【文档说明】高三北师大版数学（文）一轮复习教师文档：第三章第七节　正弦定理和余弦定理 含解析【高考】.doc，共(8)页，181.500 KB，由小赞的店铺上传

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-1-第七节正弦定理和余弦定理授课提示：对应学生用书第68页[基础梳理]1．正弦定理asinA＝bsinB＝csinC＝2R，其中R是△ABC的外接圆半径．正弦定理的常用变形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB

，c＝2RsinC.(2)sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.2．余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，cosA＝b2＋c2－a22bc；b2＝a2＋c2－2accosB

，cosB＝a2＋c2－b22ac；c2＝a2＋b2－2abcosC，cosC＝a2＋b2－c22ab．3．勾股定理在△ABC中，∠C＝90°⇔a2＋b2＝c2．4．三角形的面积公式S△ABC＝12aha＝12bhb＝12

chc＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB．1．射影定理：bcosC＋ccosB＝a，bcosA＋acosB＝c，acosC＋ccosA＝b.2．三个角A、B、C与诱导公式的“消角”关系sin(A＋B)＝sinC，cos(A＋B)＝－cosC，sinA＋B2＝

cosC2，cosA＋B2＝sinC2.3．特殊的面积公式(1)S＝12r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)，(2)S＝P（P－a）（P－b）（P－c），P＝12(a＋b＋c)，(3)S＝abc4R＝2R2sinA·sinB·sinC(R为△A

BC外接圆半径)．-2-[四基自测]1．(基础点：正弦定理)在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝()A．43B．23C.3D．32答案：B2．(基础点：正、余弦定理)在△ABC中，若sin2A＋sin2B<sin2C，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形

C．钝角三角形D．不能确定答案：C3．(基础点：正弦定理)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA＋acosB＝0，则B＝________．解析：∵bsinA＋acosB＝0，∴asinA＝b－cosB.由正弦定

理，得－cosB＝sinB，∴tanB＝－1.又B∈(0，π)，∴B＝3π4.答案：3π44．(基础点：余弦定理与面积)若△ABC中，A＝π6，b2＋c2－a2＝8，则△ABC的面积为________．答案：233授课提示：对

应学生用书第68页考点一正、余弦定理的简单应用挖掘1正弦定理及其应用/自主练透[例1](1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cosA＝35，则b等于()A.53B.107C.57D．5214

[解析]因为cosA＝35，所以sinA＝1－cos2A＝1－352＝45，所以sinC＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝45cos45°＋35sin45°＝

7210.由正弦定理bsinB＝csinC，得b＝17210×sin45°＝57.[答案]C(2)已知锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝2A，则asinAb-3-的取值范围是()A．(36，32)B．(34，32)C．(12，3

2)D．(36，12)[解析]因为B＝2A，所以sinB＝sin2A＝2sinAcosA，由正弦定理得b＝asinBsinA＝2acosA，所以ab＝12cosA，所以asinAb＝sinA2cosA＝12t

anA.因为△ABC是锐角三角形，所以0＜A＜π2，0＜B＝2A＜π2，0＜C＝π－3A＜π2，解得π6＜A＜π4，所以33＜tanA＜1，所以36＜12tanA＜12.即asinAb的取值范围是(36，12)．故选D.[答案]D挖掘2余弦定理及其应用/互动探

究[例2](1)已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝c＝6＋2，且A＝75°，则b＝()A．2B．4＋23C．4－23D．6－2[解析]在△ABC中，易知B＝30°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos30°＝4.∴b＝2.[答

案]A(2)在△ABC中，已知AB＝3，A＝120°，且△ABC的面积为1534，则BC边的长为________．[解析]由S△ABC＝1534得12×3×ACsin120°＝1534，所以AC＝5，因此BC2＝A

B2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝9＋25＋2×3×5×12＝49，解得BC＝7.[答案]7挖掘3正、余弦定理混合应用/互动探究[例3]已知△ABC满足sin2A＋sinAsinB＋sin2B＝sin2C，则角C的大小是______

__．[解析]因为sin2A＋sinAsinB＋sin2B＝sin2C，所以a2＋ab＋b2＝c2，即a2＋b2－c2＝－ab，故cosC＝a2＋b2－c22ab＝－12(0＜C＜π)，所以C＝23π.-4-[答案]23π[破题技

法]1.求解三角形的一般方法方法解读题型正弦定理法直接利用正弦定理(变式)求边、角(1)已知两角及一边(2)已知两边及一边对角余弦定理法直接用余弦定理(变式)求边、角(1)已知两边及夹角(2)已知三边2.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a

＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数12110考点二有关三角形的周长、面积及正、余弦定理的综合应用挖掘1已知边角混合关系解三角形/自主练透[例1](2020·河南省最后一次模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinA＋bsinB＋2bsinA＝csin

C.(1)求C；(2)若a＝2，b＝22，线段BC的垂直平分线交AB于点D，求CD的长．[解析](1)因为asinA＋bsinB＋2bsinA＝csinC，所以由正弦定理可得a2＋b2＋2ab＝c2.由余弦定理得cosC＝a2＋b2－c22ab＝－22，又0＜C＜π，所

以C＝3π4.(2)由(1)知C＝3π4，根据余弦定理可得c2＝a2＋b2－2abcosC＝22＋(22)2－2×2×22×(－22)＝20，所以c＝25.由正弦定理csinC＝bsinB，得2522＝22sinB，解得sinB＝55，从而cosB＝255.设BC的中

垂线交BC于点E，因为在Rt△BDE中，cosB＝BEBD，所以BD＝BEcosB＝1255＝52，因为点D在线段BC的中垂线上，所以CD＝BD＝52.-5-挖掘2有关三角形的面积计算/互动探究[例2](

1)(2019·高考全国卷Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b＝6，a＝2c，B＝π3，则△ABC的面积为________．[解析]由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB．又∵b＝6，

a＝2c，B＝π3，∴36＝4c2＋c2－2×2c2×12，∴c＝23，a＝43，∴S△ABC＝12acsinB＝12×43×23×32＝63.[答案]63(2)(2019·高考全国卷Ⅲ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinA＋C2＝bsinA.①求B；②

若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．[解析]①由题设及正弦定理得sinAsinA＋C2＝sinBsinA.因为sinA≠0，所以sinA＋C2＝sinB．由A＋B＋C＝180°，可得sin

A＋C2＝cosB2，故cosB2＝2sinB2cosB2.因为cosB2≠0，所以sinB2＝12，所以B＝60°.②由题设及①知△ABC的面积S△ABC＝34a.由①知A＋C＝120°，由正弦定理得a＝csinAsinC＝sin（120°－C）sinC＝32tanC

＋12.由于△ABC为锐角三角形，故0°＜A＜90°，0°＜C＜90°.结合A＋C＝120°，得30°＜C＜90°，所以12＜a＜2，从而38＜S△ABC＜32.因此，△ABC面积的取值范围是38

，32.[破题技法]1.求三角形面积的方法(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积，总之，结合图形恰当选

择面积公式是解题的关键．-6-2．已知三角形面积求边、角的方法(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．提醒：正弦定理、余弦定理与三角函数性质的综合应用中，要注意三角函

数公式的工具性作用．挖掘3有关三角形的周长及最值计算/互动探究[例3](1)在△ABC中，B＝60°，AC＝3，则AB＋2BC的最大值为________．[解析]因为BCsinA＝ABsinC＝ACsinB＝3sin60°

，所以AB＝2sinC，BC＝2sinA，因此AB＋2BC＝2sinC＋4sinA＝2sin2π3－A＋4sinA＝5sinA＋3cosA＝27sin(A＋φ)，因为φ∈(0，2π)，A∈(0，2π3)，所以AB＋2B

C的最大值为27.[答案]27(2)若△ABC的面积为34(a2＋c2－b2)，且C为钝角，则B＝________；ca的取值范围是________．[解析]由余弦定理得cosB＝a2＋c2－b22ac，∴a2＋c2－b2＝2accosB．又∵S＝34(a2＋c2－b2)

，∴12acsinB＝34×2accosB，∴tanB＝3，∴B＝π3.又∵C为钝角，∴C＝2π3－A＞π2，∴0＜A＜π6.由正弦定理得ca＝sin2π3－AsinA＝32cosA＋12sinAsinA＝12＋

32·1tanA.∵0＜tanA＜33，∴1tanA＞3，∴ca＞12＋32×3＝2，即ca＞2.[答案]π3(2，＋∞)(3)在△ABC中，cosC是方程2x2－3x－2＝0的一根．①求角C；②当a

＋b＝10时，求△ABC周长的最小值．[解析]①由2x2－3x－2＝0得x1＝2，x2＝－12，又cosC是方程2x2－3x－2＝0的-7-一个根，所以cosC＝－12，因此C＝2π3.②由C＝2π3和余弦定理可得c2＝a2＋b2－2ab·(－12)＝(a＋b)2－ab，所以c2＝100－a(1

0－a)＝(a－5)2＋75，当a＝5时，c最小且c＝75＝53，此时a＋b＋c＝10＋53.所以，△ABC的周长的最小值为10＋53.[破题技法]三角函数和三角形的结合，一般可以利用正弦定理、余弦定理先确定三角形的边角，再代入到三角函数中，三角函数和

差公式的灵活运用是解决此类问题的关键．考点三判断三角形的形状[例](1)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定[解析]法一：因为bcosC＋ccosB

＝b·a2＋b2－c22ab＋c·a2＋c2－b22ac＝2a22a＝a，所以asinA＝a，即sinA＝1，故A＝π2，因此△ABC是直角三角形．法二：因为bcosC＋ccosB＝asinA，所以sinBcosC＋sin

CcosB＝sin2A，即sin(B＋C)＝sin2A，所以sinA＝sin2A，故sinA＝1，即A＝π2，因此△ABC是直角三角形．法三：由射影定理可得bcosC＋ccosB＝a，所以a＝asinA，所以s

inA＝1，A＝π2，为直角三角形．[答案]B(2)在△ABC中，若2sinAcosB＝sinC，那么△ABC的形状为________．[解析]法一：由已知得2sinAcosB＝sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sin(A－B)

＝0，因为－π＜A－B＜π，所以A＝B.所以△ABC为等腰三角形．法二：由正弦定理得2acosB＝c，再由余弦定理得2a·a2＋c2－b22ac＝c⇒a2＝b2⇒a＝b.所以△ABC为等腰三角形．[答案]等腰三角形[破题技法]判断三角形形状的两种思路(1)化边：通过因式分解、配方等

得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.边角互边化角：用角的三角函数表示边等式两边是边的齐次形式-8-化法角化边：将表达式中的角用边的形式表示等式两边是角的齐次形

式或a2＋b2－c2＝λab