【文档说明】上海市崇明区2021-2022学年高考二模数学试题 含解析.docx，共(19)页，994.531 KB，由小赞的店铺上传

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2021学年第二学期高中教学资源高三数学考生注意：1．本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2．本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3．答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在

答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息．一、填空题（本大题共有12题，满分54分，其中1～6题每题4分，7～12题每题5分）【考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．】1.已知集合2Axx=，2,0,1,2B=−，则AB=_______.【

答案】0,1【解析】【分析】先求出集合A,然后根据交集的定义求得答案.【详解】由题意，22Axx=−，所以0,1AB=.故答案为：0,1.2.已知一组数据4,2,3,5,6aa−的平均数为4，则a的值是_____.【答案】

2【解析】【分析】根据平均数的公式进行求解即可．【详解】∵数据4,2,3,5,6aa−的平均数为4∴4235620aa++−++=，即2a=.故答案为：2.【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础．3.已知角的终边经过点()3,4，则sin=________.【

答案】45【解析】【分析】根据终边上的点，结合22sinyxy=+即可求函数值.【详解】由题意知：角在第一象限，且终边过()3,4，∴224sin5yxy==+.故答案为：45.4.若复数11iz=+（i为虚数单位），则zz=________．【答案】

12##0.5【解析】【分析】由复数的除法运算可得11i22z=−，再根据共轭复数的概念可得11i22z=+，代入运算求解．【详解】∵()()11i11i1i1i1i22z−===−++−，则11i22z=+∴11111ii22222zz=−+=

故答案为：12．5.在6(12)x+的二项展开式中，4x项的系数是________．（用数值表示）【答案】240【解析】【分析】由二项式展开式的通项公式，直接求得答案.【详解】由题意可得6(12)x+的通项公式为：162C,0,1,2,,6rrrrTxr+==，

故4x的系数为4462C240=，故答案为：2406.已知变量,xy满足约束条件21{110xyxyy+−−，则2zxy=−的最大值为__________．【答案】1【解析】【详解】画出平面区域及目标函数线

12yx=如图所示：平移目标函数线12yx=使之经过可行域，当目标函数线经过点()1,0A时，z取得最大值为max1201z=−=.考点：线性规划.7.已知圆锥的母线长等于2，侧面积等于2π，则该圆锥的体积等于________．【答案】3π3##33【解析】【分析】根据

圆锥的侧面积公式πSrl=侧，代入可得1r=，根据图形结合勾股定理可得3h=，再代入锥体体积公式13VSh=．【详解】设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h根据题意可得：2,π2πlrl==，则1r=∴223hlr=−=则该圆锥的体积231π33πVrh==故答案为：

3π3．8.已知直线l参数方程为1324xtyt=+=+(t为参数），则点()1,0到直线l的距离是______．【答案】65【解析】【分析】将参数方程化为普通方程，再用点到直线的距离公式即可解得.【详解】由题意：1343202

4xtxyyt=+−+==+，∴点()1,0到直线l的距离|402|655d−+==.故答案为：65.9.设()yfx=是定义在R上且周期为2的函数，当)1,1x−时，(),10,2,01,5xaxfxxx+−=−其中

Ra．若5922ff−=，则()fa=________．【答案】15##0.2【解析】【分析】根据函数周期性结合解析式可得5191,22210faf−=−+=，结合题意解得35a=，代入求解．【详解】∵()

fx是周期为2的函数∴511222ffa−=−=−+，9112210ff==的又∵5922ff−=，即11210a−+=，则35a=∴()(315)5

faf==故答案为：15．10.已知平面直角坐标系中的点10,nAn、20,nBn−、12,02nnC+，*nN．记nS为nnnABC外接圆的面积，则limnnS→________．【答案】【解析】【分析】由过

三点的外接圆来确定圆的半径，从而得到nS，再求极限即可.【详解】设过10,nAn、20,nBn−、12,02nnC+这三点的外接圆方程为220xyDxEyF++++=，则有2222221(2)1

120(2)24210112(2)(2)022nnnnDEFnnnEFEnnnDFFn=−+++=+−+==++++==−，又nnnABC外接圆的半径为22142DEF+−,所以22222242441418[(2)

]1442(2)2nnnDEFnnnnS+−==++−+++2242415[(2)]142(2)2nnnn=++++.所以2242415[(2)]41424(2)limlim2nnnnnnnS→→=+++==+.故答案为：

11.某学校每天安排4项课后服务供学生自愿选择参加．学校规定：（1）每位学生每天最多选择1项；（2）每位学生每项一周最多选择1次．学校提供的安排表如下：时间周一周二周三周四周五课后服务音乐、阅读、体育、编程口语、阅读、编程、美术手工、阅读、科技

、体育口语、阅读、体育、编程音乐、口语、美术、科技若某学生在一周内共选择了阅读、体育、编程3项，则不同的选择方案共有______种．（用数值表示）【答案】14【解析】【分析】利用分类和分步计数原理求解即可.【详解】由题知：周一、二、三、四均可选阅读，体育在周一、三、四，编程在周一、二、

四.①若周一选编程，则体育在周三或周四，故为2种，阅读在剩下的两天中选为2种，共有224=种方案.②若周二选编程，则体育在周一，周三或周四，故为3种，阅读在剩下的两天中选为2种，共有326=种方案.③若周四选编程，则体育在周一或周三，故为2种，阅读在剩下的两

天中选为2种，共有224=种方案.综上，共有46414++=种方案.故答案为：1412.已知实数x、y满足||||14xxyy−=，则25xy−+的取值范围是________．【答案】(5,225]+.【解析】【分析】讨论,xy得到其图象

是椭圆，双曲线的一部分组成图形，根据图象可得25zxy=−+的取值范围，进而可得25xy−+的取值范围.【详解】因为实数,xy满足||||14xxyy−=，当0,0xy时，方程为2214xy−=的图象为双曲

线在第一象限的部分；当0,0xy时，方程为2214xy+=的图象为椭圆在第四象限的部分；当0,0xy时，方程为2214xy−−=的图象不存在；当0,0xy时，方程为22+14xy−=的图象为双曲线在第三象限的部分；在同一坐标系中作出函数的图象如图所示，25xy

−+表示点(,)xy到直线250xy−+=的距离的5倍根据双曲线的方程可得，两条双曲线的渐近线均为12yx=，令25zxy=−+，即15222zyx=−+，与双曲线渐近线平行，观察图象可得，当过点(,)xy且斜率为12

的直线与椭圆相切时，点(,)xy到直线250xy−+=的距离最大，即当直线25zxy=−+与椭圆相切时，z最大，联立方程组221415222xyzyx+==−+，得()222225251

0xzxzz−−+−+=，()()22Δ225422510zzz=−−−+=，解得522z=，又因为椭圆的图象只有第四象限的部分，所以5+22z=，又直线250xy−+=与20xy−=距离为1，故

曲线上的点到直线的距离大于1，的所以5z综上所述，5522z+，所以5522z+，即(245,5+22xy+−，故答案为：(5,225]+.二、选择题（本大题共有4题，满分20分）【每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5

分，否则一律得零分．】13.如果0,0ab，那么下列不等式中正确的是（）A.22abB.ab−C.abD.11ab【答案】D【解析】【分析】对A,B,C，举反例判定即可，对D，根据110ab判定即可【详解】对A，若2,1

ab=−=，则22ab，ab−不成立，故AB错误；对C，若1,2ab=−=，则ab不成立，故C错误；对D，因为110ab，故D正确；故选：D14.“ab=”是“ab=rr”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析

】根据充要关系定义进行判断选择.【详解】若ab=，则ab=rr，所以充分性成立；若ab=rr，则ab=不一定成立，例如互为相反向量时就不成立，所以必要性不成立；故选：A【点睛】本题考查充要关系判断，考查基本分析判断能力，属基础题.15.已知无穷等比数

列{}na中12a=，22a，它的前n项和为nS，则下列命题正确的是（）A.数列{}nS是递增数列B.数列{}nS是递减数列C.数列{}nS存在最小项D.数列{}nS存在最大项【答案】C【解析】【分析】对AB，举公比为

负数反例判断即可对CD，设等比数列{}na公比为q，分0q和0q两种情况讨论，再得出结论即可【详解】对AB，当公比为12−时，2311,,2aa=−=此时12332,1,2SSS===，此时{}nS既不是递增也不是递减数列；对CD，设等比数列{}na公比为q，当0q时，因为22a

，故22q，故01q，此时()2122111nnnqqSqqq−==−−−−，易得nS随n的增大而增大，故{}nS存在最小项1S，不存在最大项；当0q时，因为22a，故22q−，故10q−，2211nnqSqq=−−−，因为1q，故当n为偶数时，2

211nnqSqq=−−−，随着n的增大而增大，此时222111nnqSqqq=−−−−无最大值，当2n=时有最小值222Sq=+；当n为奇数时，2211nnqSqq=+−−，随着n的增大而减小，故222111nnqSqqq=+−−−无最小值，有最大值12S=.综上，当0q时，因为222

21qq+−，故当2n=时有最小值222Sq=+，当1n=时有最大值12S=综上所述，数列{}nS存在最小项，不一定有最大项，故C正确；D错误故选：C16.设集合21|10Pxxax=++，22|20Pxxax=++，21|0Qx

xxb=++，22|20Qxxxb=++其中,abR，给出下列两个命题：命题1q：对任意的a，1P是2P的子集；命的题2q：对任意的b，1Q不是2Q的子集．下列说法正确的是（）A.命题1q是真命题，命题2q是假命题B.命题1q是假命题，命题2q是真命题C.命题1q、2q

都真命题D.命题1q、2q都是假命题【答案】A【解析】【分析】根据不等式的特征，可判断命题1q，利用判别式，可得集合1Q、2Q的关系，从而判断命题2q.【详解】由于22211xaxxax++=+++，即21

0xax++时，220xax++一定成立，故1P是2P的子集，因此命题1q是真命题.令20xxb++=，114104bb=−；令220xxb++=，44101bb=−.从而可知，当1b时，12QQR==，此时，1Q是2Q的子集，故命题2q是假命题.故选：

A三、解答题（本大题共有5题，满分76分）【解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．】17.如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长等于4，点E是棱1DD的中点．（1）求直线1AE与直线1BC所成的角；（2）若底面ABCD上的点

P满足1PD⊥平面11AEC，求线段DP的长度．是【答案】（1）310arccos10（2）22【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得相关点的坐标，利用向量的夹角公式即可求得答案;（2）假设在底面ABCD上存在点P，使得1PD⊥平面11AEC，设(),,0Pab，求出向量1111,,

ACECDP的坐标，根据线面垂直可得111110,0DPACDPEC==，即可求得a,b的值，求得答案.【小问1详解】如图以D为坐标原点，以1,,DADCDD为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，则()()14,0,4,0

,0,2,AE1(4,4,4),(0,4,0)BC，所以1(4,0,2)AE=−−，1(4,0,4)BC=−−，设直线1AE与直线1BC所成的角为π,(0,]2，则1111||24310cos10||||2542

AEBCAEBC===,所以310arccos10=，即直线1AE与直线1BC所成的角的大小等于310arccos10.【小问2详解】假设在底面ABCD上存在点P，使得1PD⊥平面11AEC，设(),,0Pab，因为()()110,4,4,0,0,4C

D，所以()()()11114,4,0,0,4,2,,,4ACECDPab=−==−，由11111,DPACDPEC⊥⊥得，111110,0DPACDPEC==，即440480abb−+=−=，解得2,

2ab==，即()2,2,0P，所以()2,2,0DP=，22222022DP=++=，故线段DP的长度为22.18.已知2()3sin22cos1fxxx=−−．（1）求函数()yfx=的单调递增区间；（2）设ABC的内角A满足()0fA=，且3ABAC=uuuruuu

r，求BC边长的最小值．【答案】（1）ππ[π,π],Z63kkk−+（2）6【解析】【分析】（1）由三角函数的二倍角公式将2()3sin22cos1fxxx=−−化为π()2sin(2)26fxx=−−，根据正弦函数的单调性即可求得答案;（2）由()0fA=求得A,根

据3ABAC=uuuruuur求得6bc=，利用余弦定理结合基本不等式即可求得答案.【小问1详解】2π()3sin22cos13sin2cos222sin(2)26fxxxxxx=−−=−−=−−,由πππ2π22π,Z262kxkk−−+，得：ππππ,Z63kxkk

−+，所以函数()yfx=的单调递增区间是ππ[π,π],Z63kkk−+.【小问2详解】由()0fA=，得π2sin2206A−−=，即πsin216A−=因为(0,π)A，则ππ11π2(,)666A−−，ππ262A−=,所以π3A=,由3ABA

C=uuuruuur，得πcos33bc=，得6bc=.由余弦定理，得22222cos6abcbcAbcbcbc=+−=+−=，当且仅当6bc==时等号成立,所以BC边长的最小值是6.19.环保生活，低碳出行，电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号

的电动汽车在国道上进行测试，国道限速80km/h．经多次测试得到该汽车每小时耗电量M（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的数据如下表所示：v0104060M0132544007200为了描述国道上该汽车每小时耗电量M与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：①3211()40Mvvbvc

v=++；②22()10003vMva=+；③3()300logaMvvb=+．（1）当080v时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数解析式；（2）现有一辆同型号电动汽车从A地行驶到B地，其中高速上行驶200km

，国道上行驶30km，若高速路上该汽车每小时耗电量N（单位：Wh）与速度v（单位：km/h）的关系满足2()210200Nvvv=−+(80120)v≤≤，则如何行驶才能使得总耗电量最少，最少为多少？【答案】（1）3211()40Mvvbvcv=++符合，3211()215040M

vvvv=−+（2）当高速路上速度为80km/h，国道上速度为40km/h时，总耗电量最少，为33500Wh【解析】【分析】（1）根据函数的单调性排除②，根据定义域排除③即可；（2）根据题意可得高速路上的耗电量100()400(5

)fvvv=+−，再分析()fv的单调性求得告诉上的耗电量，再根据（1）中求得的3211()215040Mvvvv=−+，可得国道上的耗电量21()30[(40)110]40hvv=−+，根据二次函数的最值分析最小值即可【小问1详解】因为函数22()10003vMva=

+是定义域上的减函数，又3(0)M无意义，所以函数22()10003vMva=+与3()300logaMvvb=+不可能是符合表格中所列数据的函数模型，故3211()40Mvvbvcv=++是可能符合表格中所列数据的函数模型.由()()()1

11101325404400607200MMM===，得：1402180abc==−=，所以3211()215040Mvvvv=−+【小问2详解】由题意，高速路上的耗电量200100()()400(5)fvNvvvv==+−任取12,[80,120]vv，当1

2vv时，12121212400()(100)()()0vvvvfvfvvv−−−=所以函数()yfv=在区间[80,120]上是增函数，所以min(80)30500yf==Wh国道上的耗电量2213011()()30(2150)3

0[(40)110]4040hvMvvvvv==−+=−+所以min()(40)3300hvh==Wh所以当高速路上速度为80km/h，国道上速度为40km/h时，总耗电量最少，为33500Wh20.已知双曲线224xy−=：，双曲线的右焦点为F，圆C

的圆心在y轴正半轴上，且经过坐标原点O，圆C与双曲线Γ的右支交于A、B两点．（1）当△OFA是以F为直角顶点的直角三角形，求△OFA的面积；（2）若点A的坐标是(5,1)，求直线AB的方程；（3）求证：直线AB与圆x2+y2＝2相切．【答案】（1）22（2）225210233yx++=−（3）证明

见解析【解析】【分析】（1）根据题意求得(22,2)A，由三角形面积公式即可求得答案；（2）设圆C的方程为()222xymm+−=，由点A的坐标求得m，联立224xy−=：求得B点坐标，可得答案；（3）设直线A

B的方程为ykxm=+，()()1122,,AxyBxy，，联立224xy−=：，可得根与系数的关系式，再联立2222(3)94xyxy+−=−=可得122yy=，结合根与系数的关系式化简，可得222xy+=的圆心到直线AB的距离等于半径，可证明结论．【小问1详解】（

1）由题意△OFA是以F为直角顶点的直角三角形，(22,0)F，所以点A在直线22x=处，设A()22,y，代入224xy−=，解得2y=，取2y=则(22,2)A，所以△OFA的面积1222222==OFAS；【小问2详解】设圆C圆心坐标()0,m，因其过原点，则rm=.故圆C方程为：(

)222xymm+−=.代入点A(5,1)，得()2251mm+−=，解得3m=.将圆C方程与224xy−=：联立得2222(3)94xyxy+−=−=,消去x得：2320yy−+=解得121,2yy==.

又B点在双曲线右支，故B()22,2.则AB方程为：115225yx−=−−.化简为()225513yx+=−+即225210233yx++=−.【小问3详解】证明：由题直线AB斜率必存在，故设直线AB的方程为ykxm=+，A（x1，y1），B（

x2，y2），圆C的方程为()222xybb+−=()0b，由224ykxmxy=+−=，消去y得:()()2221240kxkmxm−−−+=由题意，得：210Δ0k−，且212122224,11kmmxxxxkk++==−−−，为由22222()4xyb

bxy+−=−=，消去x化简得：220yby−+=，所以122yy=.所以2212121212()()()2yykxmkxmkxxkmxxm=++=+++=，即22222222222222422114

21mkmkmkkmmmkkkmkmkk+−−++−−++==−−−2222224222211mmkmkkk−==+=−+得原点O到直线AB的距离2||21mdk==+，所以直线AB与圆222xy+=相切．【点睛】关键点点睛：本题为直线，圆，双曲线综合题.（1），（2）为基础题，难点在于

（3）.关键在于做第二问时，能够发现对于任意A，B两点，均有2AByy=，从而在（3）中建立起k与m关系，得到2222mk=+.21.已知集合（Z是整数集，m是大于3的正整数）．若含有m项的数列{}na满足：任意的,ijM，都有iaM，且当

ij时有ijaa，当im时有12iiaa+−=或13iiaa+−=，则称该数列为P数列．（1）写出所有满足5m=且11a=的P数列；（2）若数列{}na为P数列，证明：{}na不可能是等差数列；（3）已知含有100项的P数列{}na满足5105100,,,

,,(1,2,3,,20)kaaaak=是公差为(0)dd等差数列，求d所有可能的值【答案】（1）1，3，5，2，4；1，4，2，5，3（2）证明见解析（3）5【解析】【分析】（1）根据P数列的定义，可直接写出答案；（2）假设{}na是等差数列，公差为d，

分0d和0d两种情况，可得到与题意不符的结论，从而证明结论成立；（3）由题意，N*d，分类讨论，说明当6d时，不符题意，同理可说明3d和4d=时，推导出与题意不符的结论，继而说明5d=，符合题意，从

而求得答案.【小问1详解】由题意可得满足5m=且11a=的P数列为：1，3，5，2，4；1，4，2，5，3..【小问2详解】假设{}na是等差数列，公差为d，当0d时，由题意，2d=或3，此时1121i

aaa++(2,3,4,,)im=，所以11a+不是等差数列{}na中的项，与题意不符，所以{}na不可能是等差数列当0d时，由题意，2d=−或3−，此时1121iaaa−−(2,3,4,,)im=所以11a−不是等差数列{}n

a中的项，与题意不符，所以{}na不可能是等差数列综上所述，{}na不可能是等差数列【小问3详解】由题意，N*d，当6d时，因为51a，所以100519115aad=+，与题意不符；当3d时，记545352515,,,,(1,2,3,,20)kkkkkkMa

aaaak−−−−==，当100(1,2,3,,20)iMi时，51004388ia−=，所以55()31kiaaikd=−−，所以kM中的最小项314319−=，所以1(1,2,3,20)

kMk=，与题意不符，当4d=时，1054aa=+，又由题意，10512342323aaxxxx=++−−（*），其中N(1,2,3,4)ixi=，且12345xxxx+++=，所以13242()3()4xxxx−+−=，所以13242xxxx−==

，所以322225xx++=，与N(1,2,3,4)ixi=不符；当5d=时，取,541,532,522,511,5nnnknnkannknnknnk=−+=−=+=−−=−−=，此时的数列{}n

a满足题意，综上所述，5d=.