【文档说明】高考数学培优专题55讲：第21讲 三角函数的图象及性质【高考】.docx，共(16)页，868.218 KB，由管理员店铺上传

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1第二十一讲三角函数的图象及性质A组一、选择题1．（2017年高考全国1卷理）已知曲线C1：y=cosx，C2：y=sin(2x+2π3)，则下面结论正确的是A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得

到曲线C2B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C

2D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C2【答案】D【解析】因为12,CC函数名不同，所以先将2C利用诱导公式转化成与1C相同的函数名，则222:sin2cos2cos23326Cyxxx=+=+−=+

，则由1C上各点的横坐标缩短到原来的12倍变为cos2yx=，再将曲线向左平移12个单位长度得到2C，故选D.2.函数()()sin0,0fxAxA=的部分图象如图所示，()()()()1232015ffff++++的值为（）A．0B．32C．62D

．2−答案A解析：由图知2A=，2(62)8T=−=，所以24T==，所以()2sin()4fxx=．由正弦函数的对称性知(1)(2)(8)0fff+++=，所以(1)(2)(2015)(1)(2)(7)ffffff+++=+++＝(8)0f−=，故选A．23．如果函数()2sin2

yx=−的图象关于点4(,0)3中心对称，那么||的最小值为（）A．6B．4C．3D．2答案C解析：因为函数()2sin2yx=−的图象关于点4(,0)3中心对称，所以438|2sin03xy==−=，根据

诱导公式可得2sin03−=，所以23k−=，即23k=+，kZ，令1k=−得min,3=故选C.4．函数()2sin()(0,)22fxx=+−的部分图象如图所示，则,的值分别是（）A、2,

3−B、2,6−C、4,6−D、4,3答案A解析：由图可知，11521212T=−，即T=，所以由2T=可得，2=，所以函数()2sin(2)fxx=+，又因为函数图像过点5(,2)12

，所以522sin(2)12=+，即522,122kkZ+=+，又因为22−，所以3=−，故应选A．5．关于函数()3sin(2)1()3fxxxR=−+，下列命题正确的是（）A．由12()()1fxfx

==可得12xx−是的整数倍B．()yfx=的表达式可改写成3cos(2)16yx=++C．()yfx=的图象关于点(,1)6对称D．()yfx=的图象关于直线34x=对称答案C解析：A中，令()3sin

(2)03gxx=−=，则2()3xkkZ−=，即()62kxkZ=+，所以若312()()1fxfx==有12xx−是2的整数倍，故A不正确；B中，()3sin(2)13fxx=−+＝3cos(2)132x−−

++＝3cos(2)16x−++，故B不正确；C中，令2()3xkkZ−=，得62kx=+（kZ），所以函数()fx的图象的对称点为(,1)()62kkZ+，故C正确；D中令23x−＝2k+（kZ）可得5()122kxkZ=+，所以函数()fx图象的对称轴为直线

5()122kxkZ=+，故D不正确，故选C．二、填空题6．如图，已知,AB分别是函数()3sin(0)fxx=在y轴右侧图象上的第一个最高点和第一个最低点，且,2AOB=则该函数的周期是．答案4解析

：由题意可设3(,3),(,3)22AB−，又,2AOB=所以32+3(3)=04222T−===7．函数()2sin()fxx=+(0)22−，的部分图象如图所示，则函数(

)fx解析式．答案()2sin(2)3fxx=−解析：由图可知1152()1212T=−=，所以22T==，所以()2sin(2)fxx=+．把5(,2)12代入，得52sin()16+=，结合22−，得3=−，所以()2sin(2)3fxx=−．三、解答题8．

设函数21()sin2cos()24fxxx=−+．4（1）若(0,)x，求()fx的单调递增区间；（2）在锐角ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，若()0,12Bfb==，求ABC面积的最大值．解析

：（1）由题意可知，1cos(2)112()sin2sin2222xfxxx++=−=−，由222,22kxkkZ−+，所以()fx的单调递增区间是0,4和3,4．（2）由1()sin022BfB=−=，可得1sin2B=，由

题意知B为锐角，所以3cos2B=，由余弦定理2222cosbacacB=+−，可得：22132acacac+=+，即23ac+，且当ac=时等号成立，因此123sin24ABCSacB+=，所以ABC面积的最大值为234+．9．设函数()sin()f

xx=+，其中0，||2，若2coscossinsin033−=且图像的两条对称轴间的最近距离是2．（1）求函数()fx的解析式；（2）若是△的三个内角，且()1fA=−，求sinsinBC+的取值范围．．解析：（1）由

条件，2coscossinsincoscossinsincos()033333−=−=+=．∵||2，∴5636−+，∴32+=，∴6=．又图象的两条对称轴间的最近距离是2

，所以周期为，∴2=，∴()sin(2)6fxx=+．（2）由()1fA=−，知sin(2)16A+=−，∵A是ABC的内角，∴0A，∴132666A+，∴3262A+=，∴23A=，

从而3BC+=．由sinsinsinsin()sin()33BCBBB+=+−=+，∵03B，∴2333B+，ABC、、ABC5∴3sin()123B+，即3sinsin(,1]2BC+．10．

已知函数()()Rxxxxxf−−=21coscossin232．（Ⅰ）当5[,]1212x−时，求函数()fx取得最大值和最小值时x的值；（Ⅱ）设锐角的ABC内角,,ABC的对应边分别是,,abc，且*1,acN=，若向量()

11,sinA=n与向量()22,sinB=n平行，求c的值．解析：（Ⅰ）()31cos2131sin2sin2cos21sin21222226xfxxxxx+=−−=−−=−−，∵，∴232,sin(2)36326xx−−−−≤1，∴当sin

(2)16x−=时，即262x−=，得3x=，()fx取得最大值0；当3sin262x−=−时，即263x−=−，得12x=−，()fx取得最小值312−−；（Ⅱ）向量()1,sinA=n与向量

()2,sinB=n平行，所以sin2sinBA=，根据正弦定理的推论，得2ba=，1,2ab==，由余弦定理214212cos54cos,cCC=+−=−20,0cos1,15,15,2CCcc*,c2,cN=经检验符合三角

形要求，c的值为2．11．已知向量31(cos2,sincos)22mxxx=−ur，31(1,sincos)22nxx=−r，设函数()fx=mn．（Ⅰ）求函数()fx取得最大值时x取值的集合；（Ⅱ

）设A，B，C为锐角三角形ABC的三个内角．若3cos5B=，1()4fC=−，求sinA的值。解析:（Ⅰ）231()cos2(sincos)22fxxxx=+−5,1212x−622313cos2(sincossincos)442xxxxx=++−1

33(cos2sin2)244xx=−−+13sin(2).223x=−−要使()fx取得最大值，须满足sin(2)3x−取得最小值．22,32xkk−=−Z.,12xkk=−Z.当()fx取得最大值时

，x取值的集合为{|,}.12xxkk=−Z（Ⅱ）由题意，得3sin(2).32C−=−(0,),2CQ22(,).333C−−3C=．(0,)2BQ，4sin.5B=sinsin()sin

coscossinABCBCBC=+=+4133433.525210+=+=B组一、选择题1．将函数()()sin20yx=+>的图象沿x轴向左平移8个单位后，得到一个偶函数的图象，则的最小值为（）A．43B．83C．4D．8答案C解析:将函数()()sin20y

x=+的图象沿x轴向左平移8个单位后，得到一个偶函数sin2sin284[()]()yxx=++=++的图象，可得42+=，求得的最小值为4，故选：B．2．如图是函数()()sin22fxAx=+≤图像的一部分，对不同的bax

x,,21，若7()()21xfxf=，有()321=+xxf，则（）A．()xf在−12,125上是减函数B．()xf在65,3上是减函数C．()xf在−12,125上是增函数D．

()xf在65,3上是增函数答案C解析:由图可知2A=，又由()()21xfxf=，知函数的图象关于直线1222xxabx++==对称，所以12abxx+=+．由五点法作图，得20a+

=，2b+=，所以2ab+=−，则()fab+＝()122sin(2)2sin3fxx−+==+=，即3sin2=，所以3=，所以()2sin23fxx=+，在−12,125上，2,322x+−，所以()xf在

−12,125上是增函数，故选C．3．在ABC中，2C，若函数)(xfy=在1,0上为单调递减函数，则下列命题正确的是（）A．)(cos)(cosBfAfB．)(sin)(sinBfAfC．)(cos)(sinBfAf

D．)(cos)(sinBfAf答案D解析:由题在ABC中，由2C，可得02AB+＜从而可得，80sin0sin122ABAB−−＜＜sin即01sinAcosB＜＜＜，根据题意函数)(xfy=在1,0上为单调递减函数，故)(

cos)(sinBfAf，选D4．为了得到函数()sin26fxx=−的图象，可以将函数cos2yx=的图象（）A．向右平移6个单位长度B．向右平移3个单位长度C．向左平移6个单位长度D

．向左平移3个单位长度答案B解析:sin(2)cos[(2)]626yxx=−=−−22cos(2)cos(2)33xx=−=−cos[2()]3x=−，将函数cos2yx=的图象向右平移3个单位长度．故选B．二、填空

题5．设函数()sin26fxx=+，,6xa−的值域是1,12−，则实数a的取值范围是．答案]2,6[解析:因为],6[ax−，所以]62,6[)62(+−+ax，而函数)(xf的值域为]1,21[−，所以676

22+a，所以26a，即实数a的取值范围是]2,6[.6．已知函数()133sin1cos22fxaxax=−++，将()fx图象向右平移3个单位长度得到函数()gx的图象，若对任意xR，都有()4

gxg成立，则a的值为．答案2解析:()13sincos3sincossin()2cos()2233fxaxaxxxaxx=+−+=+++24sin()3ax=+++（其中2cos4aa=+，22sin4a=+）．将(

)fx图象向右平移3个单位长度得22()4sin()4sin()33gxaxax=+−++=++22|4sin()|44aa++=+≤，所以4=，2224aa=+，解得2a=．三、解答题

97．已知函数()2sin223cos3fxxxa=−++．（Ⅰ）求函数()fx的单调递减区间；（Ⅱ）设0,2x时，函数()fx的最小值是2−，求()fx的最大值．解析:（Ⅰ）()sin23(1cos2)3fxxxa=−+++sin23cos

2xxa=−+2sin(2),3xa=−+令3222,()232kxkkZ+−+≤≤，得511,()1212kxkkZ++≤≤，()fx的单调递减区间511[,],().121

2kkkZ++（Ⅱ）0,2x≤≤2,333x−−≤2≤31,23x−−≤sin(2)≤minmax()3,()2fxafxa=−+=+,令32a−+=−得32a=−，所以max()2323.fx=

+−=8．已知函数31sin322sin2)(2−+−=xxxf.（1）求函数)(xf的最小正周期和单调递增区间；（2）当2,6x时，若txf2log)(恒成立，求t的取值范围.解析：（1）1)

32sin(2)(+−=xxf函数)(xf最小正周期是=T,解得Zkkxk+−,12512，函数)(xf单调递增区间为)(125,12Zkkk+−（2）−

32,032,2,6xx，∴1)32sin(2)(+−=xxf的最小值1，由txf2log)(恒成立，得1log2t恒成立.所以t的取值范围为(20，109．已知函数()sin()fxAx=+,,0,02xR的部分图

象如图所示．(1)求函数()fx的解析式；(2)求函数()()()1212gxfxfx=−−+的单调递增区间．解析:(1)由题设图象知，周期11522,2.1212TT=−===因为点5,012在函数图象上,所以

5sin(2)0,12A+=即5sin()0.5+=又5540,,2663+从而56+=,即6=.又点()0,1在函数图象上，所以sin1,2,6AA==故函数()fx的解析式为()2sin(2)6fxx=+.(2

)()()()2sin[2()]2sin[2()]1212126126gxfxfxxx=−−+=−+−++132sin22sin(2)2sin22(sin2cos2)322xxxxx=−+

=−+sin23cos22sin(2)3xxx=−=−,11由222(),232kxkkZ−−+≤≤得5().1212kxkkZ−+≤≤()gx的单调递增区间是5[,],.1212kkkZ−+10．已知函数2()sin

sin3cos.2fxxxx=−−(1)求()fx的最小正周期和最大值；(2)讨论()fx在2[,]63上的单调性.解析：(1)2()sinsin3cos2fxxxx=−−3cossin(1cos2x)2xx=−+133sin2cos2x

222x=−−3sin(2)32x=−−,因此()fx的最小正周期为，最大值为232−.(2)当2x[,]63时，023x−≤≤，从而当0232x−≤≤，即5612x≤≤时，()fx单调递增，当223x−≤≤，即52123x≤≤时，()fx单调递减

.综上可知，()fx在5[,]612上单调递增，在52[,]123上单调递减.C组一、选择题1．如图所示的是函数()sin2fxx=和函数()gx的部分图象，则函数()gx的解析式是（）12A．()sin(2)3gxx

=−B．2()sin(2)3gxx=+C．5()cos(2)6gxx=+D．()cos(2)6gxx=−答案C.解析：由题意得，(0)0g，故排除B，D；又∵172()()sin24842gf

===，故排除A，故选C.2．将函数sincos22yxx=++的图象沿x轴向右平移8个单位后，得到一个偶函数的图象，则的取值不可能是（）A．54−B．4−C．4D．34答案C解析：

1sincossin(2x)222yxx=++=+，沿x轴向右平移8个单位后得到1sin(2x)24y=−+为偶函数，因此()42kkz−+=+，从而选C.3．为了

得到函数3sin(2)5yx=+的图象，只需把函数3sin()5yx=+图象上的所有点（）A．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变B．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的2倍，横坐标不变答案

A解析：这是一个三角函数的图象变换问题，一般的为了得到函数()sinyAx=+的图象，只需把函数()sinyAx=+的图象上所有点的横坐标伸长（01）或缩短（1）到原来的1倍（纵坐标不变）即可，因此为

了得到函数的图象，只需把函数图象上的所有点横坐3sin(2)5yx=+3sin()5yx=+13标缩短到原来的倍，纵坐标不变，故选A.4．函数sin26yx=−的图像与函数cos3yx=−

的图像（）A．有相同的对称轴但无相同的对称中心B．有相同的对称中心但无相同的对称轴C．既有相同的对称轴也有相同的对称中心D．既无相同的对称中心也无相同的对称轴答案A解析：函数sin26yx=−的对称轴为2,6223kxkxkZ−=+

=+函数cos3yx=−的对称轴为,33xkxkkZ−==+；当0k=时，二者有相同的对称轴3x=；同理，由三角函数的性质可得函数sin26yx=−的对称中心为,0212kkZ+，函数cos3

yx=−的对称中心为5,0,6kkZ+，二者没有相同的对称中心二、填空题5．函数()2cos(3cos3sin)3fxxxx=−−的最小正周期是___________.答案解析：因为函数()2cos(3cos3sin)3fxxxx=−−22

3cos6sincos3xxx=−−3cos23sin2323cos233xxx=−−=+−，所以最小正周期是22=，故答案为.6．已知函数()sin2cos2fxxax=+的图象关于直线

8x=−对称，则a的值为_______答案1a=−解析：方法一：()fx可以利用辅角公式变形为()sinyAx=+的形式，但是由于系数含参，所以辅角只能用一个抽象的代替：()22211sin2cos211afxaxxaa=++++()21sin2,tana

xa=++=因为()fx关于直线8x=−对称，121432824kk−+=+=+tan1a==−方法二：本题还可以利用特殊值法求出a的值，再进行验证即可：因为()fx关于直线8x=−对称，所以代入一组特殊值：()0

sin142ffaa−=−==−，再代入验证()sin2cos22sin24fxxxx=−=−，其一条对称轴为8x=−，符合题意三、解答题7．设函数()4cossincos216fxxxx=+−+，其中02

．（I）若4x=是函数()fx的一条对称轴，求函数周期T；（II）若函数()fx在区间,63−上为增函数，求的最大值．解析:由题意得，()4cossincos216fxxxx=+−+4coscossinsinsincos2166xxxx

=−−+3sin2x=．（I）因为4x=是函数()fx的一条对称轴，所以2,42kkZ=+，即21,kkZ=+．又02，所以1=．所以函数()3sin2fxx=，周期2

2T==，（II）函数()fx的单调递增区间为222,22kxkkZ−++，15整理得,44kkxkZ−++．依题意函数()fx在区间,63−上为增函数，故取0k=，则有,46,43−−

即3234，所以34，又02，所以的最大值为34．8．已知函数()2sin()(0,||)fxx=+经过点7(,2),(,2)1212−，且在区间7(,)1212上为单调函数．（Ⅰ）求,

的值；（Ⅱ）设*()()3nnanfnN=，求数列{}na的前30项和30S．解析:（Ⅰ）由题可得2,122k+=−72()122kkZ+=+，解得2=，22()3kkZ=−，||，23=−．（Ⅱ）∵*222sin()()33nnann

N=−，数列*22{2sin()}()33nnN−的周期为3．前三项依次为0,3,3−，∴32313(32)0(31)33(3)3nnnaaannn−−++=−+−+−=−*()nN，∴3012

3282930()()103Saaaaaa=++++++=−．9．设函数()5sin()(0)53kfxxk=−.(1)写出()fx的最大值M，最小值m，最小正周期T；(2)试求正整数k的最小值，使得当自变量x在任意两相邻整数间(包括整数本身)变化时，函数()fx至少有一个值是M，

一个值是m.解析：（1）2105,5,.5MmTkk==−==16(2)由题意知()fx在相邻两整数之间（包括整数本身）至少有一个M和一个m，最小正周期1T≤，则101k≤，10k≥，又k为正整数，正整数k的最小值为32.10．已知函数215cos()36kyx+=

−(其中kN)，对任意实数a，在区间,3aa+上要使函数值54出现的次数不少于4次且不多于8次，求k值．解析：由2155cos()364kx+−=，得211cos()364kx+−=.∵函数cosyx=在每个周期内出现函数值为14的有两次，而区间,3aa+长度为3，为了

使长度为3的区间内出现函数值14不少于4次且不多于8次，必须使3不小于2个周期长度且不大于4个周期长度，即223213k+≤，且243213k+≥.3722k≤≤.又kN，故2,3.k=