【文档说明】【精准解析】专题55范围、最值问题-（文理通用）【高考】.docx，共(43)页，2.149 MB，由小赞的店铺上传

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专题55范围、最值问题最新考纲1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法．2.了解圆锥曲线的简单应用．3.理解数形结合的思想.基础知识融会贯通1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲

线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交；②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切；③Δ<0⇔直线与圆锥曲线相离．(2)若a

＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点，①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；②若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的

直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则|AB|＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.3．圆锥曲线的综合问题的解决大多需要具备方程(组)思想：引参—列方程(组)—消参—求值，或围绕函数思想求范围、最值．或根据

等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量解决定值、定点问题．【知识拓展】过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的

直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一

条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上一点总有三条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线内一点总有两条直线

与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．重点难点突破【题型一】范围问题【典型例题】设抛物线M：x2＝4py（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线N：的两个交点分别是A，B，若存在抛物线M使得△FAB是等边三角形，则双曲线N的离心率的取值范围是（）A．（

，+∞）B．（1，）C．（，+∞）D．（1，+∞）【解答】解：抛物线M：x2＝4py（p＞0）的焦点为F，其准线y＝﹣p，双曲线N：的两个交点分别是A（，﹣p），B（a，﹣p），△FAB是等边三角形，可得，可得a，所以双曲线N的离心率：e

．双曲线N的离心率的取值范围是：（，+∞）．故选：A．【再练一题】椭圆的左焦点为F，过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆交于不同两点A，B（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）若点B关于x轴的对称点为B’，求|AB'|的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为a2＝2，b2＝1，所以，所以离心率．（Ⅱ）

法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），显然直线l存在斜率，设直线l的方程为y＝k（x+2），所以，所以（2k2+1）x2+8k2x+8k2﹣2＝0△＝8﹣16k2＞0，所以，所以，因为B'（x2，﹣y2），所以，因为，所以，因为

，所以．法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线l是x轴时，，当直线l不是x轴时，设直线l的方程为x＝ty﹣2，所以，所以（t2+2）y2﹣4ty+2＝0，△＝8t2﹣16＞0，所以t2＞2，所以，因为B'（x2，﹣y2），所以，因为，所以|AB'|，因为t2＞2，所以，综上，|AB

'|的取值范围是．思维升华解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(

3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．故

由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为(0,1)．【题型二】最值问题命题点1利用三角函数有界性求最值【典型例题】已知椭圆，直线，则椭圆C上的点到直线l的最大距离为（）A．B．C．D．2【解答】解：椭圆，和直线，设椭圆上的点P（cosθ，sinθ），∴椭圆上的点P到直线l的距离：d，

其中tanγ∴当cos（θ+γ）＝1时，椭圆上的点到直线l的距离取最大值：．故选：C．【再练一题】已知直线l：x+y＝3与x轴，y轴分别交于点A，B，点P在椭圆y2＝1上运动，则△PAB面积的最大值为（）A．6B．C．D．【解答】解：直线l：y

+x＝3和x轴，y轴分别交于A、B两点，可得|AB|＝3，C在椭圆椭圆y2＝1上运动，设P（cosθ，sinθ），三角形的高h，其中tanγ，△PAB面积为：3|cos（θ﹣γ）﹣3|，当且仅当cos（θ﹣γ）

＝﹣1时取等号，那么△ABC面积的最大值为．故选：D．命题点2数形结合利用几何性质求最值【典型例题】已知函数f（x）＝﹣ax+2+3（a＞0且a≠1）的图象恒过定点A，设抛物线y2＝8x上任意一点M到准线l的距离

为d，则d+|MA|的最小值为（）A．2B．2C．2D．2【解答】解：当x+2＝0，解得x＝﹣2，此时y＝3﹣1＝2，故A（﹣2，2），由题意得F（2，0），准线方程为x＝﹣2，利用抛物线的定义，可得当F、M、A三点共线时，d+|MA|取得最小值为|AF|2．故选：C．【再练一题】点P是抛

物线y＝x2上任意一点，则点P到直线y＝x﹣2的距离的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：抛物线y＝x2的焦点坐标（0，）如右图，设点P（a，b）；则由图象可知，以点P为切点的直线与y＝x﹣2平行时，P到直线距离取得最小值，由y′＝2x＝1可得，x，故点P（，）；点P到

直线y＝x﹣2的距离的最小值为：．故选：C．命题点3转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值【典型例题】已知椭圆短轴的两个顶点与右焦点的连线构成等边三角形，直线3x+4y+6＝0与圆x2+（y﹣b）2＝a2相切．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ

）已知过椭圆C的左顶点A的两条直线l1、l2分别交椭圆C于M、N两点，且l1⊥l2，求证：直线MN过定点，并求出定点坐标；（III）在（Ⅱ）的条件下求△AMN面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意即．（Ⅱ）证明：∵A（﹣2，0），设l1：x＝my﹣2（m≠0），，由得（m2

+4）y2﹣4my＝0∴，同理：①m≠±1时，，过定点；②m＝±1时，，也过定点，所以直线MN过定点．（III）由（Ⅱ）知，时取等号，∴时取等号，∴．【再练一题】在平面直角坐标系xoy中，椭圆C1：（a1＞b1＞0）和椭圆C2：（a2＞b2＞0）的离心率均为，点T（0，1）在椭圆C1

上，点S（2，1）在椭圆C2上．（1）求椭圆C1和C2的方程；（2）P为椭圆C1上任意一点，过点P的直线y＝kx+m交椭圆C2于A，B两点，射线PO交椭圆C2于点Q，①证明为定值；②求△ABQ面积的最大值．【解答】（本小题12分）解：（1）由题意知b1＝1，有，得a1＝2，所以椭圆C1的方程为．

由，，得a2＝4，b2＝2所以椭圆C2的方程为．………………………………………（2）证明①设，由题意知Q（﹣λx0，﹣λy0），因为，又，即，所以λ＝2，即．………………………………………②设A（x1，y1）

，B（x2，y2），将y＝kx+m代入椭圆C2的方程，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16＝0，由△＞0，可得m2＜4+16k2①则有，所以．因为直线y＝kx+m与y轴交点的坐标为（0，m），所以△OAB的面积将y＝kx+m代入椭圆C1的方程

，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，由△≥0，可得m2≤1+4k2②，令，由①②可知0＜t≤1，因此，故，当且仅当t＝1时，即m2＝1+4k2时取得最大值，由（1）知，△ABQ面积为3S，所以△

ABQ面积的最大值．思维升华处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等

进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．基础知识训练1．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试】经过坐标原点O的两条直线与椭圆E：22221

(0)xyabab+=分别相交于点A、C和点B、D，其中直线AB经过E的左焦点(1,0)−，直线CD经过E的右焦点(1,0).当直线AB不垂直于坐标轴时，AB与AD的斜率乘积为34−.（1）求椭圆E的方程；

（2）求四边形ABCD面积的最大值.【答案】（1）22143xy+=（2）最大值6.【解析】解：（1）设()11,Axy，()22,Bxy，由对称性()22,Dxy−−，直线AB与直线AD的斜率乘积为22212221yyxx−−.由2211221xyab+=，2222221x

yab+=，相减得2222122221yybxxa−=−−.所以2234ba=，因为221ab−=，所以24a=，23b=，C的方程为22143xy+=.（2）由题设CD不平行于x轴，设CD：1xmy=+，与22143xy+

=联立得()2234690mymy++−=.()214410m=+，2122361,34mmyym−+=+.由对称性四边形ABCD是平行四边形，其面积S的等于OCD面积的4倍，于是1242OCDSSyy=

=−222224124134311mmmm+==++++.设21mt+=，当1t时，'2113|30tttt+=−，函数13ytt=+单调递增，所以当1t=，即0m=时，S取最大值6.2．【甘肃省兰州市第一中学

2019届高三6月最后高考冲刺模拟】椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别为12,FF，离心率为32，过焦点2F且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点000(,)(0)P

xyy为椭圆C上一动点，连接1PF、2PF，设12FPF的角平分线PM交椭圆C的长轴于点(,0)Mm，求实数m的取值范围.【答案】（Ⅰ）2214xy+=；（Ⅱ）3322−m.【解析】（Ⅰ）将xc=代入22

221xyab+=中，由222acb−=可得422bya=，所以弦长为22ba，故有22222132bacaabc===+，解得21ab==，所以椭圆C的方程为：2214xy+=.（Ⅱ）设点()0

0,Pxy()00y，又()()123,0,3,0FF−，则直线12,PFPF的方程分别为()1000:330lyxxyy−++=；()2000:330lyxxyy−−−=.由题意可知()()0000222200003333myymyyyxyx+−=+++−.由于点P为椭圆C上除长轴外的任一点

，所以220014xy+=，所以22003-3332-222mmxx+=+，因为33m−，022x−，所以0033332222-mmxx+−=+，即034=mx因此，3322−m.3．【广东

省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)】在平面直角坐标系xOy中，离心率为63的椭圆2222:1(0)xyCabab+=过点6(1,)3M．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线0xym++=上存在点G，且过点G的椭圆C的两条切线相互垂直，

求实数m的取值范围．【答案】(1)2213xy+=(2)[22,22]−【解析】（1）由题意，2226,3,caabc==+解得223ab=，又221213ab+=，解得223,1,ab==所以椭圆C的标准方程为2213xy+=．（2）①当过点G的

椭圆C的一条切线的斜率不存在时，另一条切线必垂直于y轴，易得(3,1)G②当过点G的椭圆C的切线的斜率均存在时，设000(,),3Gxyx切线方程为00()ykxxy=−+，代入椭圆方程得2220000(31)6()3()30kxkkx

yxkxy+−−+−−=，2220000[6()]4(31)[3()3]0kkxykkxy=−−+−−=，化简得：2200()(31)0kxyk−−+=，由此得2220000(3)210xkxyky−−+−=，设过点G的椭圆C的切线的斜率分别为12,kk，所以20122013ykkx−=−．因

为两条切线相互垂直，所以2020113yx−=−−，即220004(3)xyx+=，由①②知G在圆22004xy+=上，又点G在直线0xym++=上，所以直线0xym++=与圆224xy+=有公共点，所以211m+≤，所以2222m−≤≤．综上所述，m的取值范围为[22,22]−．4．【山东省

实验中学等四校2019届高三联合考试】抛物线C：2yx=，直线l的斜率为2．（Ⅰ）若l与C相切，求直线l的方程；（Ⅱ）若l与C相交于A，B，线段AB的中垂线交C于P，Q，求PQAB的取值范围．【答案】（Ⅰ）21y

x=−；（Ⅱ）1,2+.【解析】解：（1）设直线l的方程为2yxb=+，联立直线l抛物线C的方程22yxbyx=+=，得220xxb−−=，440b=+=，所以，1b=−，因此，直线l的方程为21yx=−；（2）设直

线l的方程为2yxb=+，设点()11Axy，、()22Bxy，、()33Pxy，、()44Qxy，，联立直线l与抛物线C的方程22yxbyx=+=，得220xxb−−=，440b=+，所以，1b−．由韦达

定理得122xx+=，12xxb=−．所以，()125251ABxxb=−=+，因为线段AB的中点为()12b+，，所以，直线PQ的方程为1522yxb=−++，由21522yxbyx=−++=

，得22520xxb+−−=，由韦达定理得3412xx+=−，3452xxb=−−，所以，3455411624PQxxb=−=+，所以，1411612511681812PQbABbb+==+++，所以，PQAB的取值范围是1,2+．5．【辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第

四次模拟考试】已知F为椭圆2222:1(0)xyCabab+=的右焦点，点()1,Pm在C上，且PFx⊥轴，椭圆C的离心率为12.（1）求椭圆C的方程；（2）若直线:2lykx=+与椭圆C相交于A，B两点，且2OAOB•（O为坐标原点），求k的取值

范围.【答案】（1）22143xy+=；（2）2112,,2222−−【解析】（1）因为(,0)Fc为椭圆2222:1(0)xyCabab+=的右焦点，点()1,Pm在C上，且PFx⊥轴，所以1c=；又椭圆

C的离心率为12，所以2a=，因此222413bac=−=−=，所以椭圆C的方程为22143xy+=；（2）设11(,)Axy，22(,)Bxy由222143ykxxy=++=得22(34)1640

kxkx+++=，所以1221634kxxk+=−+，122434xxk=+，故2212121212228(2)(2)2()4434kyykxkxkxxkxxk−=++=+++=++，由2OAOB•，得1212

2xxyy+，即224284234kk−++，整理得212k，解得2222k−；又因2221616(34)0kk=−+，整理得214k，解得12k或12k−；综上，k的取值范围是2112,,

2222−−.6．【浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟考试】已知抛物线C：22(0)ypxp=的焦点是(1,0)F，直线1l：1ykx=，2l：2ykx=分别与

抛物线C相交于点A和点B，过A，B的直线与圆O：224xy+=相切．（1）求直线AB的方程（含1k、2k）；（2）若线段OA与圆O交于点M，线段OB与圆O交于点N，求MONS的取值范围．【答案】（1）1212()

40kkxkky−++=；（2）45(,2]5【解析】（1）焦点是(1,0)F，可得12p=，即2p=，设11(,)Axy，22(,)Bxy，抛物线方程为24yx=，联立1ykx=，可得21144(,)Akk，同

理可得22244(,)Bkk，若AB斜率存在，可得12121212AByykkkxxkk−==−+，AB的方程为122112144()kkyxkkkk−=−+，化为1212()40kkxkky−++=，AB的斜率不

存在时，也满足上面的方程，则直线AB的方程为1212()40kkxkky−++=；（2）过A，B的直线与圆O：224xy+=相切，可得()()22121242drkkkk===++，化简为221212()()4kkkk++=，即有1220k

k−，121222221122cos||||xxyyOAOBAOBOAOBxyxy+==++1222212121()1kkkkkk+=+++，由221212()()4kkkk++=，可得12121cos52kkAOBkk+=−，221212

12()44sin52kkkkMONkk−−+=−，设1252(5,9]tkk=−，则222121212()444sin452MONkkkkSMONkk−−+==−2(5)2(5)444ttt−−−−+=218

494918()182494ttttt−+−==−+−=，当7t=取等号，即121[2,0)kk=−−，所以max()2MONS=，又2491618(5)55MONS−+=，即455MONS，即有MONS的

取值范围为45(,2]5.7．【江苏省南通市2019届高三模拟练习卷（四模)】如图，在宽为14m的路边安装路灯，灯柱OA高为8m，灯杆PA是半径为mr的圆C的一段劣弧．路灯采用锥形灯罩，灯罩顶P到路面的距离为10m，到灯柱所在直线的距离为2m．设Q为灯罩轴线与路

面的交点，圆心C在线段PQ上．（1）当r为何值时，点Q恰好在路面中线上?（2）记圆心C在路面上的射影为H，且H在线段OQ上，求HQ的最大值．【答案】(1)当r为25时，点Q在路面中线上；（2）1245.−【解析】（1）以O为原点，以OA所

在直线为y轴建立平面直角坐标系，则A（0，8），P（2，10），Q（7，0），∴直线PQ的方程为2x+y﹣14＝0．设C（a，b），则222222(2)(10)(8)abrabr−+−=+−=，两式相减得：a+b﹣10＝0，又2a+b﹣14＝0，解得a＝4，b＝6，∴224(68)

25r=+−=．∴当25r=时，点Q恰好在路面中线上．（2）由（1）知a+b﹣10＝0，当a＝2时，灯罩轴线所在直线方程为x＝2，此时HQ＝0．当a≠2时，灯罩轴线所在方程为：y﹣10＝2aa−−（x﹣2），令y＝0可得

x＝12﹣20a，即Q（12﹣20a，0），∵H在线段OQ上，∴12﹣20a≥a，解得2≤a≤10．∴|HQ|＝12﹣20a﹣a＝12﹣（20a+a）≤12﹣220＝12﹣45，当且仅当20a＝a即a＝25时取等号．∴|HQ

|的最大值为（12﹣45）m．8．【江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆()2222:10xyCabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，P为C椭圆上一点，且2PF垂直

于x轴，连结1PF并延长交椭圆于另一点Q，设1PQFQ=.（1）若点P的坐标为()2,3，求椭圆C的方程及的值；（2）若45≤≤，求椭圆C的离心率的取值范围.【答案】（1）2211612xy+=；103=（2）321,37【解析】（1）因为2PF垂直于x轴，且点P的

坐标为()2,3，所以2224abc−==，22491ab+=，解得216a=，212b=，所以椭圆的方程为2211612xy+=.所以()12,0F−，直线1PF的方程为()324yx=+，将()324yx=+代入椭圆

C的方程，解得267Qx=−，所以126210726327PQFQxxPQFQxx+−====−−+.（2）因为2PFx⊥轴，不妨设P在x轴上方，()0,Pcy，00y.设()11,Qxy，因为P在椭圆上，所以220221ycab+=，解得20bya=，即2,bPca

.（方法一）因为()1,0Fc−，由1PQFQ=得，()11cxcx−=−−，211byya−=−，解得111xc+=−−，()211bya=−−，所以()21,11bQca+−−−−.因为点Q在椭圆上，所

以()222221111bea++=−−，即()()()2222111ee++−=−，所以2(2)2e+=−，从而222e−=+.因为45≤≤，所以21337e.解得32137e，所以椭圆C的离心率的取值范围321,37

.9．【河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷】已知O为坐标原点，点()()2,02,0AB−，，()25,01ACADCBCD===，过点B作AC的平行线交AD于点E.设点E的轨迹为.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ

）已知直线l与圆22:1Oxy+=相切于点M，且与曲线相交于P，Q两点，PQ的中点为N，求三角形MON面积的最大值.【答案】（Ⅰ）()22105xyy+=；（Ⅱ）55.【解析】（Ⅰ）因为,ADACEBAC=∥，故EBDACDAD

C==，所以EBED=，故25EAEBEAEDAD+=+==，由题设得()()2,02,04ABAB−=，，，由椭圆定义可得点E的轨迹方程为：()22105xyy+=.（Ⅱ）由题意，直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为ykxm=+，因为直线l与圆O

相切，所以2||11mk=+，∴221mk=+，由221,5,xyykxm+==+消去y得()2221510550kxkmxm+++−=.设()()1122,,,PxyQxy，由韦达定理知：()1212122210221515kmmxxyykxxmkk+=−+=

++=++，.所以PQ中点N的坐标为225,1515kmmkk−++，所以弦PQ的垂直平分线方程为22151515mkmyxkkk−=−+++，即24015kmxkyk++=+.所以224151kmkMNk+=+.将21mk

=+代入224151kmkMNk+=+得222444425151155115||25||||||kmkkMNkkkkkk+====+++„（当且仅当55k=，即305m=时，取等号）.所以三角形MON的面积为112551=2255SOMMN=≤，综上所述，三角形MON的面积

的最大值为55.10．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷】已知抛物线216yx=，过抛物线焦点F的直线l分别交抛物线与圆22(4)16xy−+=于,,,ACDB（自上而下顺次）四点.（1）求证：||||ACBD为定值；（2）求||||ABAF的最小

值.【答案】(1)见证明；(2)108【解析】（1）有题意可知，(4,0)F可设直线l的方程为4xmy=+，1122(,),(,)AxyBxy联立直线和抛物线方程2164yxxmy==+，消x可得216640ymy−−=，所以

1216yym+=，1264yy=−，由抛物线的定义可知，112||4,||42pAFxxBFx=+=+=+，又||||4,||||4ACAFBDBF=−=−，所以2221212264||||(||4)(||4)16161616yyACBDAFBFxx=−−====，所以||||A

CBD为定值16.（2）由（1）可知，12||||||8ABAFBFxx=+=++，1||4AFx=+，212111212||||(8)(4)12432ABAFxxxxxxxx=+++=++++，由1216xx=，可得2116xx=，所以211164||||1248ABAFxxx=+

++（其中1>0x），令264()1248fxxxx=+++，222642(2)(4)()212xxfxxxx−+=+−=，当(0,2)x时，()0fx，函数单调递减，当(2,)x+时，()0fx，函数单调递增，所以()(2)108

fxf=.所以||||ABAF的最小值为108.11．【天津市北辰区2019届高考模拟考试】已知椭圆2222xyabE:+=1（0ab），12,FF为其左右焦点，12,BB为其上下顶点，已知椭圆过点()2,0，且四边形1122FBFB的面积为2．（1）求椭圆E的方程；（2）设过定点(

)2,0M−的直线l与椭圆E相交于,PQ两点，若MPMQ=，当11,32时，求OPQ面积S的取值范围．【答案】（1）2212xy+=；（2）142,83【解析】（1）∵椭圆过点()2,0，∴2a=，又∵四边形1122FBFB

的面积为2，∴22bc=，结合222abc=+，解得2a=，1b=，∴椭圆E的方程为2212xy+=.（2）依题意，可设:2lxty=−，联立22212xtyxy=−+=得()222420tyty+−+=，设()11,Pxy，()22,Qxy，由0，解得2

2t，且12242tyyt+=+，12222yyt=+，且易知()20M，−，由MPλMQ=可得12yy=，∴()2222241222tytyt+=+=+，则221822tλλt++=+，∵11,32，∴9162,231λλ

++，∴229182362tt+，∴24187t，满足0，∴()221212121221222422OMQOMPtSSSOMyyyyyyyyt−=−=−=−=+−=+，设22mt=−，则2727m，，∴22tm=

+，∴2222244mSmmm==++，∵4mm+在27,27m递减，故S关于m递增，∴142,83S．12．【安徽省泗县第一中学2019届高三高考最后一模】已知椭圆M：22221(0)xyabab+=的离心率为32，且椭圆上一点P的坐标为2

2,2.（1）求椭圆M的方程；（2）设直线l与椭圆M交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求ABC面积的最大值.【答案】（1）2214xy+=；（2）1624【解析】（1）由已知32cea=

=，又222abc=+，则2ab=.椭圆方程为222214xybb+=，将2(2,)2代入方程得1b=，2a=，故椭圆的方程为2214xy+=；（2）不妨设直线AB的方程xkym=+，联立2214xyxkym+=

=+消去x得()2224240kykmym+++−=.设11(,)Axy，22(,)Bxy，则有12224kmyyk−+=+，212244myyk−=+①又以线段AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，∴0CACB=，由11(2,)CAx

y=−，22(2,)CBxy=−得()()1212220xxyy−−+=，将11xkym=+，22xkym=+代入上式得()()2212121(2)(2)0kyykmyym++−++−=，将①代入上式求得65m=或2m=（舍），则直线l恒过点6(,0)5.∴()212121

2114||4225ABCSDCyyyyyy=−=+−()()222254368254kk+−=+，设211(0)44ttk=+，则28362525ABCStt=−+在1(0,]4t上单调递增，当14t=时，ABCS取得最大值1624.13．【湖南省雅礼中学2019届

高考模拟卷（二)】已知抛物线21:4Cyx=和()22:20Cxpyp=的焦点分别为12,FF，点()1,1P−−且12(FFOPO⊥为坐标原点）．（1）求抛物线2C的方程；（2）过点O的直线交1C的

下半部分于点M，交2C的左半部分于点N，求PMN面积的最小值．【答案】（1）24xy=；（2）8.【解析】（1）F1（1，0），202pF，，∴1212pFF=−，，()121111022ppFFOP，，=−−−=−=，∴p=2，∴

抛物线C2的方程为x2=4y；（2）设过点O的直线为y=kx，联立24yxykx==得（kx）2=4x，求得M（24k，4k），联立24xyykx==得N（4k，4k2）（k＜0），从而222

2441414MNkkkkkk=+−=+−，点P到直线MN的距离211kdk−=+，进而2221141421PMNkSkkkk−=+−+=()()()32222112(1)1112221kkkkkkkkkk

k−−−++==+−++，令()12tktk=+−，有S△PMN=2（t-2）（t+1），当t=-2时k=-1，取得最小值．即当过原点直线为y=-x，△PMN面积的面积取得最小值8．1

4．【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试】已知椭圆()2222:10xyCabab+=的左、右焦点为1F，2F，长轴端点为A，B，O为椭圆中心，221AFFB=，斜率为22的直线l与椭圆C

交于不同的两点，这两点在x轴上的射影恰好是椭圆C的两个焦点.（1）求椭圆C的方程；（2）若抛物线24yx=上存在两个点M，N，椭圆C上存在两个点P，Q，满足M，N，2F三点共线，P，Q，2F三点共线，且PQMN⊥，求四边形PMQN面积的最小值.【答案】（1）2212xy+=（2）42【解析】

解：（1）设椭圆方程为()2222:10xyCabab+=，利用数量积运算可得221AFFB→→=，可得221ac−=，直线l的方程为22yx=，当xc=时，22yc=，代入椭圆方程可得222212ccab+=

，联立解得22a=，21c=，椭圆方程2212xy+=.（2）①当直线MN的斜率不存在时，直线PQ的斜率为0，得到4MN=，22PQ=，42PMQNS=四边形；②当直线MN的斜率存在时，设直线MN方程为()()10ykxk=−，与抛物线24yx=联立得()2222240kxkxk−

++=。令()11,Mxy，()22,Nxy，则12242xxk+=+，121xx=，()22121224144MNkxxxxk=++−=+，因为PQMN⊥，所以直线PQ的方程为()()110yxkk=

−−，将直线PQ与椭圆联立，得()22224220kxxk+−+−=，令()33,Pxy，()44,Qxy，则34242xxk+=+，2342222kxxk−=+，所以()()223434222211142kPQxxxxkk+=++−=+，所以四边

形PMQN面积()()22224212PMQNkSkk+=+四边形，令()211ktt+=，则()()2242142142111PMQNtSttt==+−+−四边形，所以42PMQNS四边形，其最小值为42.15．【辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模

拟考试】在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)xyEabab+=的上顶点为A，左、右焦点分别为1F，2F，直线2AF的斜率为-3，点,PQ在椭圆E上，其中P是椭圆上一动点，Q点坐标为3(1,)2−.(1)求椭圆E的标准方程；

(2)作直线l与x轴垂直，交椭圆于,HK两点（,HK两点均不与P点重合)，直线PH，PK与x轴分别交于点,MN.求||||OMON+的最小值及取得最小值时点P的坐标.【答案】（1）22143xy+=（2）||||OMON+的最小值为4，此时点P的坐标为(2,0

)或(2,0)−【解析】(1)由直线2AF的斜率为3−可知直线的倾斜角为120.在2RtOAF中，2AFO60=,于是2,3,acbc==,椭圆2222xyE:14c3c+=,将3Q1,2−代入得c1=所以，椭圆E的标准方

程22143xy+=(2)设点()()()001111P,,H,,Q,xyxyxy−.于是，直线()010001yy:xxPHyyxx−−=−−,令011001yxyx0,yyyx−==−,所以011001|||yxyxOMyy−=−直线()010001yy:xxPKy

yxx+−=−−，令011001yxyx0,yyyx+==+，所以011001|||yxyxONyy+=+||||2||||OMONOMON+…011001100101yxyxyxyx2yyyy−+=−+()()22011022012

yxyxyy−=−又22220101333,344xxyy=−=−.代入上式并化简22220110220133334424333344xxxxxx−−−=−−+即||||4OMON+…，当||||OMON=(即011001100101xyxyxyxyyyyy−+=−

+)时取得最小值，（Ⅰ）011001100101yxyxyxyxyyyy−+=−+时，化简得()10100yyxx−=根据题意：10xx，若10y=亦与题意不符，所以00y=，此时02x=或2−（Ⅱ）011001100101yxyxyxyxyyyy−+=−−+时，化简得22

0110yxyx=将22220101333,344xxyy=−=−代入并化简得：()01103304xxxx+−=根据题意：10xx，若0101330,44xxxx+==−，而0122,22xx−−剟所以014xx=−不成立，即0110011

00101yxyxyxyxyyyy−+=−+不成立综上，02x=或2−，点P的坐标为(2,0)或(2,0)−能力提升训练1．【湖师范大学附属中学2019届高三数学】已知F1、F2是椭圆C：222210xyabab+=（）的左、右焦点，点21P（，）在椭圆C上，且满足12·1PFPF=.（1）求

椭圆C的方程；（2）直线l:600xmym+−=（）交椭圆C于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点M（t，0），求mt的取值范围.【答案】（1）22142xy+=（2）30,2.【解析】（1）.设10Fc−（，），20Fc（，），

由12·1PFPF=，得2211cc−−−+=（)(），2c=.∴120F−（，），220F（，），∴2222122||||(22)1(22)14aPFPF=+=+++−+=，∴2a=，2b=，∴椭圆C的方程为22142xy+

=（2）.由得2214160xyxmy+=+−=，得226240myy−+−=（），22(2)2620mymy+−+=，由2226820mm=−−+（）（），21m且0m，得1m，设11Axy（，），22Bxy（，），

则122262myym+=+，1212246262xxmyym+=−+=+（），所以AB的中点为22266,)22mmm++∵直线AB的斜率为1m−，∴线段AB的垂直平分线为22626()22mymxmm−=−++.依题意，226260()22m

mtmm−=−++，∴26622mmtmmm==++，∵222mm+，当且仅当2mm=，即2m=时取等号，∴63222mt=，∴mt的取值范围是30,22．【福建省龙岩市（漳州市)2019届高三5月月考】已知离心率为12的椭圆2222:1(0)xyCabab+=的右焦

点与抛物线2:2(0)Eypxp=的焦点F重合，且点F到E的准线的距离为2.（1）求C的方程；（2）若直线l与C交于,MN两点，与E交于,AB两点，且4OAOB=−（O为坐标原点），求MNF面积的最大值.【答案】(1)2214

3xy+=(2)max3()2MNFS=△【解析】（1）因为点x到E的准线的距离为2，所以2p=，(1,0)F，由2221,1,2,ccaabc===+解得2,3,ab==所以C的方程为22

143xy+=（2）解法一.由（1）知抛物线E的方程为24yx=.要使直线l与抛物线E交于两点，则直线l的斜率不为0，可设l的方程为xmyn=+，由2,4,xmynyx=+=得2440ymyn−−=所以2(4)160mn=−

+，得20mn+.设()()1122,,,AxyBxy则12124,4,yymyyn+==−所以22222121212()16441616yyyynxxn====，因为4OAOB=-，所以12

124xxyy+=−，所以244nn−=−，所以2n=，所以直线l的方程为2xmy=+，所以直线l过椭圆C的右顶点(2,0)，不妨设(2,0)M33(,)Nxy，333y−≤≤，且3y0，所以313||||22MNFSMFy=△≤，当且仅当33y=时，max3()2MNFS=△

.3．【山东省烟台市2019届高三5月适应性练习（二)】已知椭圆1:2222=+byax(0)ab的离心率为32,原点到椭圆的上顶点与右顶点连线的距离为552.（1）求椭圆的标准方程;（2）斜率存在且不为零的直线l与椭圆相

交于A,B两点,若线段AB的垂直平分线的纵截距为-1,求直线l纵截距的取值范围.【答案】（1）2214xy+=；（2）133m.【解析】解：（1）原点到椭圆上顶点与右顶点连线的距离为22255aba

b=+.又离心率32ca=，又因为222abc=+，解得2a=，1b=，所以椭圆方程为2214xy+=．（2）设1122(,),(,)AxyBxy，直线l的方程为：(0)ykxmk=+，将(0)ykxmk=+代入2214xy+=得：222(14)8440kxkmxm++

+−=，于是222222644(14)(44)16(14)0kmkmkm=−+−=+−得：2214km+且122814kmxxk−+=+，设AB中点00(,)Mxy，则12024214xxkmxk+−==+，00214mykxmk=+=+因为线段AB的垂直平分线的纵截距为1−，所以线段AB

的垂直平分线过点(0,1)−，所以221114414mkkmkk+−+=−+，即2314mk=+，因为0k，所以23141mk=+，所以13m，2314mk=+代入2214km+得03m，所以133m

.4．【安徽省1号卷�A10联盟2019年高考最后一卷】已知椭圆()2222:10xyEabab+=上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的3倍，且点31,2P在椭圆上.（1）求椭圆E的标准方程；（2）过点()0,1G作直线l与曲线交于,AB两点，求ABO面积

的最大值。【答案】(1)22143xy+=.(2)263.【解析】（1）由题意得，()2222231914acacabcab+=−=++=，解得2,3ab==，椭圆的标准方程为22143xy+=.（2）易知直线l的斜率存在.设直线l的

方程为1ykx=+，()11,Axy，()22,Bxy，联立221143ykxxy=++=，消去y得()2234880kxkx++−=，则122834kxxk−+=+，122834xxk−=+，()2212121224612434kxxxxxxk+−=+−=+g211dk=

+22122126121+234ABOkSdkxxk+=−=+Vg令212kt+=，20kQ，1t，22626=1212ABOtSttt=++V，易证12ytt=+在)1,+上单调递增，12

3tt+，263ABOSV，ABOV面积的最大值为263.5．【辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试（二)】已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的左右焦点分别为1F，2F，点P是椭圆C上的一点，若12PFPF⊥，122FF=，12

FPF的面积为1.（1）求椭圆C的方程；（2）过2F的直线l与C交于A，B两点，设O为坐标原点，若OEOAOB=+，求四边形AOBE面积的最大值.【答案】（1）2212xy+=（2）2【解析】（1）由题设22124PFPF+=，12112PFPF=‖，所以22121212222PFP

FPFPFPFPFa+++==‖2=.又1c=，所以221bac=−=.C的方程为2212xy+=.（2）由题设AB不平行于x轴，设AB：1xmy=+，联立2212xy+=，得()222210mymy++−=.()2810m=+，()212221,2mmyym−+=+.

因为OEOAOB=+，所以四边形AOBE为平行四边形，四边形AOBE面积122AOBSSyy==−()2222221221211mmmm+==++++.因为221121mm+++，当且仅当0m=时取等号，

于是四边形AOBE面积的最大值为2.6．【江西省新八校2019届高三第二次联考】已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点为12,FF，离心率为33，点P在椭圆C上，且21FPF的面积的最大值为2.（1）求椭圆C的方程；（2）已知直线():10

lykxk=+与椭圆C交于不同的两点,MN，若x在轴上存在点(),0Gm得GMGN=，求实数m的取值范围.【答案】（1）22132xy+=（2）6,012−【解析】由题，当点P在上下顶点时，三角形21FPF的面积最大，可得

2bc=，即可得222233bccaabc===+，解得321abc===椭圆C的方程为22132xy+=.（2）由221132ykxxy=++=消去y整理22(23)6

30kxkx++−=得，且()()22236122324130kkk++=+设()()1122,,,MxyNxy，线段MN的中点为()00,Qxy则12122263,2323kxxxxkk−−+==++.12023,223xxkxk+−==+0022123ykxk=

+=+在x轴上存在(),0Gm点，使得||||,GMGNGQMN=⊥，001GQMNykkkxm==−−，即222231323kkkmk+=−−−+，212233kmkkk−==++因为0k11602122323kkkk

=+，当且仅当23kk=且0k，即63k=时等号成立.6012m−，故6012m−，实数m的取值范围为6,012−.7．【天津市和平区2018-2019学年度第二学期高三年级第三次质量调查】设椭圆()22122:10xyCab

ab+=的一个顶点与抛物线22:4Cxy=的焦点重合，1F，2F分别是椭圆1C的左、右焦点，离心率36=e，过椭圆1C右焦点2F的直线l与椭圆1C交于A，B两点．（Ⅰ）求椭圆1C的方程；（Ⅱ）是否

存在直线l，使得1OAOB=−，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由；（Ⅲ）设点(),0Mt是一个动点，若直线l的斜率存在，且N为AB中点，ABMN⊥，求实数t的取值范围．【答案】(Ⅰ)2213xy+=；(Ⅱ)答案见解析；(Ⅲ)2203t

.【解析】(Ⅰ)抛物线22:4Cxy=的焦点坐标为()0,1，故1b=，结合22631ceaac===+可得：32ac==，故椭圆方程为：2213xy+=.(Ⅱ)很明显直线的斜率存在，设

()()1122,,,AxyBxy，假设存在满足题意的直线方程：()2ykx=−，与椭圆方程2213xy+=联立可得：()()22223162630kxkxk+−+−=，则221212226263,3131kkxxxxkk−+==++，则：()()21212121222OAOBxxyy

xxkxx=+=+−−()()2221212122kxxkxxk=+−++，结合题意和韦达定理有：()2222222636212213131kkkkkkk−+−+=−++，解得：12k=，即存在

满足题意的直线方程：()122yx=−.(Ⅲ)设()()()1122,,,,,NNAxyBxyNxy，设直线AB的方程为()()20ykxk=−，由于：222212121,133xxyy+=+=，两式作差整理变形可得：()()()()1

21212123xxxxyyyy+−=−+−，即：3NNykx=−.①又1NNyxtk=−−②()2NNykx=−③①×②可得：32Nxt=④④代入③可得：322Nykt=−⑤④⑤代入①整理可得：22222221133ktkk==++，210

:0kk，据此可得：211033k+，从而2203t.8．【安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测】已知1F，2F分别为椭圆()2222:10xyCabab+=的左，右焦点，点21,2P在椭圆C上，且12PFF△的面积为22.（1）求椭圆C的

方程；（2）设过点1F的直线l交椭圆于A，B两点，求22FAFB的取值范围.【答案】（1）2212xy+=；（2）71,2−.【解析】(1)由椭圆C经过点21,2P，且12PFF△的面积为22，得22

1112ab+=，且1222222c=,即1c=.又()2xyii−=−，解得22a=，21b=.所以椭圆C的方程为2212xy+=.（2）由（1）知()11,0F−，()21,0F.设()11,Axy，()22,Bxy.若

直线l的斜率不存在，可得点,AB的坐标为221,,1,22−−−，则227=2FAFB.当直线l的斜率存在时，设():1lykx=+，代入椭圆方程得()()2222124210kxkxk+++−=.则()()422168121kkk=−+

−2880k=+恒成立.所以2122412kxxk+=−+，()21222112kxxk−=+.所以()()221212=11FAFBxxyy−−+()()()()21212=1111xxkxx−−+++()()()2221212=111kxxkxxk++−+++222717

91222(12)kkk−==−++.又20k，则()2227971,22221FAFBk=−−+.综上可知，22FAFB的取值范围为71,2−.9．【山东省日照市2019届高三5月校际联合考试】已知椭圆()222210xyE

abab+=：＞＞的左、右焦点分别为12,FF，离心率为12，动点P在椭圆E上，21FPF的周长为6．（1）求椭圆E的方程；（2）设直线2PF与椭圆E的另一个交点为Q，过,PQ分别作直线:(2)lxtt=的垂线，垂足为,,MNl与x轴的交点为T．若四边形PMNQ的面积是PQT

面积的3倍，求直线PQ斜率的取值范围．【答案】（1）13422=+yx；（2）330022−，，.【解析】（1）因为P是E上的点，且F1，F2为E的左、右焦点，所以|PF1|+|PF2|=2a，又因为|F1F2|=2c，△PF1F2的周长为6，所

以2a+2c=6，又因为椭圆的离心率为12，所以12ca=，解得a=2，c=1．所以3b=，E的方程为13422=+yx．（2）依题意，直线PQ与x轴不重合，故可设直线PQ的方程为x=my+1，由221431xyxmy+==+，消去x得：（3m2+4）y2+6my-9=0，设P

（x1，y1），Q（x2，y2）则有△＞0且121222693434myyyymm+=−=−++，．设四边形PMNQ的面积和△PQT面积的分别为S1，S2，则S1=3S2，又因为()()1121212Stxtxyy=−+−−，S2=()12112tyy−−．所以(

)()()121212113122txtxyytyy−+−−=−−，即3（t-1）=2t-（x1+x2），得t=3-（x1+x2），又x1=my1+1，x2=my2+1，于是t=3-（my1+my2+2）=1-m（y1+y2），所以226134

mtm=++，由t＞2得2261234mm＞++，解得243m＞，设直线PQ的斜率为k，则mk1=，所以2304k＜＜，解得330022kk＜＜或＜＜−，所以直线PQ斜率的取值范围是330022−，，．10．【山东省威海市201

9届高三二模考试】在直角坐标系xOy中，设椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左焦点为1F,短轴的两个端点分别为,AB，且160AFB=，点1(3,)2在C上.(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)若直线:(0)lykxmk=+与椭圆C和圆O分别相切于P

,Q两点，当OPQ面积取得最大值时，求直线l的方程.【答案】(Ⅰ)2214xy+=.(Ⅱ)5yx=.【解析】(Ⅰ)由160AFB=，可得2ab=，①由椭圆C经过点1(3,)2，得2231144bb+=，②由①②得224,1ab==，所以椭圆C的方程为2214xy+=．(Ⅱ)由2214xy

ykxm+==+消去y整理得()222148440kxkmxm+++−=（*），由直线l与椭圆相切得，()()222264161140kmmk=−−+=，整理得2241mk=+，故方程（*）化为2228160mxkmxk++=，即2(4)0mxk+=，解得4kxm−=，设

()11,Pxy，则124414kmkxkm−−==+，故111ykxmm=+=，因此41(,)kPmm−．又直线:(0)lykxmk=+与圆O相切，可得2||||1mOQk=+．所以222222161||||||1k

mPQOPOQmk+=−=−+，所以2222211161||||||2211OPQkmmSPQOQmkk+==−++，将2241mk=+式代入上式可得2222224141411612111OPQkSkkkkk+=−+++++22222214(41)34(1)3414

2111kkkkkk+−+−−++=++22222192141(41)(1)kkkkk++=++21321kk=+3112kk=+，由0k得12kk+，所以313124OPQSkk=+，当且仅当1k=时等号成立，即1k=时

OPQS取得最大值．由22415mk=+=，得5m=，所以直线l的方程为5yx=．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com