【文档说明】重庆市杨家坪中学2021届高三下学期第二次月考数学试题 含答案.docx，共(14)页，910.657 KB，由小赞的店铺上传

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杨家坪中学2020-2021学年度高三（下）月考数学试题第I卷（选择题）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合{2,3,1}A=−，集合2{3,}Bm=．若BA，则实数m的取值集合为（）A．{1}B．3C．{1,1}−D．{3,3

}2．已知复数z满足1izi=−(i为虚数单位），则z在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．某海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A必须排在前三

位，且任务E､F必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（）A．240种B．188种C．156种D．120种4．已知两条不同的直线lm，和不重合的两个平面,，且l⊥，有下面四个命题：①若m⊥，则//lm；②若//，则la⊥；③若⊥，则//l

；④若lm⊥，则//m．其中真命题的序号是（）A．①②B．②③C．②③④D．①④5．我国天文学和数学著作《周髀算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气的晷长损益相同(晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测量影子的长度).二十四节气及晷长变化如图所示

，相邻两个节气晷长减少或增加的量相同，周而复始.已知每年冬至的晷长为一丈三尺五寸，夏至的晷长为一尺五寸(一丈等于十尺，一尺等于十寸)，则下列说法不正确的是（）A．小寒比大寒的晷长长一尺B．小雪的晷长为一丈五寸C．春分和秋分两个节气的晷长相同D．立春的晷长比立秋的晷长长6．若两个非零向量a、b满

足||||2||ababa+=−=，则ab−与b的夹角为（）A．6B．3C．23D．567．设F1,F2分别为双曲线()222210,0xyabab－＝的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点,若212PFPF｜｜｜｜的最小值为8a，则该双曲线的离心率的取值范围是()

A．（1，3]B．（1，3）C．（1，3]D．[3，3）8．已知函数2(1),0()43,0xexfxxxx+=+−，函数()yfxa=−有四个不同的零点，从小到大依次为1x，2x，3x，4x，则1234xxxx+的

取值范围为（）A．(4,5]B．[4,5)C．[4,)+D．(,4]−二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。每小题至少有两个正确的选项，全部选对得5分，部分选对得2分）9．若a，b，Rc，则下列说法正确的是（）A．若0ab，则2abba

+B．若ab，则22acbcC．若ab，则22abD．若ab，则11ba10．某校计划在课外活动中新增攀岩项目，为了解学生喜欢攀岩和性别是否有关，面向学生开展了一次随机调查，其中参加调查的男女生人数相同，并绘制如下等高条形图，则（）参考公式：22()

()()()()nadbcKabcdacbd−=++++，nabcd=+++.A．参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多B．参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数多C．若参与调查的男女生人数均为

100人，则有99%的把握认为喜欢攀岩和性别有关D．无论参与调查的男女生人数为多少，都有99%的把握认为喜欢攀岩和性别有关11.双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布﹒伯努利用来描述他所发现的曲线.在

平面直角坐标系xOy中，把到定点()1,0Fa−，()2,0Fa距离之积等于()20aa的点的轨迹称为双纽线C.已知点()00,Pxy是双纽线C上一点，下列说法中正确的有（）A．双纽线C关于x轴对称B．022aay−C．双纽线C上满足12PFPF=的点P有两个D．PO的最大值为2

a12．已知函数12()logfxxx=+，2cos2,0()()20axxgxaRxax+=+，，若对任意)12,x+，总存在2xR，使12()()fxgx=，则实数a的值可以是（）A．12−B．72C．1D．2第II卷（非选择题）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共2

0分）13．若()()202122021012202112xaaxaxaxxR−=++++，则20211222021222aaa+++的值为________14．随机变量~(2)XBp，，2~(2)YN，，若(1)0.64PX=，(02)

PYp=，则(4)PY=________.15.设函数()fx的定义域为R，且对任意实数x恒有：①()()0fxfx−−=，②)1()1(xfxf−=+③当[1,0]x−时，2()fxx=，若xxfxgalog)()(−=在(0,)x

+上恰有三个零点，则a的取值范围为_______．16．如图：正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，M，N分别为棱AB，BC的中点，则二面角1BMNB−−的余弦值为__________；若点P为线段1BN上的动点(不包括端点)，设异面直线1CP与MN所成角为

，则cos的取值范围是________.四、解答题（本题共6小题，其中17题10分，其它每题12分，共70分）17.在①184nnaan−−=−；②112(11)nnnnaaaa++−=+++；③1(1)(1)(41)nnnanan++=+++（2n）三个条件中任选一个，补充在下面问题中，

并求解．已知数列{}na中，13a=，__________．（1）求na；（2）若数列na1的前n项和为nT，证明：2131nT18．近年来，共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚．某公司计划对未开通共享单

车的A县城进行车辆投放，为了确定车辆投放量，对过去在其他县城的投放量情况以及年使用人次进行了统计，得到了投放量x（单位：千辆）与年使用人次y（单位：千次）的数据如下表所示，根据数据绘制投放量x与年使用人次y的散点图如图所示．（1）观察散点图，可知两个变量不具有线性相关关系，拟用对数函数模

型lg=+yabx或指数函数模型(0,0)=xycdcd对两个变量的关系进行拟合，请问哪个模型更适宜作为投放量x与年使用人次y的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由），并求出y关于x的回归方程；（2）已知每辆单车的购入成本为200元，年调度费以及维修等的使用成本为每人次0.2元，

按用户每使用一次，收费1元计算，若投入8000辆单车，则几年后可实现盈利？x1234567y611213466101196参考数据：其中lgiivy=，117niivv==．参考公式：对于一组数据()11,yx，()22,yx，…()nnyx,，其回归直线ˆˆa

ybx=−的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为121()()()niiiniixxyybxx==−−=−．19．已知函数()()sincos0fxxmx=−的最大值为2，且()fx的最小正周期为．（1）若0,2x，求(

)fx的最小值和最大值；（2）设ABC的内角A、B、C的对应边分别为a、b、c，D为AC的中点，若am=，372BD=，02Bf=，求ABC的面积ABCS．20．如图，已知三棱柱111ABCABC−，平面11AACC⊥平面ABC,90ABC=，1130

,,,BACAAACACEF===分别是11,ACAB的中点.（1）证明：EFBC⊥；（2）求直线EF与平面1ABC所成角的余弦值.21．设椭圆()22122:10xyCabab+=的左顶点A在抛物线22:8Cyx=的准线上，椭圆的离

心率为12e=；（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知()4,0N，过点N作斜率为(0)kk的直线l与椭圆交于,AB不同两点，线段AB的中垂线为l，记l的纵截距为m，求m的取值范围.22．已知函数()axfxex=−.（1）若曲线()yfx=在点()()0,0f处切线的斜率为1

，求()fx的单调区间；（2）若不等式()2lnaxfxexax−对(0,xe恒成立，求a的取值范围.参考答案1．C2．C3．D4．A5．B6．D7．A设双曲线方程为()222210,0xyabab－＝，那么焦点坐标()()12,0,,0FcFc−，根据双曲

线定义122PFPFa=+，令2PFm=，则12PFma=+，根据基本不等式化简，()2222122222448aPFPFaPFaaPFPFPF+==++｜｜｜｜,当且仅当24amm=时能取到最小值8a，即2,maP=

为双曲线右支上任一点，2PFm=的最小值是ca−，所以22PFmaca==−，所以3cea=„,又因为1e，所以该双曲线的离心率的取值范围是(1,3,故选A.8.B详解：当x＞0时，f（x）=431xx+−，可得f（x）在x＞2递增，在0＜x＜

2处递减，由f（x）=e(x+1)2，x≤0，x＜-1时，f（x）递减；-1＜x＜0时，f（x）递增，可得x=-1处取得极小值1，作出f（x）的图象，以及直线y=a，可得e(x1+1)2=e(x2+1)2=34344433xxxx+−=+−，即有x1+1+x2

+1=0，可得x1=-2-x2，-1＜x2≤0，()34344334444xxxxxxxx−−=−=可得x3x4=4，x1x2+x3x4=4-2x2-x22=-（x2+1）2+5，在-1＜x2≤0递减，可得所求范围为[4，5）．故选B

.9．AC对于A，若0ab，则a，b同正、同负所以22ababbaba+=，故A正确；10．AC11．ABD对A，设动点(),Cxy，由题意可得C的轨迹方程为()()22222xayxaya−+++=把(),xy关于x轴对称的点(),xy−代入轨迹方

程，显然成立，故A正确；对B，因为()00,Pxy，故12121212011sin22PFFSPFPFFPFFFy==．又212PFPFa=，所以2120sin2aFPFay=，即012sin22aayFPF=，故022aay−．故B正确；对C，若12PFPF

=，则()00,Pxy在12FF的中垂线即y轴上．故此时00x=，代入()()22222xayxaya−+++=，可得00y=，即()0,0P，仅有一个，故C错误；对D，因为12POFPOF+=，故12coscos0

POFPOF+=，222222112212022OPOFPFOPOFPFOPOFOPOF+−+−+=，因为12OFOFa==，212PFPFa=，故22221222OPaPFPF+=+．即()2221212222OPaPFPFPFPF+=−+，所以()2212

2OPPFPF=−．又12122PFPFFFa−=，当且仅当P，1F，2F共线时取等号．故()222122(2)OPPFPFa=−，即222OPa，解得2OPa，故D正确．故选：ABD.12．ACD1()1ln2fxx=−+

，对任意)2,x+，()0fx，则()fx在)2,+上单调递增，所以()fx在)2,+上的值域是)1,+，由题意可得)1,+是()gx的值域A的子集，当0a=时()gx的值域是(0,)+，符合题意；当0x时，函数2()2gxxa=+

为减函数，则此时()2gxa，当0x时，函数()cos22,2gxaxaa=+−+，①当21a时，即12a时，满足条件)1,A+，②当12a时，此时21a，要使)1,A+

成立，则2221aaa+−+，解得12a，综上可得实数a的取值范围是12a或12a．故选：ACD．13．-114．0.115.(3,5)16.13102,102由正方体的性质知，1BB⊥平面ABCD，设二

面角1BMNB−−为，则111112cos133222BMNBMNSS===，二面角1BMNB−−的余弦值为13．连接11AC，1AP，11////MNACAC，11ACP=或其补角，设115BPBN==，(0,1)

，在△11ACP中，1122AC=，2154AP=+，21544CP=−+，由余弦定理知，222111121112cos22544ACCPAPACCP+−−==−+，令2t=−，则(1,2)t，2

21cos161625161625ttttt==−+−+，在(1,2)t上单调递增，11cos252584−+，10cos(10，2)2．故答案为：13；10(10，2)2．17.【解析】（

1）选①：由184nnaan−−=−（2n）可得：当2n时，112211()()()nnnnnaaaaaaaa−−−=−+−++−+(84)(812)123nn=−+−+++[(84)12](1)32nn−+−

=+241n=−，当1n=时，13a=，符合241=−nan，所以当*nN时，241=−nan；选②：由112(11)nnnnaaaa++−=+++，13a=可得11(1)(1)211nnnnaaaa++−−−=+++，即1112n

naa++−+=，又112a+=，所以1na+是首项为2，公差为2的等差数列，所以12nan+=，所以241=−nan；选③：由1(1)(1)(41)nnnanan++=+++可得11411++++=+nnaannn，即11141+++−=+nnaa

nn，又1141+=a，所以1nan+是首项为4，公差为4的等差数列，所以14+=nann，所以241=−nan；（2）证明：由（1）得2111114122121nannn==−−−+，所以1111111213352121nTnn=

−+−++−−+111221n=−+11242n=−+，因为1042n+，所以12nT，又因为11242nTn=−+随着n的增大而增大，所以113nTT=，综上1132nT．18．（1）由散点图判断，xycd=适宜作

为投放量x与年使用人次y的回归方程类型．由xycd=，两边同时取常用对数得()lglglglgxycdcxd==+．设lgyv=，则lglgvcxd=+．因为4x=，1.54v=，721140iix==，7150.12==iiixv，所以7172217lg7==−==−

iiiiixvxvdxx250.12741.5470.251407428−==−．把(4,1.54)代入lglg=+vcxd，得lg0.54c=，所以ˆ0.540.25vx=+，所以ˆlg0.540.25yx=+，则0.540.250.25

ˆ103.4710xxy+==，故y关于x的回归方程为0.25ˆ3.4710xy=．（2）投入8千辆单车，则年使用人次为0.2583.4710347=千人次，每年的收益为347(10.2)277.6−=（千元），总投资8000200160000

01600==千元，假设需要n年开始盈利，则277.61600n，即5.76n，故需要6年才能开始盈利．19．（1）()min3fx=−，()max2fx=；（2）33ABCS=.（1）()()sincos1sinfxxmxmx

=−=+−，为锐角，且tanm=.所以，()max12fxm=+=，解得3m=，由题意可得22==，因为为锐角，且tan3=，可得3=，()2sin23fxx=−.当0,2x时，22,333x

−−，()min2sin33fx=−=−，()max2sin22fx==；（2）3am==，2sin023BfB=−=，即sin=03B−，0B，2333B−

−，则03B-=，3B=.()()111222BDBAADBAACBABCBABABC=+=+=+−=+，2BDBABC=+，所以，()222222422cosBDBABCBABCBABCBABCBABCABC=+=++=++，即222372cos933cacacc

=++=++，即23280cc+−=，0cQ，解得4c=.因此，113sin3433222ABCSacABC===△.20．(1)如图所示，连结11,AEBE，等边1AAC△中，AEEC=，则1AEAC⊥，平面ABC

⊥平面11AACC，且平面ABC∩平面11AACCAC=，由面面垂直的性质定理可得：1AE⊥平面ABC，故1AEBC⊥，由三棱柱的性质可知11ABAB∥，而ABBC⊥，故11ABBC⊥，且1111ABAEA=，由

线面垂直的判定定理可得：BC⊥平面11ABE，结合EF⊆平面11ABE，故EFBC⊥.(2)在底面ABC内作EH⊥AC，以点E为坐标原点，EH,EC,1EA方向分别为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系Exyz−.设1EH=，则3AEEC==，1123AACA==,3,3BCAB==，据此可得

：()()()1330,3,0,,,0,0,0,3,0,3,022ABAC−，由11ABAB=可得点1B的坐标为133,3,322B，利用中点坐标公式可得：33,3,344F，由于()0

,0,0E，故直线EF的方向向量为：33,3,344EF=设平面1ABC的法向量为(),,mxyz=，则：()()13333,,,,33022223333,,,,002222mABxyzxyzmBCxyzxy=−=+−==−=

−+=，据此可得平面1ABC的一个法向量为()1,3,1m=，33,3,344EF=此时64cos,53552EFmEFmEFm===，设直线EF与平面1ABC所成角为，则43sincos,,cos55EFm===.

21．（1）22143xy+=；（2）1(0,)2.（1）求出抛物线的准线方程为2x=−，求得(2,0)A−，求得2a=，再根据离心率为12e=，求得1c=，所以2223bac=−=，所以椭圆C的标准方程为22143xy+=.（2）由题意可知直线l的斜率存

在，设1122:(4),(,),(,)lykxAxyBxy=−，联立方程组()224143ykxxy=−+=，整理得2222(43)3264120kxkxk+−+−=，可得2212122232

6412,4343kkxxxxkk−+==++，又由2222(32)4(43)(6412)0kkk=−−+−，解得1122k−，故102k，设,AB的中点为00(,)Pxy，则212000221612,(4

)24343xxkkxykxkk+===−=−++，所以001:()lyyxxk−=−−，即22212116()4343kkyxkkk+=−−++，化简得211643kyxkk=−++，令0x=，可得241,(0,)432kmkk=+，则()222161243kmk−+=+，当1(0

,)2k时，0m恒成立，所以2443kmk=+在1(0,)2上为单调递增函数，所以102m，即求m的取值范围1(0,)2.22．（1）()1axfxae=−，则()011fa=−=，即2a=.∴()2

21xfxe=−，令()0fx¢=，得ln22x=−.当ln22x−时，()0fx¢<；当ln22x−时，()0fx¢>.故()fx的单调递减区间为ln2,2−−，单调递增区间为ln2,2

−+.（2）由()2lnaxfxexax−，即()2ln1axaxxex−−，有1ln1axaxexx−−，故仅需ln1ln1axaxxeex−−即可.设函数()ln1xgxx−=，则ln1ln1axaxxeex

−−等价于()()axgegx.∵()22lnxgxx−=，∴当(0,xe时，()0gx¢>，则()gx在(0,e上单调递增，∴当(0,xe时，()()axgegx等价于当(0,xe时，()(

)axgegx，axex，即lnxax恒成立.设函数()lnxhxx=，(0,xe，则()21ln0xhxx−=，即()hx在(0,xe递增，所以()()max1hxhee==，则1ae即可，∴a的取值范围为1

,e+.