对于D，法一：令1()xgxex

=−，易知()gx在(,0)−和(0,)+上单调递减，不妨设0xy，则()()gxgy，即11xyeexy−−，亦即11xyeexy−−，则D错误；法二：取1x=−，1y=，1112eexy−−=−−，则，则D错误，故选AC.911.ABC构造函数2()2fx

x=−，则'()2fxx=，取初始近似值01x=，则()()01001231'212fxxxfx−=−=−=，()()12119231743'21222fxxxfx−=−=−=，则A正确；取初始近

似值02x=，则()()0100423222'2fxxxfx−=−=−=，()()1211923174321222'fxxxfx−=−=−=，则B正确；根据题意，可知()()0100'fxxxfx=−，()()1211'fxx

xfx=−，()()2322'fxxxfx=−，()()3433'fxxxfx=−，上述四式相加，得()()()()()()()()0123400123''''fxfxfxfxxxfxfxfxfx=−−−−，则D不正确，C正确，故选

ABC.12.CD取1n=，则()sincosfxxx=+，从而(0)10f=，此时()fx不是奇函数，则A错误；当4n=时，()2442222211cos413()sincossincos2sincos1sin21cos

42444xfxxxxxxxxx−=+=+−=−=−=+，则()fx的递增区间为,()422kkk−+Z，则B错误：当3n=时，22'()3sincos3cossin3sincos(sincos)fxxxxxxxxx=−=−，当0,4x

时，'()0fx；当,42x时，'()0fx，所以()fx在0,4上单调递减，在,42上单调递增，所以()fx的最小值为332224222f=+=，故C正确；因为sincoscossin()22

2nnnnfxxxxxfx−=−+−=+=，所以()fx的图象关于直线4x=对称，则D正确.故选CD.13.23设,ab夹角为，由|2|3||aba+=，得222||4||||

cos4||3||aabba++=，结合||||ab=，10解得1cos2=−，又00剟，所以23=.14.cos2x性质①②分别表示()fx关于直线2x=对称和以4为周期，答案不唯一，写出一个即可，

15.33不妨设椭圆的方程为22221(0)xyabab+=，根据椭圆定义，122AFaAF=−，122BFaBF=−，2FAB△为正三角形，22AFBF=，所以11AFBF=，即1F为线段AB的中点，

根据椭圆的对称性知AB垂直于x轴.设122FFc=，则1232tan303cAFc==，2243cos303ccAF==.因为122AFAFa+=，即232ca=，所以33cea==.16.537+

（2分）823（3分）在等腰梯形11DCCD中，过1C作1CHDC⊥，垂足为H，易求12CH=，172CH=，则四棱台的表面积为(12)714453722SSSS+=++=++=+上底下底侧.设ACBDO=，11111ACBDO=.由棱台的性质，可将该棱台补成四棱锥

（如右图）.因为2AB=，111AB=，可知11SAB△与SAB△相似比为1：2；则1222SAAA==，2AO=，则6SO=，则162OO=，即该四棱台的高为62，由于上、下底面都是正方形，则外接球的球心在1OO上，在平面11BBOO上，由

于162OO=，1122BO=，则12OBOB==，即点O到点B与到点1B的距离相等，同理O到A，A1，C，C1，D，D1的距离均为2，于是O为外接球的球心，且外接球的半径2r=，故该四棱台外接球的体积为823.1117.解：（1）若选①430S=.由26S=及430S=，得126aa+=，1

23430aaaa+++=，两式相减，得3424aa+=，即()21224qaa+=，所以24q=，由0q，得2q=，代入126aa+=，得1126aa+=，解得12a=，所以数列na的通项公式为2nna=.若②6496SS−=.因为645696SSaa−=+=，126

aa+=，所以451196aqaq+=，116aaq+=，两式相除，得416q=，结合0q，得2q=，所以1126aa+=，解得12a=，所以数列na的通项公式为2nna=.若选③3a是3S与2的等差中项.由3a是3S与2的等差中项，得3322aS=+，则3123

22aaaa=+++，由126aa+=，得38a=，由通项公式，得116aaq+=，218aq=，消去1a，得23440qq−−=，结合0q，解得2q=，代入116aaq+=，得12a=，12所以数列

na的通项公式为2nna=.（2）由（1），得22111log2loglog2nnannban====.11111(1)1nnnnccbbnnnn++−===−++，所以当2n…时，()()()()12132431nnncccc

cccccc−=+−+−+−++−111111111121223341nnn=+−+−+−++−=−−.又11c=也适合上式，故数列nc的通项公式是12ncn=−.18.解：（1）由3cossin3bC

acB=+及正弦定理，得3sincossinsinsin3BCACB=+，又()ABC=−+，所以3sincossin()sinsin3BCBCBC=++，即3cossinsinsin03BCCB+=，因为0C，sin0C，所以tan3B=−，又0B

，得23B=.（2）方法1：因为点D在边AC上，且2ADDC=，所以2212()3333BDBAADBAACBABCBABABC=+=+=+−=+，222144999BDBABABCBC=++，即2214

244cos9939caca=++，即224236acac+−=，由2244acac+…，可得4236acac−„，即18ac„，当且仅当2ac=时，等号成立，所以ABC△面积的最大值为129318s

in232=，当且仅当2ac=，即3a=，6c=时等号成立。方法2.设DCt=，则2ADt=，ADB=，在ABD△中，由余弦定理，得2244222cosctt=+−，即22448cosctt=+−；①同理，在BCD△中，由余弦定理，得2244cosatt=++，②13由①②

消掉cos，得2222126cat+=+.③在ABC△中，由余弦定理，得2229tacac=++，即2229acact++=，④把④代入③，得224236acac+−=，由2244acac+…，可得4236acac−„，即18ac„，所以ABC△面积的最大值为1293

18sin232=，当且仅当2ac=，即3a=，6c=时等号成立。19.（1）证明：取1AC的中点F，取AC的中点G，连接EF，FG，BG.因为E是1BB的中点，所以1BECC∥，112BECC=.因为FG是1ACC△的

中位线，所以1FGCC∥，112FGCC=，所以BEFG∥，BEFG=，所以四边形BEFG为平行四边形，所以EFBG∥.因为ABC△为正三角形，G为AC的中点，所以BGAC⊥.因为1AA⊥底面ABC，BG底面ABC，所以1AABG⊥，所以EFAC⊥，1EFAA⊥.又11,,AAACAA

AAC=平面11AACC，所以EF⊥平面11AACC，又EF平面1AEC，所以平面1AEC⊥平面11AACC.（2）解：以B为原点，分别以1,BCBB的方向为x轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Bxyz−（如图所示），14则1(0,0,0),(1,3,0),(2,0,2),(0

,0,1)BACE，从而11(1,3,2),(1,3,0),(2,0,1)ACBAEC=−==.设平面1ABC的法向量为(,,)nxyz=，则10,0,nBAnAC==即30,320,xy

xyz+=−+=取3x=，则1,3,yz=−=−所以平面1ABC的一个法向量为(3,1,3)n=−−设平面1AEC的法向量为(,,)mabc=，则110,0,mECmAC==

即20,320,acabc+=−+=取1a=，则3,2,bc=−=−，所以平面1AEC的一个法向量为(1,3,2)m=−−.设向量,mn的夹角为，则4342cos7||||722nmnm===，由图知，二面角为1BACE−−锐二面角，所以二面角1BACE−

−的余弦值为427.20.（1）证明：由题意知直线m的斜率存在且不为0，故设直线m的方程为1(0)ykxk=+，代入24xy=，并整理得2440xkx−−=.所以216160k=+，设()11,Axy，()22,Bxy，则124x

xk+=，124xx=−.设()00,Mxy，则12022xxxk+==，200121ykxk=+=+，即()22,21Mkk+.由MNl⊥，得(2,1)Nk−，所以MN中点的坐标为()22,kk.将2

xk=代入24xy=，解得2yk=，则()22,Pkk，所以点P是MN的中点.（2）解：由24xy=，得24xy=，则'2xy=.所以抛物线C在点()22,Pkk的切线PQ的斜率为k，15又由直线m的斜率为k，可得mPQ∥；又MNy∥轴，所以四边形MPQF为平行四边形.而

()()22222||(2)21121MFkkkk=++−=+，()222||211MPkkk=+−=+，由||||MFMP=，得()222211kkk+=+，解得33k=，即当33k=时，四边形MPQF为菱形，且此时()2222||(20

)11||||PFkkkMPMF=−+−=+==，所以60PMF=，直线m的方程为313yx=+，即330xy−+=，或330xy+−=，所以存在直线m，使得四边形MPQF是有一个内角为60的菱形.21.解：设甲、乙两名飞行员发射的第i枚导弹命中对方战绩分别为事件,iiAB，则()13iP

A=，()14iPB=.（1）设甲飞行员能够击中蓝方战机为事件M，则1121231234MAAAAAAAAAA=+++，所以()1121231234()PMPAAAAAAAAAA=+++()()()()11

21231234PAPAAPAAAPAAAA=+++()()()()()()()()()()1121231234PAPAPAPAPAPAPAPAPAPA=+++121221222165333333333381=+++=.（2）

①0,1,2,3,4X=，则22231(0)344PX===，2211221232135(1)33434412PXCC==+=，222211221321121337(2)34343344144PXCC==++

=，2211221131125(3)34443372PXCC==+=，1622111(4)34144PX===

，所以X的分布列为X01234P14512371445721144②记两轮：击中甲命中战机数为1Y，则11~4,3YB，乙命中战机数为2Y，则21~4,4YB，所以()()12447()343EYEY

EY=+=+=.22.解：函数()fx的定义域为(0,)+，（1）'()1axafxxx+=+=，当0a…时，'()0fx，所以()fx在(0,)+上单调递增；当0a时，若0xa−，则'()0fx；若xa−，

则'()0fx，所以()fx在(0,)a−上单调递减，在(,)a−+上单调递增.（2）由e()exxfx„，得e(ln1)exxaxx++„，因为1x，所以eln1exaxxx−++„，ln0x，所以ee1lnxxxax−−−„.eelnelne1ee1e1xxx

xxxxxx−−−−−=−−=−−.设()e1xgxx=−−，则'()e1xgx=−.当0x时，'()0gx；当0x=时；'()0gx=；当0x时，)'(0gx，所以0x=是()gx的极小值点，也是()gx的最小值点，所以min()(0)0gxg==，即对任意,e1xxx+

R…（当且仅当0x=时等号成立）.所以elneeln1xxxx−−+…，即sine1elnxxxx−−−−…（当且仅当eln0xx−=时等号成立）.17令()elnhxxx=−，则ee'()1xhxxx−=−=，所以()hx在(0

,e)上单调递减，在(,)e+上单调递增，所以ex=是()hx的极小值点，也是()gx的最小值点，所以min()(e)0hxh==，即当且仅当ex=时，eln0xx−=.所以ee1elnelnlnxxx

xxx−−−−=−…，即emine1elnxxxx−−−=−（当且仅当ex=时等号成立），所以ea−„时，e()exxfx„对任意的(1,)x+恒成立，故实数a的取值范围是(,e]−−.