【文档说明】陕西省宝鸡市陈仓区2021届高三下学期第一次质量检测理科数学试卷 含解析.doc，共(17)页，927.500 KB，由管理员店铺上传

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2021年陕西省宝鸡市陈仓区高考数学第一次质检试卷（理科）一、单选题（共12小题）.1．已知集合A＝{y|y＝ln（x﹣1）}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{0，1，2，3}B．{1，2，3}C．{2，3}D．{0，1}2．已知复数z满足（其中i为虚数单

位），则＝（）A．B．C．D．3．设a＝0.50.4，b＝log0.50.3，c＝log80.4，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜c＜a4．将四棱锥S﹣ABCD的每一个顶点染上

一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果有恰有5种颜色可供使用，则不同的染色方法有（）A．480种B．360种C．420种D．320种5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果a、b、c成等差数列，B＝30°，△ABC的面积为，则

b等于（）A．B．C．D．6．设，则展开式中的常数项为（）A．560B．1120C．2240D．44807．已知f（x）是定义在R上的周期为4的奇函数，当x∈（0，2）时，f（x）＝x2+lnx，则f（2019）＝（）A．

﹣1B．0C．1D．28．若函数f（x）＝x+（x＞2），在x＝a处取最小值，则a＝（）A．1+B．1+C．3D．49．已知函数f（x）＝sin（ωx+θ）（ω＞0，﹣）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数f（x）的图象向左平移后得到偶函数g（

x）的图象，则函数f（x）的一个单调递减区间为（）A．[﹣]B．[]C．[0，]D．[]10．已知平面向量，，均为单位向量，若，则的最大值是（）A．B．3C．D．11．已知直线a，b与平面α，β满足a⊂α，b⊂β，α∩β＝l，则下列命题中正确的是（）A．α⊥β是a⊥b的充分不必要条件B．a⊥

l是α⊥β的充要条件C．设α⊥β，则a⊥b是a⊥l的必要不充分条件D．设α⊥β，则a⊥b是a⊥l的既不充分也不必要条件12．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f'（x）＞1，f（0）＝4，则不等式exf（x）＞ex+3的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞

）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知椭圆的一个焦点为（1，0），则C的离心率为．14．函数在上的值域为．15．已知数列{an}满足2a1+22a2+23a3+…+2nan＝n（n∈N*）

，若bn＝，则数列{bn}的前n项和Sn＝．16．记函数在区间（﹣2，4）上的零点分别为x＝xi（i＝1，2，⋯，n），则＝．三、解答题（共70分）17．已知向量＝（sinA，sinB），＝（cosB，cosA），＝sin2C，且A、B、C分别为△ABC三边a、b、c所对的角．（1）求

角C的大小；（2）若sinA、sinC、sinB成等差数列，且＝18，求c边的长．18．公元2020年春，我国湖北武汉出现了新型冠状病毒，人感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命．为了尽快遏制住病毒的传播，我国科研人员，

在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中，利用小白鼠进行科学试验．为了研究小白鼠连续接种该疫苗后出现Z症状的情况，决定对小白鼠进行做接种试验．该试验的设计为：①对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；②连续接种三天为一个接种周期；③试验共进行3个周期．已知每只小白鼠接种后当天出现Z症状

的概率均为，假设每次接种后当天是否出现Z症状与上次接种无关．（Ⅰ）若某只小白鼠出现Z症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率；（Ⅱ）若某只小白鼠在一个接种周期内出现2次或3次Z症状，则在这个接种

周期结束后，对其终止试验．设一只小白鼠参加的接种周期数为X，求X的分布列及数学期望．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BCC1B1是边长为2的正方形，平面ABC⊥平面BCC1B1，AB＝1，AB⊥BC，点E为棱AA1

的中点．（Ⅰ）求证：BC1⊥平面A1B1C；（Ⅱ）求直线BC1与平面B1CE所成角的正弦值．20．已知函数f（x）＝（x﹣1）ex﹣alnx（a≤e）．（Ⅰ）当a＝e时，（i）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（ii）求函数y＝f（x）的最小值；（Ⅱ）若曲线y＝f（x

）与x轴有且仅有一个公共点，求实数a的取值范围．21．已知点P（0，1）为椭圆C：上一点，且直线x+2y﹣2＝0过椭圆C的一个焦点．（1）求椭圆C的方程．（2）直线l与椭圆C相交于A，B两点，记直线AP，BP的斜率分别为k1，k2，若k1+k2＝﹣

2，直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的

正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣6ρisinθ﹣11＝0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程为，（t为参数，0≤α＜π），点P（1，0），直线l交曲线C于A，B两点，求|PA|+

|PB|的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知点P（a，b）在圆C：x2+y2＝x+y（x，y∈（0，+∞））上，（1）求的最小值；（2）是否存在a，b，满足（a+1）（b+1）＝4？如果存在，请说明理由．参考答案一、单选题（共12小题）.1．已知集合A＝{y|y＝

ln（x﹣1）}，B＝{0，1，2，3}，则A∩B＝（）A．{0，1，2，3}B．{1，2，3}C．{2，3}D．{0，1}解：∵A＝R，B＝{0，1，2，3}，∴A∩B＝{0，1，2，3}．故选：A．2．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则＝（

）A．B．C．D．解：∵，∴，|z|＝2，则＝．故选：B．3．设a＝0.50.4，b＝log0.50.3，c＝log80.4，则a，b，c的大小关系是（）A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜c＜a解：∵0＜a＝0.50.

4＜0.50＝1，b＝log0.50.3＞log0.50.5＝1，c＝log80.4＜log81＝0，∴c＜a＜b．故选：C．4．将四棱锥S﹣ABCD的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果有恰有5种颜色可供使用，则不同的染

色方法有（）A．480种B．360种C．420种D．320种解：四棱锥为P﹣ABCD．下面分两种情况即C与B同色与C与B不同色来讨论，（1）各个点的不同的染色方法P：C51，A：C41，B：C31，C与A

同色：D：C31，故共有C51，•C41•C31•C31种．（2）各个点的不同的染色方法P：C51，A：C41，B：C31，C与A不同色C21，D：C21，故共有C51•C41•C31•C21•C21种由分步计数原理可得不同的染色方法总数有：C51•C41•C31•C31+C51•C41•C31•

C21•C21＝420．故选：C．5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，如果a、b、c成等差数列，B＝30°，△ABC的面积为，则b等于（）A．B．C．D．解：由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2accosB＝（a+c）2﹣2ac﹣2accosB①，又S△ABC＝acsinB＝ac＝

，∴ac＝6，②∵a、b、c成等差数列，∴a+c＝2b，③，将②③代入①得b2＝4b2﹣12﹣6，化简整理得b2＝4+2，解得b＝1+．故选：A．6．设，则展开式中的常数项为（）A．560B．1120C．2240D．4480解：

设＝﹣cosx＝2，则＝展开式中的通项公式为Tr+1＝•2r•x8﹣2r，令8﹣2r＝0，求得r＝4，可得展开式中的常数项为•16＝1120，故选：B．7．已知f（x）是定义在R上的周期为4的奇函数，当x∈（0，2）时，f（x）＝x2+lnx，则f（2019）＝（）A．﹣1B．0C．1D

．2解：由题意可得：f（2019）＝f（505×4﹣1）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣（12+ln1）＝﹣1．故选：A．8．若函数f（x）＝x+（x＞2），在x＝a处取最小值，则a＝（）A．1+B．1+C．3D．4解：f（x）＝x+＝x﹣2++2≥4当x﹣2＝1时，即x＝3时

等号成立．∵x＝a处取最小值，∴a＝3故选：C．9．已知函数f（x）＝sin（ωx+θ）（ω＞0，﹣）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数f（x）的图象向左平移后得到偶函数g（x）的图象，则函数f（x）的一个单调递减区间为（）A．[﹣]B．[]C．[0，]D．[]解

：函数f（x）＝sin（ωx+θ）（ω＞0，﹣）的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，则：T＝π，所以：ω＝2将函数f（x）的图象向左平移后，得到g（x）＝sin（2x++θ）是偶函数，故：（k∈Z），解得：（k∈Z），由

于：，所以：当k＝0时．则，令：（k∈Z），解得：（k∈Z），当k＝0时，单调递减区间为：[]，由于[]⊂[]，故选：B．10．已知平面向量，，均为单位向量，若，则的最大值是（）A．B．3C．D．解：∵平面向量，，均为单位向量，（+）2

＝+2•+＝3，故||＝；∴＝•+﹣（+）•＝﹣（）≤+|+|•|﹣|＝+；当且仅当与反向时取等号．故选：C．11．已知直线a，b与平面α，β满足a⊂α，b⊂β，α∩β＝l，则下列命题中正确的是（）A．α⊥β是a⊥b

的充分不必要条件B．a⊥l是α⊥β的充要条件C．设α⊥β，则a⊥b是a⊥l的必要不充分条件D．设α⊥β，则a⊥b是a⊥l的既不充分也不必要条件解：由直线a，b与平面α，β满足a⊂α，b⊂β，α∩β＝l，知：在A中，α⊥β是a⊥b的不充分不必要条件，故A错误；在B中，a

⊥l是α⊥β的充分不必要条件，故B错误；在C中，设α⊥β，则a⊥b是a⊥l的必要不充分条件，故C正确；在D中，设α⊥β，则a⊥b是a⊥l的必要不充分条件，故D错误．故选：C．12．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f

'（x）＞1，f（0）＝4，则不等式exf（x）＞ex+3的解集为（）A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）解：令g（x）＝ex[f（x）﹣1]，x∈R，则g'（x）＝ex[f（x）﹣1+f'（x）]，∵f（x）+f'（x）＞1，

∴g'（x）＞0恒成立，即g（x）在R上单调递增．∵f（0）＝4，∴g（0）＝e0[f（0）﹣1]＝3．不等式exf（x）＞ex+3可化为ex[f（x）﹣1]＞3，等价于g（x）＞g（0），∴x＞0．故选：A．二、填空题（每小题5分，共20分）13．已知椭圆的一个焦点为（1，0），则C

的离心率为．解：椭圆的一个焦点为（1，0），可得a2﹣3＝1，解得a＝±2，所以椭圆的离心率为＝．故答案为：．14．函数在上的值域为[﹣2，4]．解：＝＝，∵，∴，，∴，∴f（x）的值域为[﹣2，4]，故答案为：[﹣2，4]．15．已知数列{an}满足2a

1+22a2+23a3+…+2nan＝n（n∈N*），若bn＝，则数列{bn}的前n项和Sn＝．解：因为2a1+22a2+23a3+…+2nan＝n（n∈N*），所以2a1+22a2+23a3+…+2n﹣1an﹣1＝n﹣1

（n≥2），两式相减得2nan＝1（n≥2），当n＝1时也满足，故an＝，bn＝＝＝﹣，故Sn＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝．故答案为：．16．记函数在区间（﹣2，4）上的零点分别为x＝xi（i＝1，2，⋯，n），则＝6．解：令＝0，得

，画出，y＝cosπx在区间（﹣2，4）上的图象如图所示，两个函数图象都关于x＝1对称，所以两个函数图象的六个交点也关于直线x＝1对称，所以＝3×2＝6，故答案为：6．三、解答题（共70分）17．已知向量＝（sinA，sinB），＝（cosB，cosA），＝sin2C，且A、B、C分别为

△ABC三边a、b、c所对的角．（1）求角C的大小；（2）若sinA、sinC、sinB成等差数列，且＝18，求c边的长．解：（1）由于，…对于△ABC，A+B＝π﹣C，0＜C＜π，∴sin（A+B）＝sinC，∴．…又∵，∴．…（2）由sinA，sinC，sinB成等差

数列，得2sinC＝sinA+sinB，由正弦定理得2c＝a+b．…∵，即abcosC＝18，ab＝36．…由余弦弦定理c2＝a2+b2﹣2abcosC＝（a+b）2﹣3ab，…∴c2＝4c2﹣3×36，c2＝36，∴c＝6．…18．公元2020年春，我国湖北武汉出现了新型

冠状病毒，人感染后会出现发热、咳嗽、气促和呼吸困难等，严重的可导致肺炎甚至危及生命．为了尽快遏制住病毒的传播，我国科研人员，在研究新型冠状病毒某种疫苗的过程中，利用小白鼠进行科学试验．为了研究小白鼠连续接种该疫苗后出现Z症状的情况，决定对小白鼠进行做接种试验

．该试验的设计为：①对参加试验的每只小白鼠每天接种一次；②连续接种三天为一个接种周期；③试验共进行3个周期．已知每只小白鼠接种后当天出现Z症状的概率均为，假设每次接种后当天是否出现Z症状与上次接种无关．（Ⅰ）若某只小白鼠出现Z症状即对其终止试验，求一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率

；（Ⅱ）若某只小白鼠在一个接种周期内出现2次或3次Z症状，则在这个接种周期结束后，对其终止试验．设一只小白鼠参加的接种周期数为X，求X的分布列及数学期望．解：（Ⅰ）连续接种三天为一个接种周期，每只小白鼠接种

后当天出现Z症状的概率均为，假设每次接种后当天是否出现Z症状与上次接种无关若某只小白鼠出现Z症状即对其终止试验，由相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式，得：一只小白鼠至多能参加一个接种周期试验的概率为：P1＝＝．（Ⅱ）随机变量X＝1，2

，3，设事件C为“在一个接种周期内出现2次或3次Z症状”，P（X＝1）＝P（C）＝＝，P（X＝2）＝[1﹣P（C）]×P（C）＝（1﹣）×＝，P（X＝3）＝[1﹣P（C）][1﹣P（C）]×1＝（1﹣）×（1﹣）×1＝，所以X的分布列为：X123PX的数学期望E

（X）＝＝．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BCC1B1是边长为2的正方形，平面ABC⊥平面BCC1B1，AB＝1，AB⊥BC，点E为棱AA1的中点．（Ⅰ）求证：BC1⊥平面A1B1C；（Ⅱ）求直线BC1与平面B1CE所成角的正弦值．【解

答】（Ⅰ）证明：∵平面ABC⊥平面BCC1B1，平面ABC∩平面BCC1B1＝BC，AB⊂平面ABC，且AB⊥BC，∴AB⊥平面BCC1B1，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，有AB∥A1B1，∴A1B1⊥平面BCC1B1，得A1B1⊥BC1．∵BCC1B

1是正方形，∴BC1⊥B1C，而A1B1∩B1C＝B1，∴BC1⊥平面A1B1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AB⊥平面BCC1B1，又BC⊥BB1，∴以B为坐标原点，分别以BC，BB1，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则B（0，0，0），C（2，0，0）

，B1（0，2，0），C1（2，2，0），E（0，1，1），，，．设平面CB1E的一个法向量为．由，取x＝1，得．设直线BC1与平面B1CE所成角为θ．则sinθ＝|cos＜＞|＝＝．即直线BC1与平面B1CE所成角的正弦值为．20．已知函数f（x）＝（x﹣1）ex﹣alnx（a≤e

）．（Ⅰ）当a＝e时，（i）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（ii）求函数y＝f（x）的最小值；（Ⅱ）若曲线y＝f（x）与x轴有且仅有一个公共点，求实数a的取值范围．解：（Ⅰ）（i）当a＝e时，f（x）＝（x﹣

1）ex﹣elnx，∴f′（x）＝xex﹣，∴f′（1）＝e﹣e＝0，∵f（1）＝0，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y＝0，（ii）令g（x）＝xex﹣，x＞0，∴g′（x）＝（x+1）ex+＞0，∴g（x）在（0，+∞）上单调递增，∵g（1）＝e

﹣e＝0，∴当x∈（0，1）时，g（x）＝f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x∈（1，+∞）时，g（x）＝f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴f（x）min＝f（1）＝0．（Ⅱ）∵f（x）＝（x﹣1）ex﹣alnx，x＞0，∵f（1）＝0，且曲线y＝f

（x）与x轴有且仅有一个公共点，∴函数f（x）有且仅有1个零点，这个零点为1，∴f′（x）＝xex﹣＝，当a≤0时，f′（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，x→0+时，f（x）→﹣∞，x→+∞时，f（x）→+∞，所以符合函数f（x）有且仅有1个

零点，这个零点为1，当0＜a＜e时，令g（x）＝x2ex﹣a，（x＞0），g′（x）＝2xex+x2ex＝（x2+2x）ex＞0，所以在（0，+∞）上，g（x）单调递增，所以g（x）＞g（0）＝﹣a＜0，g（1）＝e﹣a＞0，

所以∃x0∈（0，1）时，g（x0）＝0，即x02e＝a，所以在（0，x0）上g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（x0，+∞）上g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）min＝f（x0），所以如果有1个零点，只能是x0∈（0

，1），不符合题意．当a＝e时，f（x）＝（x﹣1）ex﹣elnx，x＞0∴f′（x）＝xex﹣＝，令h（x）＝x2ex﹣e，（x＞0），h′（x）＝2xex+x2ex＝（x2+2x）ex＞0，所以在（0，+∞）上，h（x）单调递增，所以h（

x）＞g（0）＝﹣e＜0，h（1）＝e﹣e＝0，所以在（0，1）上g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减，在（1，+∞）上g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）min＝f（

1）＝0，符合题意．所以实数a的取值范围：a≤0或a＝e．21．已知点P（0，1）为椭圆C：上一点，且直线x+2y﹣2＝0过椭圆C的一个焦点．（1）求椭圆C的方程．（2）直线l与椭圆C相交于A，B两点，

记直线AP，BP的斜率分别为k1，k2，若k1+k2＝﹣2，直线l是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，说明理由．解：（1）由椭圆的方程可得，焦点在x轴上，点P（0，1）在椭圆上，所以b＝1，又因为直线x

+2y﹣2＝0过椭圆C的一个焦点．令y＝0，所以x＝﹣2，即c＝2，而a2＝b2+c2＝1+4＝5，所以椭圆C的方程：+y2＝1；（2）恒过定点，证明过程如下：（i）当直线l的斜率不为0时，设直线x＝ny+t，设A（x1，y1），B（x2，y2），将直线l的方程与椭圆联立整理可得：（5+n

2）y2+2nty+t2﹣5＝0，△＝4n2t2﹣4（5+n2）（t2﹣5）＞0，即t2＜n2+5，y1+y2＝，y1y2＝，因为k1+k2＝+＝＝＝＝＝＝，而k1+k2＝﹣2，所以可得t﹣n＝1，t＝1+n，所以直线l的方程为x＝ny+1+n，即x﹣1﹣n（y+1）＝0，当x＝1，

y＝﹣1，即直线过（1，﹣1）；（ii）当直线l的斜率为0时，设直线l的方程x＝m，设A（x1，y1），设y1＞0，B（x1，﹣y1），将x＝m（m∈[﹣，），代入椭圆的方程可得y2＝1﹣，则y1＝，所以A（m，），B（m，﹣），

所以k1＝，k2＝，因为k1+k2＝﹣2，所以+＝﹣2，解得m＝1，即直线AB的方程为：x＝1；（1，﹣1）也在直线x＝1，综上所述：直线l恒过（1，﹣1）．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程

]22．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣6ρisinθ﹣11＝0．（1）求曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l的参数方程为，（t为参数，0≤α＜π），点P（1

，0），直线l交曲线C于A，B两点，求|PA|+|PB|的取值范围．解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣6ρisinθ﹣11＝0．转换为直角坐标方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝36．（2）将线l的参数方程为，（t为参数，0≤α＜π），

与圆C方程联立得：t2﹣6（sinα+cosα）t﹣18＝0，所以t1+t2＝6（sinα+cosα），t1t2＝﹣18，所以，又0≤α＜π，所以sin2α∈[﹣1，1]，故其中，取到最大值12，时取到最小值6．[选修4-5：不等式选讲]23．已知点P（a，b

）在圆C：x2+y2＝x+y（x，y∈（0，+∞））上，（1）求的最小值；（2）是否存在a，b，满足（a+1）（b+1）＝4？如果存在，请说明理由．解：（1），当且仅当a＝b＝1时，等号成立．所以的最小值为2．（2

）存在．因为a2+b2≥2ab，所以（a+b）2≤2（a2+b2）＝2（a+b），所以（a+b）2﹣2（a+b）≤0，又a，b∈（0，+∞），所以0＜a+b≤2．从而有，因此存在a＝1，b＝1，满足（a+1）（b+1）＝4．