【文档说明】陕西省宝鸡市渭滨中学2021届高三上学期月考（三）理科数学试卷【精准解析】.doc，共(16)页，1.180 MB，由小赞的店铺上传

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宝鸡市渭滨中学2021届高三月考（三）数学（理科）试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知全集2,-20,{1}URAxxxBxx===∣∣，则()UAB=ð（）A.(0,)+B.(,1)−C.(,2)−D.(0,1)【

答案】C【解析】【分析】先确定集合|02Axx=，再确定1UBxx=ð，最后根据交集定义运算得出结果．【详解】因为2|20|02=−=Axxxxx，而1Bxx=，且U=R，所以1UBxx=ð，即|2

UABxx=ð.故选：C．【点睛】本题主要考查了集合间并集，补集的混合运算，涉及一元二次方程的解法，并集和补集的定义，属于基础题．2.已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（）A.

1B.–1C.2D.–2【答案】C【解析】【分析】根据复数为实数列式求解即可.【详解】因为(1)(2)aai−+−为实数，所以202aa−==，，故选：C【点睛】本题考查复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.3.设abR，，则“4ab+”是“1a且3b”的（）A.充

分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B【解析】显然“1a且3b”成立时，“4ab+”一定会成立，所以是必要条件．当4,2ab时，“4ab+”成立，但“1a

且3b”不成立，所以不是充分条件．选B.4.若函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的图象可能（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据导数与函数单调性的关系，判断函数的单调性即可.【详解】由当()0fx时，函数()fx单调递减，当()0fx时，函数

()fx单调递增，则由导函数()yfx=的图象可知：()fx先单调递减，再单调递增，然后单调递减，排除,AD，且两个拐点（即函数的极值点）在x轴上的右侧，排除B.故选：C.【点睛】本题主要考查的是导数与函数的单调性，熟练掌握函数的导数与函数单调性的关系是解题的关键，是基础题.5.已知函数

1,0()0,01,0xfxxx==−，设2()()Fxxfx=，则()Fx是（）A.奇函数，在(,)−+上单调递减B.奇函数，在(,)−+上单调递增C.偶函数，在(,0)−上递减，在(0,)+上递增D.

偶函数，在(,0)−上递增，在(0,)+上递减【答案】B【解析】【分析】由()()fxfx−=−可知()fx为奇函数,利用奇偶函数的概念即可判断设2()()Fxxfx=的奇偶性,从而得到答案.【详解】解：1,01,0()0,00,0()1,01,0xxfxxx

fxxx−−===−==−−()fx为奇函数,又2()()Fxxfx=22()()()()()FxxfxxfxFx−=−−=−=−()Fx是奇函数,可排除C,D.又222,0()()0,0,0xxFxxfxxxx

===−()Fx在(,)−+上单调递增.故选B【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性,着重考查函数奇偶性的定义的应用,属于基础题.6.在ABC中，a=15,b=10,A=60°，则cosB=()A.－223B.22

3C.－63D.63【答案】D【解析】【分析】利用正弦定理即可得到sinB，进而得到结果.【详解】由正弦定理得15103sinsinsinsin332abBABB===，baBA6cos3B=考点：正弦定理解三角形7.已知函数(

)sin3fxx=+．给出下列结论：①()fx的最小正周期为2；②2f是()fx的最大值；③把函数sinyx=的图象上所有点向左平移3个单位长度，可得到函数()yfx=的图象．其中所有正确结论的序号是（）A.①B.①③C.②③D.①②③【答案】B【解析】【分析】

对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.【详解】因为()sin()3fxx=+，所以周期22T==，故①正确；51()sin()sin122362f=+==，故②不正确；将函数sinyx=的图象上所有点向左平移3个单位长度，得到sin

()3yx=+的图象，故③正确.故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.8.设函数()cosπ()6fxx=+在[π,π]−的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（）A.1

0π9B.7π6C.4π3D.3π2【答案】C【解析】【分析】由图可得：函数图象过点4,09−，即可得到4cos096−+=，结合4,09−是函数()fx图象与x轴负半轴的第一个交点即可得

到4962−+=−，即可求得32=，再利用三角函数周期公式即可得解.【详解】由图可得：函数图象过点4,09−，将它代入函数()fx可得：4cos096−+=又4,09−是

函数()fx图象与x轴负半轴的第一个交点，所以4962−+=−，解得：32=所以函数()fx的最小正周期为224332T===故选：C【点睛】本题主要考查了三角函数的性质及转化能力，还考查了三角函数周期公式，属于中档题.9.已知函数()lnln(2)f

xxx=+−，则A.()fx在（0，2）单调递增B.()fx在（0，2）单调递减C.()y=fx的图像关于直线x=1对称D.()y=fx的图像关于点（1，0）对称【答案】C【解析】由题意知，(2)ln(2)l

n()fxxxfx−=−+=，所以()fx的图象关于直线1x=对称，故C正确，D错误；又()ln[(2)]fxxx=−（02x），由复合函数的单调性可知()fx在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A，B错误

，故选C．【名师点睛】如果函数()fx，xD，满足xD，恒有()()faxfbx+=−，那么函数的图象有对称轴2abx+=；如果函数()fx，xD，满足xD，恒有()()faxfbx−

=−+，那么函数()fx的图象有对称中心(,0)2ab+．10.已知向量aba，b满足||5a=，||6b=，6ab=−，则cos,=aab+（）A.3135−B.1935−C.1735D.1935【答案】D【解析】【分析】计算出()aab+、ab+的值，利用平面向量数量积可计算出c

os,aab+的值.【详解】5a=，6b=，6ab=−，()225619aabaab+=+=−=.()22222526367ababaabb+=+=++=−+=，因此，()1919cos,5735aaba

abaab++===+.故选：D.【点睛】本题考查平面向量夹角余弦值的计算，同时也考查了平面向量数量积的计算以及向量模的计算，考查计算能力，属于中等题.11.若函数()lnfxkxx=−在区间()

1,+上单调递增，则实数k的取值范围是（）A.(,2−−B.(,1−−C.)2,+D.)1,+【答案】D【解析】【详解】试题分析：，∵函数()lnfxkxx=−在区间()1,+单调递增，∴在区间()1,+上恒成立．∴，而在区间()

1,+上单调递减，∴．∴的取值范围是)1,+．故选D．考点：利用导数研究函数的单调性.12.已知关于x的不等式210xax−+在区间[1,2]上有解，则实数a的取值范围为（）A.2aB.2aC.52aD.52a【答案】

D【解析】【分析】由题意得分离参数将不等式等价于不等式1axx+在区间[1,2]上有解，设()1fxxx=+，由函数()1fxxx=+在[1,2]上单调递增，可求得实数a的取值范围.【详解】由题意得：关于x的不等式210xax−+在区间[1,2]上有解，等价于不等式1axx+在区间[1,

2]上有解，设()1fxxx=+，则函数()1fxxx=+在[1,2]上单调递增，所以()()(152)2fffx=，所以实数a的取值范围为52a，故选：D.【点睛】方法点睛：对于不等式有解的问题，常常有以下情况：()mfx有解⇔()minmfx，()mfx有解⇔()m

axmfx.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设函数e()xfxxa=+．若(1)4ef=，则a=_________．【答案】1【解析】【分析】由题意首先求得导函数的解析式，然后得到关于实数a的方程，解方

程即可确定实数a的值【详解】由函数的解析式可得：()()()()()221xxxexaeexafxxaxa+−+−==++，则：()()()()12211111eaaefaa+−==++，据此可得：()241aeea=+，整理可得：2210aa−+=

，解得：1a=.故答案为：1.【点睛】本题主要考查导数的运算法则，导数的计算，方程的数学思想等知识，属于中等题.14.已知2sin()4+=23，则sin2的值是____.【答案】13【解析】【分析】直接按照两角和正弦公

式展开，再平方即得结果.【详解】22221sin()(cossin)(1sin2)4222+=+=+Q121(1sin2)sin2233+==故答案为：13【点睛】本题考查两角和正弦

公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题.15.若()cossinfxxx=−在0，a上是减函数，则a的最大值是___________.【答案】34【解析】【分析】求出导函数()fx，然后解不等式()0fx确定a的范围后可得最大值．【详解】由题意()sincos=−−

fxxx，()sincos0=−−≤fxxx，sincos0xx+，22sincos022xx+，sin04x+，22,4kxkkZ++，322,44kxkkZ−+，∴3(0,]4a，a的最大值为

34．故答案为：34【点睛】本题考查用导数研究函数的单调性，考查两角和与差的正弦公式，考查正弦函数的性质，根据导数与单调性的关系列不等式求解即可．16.若函数2()ln(2)fxxaxax=+−+在12x=处取得极大值，则正数a的取值范围是_____．【

答案】()0,2【解析】【分析】先求函数的导数，然后对a的范围进行讨论，使得'1()2f的左侧对应的值大于零，右侧对应的值小于零，即可求出实数a的取值范围.【详解】()fx的定义域是（0，+∞），'1(21)(1)()2(2

)xaxfxaxaxx−−=+−+=，①当0＜a＜2时，12＜1a，令'()0fx，解得：x＜12或x＞1a，令'()0fx，解得：12＜x＜1a，∴()fx在（0，12）递增，在（12，1a）递减，在（

1a，+∞）递增，∴函数()fx在x=12处取得极大值，符合题意，②a＝2时，f′（x）≥0，()fx递增，无极值，③a＞2时，12＞1a，令'()0fx，解得：x＞12或x＜1a，令'()0fx，解得：1a＜x＜12，∴()fx在（0，1a）递增，在（1a，12）递减

，在（12，+∞）递增，∴函数()fx在x＝1a处取得极大值，在12x=处取得极小值，不符合题意，综上，a∈（0，2），故答案为：（0，2）．【点睛】该题考查利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的极值时，要注意导函数()'fx在0xx=时存在极值，则()'00fx=

，且0x两侧的导函数异号，学生往往忽视验证两侧的导数是否异号，是难题.三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知a是实数，函数()24xaxfxx++=是奇函数，求()fx在(0,)+上的最小值及取得最小值时x的值；【答案】2x=，()4minfx=【

解析】【分析】根据函数的奇偶性求出参数，再根据对勾函数的单调性，求解最小值.【详解】因为()24xaxfxx++=是奇函数，故()()110ff+−=即：()14140aa++−−+=，解得0a=，故(

)244xfxxxx+==+为对勾函数，故()424minfxxx==，当且仅当4xx=，即2x=时取得最小值.故()fx得最小值为4，当2x=时取得.【点睛】本题考查由函数奇偶性求参数值，以及求对勾函数的最值.18.在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc．已知22,5,13ab

c===．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）求sinA的值；（Ⅲ）求sin24A+的值．【答案】（Ⅰ）4C=；（Ⅱ）213sin13A=；（Ⅲ）172sin2426A+=.【解析

】【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；（Ⅲ）先计算出sin,cos,AA进一步求出sin2,cos2AA，再利用两角和的正弦公式计算即可.【详解】（Ⅰ）在ABC中，由

22,5,13abc===及余弦定理得222825132cos222225abcCab+−+−===，又因为(0,)C，所以4C=；（Ⅱ）在ABC中，由4C=，22,13ac==及正弦定理

，可得222sin2sin13aCAc===21313；（Ⅲ）由ac知角A为锐角，由213sin13A=，可得2cos1sinAA=−=31313，进而2125sin22sincos,cos22cos11313AAAAA===−=，所以12

252sin(2)sin2coscos2sin444132132AAA+=+=+=17226.【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.19.

已知na为等差数列，前n项和为()*111,1,66nSnNaS==.（1）求na的通项公式及前n项和nS；（2）若12nnbS=，求数列nb的前n项和nT.【答案】（1）nan=，(1)2nnnS+=；（2）1nnTn=+.【解析】【

分析】（1）设数列na的公差为d，由11611Sa=，求得公差d，可求得na的通项公式及前n项和nS；（2）由（1）得11112(1)1nnbSnnnn===−++，即可求得nT.【详解】（1）设数列na的公差为d，由1161166Sa==，得66a=，则51161aad−==−，所

以1(1)naandn=+−=，(1)2nnnS+=；（2）由（1）得11112(1)1nnbSnnnn===−++，所以111111111122334111nnTnnnn=−+−+−++−=−=+++.【点睛】数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列

的求和公式求和.（2）错位相减法：若na是等差数列，nb是等比数列，求1122nnababab++.（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有()11

111nnnn=−++，()1111222nnnn=−++，()()1111212122121nnnn=−−+−+等.（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和.（5）倒序相加法.20.ABC中，sin2

A－sin2B－sin2C=sinBsinC.（1）求A；（2）若BC=3，求ABC周长的最大值.【答案】（1）23；（2）323+.【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，配凑出cosA的形式，进而求得A；（2）利用余弦定

理可得到()29ACABACAB+−=，利用基本不等式可求得ACAB+的最大值，进而得到结果.【详解】（1）由正弦定理可得：222BCACABACAB−−=，2221cos22ACABBCAACAB+−==−，()0,A

，23A=.（2）由余弦定理得：222222cos9BCACABACABAACABACAB=+−=++=，即()29ACABACAB+−=.22ACABACAB+（当且仅当ACAB=时取等号），()()()22223924ACABACABACABACABACAB+

=+−+−=+，解得：23ACAB+（当且仅当ACAB=时取等号），ABC周长323LACABBC=+++，ABC周长的最大值为323+.【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求

解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.21.某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S中%x（0100x）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间

为()30030180029030100xfxxxx=+−，，（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x在什么范围内时，公交群

体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S的人均通勤时间()gx的表达式；讨论()gx的单调性，并说明其实际意义．【答案】(1)()45100x，时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析.【解析】【分析】（1）由题意知求出f（x）＞40

时x的取值范围即可；（2）分段求出g（x）的解析式，判断g（x）的单调性，再说明其实际意义．【详解】（1）由题意知，当30100x时，()180029040fxxx=+−，即2659000xx−+，解得20x或45x，∴()45100x，时，公交群体

的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当030x时，()()30%401%4010xgxxx=+−=−；当30100x时，()()218013290%401%585010xgxxxxxx=+−+−=−+；∴()2401013585010xgxxx−

=−+；当032.5x时，()gx单调递减；当32.5100x时，()gx单调递增；说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增

的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【点睛】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．22.设函数()2ln2xfxkx=−，0k．（1）求()fx的单调区间和极值；（2）证明：若()fx存在零点，则()fx在区间(1,e

上仅有一个零点．【答案】（1）单调递减区间是()0,k，单调递增区间是(),k+；极小值()()1ln2kkfk−=；（2）证明详见解析.【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化

能力、计算能力.（Ⅰ）先对()fx求导，令()0fx=解出x，将函数的定义域断开，列表，分析函数的单调性，所以由表格知当xk=时，函数取得极小值，同时也是最小值；（Ⅱ）利用第一问的表，知()fk为函数的

最小值，如果函数有零点，只需最小值(1ln)02kk−，从而解出ke，下面再分情况分析函数有几个零点.试题解析：（Ⅰ）由()2ln2xfxkx=−，（0k）得2()kxkfxxxx−=−=.由()0fx=解

得xk=.()fx与()fx在区间(0,)+上的情况如下：所以，()fx的单调递减区间是(0,)k，单调递增区间是(,)k+；()fx在xk=处取得极小值(1ln)()2kkfk−=.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()fx在区间(0,)+上的最小值为(1ln)()2kkfk−=.因为()fx存在零点，

所以(1ln)02kk−，从而ke.当ke=时，()fx在区间(1,)e上单调递减，且()0fe=，所以xe=是()fx在区间(1,]e上的唯一零点.当ke时，()fx在区间(0,)e上单调递减，且1(1)02f=，()02ekfe−=，所以()fx在区间

(1,]e上仅有一个零点.综上可知，若()fx存在零点，则()fx在区间(1,]e上仅有一个零点.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值、函数零点问题.