【文档说明】福建省泉州市永春第一中学2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题 含答案.docx，共(10)页，970.062 KB，由小赞的店铺上传

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永春一中高一年期末考数学科试卷2021.7考试时间：120分钟试卷总分：150分第Ⅰ卷（选择题、填空题）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.已知复数z满足()14iz+=（i为虚数单位），则复数2z−在复平面内对应的点所在

的象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知向量()1,2a=，()2,2b=，则ab+=（）A.4B.5C.6D.73.某学校采购了10000只口罩，其中蓝色、粉色、白色的比例为5:3:2，若采用分层抽样的方法，取出500只分发给高一年级学生使用，则抽到白色

口罩的只数为（）A.300B.250C.200D.1004.设，是两个不同平面，m，n是两条不同直线，下列命题中正确的是（）A.如果mn⊥，m⊥，//n，那么⊥B.如果mn⊥，m⊥，n⊥，那

么//C.如果//mn，m⊥，n⊥，那么//D.如果//，m与所成的角和n与所成的角相等，那么//mn5.ABC△中，3AB=，1AC=，6B=，则ABC△的面积等于（）A.32B.34C.32或3D.32或346.甲、乙两人练习射

击，命中目标的概率分别为12和13，甲、乙两人各射击一次，有下列说法：①目标恰好被命中一次的概率为1123+；②目标恰好被命中两次的概率为1123；③目标被命中的概率为12112323+；④目标被命中的

概率为12123−.以上说法正确的序号依次是（）A.②③B.①②③C.②④D.①③7.在正三棱锥SABC−中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AMMN⊥，若侧棱25SA=，则正三棱锥SABC−外接球的体积是（）A.2015B.60C.4015D.488.

已知P为ABC△在平面内的一点，2BPPC=，4AP=，若点Q在线段AP上运动，则()2QAQBQC+的最小值为（）A.92−B.-12C.32−D.-4二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共

20分.在每小题给出的四个选项中，至少有2个选项符合题目要求，不选或含有错误选项的得0分，只选出部分正确选项的得2分，正确选项全部选出的得5分.9.下图是我国2011—2020年载货汽车产量及增长趋势统计图

，针对这10年的数据，下列说法正确的是（）A.与2019年相比较，2020年我国载货汽车产量同比增速不到15%B.这10年中，载货汽车的同比增速有增有减C.这10年我国载货汽车产量的极差超过150万辆D.这10年我国载货汽车产量的中位数不超过340万辆10.设z为复

数，则下列命题中正确的是（）A.2zzz=B.22zz=C.若1z=，则zi+的最小值为0D.若11z−=，则02z11.下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出//AB平面MNP的图形是（）A.B.C.D.12.正方体1111ABCDABC

D−为棱长为2，动点P，Q分别在棱BC，1CC上，过点A，P，Q的平面截该正方体所得的截面记为S，设BPx=，CQy=，其中,0,2xy，下列命题正确的是（）A.当0x=时，S为矩形，其面积最大为4；B.当1xy==时，S的面积为92；C.当

1x=，()1,2y时，设S与棱11CD的交点为R，则144RDy=−；D.当2y=时，以1B为顶点，S为底面的棱锥的体积为定值.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答．．．．．．

．题．卡的横线上．．．．．.13.某校为了普及“一带一路”知识，举行了一次知识竞赛，满分10分，有10名同学代表班级参加比赛，已知学生得分均为整数，比赛结束后统计这10名同学得分情况如折线图所示，则这1

0名同学成绩的极差为___________，中位数是___________.14.已知直角三角形的两直角边长分别为3cm和4cm，则以斜边为轴旋转一周所得几何体的体积为__________3cm.15.某汽车站每天均有3辆开往某景点的分为上、中、下等级的客车，某天吴先生准备

在该汽车站乘车前往该景点，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序，为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好，则上第二辆，否则上第三辆，那么他乘上上等车的概率为__________.16.已知1m=，向量n满足nmnm

−=，当向量n，m夹角最大时，n=__________.第Ⅱ卷（解答题）四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在答题卡各自题目的．．．．．．．．．．答题区域内作答．．．．．．．.17.如图，在三棱柱111ABCABC−中，侧棱1AA⊥底面

ABC，ABBC⊥，D为AC的中点，12AAAB==.（1）求证：1//AB平面1BCD；（2）过点B作BEAC⊥于点E，求证：直线BE⊥平面11AACC.18.如图，在OAB△中，P为边AB上的一点，2BPPA=，6OA=，2OB=，且OA与OB的夹角为

60.（Ⅰ）OPxOAyOB=+，求x，y的值；（Ⅱ）OPAB的值.19.在ABC△中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，ABC△的面积为S.现有以下三个条件：①(2)coscos0cbAaB++=；②222s

insinsinsinsin0BCABC+−+=；③222433abcS−−=.请从以上三个条件中选择一个填到下面问题中的横线上，并求解.已知向量()4sin,43mx=，()2cos,sinnxx=，函数()23fxmn=−.在ABC△中，3a

f=，且____________，求2bc+的取值范围.20.将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，事件A：“两数之和为8”，事件B：“两数之和是3的倍数”.（Ⅰ）写出该试验的样本空间，并求事件A发生的

概率；（Ⅱ）求事件B发生的概率；（Ⅲ）事件A与事件B至少有一个发生的概率.21.统计某公司1000名推销员的月销售额（单位：千元）得到如下频率分布直方图.（1）同一组数据用该区间的中间值作代表，求这1000名推销员的月销售额的平均数x与方差2s；（2）请根据这组数据提出使70%的推销员能够完成销售

指标的建议；（3）现有两种奖励机制：方案一：设1.03,1.03Pxsxs=−−++，销售额落在P左侧，每人每月奖励0.4千元；销售额落在P内，每人每月奖励0.6千元；销售额落在P右侧，每人每月奖励0.8千元.方案二：每人每月奖励其月销售额的3%.用统计的频率进行估算，选择哪一

种方案公司需提供更多的奖励金？（参考数据：15.83.97）记：()()()()222211221nnniiisxxpxxpxxpxxp−==−+−++−=−（其中ip为ix对应的频率）.22.如图，四边形ABCD是圆柱1OO的轴截面，点P为底面圆周上异于A，B的点.（1）

求证：PB⊥平面PAD；（2）若圆柱的侧面积为2，体积为，点Q为线段DP上靠近点D的三等分点，设AOP=，是否存在角使得直线AQ与平面BDP所成角的正弦值最大？若存在，求出相应的正弦值，并求出；若不存在，

说明理由.永春一中高一年期末考数学参考答案2021.7一、选择题：（1-8小题单选，9-12小题多选）1-5：DBDCD6-8：CAB9.ABC10.ACD11.AD12.BCD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的横线上．．．

．．．．．．．．．．.13.7；614.48515.1216.2四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.请在．．答．题卡各自题目的．．．．．．．答题．．区域．．内作答．．．.17.（1）证明：连接1BC，

设11BCBCO=，连接OD，∵1BCCB是平行四边形，∴点O是1BC的中点，∵D是AC的中点，∴OD是1ABC△的中位线，∴1//ABOD，又1AB平面1BCD，OD平面1BCD，∴1//AB平面1BCD.（2）∵1AA⊥平面ABC，BE平面ABC，∴1AABE⊥，又BEAC⊥，1ACA

AA=，∴直线BE⊥平面11AACC.解法2：∵1AA⊥平面ABC，1AA平面11AACC，∴平面11AACC⊥平面ABC，又平面11AACC平面ABCAC=，BEAC⊥，BE平面ABC，∴直线BE⊥平面11AACC.18.（1）如下图，过点P作//PMOB，//P

NOA分别交OA，OB点M，N，因为2BPPA=，所以12APBP=，所以23OMOA=，13ONOB=，又四边形OMPN为平行四边形，所以2133OPOMONOAOB=+=+，又因为OA，OB不共线，所以23x=，13y=.（2）由（1）知21()33OPABOAOBOBOA

=+−22121333OBOAOAOB=−+47216243323=−+=−.19.解：2()4sincos43sin23fxxxx=+−2sin223cos24sin23xxx=−=−.又233af==

.选择①：(2)coscos0cbAaB++=，由正弦定理可得：2sincossincossincos0CAABBA++=，故可得2sincossinCAC=−，又sin0C，故可得1cos2A=−，又()0,A，故23A=.（选择②：222sinsinsinsinsin0BCAB

C+−+=，由正弦定理得：222bcabc+−=−，由余弦定理得1cos2A=−，有()0,A，故23A=.选择③：222433abcS−−=，由面积公式以及余弦定理可得：4312cossin32bcAAbc−=，解得tan3A=−，又()0,A，故可23A=.故不论选择哪个条件

，都有23A=.）又23a=.则24sinaRA==.故28sin4sin8sin4sin3bcBCBB+=+=+−6sin23cos43sin6BBB=+=+，又0,3B，故,662B+

，故1sin,162B+，故2(23,43)bc+.20.解：（Ⅰ）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),=(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6

),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2)

,(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}，共有36个样本点，它们是等可能的，故这是个古典概型.{(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}A=，共5个样本点，∴事件A发生的概率为5()36PA

=.（Ⅱ）{(1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(3,3),(3,6),(4,2),(4,5),(5,1),(5,4),(6,3),(6,6)}B=，共12个样本点.∴事件B发生的概率121()363PB==.（Ⅲ）事件A与事件B至少有一个发生，即事件AB

，{(1,2),(1,5),(2,1),(2,4),(2,6),(3,3),(3,5),(3,6),AB=(4,2),(4,4),(4,5),(5,1),(5,3),(5,4),(6,2),(6,3),(6,6)}，共17个样

本点，∴事件A与事件B至少有一个发生的概率为()1736PAB=.解法二：因为A、B不可能同时发生，即A、B互斥，所以5117()()()36336PABPAPB=+=+=.21.（1）由频率分布直方

图可得，这1000名推销员的月销售额的平均数为120.1160.3200.4240.15280.0519x=++++=（万元）.方差为222222(1219)0.1(1619)0.3(2019)0.4(2419)0.15(2819)0.05s=

−+−+−+−+−15.8=.（2）∵0.10.30.40.7++，∴设月销售额为x，则18,22x，则180.10.30.40.74x−++=，解得21x=，故根据这组数据可知：将销售指标定为21千元时，才能够使70%的推销员完成销售指标.（3）方案一：由（1）

可得，15.83.97s=，∴14,24P，则当()0,14x时，0.10.4100040=，当14,24x时，(0.30.40.075)0.61000465++=，当(24,30x时，(0.0750.05)0.81000100+

=，1000名推销员的奖励金共计40465100605++=（千元），方案二：1000名推销员的奖励金190.031000570+=（千元），因为605570，所以选择方案一，公司需提供更多的奖励金.22

.解：（1）证明：因为AB是圆O的直径，点P是圆周上一点，所以90APB=，即PBPA⊥，又在圆柱1OO中，母线AD⊥底面O，PB底面O，所以ADPB⊥，又PAADA=，PA平面PAD，AD平面PAD，所以PB⊥平面PAD.（2）设

圆柱底面半径为r，母线为l，则222rlrl==，解得11rl==，在PAD△中，过A作AMDP⊥交DP于点M.由（1）知PB⊥平面PAD，因为AM平面PAD，所以PBAM⊥，又DPPBP=，所以AM⊥平面BDP.若M与Q不重合，AQM即为直线AQ与平面BDP所成的角.

若M与Q重合，直线AQ与平面BDP所成的角为90，设AOP=，()0,，则在AOP△中，2sin2AP=，在RtADP△中，22sin214sin2AM=+，2221sin212333AQADAP+=+=

.于是223sin2sin14sin1sin22AMAQMAQ==++2222331114sin524sin522sinsin22==+++.当且仅当2214sin2sin2=，即2sin22=，2=时，等号成立.故2=时，

直线AQ与平面BDP所成的角的正弦值最大，最大值为1.