【文档说明】上海市杨浦区控江中学2021届高三数学三模试卷 含解析.doc，共(15)页，695.000 KB，由小赞的店铺上传

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2021年上海市杨浦区控江中学高考数学三模试卷一、填空题（共12小题）.1．函数f（x）＝x的定义域为．2．若一个圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为．3．已知各项为正的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5+a7﹣a62＝0，则S11＝．4．幂函数y

＝（m∈N）在区间（0，+∞）上是减函数，则m＝．5．已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于．6．若复数（1+ai）（2﹣i）在复平面上所对应的点在直线y＝x上，则实数a＝．7．若x、y满足|x|≤y

+1，且y≤1，则x+3y的最大值为．8．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣5x，则不等式f（x）﹣f（x﹣1）＜0的解集为．9．若数列{an}的通项公式是an＝，n＝1，2，…，则（a1+a

2+…+an）＝10．甲乙两人分别掷两颗骰子与一颗骰子，设甲的两颗骰子的点数分别为a与b，乙的骰子点数为c．则掷出的点数满足a⋅b＝c的概率为.（用最简分数表示）11．已知a是实数，在（1+ax）8的二

项展开式中，第k+1项的系数为，（k＝0，1，2，3，⋯，8），若c1＞c2＞c3＞⋯＞c9，则a的取值范围为．12．设正四面体P1P2P3P4在空间直角坐标系中点Pi的坐标为（xi，yi，zi）（i＝1，2，3，4）

，集合A＝{y|存在i∈{1，2，3，4}，使得y＝yi}，则集合A的元素个数可能为种（写出所有可能的值）二、选择题（共4小题）.13．方程在区间[﹣2π，2π）上的解的个数是（）A．4B．6C．8D．914．已知

直线l平行于平面α，平面β垂直于平面α，则以下关于直线l与平面β的位置关系的表述，正确的是（）A．l与β垂直B．l与β无公共点C．l与β至少有一个公共点D．在β内，l与β平行，l与β相交都有可能15．设三角形ABC是位于平面直角坐标系

xOy的第一象限中的一个不等边三角形，该平面上的动点P满足：|PA|2+|PB|2+|PC|2＝|OA|2+|OB|2+|OC|2，已知动点P的轨迹是一个圆，则该圆的圆心位于三角形ABC的（）A．内心B．外心C．重心D．垂心16．已知y＝f（x）与y＝g

（x）皆是定义域、值域均为R的函数，若对任意x∈R，f（x）＜g（x）恒成立，且y＝f（x）与y＝g（x）的反函数y＝f﹣1（x）、y＝g﹣1（x）均存在，命题P：“对任意x∈R，f﹣1（x）＞g﹣1（x）恒成立”，命题Q：“函数y＝f（x

）+g（x）的反函数一定存在”，以下关于这两个命题的真假判断，正确的是（）A．命题P真，命题Q真B．命题P真，命题Q假C．命题P假，命题Q真D．命题P假，命题Q假三、解答题17．如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为1，高为2的圆锥，下部是一个底面半径

为1，高为2的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上底面重合，点P是圆锥的顶点，AB是圆柱下底面的一条直径，AA1、BB1是圆柱的两条母线，C是弧的中点．（1）求异面直线PA1与BC所成的角的大小；（2）

求点B1到平面PAC的距离．18．已知α、λ是实常数，f（x）＝．（1）当λ＝1，α＝时，求函数y＝f（x）的最小正周期、单调增区间与最大值；（2）是否存在λ，使得f（x）是与α有关的常数函数（即f（x）的值与x的取值无关）？若存在，求出所有满足条件的λ

，若不存在，说明理由．19．已知常数a∈R，k∈N*，函数，x∈（0，+∞）．（1）当a＝1，k＝2时，判断函数f（x）在区间[2，+∞）的单调性并证明；（2）当k＝1时，若关于x的方程恰有两个相异实根，求实数a

的取值范围．20．已知常数p＞0，抛物线Γ：y2＝2px的焦点为F．（1）若直线x＝2被Γ截得的弦长为4，求p的值：（2）设E为点F关于原点O的对称点，P为Γ上的动点，求的取值范围；（3）设p＝2，直线l1、l2均过点F，且l1⊥

l2，l1与Γ相交于A、B两点，l2与Γ相交于C、D两点，若AC⊥BC，求四边形ACBD的面积．21．设各项均为整数的无穷数列{an}满足a1＝1，且对所有n∈N*，|an+1﹣an|＝n均成立．（1）求a1+a2+a3的所有可能值；（2）若数列{an}使得无穷数

列a1、a3、a5、⋯、a2n﹣1、⋯是公差为1的等差数列，求数列{an}的通项公式；（3）求证：存在满足条件的数列{an}，使得在该数列中有无穷多项为2021．参考答案一、填空题1．函数f（x）＝x的定义域为（0，+∞）．解：∵y＝＝，使函数有意义只要满足x＞0即可，故函数y＝的定

义域为：（0，+∞）；故答案为：（0，+∞）2．若一个圆锥的轴截面是面积为的等边三角形，则该圆锥的表面积为12π．解：设等边三角形的边长为a，则等边三角形的面积为×a2×sin60°＝a2＝4，解得a＝4，所以该圆锥的底

面圆半径为r＝2，母线长为l＝4，所以圆锥的表面积为S＝S底面+S侧＝π•r2+πrl＝π×22+π×2×4＝12π．故答案为：12π．3．已知各项为正的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a5+a7﹣a62＝0，则S11＝22．解：由a5+a7﹣a62＝0可得：2a6﹣a62＝0

，∵an＞0，∴a6＝2，∴S11＝＝11a6＝22，故答案为：22．4．幂函数y＝（m∈N）在区间（0，+∞）上是减函数，则m＝0．解：由幂函数y＝xm2+2m﹣3在（0，+∞）为减函数，则m2+2m﹣

3＜0，解得﹣3＜m＜1．由于m∈N，则m＝0．故答案为：0．5．已知△ABC的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于．解：可设△ABC的三边分别为a＝3，b＝5，c＝7，由余弦定理可得，cosC＝＝＝﹣，可得sinC＝＝＝，可得该三角形的外接圆半径为＝

＝．故答案为：．6．若复数（1+ai）（2﹣i）在复平面上所对应的点在直线y＝x上，则实数a＝3．解：∵（1+ai）（2﹣i）＝2﹣i+2ai+a＝（a+2）+（2a﹣1）i，∴复数（1+ai）（2﹣i）在复平面上所对应的点的

坐标为（a+2，2a﹣1），则2a﹣1＝a+2，即a＝3．故答案为：3．7．若x、y满足|x|≤y+1，且y≤1，则x+3y的最大值为5．解：由x、y满足|x|≤y+1，且y≤1，画出可行域如图所示，可得A（2，1），则目标函数z＝x+3y在点A（2，1）取得最

大值，代入得x+3y＝5，故x+3y的最大值为5．故答案为：5．8．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝﹣x2﹣5x，则不等式f（x）﹣f（x﹣1）＜0的解集为（﹣2，3）．解：根据题

意，设x＞0，则﹣x＜0，所以f（﹣x）＝﹣x2+5x．因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（﹣x）＝﹣x2+5x＝﹣f（x），所以f（x）＝x2﹣5x，所以当x≥0时，f（x）＝x2﹣5x，当x＜0时，f（x）＝﹣

x2﹣5x，则f（x）的图象如图：在区间（﹣，）上为减函数，若f（x）﹣f（x﹣1）＜0即f（x﹣1）＞f（x），又由x﹣1＜x，必有，解可得：﹣2＜x＜3，即不等式的解集为（﹣2，3）；故答案为：（﹣2，3）．9．若数列{an}的通项公式是an＝，

n＝1，2，…，则（a1+a2+…+an）＝解：an＝，（n＝1，2…）即an＝，∴a1+a2+…+an＝（2﹣1+2﹣3+2﹣5+）+（3﹣2+3﹣4+3﹣6+）．∴（a1+a2+…+an）＝+＝+＝，故答案为：．10．甲乙两人分别掷两

颗骰子与一颗骰子，设甲的两颗骰子的点数分别为a与b，乙的骰子点数为c．则掷出的点数满足a⋅b＝c的概率为.（用最简分数表示）解：甲乙两人分别掷两颗骰子与一颗骰子，基本事件的个数为6×6×6＝216，满

足a⋅b＝c的基本事件有：1×1＝1，1×2＝2，1×3＝3，1×4＝4，1×5＝5，1×6＝6，2×1＝2，3×1＝3，4×1＝4，5×1＝5，6×1＝6，2×2＝4，2×3＝6，3×2＝6，共有14个，所以

掷出的点数满足a⋅b＝c的概率为．故答案为：．11．已知a是实数，在（1+ax）8的二项展开式中，第k+1项的系数为，（k＝0，1，2，3，⋯，8），若c1＞c2＞c3＞⋯＞c9，则a的取值范围为（0，）．解：由已知可得Ck+1＜∁k在k＝0，1，2，....8恒成立，所以C，即a

＝，（k＝0，1，2，....8），又当k＝1时，，所以0＜a＜，故答案为：（0，）．12．设正四面体P1P2P3P4在空间直角坐标系中点Pi的坐标为（xi，yi，zi）（i＝1，2，3，4），集合A

＝{y|存在i∈{1，2，3，4}，使得y＝yi}，则集合A的元素个数可能为2、3或4种（写出所有可能的值）解：正四面体P1P2P3P4在空间直角坐标系中的纵坐标最多有四个不同的值，若集合A中只有一个元素，则P1P2P3P4在同一个垂

直于y轴的平面内，故不可能，当正四面体P1P2P3P4的底面在坐标平面xoz内时，集合A中有2个元素，改变正四面体P1P2P3P4在空间直角坐标系放置，可知集合A中也可能有3或4个元素，故答案为：2、3或4．二、选择题13．方程在区间[﹣2π，2π）上的解的个数是（）A．4B．6C．8D．

9解：求方程在区间[﹣2π，2π）上的解；则有：sin（2x+）＝，即：2x+＝+2kπ，k∈Z，或2x+＝+2kπ，k∈Z，所以：x＝kπ，k∈Z，或x＝+kπ，k∈Z，当x在区间[﹣2π，2π）上时．讨论k∈Z的

值即可：x为：﹣2π，﹣，﹣π，﹣，0，，π，，共8个，故选：C．14．已知直线l平行于平面α，平面β垂直于平面α，则以下关于直线l与平面β的位置关系的表述，正确的是（）A．l与β垂直B．l与β无公共点C．l与β至少有一个公共点D．在β内，l与β平行，l与β

相交都有可能解：如图，α⊥β，且α∩β＝a，当l∥a时，l∥β或l⊂β，l与β也可能相交，故直线l与平面β的位置关系是在β内，l与β平行，l与β相交都有可能．故选：D．15．设三角形ABC是位于平面直角坐标系xOy的第一象限中的一个不等边三角形，该平

面上的动点P满足：|PA|2+|PB|2+|PC|2＝|OA|2+|OB|2+|OC|2，已知动点P的轨迹是一个圆，则该圆的圆心位于三角形ABC的（）A．内心B．外心C．重心D．垂心解：设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，

y3），由|PA|2+|PB|2+|PC|2＝|OA|2+|OB|2+|OC|2，得＝，展开整理，则3x2+3y2﹣2（x1+x2+x3）x﹣2（y1+y2+y3）y＝0．∴＝．∴圆的圆心坐标为（，），位于三角形A

BC的重心．故选：C．16．已知y＝f（x）与y＝g（x）皆是定义域、值域均为R的函数，若对任意x∈R，f（x）＜g（x）恒成立，且y＝f（x）与y＝g（x）的反函数y＝f﹣1（x）、y＝g﹣1（x）均存在，命题P：“对任意x∈R，f﹣1（x）＞g﹣1（x）恒成立”，命

题Q：“函数y＝f（x）+g（x）的反函数一定存在”，以下关于这两个命题的真假判断，正确的是（）A．命题P真，命题Q真B．命题P真，命题Q假C．命题P假，命题Q真D．命题P假，命题Q假解：已知y＝f（x）与y＝g（x）皆是定义域、值域均为R的函数，若对任意

x∈R，f（x）＜g（x）恒成立，且y＝f（x）与y＝g（x）的反函数y＝f﹣1（x）、y＝g﹣1（x）均存在，则函数设y＝f（x）的图象在y＝g（x）图象的下方，由图象均关于y＝x直线对称，其反函数y＝f﹣1（x）、y＝g﹣1（x）均存在，命

题p：对任意x∈R，f（x）＜g（x）恒成立，f﹣1（x）＞g﹣1（x）不一定恒成立”由图象关于y＝x直线对称可知p是错误的．命题Q：因为对任意x∈R，f（x）＜g（x）恒成立，所以f（x）+g（x）＜2g（x

），因为y＝g（x）的反函数y＝g﹣1（x）存在，y＝2g（x）的反函数也存在，其图象存在，“函数y＝f（x）+g（x）的反函数一定存在”Q正确的．故选：C．三、解答题17．如图，空间几何体由两部分构成，上部是一个底面半径为1，高为2的圆锥，下部是一个底面半

径为1，高为2的圆柱，圆锥和圆柱的轴在同一直线上，圆锥的下底面与圆柱的上底面重合，点P是圆锥的顶点，AB是圆柱下底面的一条直径，AA1、BB1是圆柱的两条母线，C是弧的中点．（1）求异面直线PA1与BC所成的角的大小；（2）求点B1到平面P

AC的距离．解：（1）由题意以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则P（0，0，4），A1（0，﹣1，2），B（0，1，0），C（1，0，0），＝（0，﹣1，﹣2），＝（1，﹣1，0），cos＜，＞＝

＝＝．∴异面直线PA1与BC所成的角的大小为．（2）B1（0，1，2），A（0，﹣1，0），＝（0，1，﹣2），＝（0，﹣1，﹣4），＝（1，0，﹣4），设平面PAC的法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（4，

﹣4，1），∴点B1到平面PAC的距离为：d＝＝＝．18．已知α、λ是实常数，f（x）＝．（1）当λ＝1，α＝时，求函数y＝f（x）的最小正周期、单调增区间与最大值；（2）是否存在λ，使得f（x）是与α有关的常

数函数（即f（x）的值与x的取值无关）？若存在，求出所有满足条件的λ，若不存在，说明理由．解：f（x）＝||＝λcos2x﹣（sin2xcos2α﹣cos2xsin2α）＝（λ+sin2α）cos2x﹣cos2＝，（1）当λ＝1，α＝时，f（x）＝cos2x+，∴f（x）的周期T＝，当从c

os2x＝1时，最大值为，由﹣π+2kπ≤2x≤2kπ（k∈Z），得﹣+kπ≤x≤kπ（k∈Z），∴f（x）的单调增区间为[﹣]（k∈Z），（2）∵f（x）＝，显然当＝0，即λ＝﹣1时，f（x）的值与x的取值无关，∴存在λ＝﹣1，使

得f（x）是与α有关的常数函数．19．已知常数a∈R，k∈N*，函数，x∈（0，+∞）．（1）当a＝1，k＝2时，判断函数f（x）在区间[2，+∞）的单调性并证明；（2）当k＝1时，若关于x的方程恰有两个相异实根，求实数a的取值范围．解：（1）当a＝1，k＝2时，f（x）＝x﹣1+，x∈[

2，+∞），f（x）在区间[2，+∞）上单调递增，证明如下：f′（x）＝1﹣，当x≥2时，f′（x）＞0，所以函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增的．（2）当k＝1时，f（x）＝ax﹣1+＝，＝lg（3x﹣4）（）＝lg1＝0，所以＝0，即ax2﹣x+1＝0，x

＞，所以由题意可得ax2﹣x+1＝0在（，+∞）上有两个相异实根，所以，解得＜a＜．即实数a的取值范围是．20．已知常数p＞0，抛物线Γ：y2＝2px的焦点为F．（1）若直线x＝2被Γ截得的弦长为4，求p的值：（2）设E为点F关于原点O的对称点，P为Γ上的动点，求

的取值范围；（3）设p＝2，直线l1、l2均过点F，且l1⊥l2，l1与Γ相交于A、B两点，l2与Γ相交于C、D两点，若AC⊥BC，求四边形ACBD的面积．解：（1）由x＝2，得y＝±2，因为直线x＝2被Γ截得的弦长为

4，所以2×2＝4，解得p＝1．（2）E点是F（，0）关于原点O对称点，则E（﹣，0），设过点E的直线y＝k（x+），k＝tanα（0≤α＜π），联立抛物线方程得k2x2+（k2p﹣2p）x+＝0，由直线与

抛物线相切，得△＝（k2p﹣2p）2﹣k4p2＝0，k＝±1，过点E作x轴的垂线，则该垂线为抛物线y2＝2px的准线，过点P作准线的垂线，垂足为D，由抛物线的对称性，不妨取k＝1可得切线的倾斜角为，则取α∈[0，]，由抛物

线的定义，可得＝＝＝，因为α∈[0，]，所以≤cosα≤1，即1≤≤，所以的取值范围为[1，]．（3）由题知抛物线y2＝4x，焦点F（1，0），且直线l1，l2的斜率都存在且不为0，所以直线l1的方程可设为y＝k（x﹣1），因为l1⊥l2，则直线l2的方程为y＝﹣（

x﹣1），设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），由，得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，所以x1+x2＝，x1x2＝1，所以|AB|＝|x2﹣x1|＝＝，同理，可得|CD|＝4+4k2，因为AC⊥BC，l1⊥l2，所以AB⊥CF，则Rt

△AFC∽Rt△CFB，所以＝，所以|CF|2＝|AF||BF|，由抛物线的定义知，|CF|＝x3+1，|AF|＝x1+1，|BF|＝x2+1，所以（x3+1）2＝（x1+1）（x2+1），即x3+1＝，所以x3＝，代入l2的方程，得y3＝﹣（﹣2），因为C（x3，y3）在y2＝

4x上，所以（+4﹣4+4）＝4（﹣1），化简得（1+k2）＝（）2，解得k2＝，故四边形ABCD的面积为|AB||CD|＝|||4+4k2|＝8×＝．21．设各项均为整数的无穷数列{an}满足a1＝1，且对所有n∈N*，|an+1﹣an|＝n均成立

．（1）求a1+a2+a3的所有可能值；（2）若数列{an}使得无穷数列a1、a3、a5、⋯、a2n﹣1、⋯是公差为1的等差数列，求数列{an}的通项公式；（3）求证：存在满足条件的数列{an}，使得在该

数列中有无穷多项为2021．解：（1）∵a1＝1，|a2﹣a1|＝1，∴a2＝0或a2＝2，又|a3﹣a2|＝2，∴当a2＝0时，a3＝2或a3＝﹣2，当a2＝2时，a3＝4或a3＝0，∴a1+a2+a3的所有可能取值为﹣

1，3，7；（2）证明：∵a1、a3、a5、⋯、a2n﹣1、⋯是公差为1的等差数列，∴a2n﹣1＝n，∴n为奇数时，，n为偶数时，由，得，∴，∴；（3）证明：由（2）可知，存在a1、a3、a5、⋯、a2n﹣1、⋯是公差为1的等差数列，

∴在该数列中，有a4041＝2021，记i＝4041，令ai+1﹣ai＝i，ai+2﹣ai+1＝﹣（i+1），ai+3﹣ai+2＝﹣（i+2），ai+4﹣ai+3＝i+3，则ai+4﹣ai＝i﹣（i+1）﹣（i+2）+i+3＝0，∴ai+4＝a

i＝2021，同理ai+8＝ai+4＝2021，∴存在满足条件的数列{an}，使得在该数列中有无穷多项为2021，∴得证．