【文档说明】山东省德州市2022-2023学年高二上学期期末数学试题 含解析.docx，共(23)页，1.992 MB，由小赞的店铺上传

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高二数学试题本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I卷1－2页，第Ⅱ卷3－4页，共150分，测试时间120分钟.注意事项：选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上．第I卷（

共60分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1.在空间直角坐标系中，已知点(1,3,5)P，则点P关于x轴的对称点的坐标是（）A.(1,3,5)−−B.(1,3,5)−−C.()1,3,5−−D.()1,3,5−

−−【答案】C【解析】【分析】直接根据空间点关于x轴对称的结论即可得到答案.【详解】根据空间点关于x轴对称，则x轴上坐标不变，,yz轴上坐标取相反数，故点P关于x轴的对称点的坐标是()1,3,5−−.故选：C.2.已知直线()1:410lxay+−+=，2:550

laxy++=且12//ll，则实数a的值为（）A.5B.1C.5或1−D.1−【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，列出方程求解，再验证判断作答.【详解】直线()1:410lxay+−+=，2:550laxy++=，由(4)50aa−−=解得5a=或1a=−，当5a=时，直线1:

10lxy++=与2:5550lxy++=重合，不符合题意，当1a=−时，直线1:510lxy−+=与2:550lxy−−=平行，所以实数a的值为1−.故选：D3.电子设备中电平信号用电压高与低来表示，高电压信号记为数字1，低电压信号记为数字0，一串由

0和1组成的不同排列代表不同的电平信号，所用数字只有0和1，例如001100就是一个信息．某电平信号由6个数字构成，已知其中至少有四个0，则满足条件的电平信号种数为（）A.42B.22C.20D.15【答案】B【解析】【分析】根据给定的信息，利用组合

知识分类列式求解作答.【详解】依题意，求电平信号种数可以有3类办法，电平信号的6个数字中有4个0，有46C种，电平信号的6个数字中有5个0，有56C种，电平信号的6个数字中有6个0，有66C种，由分类加法计数原理得满足条件的电平信号种数为456666CCC156122

++=++=.故选：B4.已知P（B）=0.3，()0.9PBA=∣，()0.2PBA=∣，则()PA=（）A.67B.17C.13D.110【答案】A【解析】【分析】根据已知利用全概率公式得()()()(

)()||PBPAPBAPAPBA=+，即可求解()PA.详解】由全概率公式可得：()()()()()||PBPAPBAPAPBA=+可得()()()0.30.910.2PAPA=+−，解得：()17PA=则6()7PA=.故选：A.5.已知每门大炮击中目标的概率都是0.5，现

有10门大炮同时对某一目标各射击一次．记恰好击中目标3次的概率为A；若击中目标记2分，记10门大炮总得分的期望值为B，则A，B的值分别为（）A.15128，5B.15128，10C.15256，5D.

15256，10【答案】B【解析】【分析】根据题意得其机种次数和期望符合二项分布，利用其期望公式即可得到B值，再利用其概率公式计的【.算A值即可.【详解】设10门大炮击中目标的次数为X,则根据题意可得()1~10,2XB,10门大炮总得分的期望值为1102102B==，373101115

(3)C122128APX===−=，故选：B.6.羽毛球单打实行“三局两胜”制（无平局）．甲乙两人争夺比赛的冠军．甲在每局比赛中获胜的概率均为34，且每局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，

比赛进行了三局的概率为（）A.13B.25C.23D.45【答案】A【解析】【分析】求出甲获胜的概率、甲获得冠军且比赛进行了三局的概率，利用条件概率公式求概率即可.【详解】由甲获胜的概率为3313331327

4444444432++=，而甲获得冠军且比赛进行了三局，对应概率为133313944444432+=，所以在甲获得冠军的条件下，比赛进行了三局的概率为927132323=.故选：A7.3D打印是快速成型技术的一种，通过逐层打印的方式来构造物体.如图所示的笔

筒为3D打印的双曲线型笔筒，该笔筒是由离心率为3的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该笔筒的上底直径为6cm，下底直径为8cm，高为8cm（数据均以外壁即笔筒外侧表面计算），则笔筒最细处的直径为（）A.574cm8B.287cm8C.574cm4D.287cm4【答

案】C【解析】【分析】画出笔筒的轴截面，建立平面直角坐标系，设出双曲线的方程，根据题意写出点的坐标，把点的坐标代入双曲线方程即可求解.【详解】该塔筒的轴截面如图所示，以C为笔筒对应双曲线的实轴端点，以OC所在直

线为x轴，过点O且与OC垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，设A与B分别为上，下底面对应点.由题意可知3,4,8ABABxxyy==−=，设()3,Am，则()4,8Bm−，设双曲线的方程为22221(0,0)xyabab−=，因为双曲线的离心率为231ba=+，所以22ba=

，所以方程可化简为()22288*xya−=，将A和B的坐标代入()*式可得()222272812888mama−=−−=，解得125748ma==，则笔筒最细处的直径为5742cm4a=.故选：C.8.已知()0,0O，()3,0A，(),Pab满足2POPA=，则21

4ab+−的最小值为（）A.5B.4C.252−D.1025−【答案】D【解析】【分析】由2POPA=可整理得到P点轨迹方程，设42cosa=+，2sinb=，可将所求式子化为()25sin10+−，由此可得最小值.【详解】由2POPA=得

：()222243abab+=−+，整理可得：()2244ab−+=，则可令42cosa=+，2sinb=，)0,2π，()21442cos4sin1425sin10ab+−=++−=+−（其中1tan2=），则当()si

n1+=时，min2141025ab+−=−.故选：D.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.已知方程221mxny+=，其中220

mn+，则（）A.0mn时，方程表示椭圆B.0mn时，方程表示双曲线C.0n=时，方程表示抛物线D.0nm时，方程表示焦点在x轴上的椭圆【答案】BD【解析】【分析】当0mn时，22+111xymn=表示双曲线，0,0mn时表示焦点在x轴上的双曲线，0,0mn

表示焦点在y轴上的双曲线；当0mn时表示焦点在y轴上的椭圆，当0nm时表示焦点在x轴上的椭圆.【详解】若0,0mn，则221mxny+=不表示椭圆，故A错误；若0,0mn，则22111x

ymn−=−表示焦点在x轴上的双曲线，若0,0mn，则22111yxnm−=−表示焦点在y轴上的双曲线，故B正确；当0n=时，若0m，则方程表示两条垂直于x轴的直线，若0m=则不表示任何图形，故C错误；0nm时，110nm

，22111xymn+=表示焦点在x轴上的椭圆，D正确.故选：BD【点睛】本题考查圆锥曲线的标准方程，由标准方程判断焦点的位置，属于基础题.10.下列四个关系式中，一定成立的是（）A.3477CC=B.222334

100101CCCC+++=C.()111AAmmnnn+++=D.若m，*nN，且2023mn，则20232023CCmn【答案】AC【解析】【分析】根据组合数性质与排列数性质判断.【详解】由组合数性质知

3477CC=一定成立，A正确；222222223341003341033041001401+111CCCCCCCCCCC++++++++=−=−=+=−，B错；()()()()()()()()111A11111111Ammnnnnnnnmnnnnm+++=+−

−+=+−+−++=，C正确；由组合数性质知*nN且2023n≤，当11012n时，2023Cn递增，当10122023n时，2023Cn递减，因此D错．故选：AC．11.若随机变量X服从两点分布，其中()103PX==，()EX，()DX分别为随机变量X的均值与方差，

则下列结论正确的是（）A.()()1PXEX==B.()324EX+=C.()324DX+=D.()49DX=【答案】AB【解析】【分析】根据随机变量X服从两点分布推出2(1)3PX==，根据公式先计算出()EX、()DX，由此分别计算四个选项得出结果．【详解】随机变量X服从两点分布，其中1(

0)3PX==，2(1)3PX==，122()01333EX=+=，2221222()(0)(1)33339DX=−+−=，在A中，(1)()PXEX==，故A正确；在B中，2(32)3()23243EXEX+=+=+=，故B

正确；在C中，2(32)9()929DXDX+===，故C错误；在D中，2()9DX=，故D错误．故选：AB．12.已知正方体1111ABCDABCD−中，AB=2，P为正方体表面及内部一点，且1APABAD=+，其

中[0,1]，[0,1]，则（）A.当1+=时，PD的最小值为263B.当21+=时，存在点P，使得APBD⊥C.当12=时，直线AP与平面ABCD所成角正切值的取值范围是1,12D.当12=时，三棱锥1PB

CD−的体积为定值【答案】ABD【解析】【分析】当1+=时,点P在1BD上，求出PD的最小值判断A，取AB的中点K，连接111,,KDACAC，P是1KD上的动点，BD⊥平面11ACCA，可判断B，取11,ADBC的中点分别为,NM，当12=时，点P的轨迹是

NM上的动点，可求直线AP与平面ABCD所成角正切值的取值范围判断C，取AB，11DC的中点G，H，当12=时，点P的轨迹是GH上的动点，可证//GH平面1BCD，判断D.【详解】当1+=时,点P在1BD上，如图，在1BD

D中11123sin323DDDBDBD===，1PDBD⊥时，PD取得最小值为1326sin2233BDDBD==，故A正确；取AB的中点K，连接111,,KDACAC，2ABAK=，112AP

ABADAKAD=+=+当21+=时，P是1KD上的动点，在正方体中BD⊥平面11ACCA，故存在点P为平面11ACCA与1KD的交点时，使APBD⊥，故B正确；如图，取11,ADBC的中点分别为,NM，当12=时，点P的轨迹是NM上的动点，易得//MN平面ABCD，故P到平面的

距离为定值1，设直线AP与平面ABCD所成角为，当P点在N时AP的投影最小，最大，此时tan1NFAF==，当点P在M时AP的投影最大，最小，此时2215tan521MEAE===+，故直线AP与平面ABCD所成角正切值的取值范围是5,1

5，故C错误；取AB，11DC的中点G，H，当12=时，点P的轨迹是GH上的动点，易得1//,GHBCGH平面1BCD，1BC平面1BCD，//GH平面1BCD，故点P到平面1BCD的距离为定值，三棱锥1PBCD−的体积为定值，故D正确.故选：ABD第Ⅱ卷（

共90分）三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知随机变量X服从正态分布()2,N，且()200.5PX=，()300.24PX=，则(1030)PX=______．【答案】0.52##1325【解析】【分析】先根据对称性得到2

0=，结合()300.24PX=求出答案.【详解】由对称性可知，20=，故(1030)12(30)120.240.52PXPX=−=−=.故答案为：0.5214.如图是一座抛物线型拱桥，拱桥是抛物线的一部分且以抛物线的轴为对称轴，当

水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米．当水位下降，水面宽为6米时，拱顶到水面的距离为______米．【答案】4.5##92【解析】【分析】建立平面直角坐标系，设抛物线方程为2xmy=，求出抛物线的方程，再代点的坐标即得解.【详解】如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为2xmy

=，将()2,2A−代入2xmy=，得2m=−，所以22xy=−．设()03,By，代入092y=−，得04.5y=−．所以拱桥到水面的距离为4.5m．故答案为：4.5.15.在正六棱柱111111ABC

DEFABCDEF−中，若底面边长为1，高为3，则BC到平面11ADCB的距离为______．【答案】31313##31313【解析】【分析】取11,,ADBCBC的中点,,OMN，证明//BC平面11ADCB，平面OMN⊥平面11ADCB，再求出RtOMN△斜边上的高作答.【详解】在正

六棱柱111111ABCDEFABCDEF−中，取11,,ADBCBC的中点,,OMN，连接,,MNOMON，如图，11////BCBCAD，BC平面11ADCB，AD平面11ADCB，则//BC平面1

1ADCB，11//,MNBBBB⊥平面ABCDEF，则MN⊥平面ABCDEF，AD平面ABCDEF，即MNAD⊥，而OMBC⊥，即有OMAD⊥，OMMNM=，,OMMN平面OMN，则AD⊥平面O

MN，又AD平面11ADCB，因此平面OMN⊥平面11ADCB，在平面OMN内过M作MHON⊥于H，而平面OMN平面11ADCBON=，于是MH⊥平面11ADCB，线段MH长即为BC到平面11ADCB的距离，31cos

302OM==，3MN=，RtOMN△中，22392ONOMMN=+=，所以BC到平面11ADCB的距离33313213392OMMNMHON===.故答案为：3131316.如图，我们把由半椭圆()2210169yxx+=和半椭圆()22102516xyx+=合成的曲线称作“果圆

”．1F，2F，3F是相应半椭圆的焦点，则123FFF的周长为______，直线yt=与“果圆”交于A，B两点，且AB中点为M，点M的轨迹方程为______．【答案】①.827+②.()221016yxx+=【解析】【分析】根据各半椭圆方程可得1F，2F，3F的坐标，再根据两点间距离公式求得距离

及周长；分别表示点A，B的坐标，利用中点公式表示M，消参即可得到点M，得轨迹方程.【详解】由1F，2F，3F是相应半椭圆焦点，可得()10,7F，()20,7F−，()33,0F，所以1227FF=，()()221330074FF=−+−=，()()222330074FF=−+

+=，故所求周长为4427827++=+；设(),Mxy，联立直线yt=与()2210169yxx+=，得23164xt=−−，的即点2316,4Att−−，联立直线yt=与()22102516xyx+=

，得25164xt=−，即点2516,4Btt−，且,AB不重合，即4t，又M为AB中点，所以2223516161644242tttxttyt−−+−−==+==，即2164yx−=，0x，整理可得22116yx+=，0x，故答案为：827+，

()221016yxx+=.四、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知3nxx−的展开式中，所有项的系数之和是512．（1）求展开式中含3x项的系数；（2）求11(21)nxx+−

的展开式中的常数项.【答案】（1）27（2）17【解析】【分析】（1）利用赋值法得所有项的系数和，求解n，然后利用二项式展开式通项公式求解即可；（2）把式子化简为()()992121xxx−−+，然后分别利用二项式展开式通项公式求解常数项即可.【小问1详

解】因为3nxx−的展开式中，所有项的系数之和是512．所以令1x=，得2512n=，所以9n=，所以3nxx−的展开式通项公式为()()13991922199C3C31rrrrrrrrTxxx−

−−−+=−=−，令3932r−=，解得8r=，所以展开式中含3x项为()8813399C3127Txx=−=，所以展开式中含3x项的系数为27.【小问2详解】由（1）知，9n=，从而()()()9921112121nxxxxx−

+−=−+，因为()921x−的展开式的通项为()()919C21rrrrTx−+=−，所以()921x−的常数项为()()099109C211Tx=−=−，又()921xx−的常数项为()()98889C2118xx−−=

，所以()91121xx+−的展开式中的常数项为11817−+=.18.已知抛物线2:2(0)Cypxp=经过点(),Paa()0a，F为抛物线的焦点，且5PF=．（1）求抛物线C的标准方程；（2）过点()4,0M的直线l与抛物线C相交于

A，B两点，求ABO面积的最小值（O为坐标原点）【答案】（1）24yx=（2）16【解析】【分析】（1）首先求出抛物线的焦点坐标与准线方程，将点P坐标代入抛物线方程求出2ap=，再根据焦半径公式计算可得；（2）分直线AB的斜率不存在与

存在两种情况讨论，当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为()()40ykxk=−，()11,Axy，()22,Bxy，联立直线与抛物线方程，消元，列出韦达定理，根据面积公式计算可得.【小问1详解】抛物线()2:20Cypxp=的焦点为,02pF，准

线方程为2px=−，由抛物线()2:20Cypxp=经过点(),Paa，()0a，可得22apa=，即2ap=，又5PF=，可得52pa+=，解得2p=，4a=，故抛物线C的标准方程为24yx=.【

小问2详解】当直线AB的斜率不存在时，直线方程为4x=，由244yxx==，解得4y=，此时8AB=，所以ABO的面积184162S==．当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为()()40ykxk=−．由()244ykx

yx=−=得24160kyyk−−=，216640k=+．设()11,Axy，()22,Bxy，由根与系数的关系得124yyk+=，1216yy=−，所以1212ABOAOMBOMSSSOMyy=+=−△△△()21212142OMyyyy=+−2162

6416k=+，综上所述，ABO面积的最小值为16．19.2022年是共青团建团一百周年，为了铭记历史、缅怀先烈、增强爱国主义情怀，某学校组织了共青团团史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三

名同学回答一道有关团史的问题，已知甲回答正确的概率为23，甲、丙两人都回答正确的概率是12，乙、丙两人都回答正确的概率是14.每个人回答是否正确互不影响．（1）若规定三名同学都需要回答这个问题，求甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率；（2）若规定三名同

学需要抢答这道题，已知甲抢到答题机会的概率为25，乙抢到答题机会的概率为15，丙抢到的概率为25，求这个问题回答正确的概率．【答案】（1）1718（2）1930【解析】【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式可求得乙、丙回答正确的概率，结合对立事件概率

公式可求得结果；（2）根据全概率公式直接计算即可.【小问1详解】记甲回答正确为事件A，乙回答正确为事件B，丙回答正确为事件C，则事件,,ABC相互独立；由题意知：()23PA=，()12PAC=，()14PBC=，()()()132243PACPCPA=

==，()()()114334PBCPBPC===，则甲、乙、丙三名同学中至少1人回答正确的概率()213171111133418pPABC=−=−−−−=.

【小问2详解】记该问题回答正确为事件D，甲、乙、丙抢到答题机会分别为事件123,,AAA，则()125PA=，()215PA=，()325PA=，()123PAA=，()213PBA=，()334PCA=，()()()()()()()112233PDPAAPAPBAPAPCAPA=+

+2211321935354530=++=.20.如图，已知直角梯形ABCD，//ABCD，2ADDC==，2ABDC=，90ADC=，四边形ACFE为正方形，且平面ACFE⊥平面ABCD．（1）求证：BC⊥平面ACFE；

（2）点M为线段EF的中点，求直线BF与平面MAB所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）26【解析】【分析】（1）由余弦定理得到24BC=，再由勾股定理逆定理得到BCAC⊥，结合面面垂直得到线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的正弦值.【小问1

详解】已知直角梯形ABCD，//ABCD，2ADDC==，90ADC=，所以ADC△等腰直角三角形，可得222AC=+=，45CAB=，22AB=，所以在CAB△中，由余弦定理得2842222cos454BC=+−

=，所以222ABACBC=+，得BCAC⊥．因为平面ACFE⊥平面ABCD，平面ACFE平面ABCDAC=，BC平面ABCD，所以BC⊥平面ACFE．【小问2详解】根据（1）中所证可得：,,CACBCF两两垂直，故以C为坐标原点，,,CACBCF分别为,,xyz轴建

立如图所示空间直角坐标系：则()2,0,0A，()0,2,0B，()1,0,2M，()0,0,2F．(2,2,0)AB=−，(1,2,2)BM=−，(0,2,2)BF=−，设(),,mxyz=为平面MAB的一个法向量，由()(

)()(),,2,2,0220,,1,2,2220mABxyzxymBMxyzxyz=−=−+==−=−+=，取2x=，则2,1==yz，为故(2,2,1)m=，设直线BF与平面MAB所成角为，则()()2,2,10,2,2||22

sincos,6||||4414489mBFmBFmBF−=====+++．即直线BF与平面MAB所成角正弦值为26．21.新冠疫情不断反弹，各大商超多措并举确保市民生活货品不断档，超市员工加班加点工作.某大型超市为答谢各位员工一年来

的锐意进取和辛勤努力，拟在年会后，通过摸球兑奖的方式对500位员工进行奖励，规定：每位员工从一个装有5种面值奖券的箱子中，一次随机摸出2张奖券，奖券上所标的面值之和就是该员工所获得的奖励额．（1）若箱子中所装的5种面值的奖券中有2

张面值为100元，其余3张均为50元，试比较员工获得100元奖励额与获得150元奖励额的概率的大小；（2）公司对奖励总额的预算是7万元，预定箱子中所装的5种面值的奖券有两种方案：第一方案是3张面值30元和2张面值130元；第二

方案是3张面值50元和2张面值100元.为了使员工得到的奖励总额尽可能地符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请问选择哪一种方案比较好？并说明理由．【答案】（1）员工获得100元奖励额的概率小于获得150元奖励额的概率（2）应选择第二种方案，理由见解析

【解析】【分析】（1）根据超几何分布求出员工获得100元奖励额与获得150元奖励额的概率，比较大小即可得出答案；（2）分别求出选择方案一和方案二的分布列，进而求出对应的数学期望和方差，比较方差和期望的大小即可得出答案.【小问1详解】用X表示员工所获得

的奖励额．因为()2325C3100C10PX===，()112325CC63150C105PX====，所以()()100150PXPX==，故员工获得100元奖励额的概率小于获得150元奖励额的概率．【小问2详解】第一种方案：设员工所获得

的奖励额为1X，则1X的分布列为1X60160260P31035110所以1X的数学期望为()13316016026014010510EX=++=，1X的方差为()2221331(60140)(160140)(260140)360010510D

X=−+−+−=；第二种方案：设员工所获得的奖励额为2X，则2X的分布列为2X100150200P31035110所以2X的数学期望为()233110015020014010510EX=++=，2X的方差为()2222331(100140)(150140)(20014

0)90010510DX=−+−+−=，又因为()()1250050070000EXEX==（元），所以两种方案奖励额的数学期望都符合要求，但第二种方案的方差比第一种方案的小，故应选择第二种方案

．22.已知椭圆()2222:10yxCabab+=的短轴长为4，且过点()1,3A．（1）求椭圆C的标准方程；（2）直线与椭圆C相交于P、Q两点，以PQ为直径的圆过点A，求点A到直线l距离的最大值．【答案】（1）221124yx+=（2）322【解析】【分析】（1）根据椭圆

过点A，结合短轴长列方程，解方程即可；（2）法一：当直线斜率不存在时，设点P与Q的坐标，根据APAQ⊥，解方程可得直线方程，当斜率存在时，设直线方程为ykxm=+，联立直线与椭圆，结合韦达定理及APAQ⊥，可得322km=+，即可得直线过定点，进而确定距离的最值.法二：

将椭圆方程转化为()()()()2236331610yyxx−+−+−+−=，设直线方程为()()131mxny−+−=，与椭圆联立构造齐次式得()()233616663011yynmmmxx−−+++++=−−，

所以则11131APykkx−==−，22231AQykkx−==−是方程的两个根，则1263161mkkn+==−+，即332mn=−−，代入直线方程，可得直线过定点，进而确定距离的最值.【小问1详解】椭圆C的短轴长为4，所以24b=，2b=，代入点()1,3A，得29114a+=

，所以212a=椭圆C的方程为221124yx+=；【小问2详解】法一：当直线l斜率不存在时，则有()11,Pxy、()11,Qxy−，直线l的方程为：1xx=，因为以PQ直径的圆过点A，所以APAQ⊥，()()()()()22111111

1133190APAQxxyyxy=−−+−−−=−+−=，又22111124yx+=，可得211210xx−−=，解得112x=−或11x=（舍去），当直线l斜率存在时，设直线l的方程为：ykxm=+，设点()11,Pxy，()22,Qxy联

立221124ykxmyx=++=，得()22232120kxkmxm+++−=，由韦达定理得12223kmxxk−+=+，2122123mxxk−=+，()()()()12121133APAQxxyy=−−+−−()()()()12121133xxkxmkxm=−−

++−+−()()()()22121213113kxxmkxxm=++−−+++−()()()222221221311333mkmkmkmkk−−=++−−++−++()()()222

222992233033kmkmmkmkmkk−−−+−−−++−===++，点()1,3A点不在直线l上，所以30km+−，则有230km−+=，经检验，此时0，满足题意，所以直线l的方程为13132222ykxmkxkkx=+=++=++，直线l过定点13

,22−综上，直线l恒过定点13,22−，记作13,22M−则当AMl⊥时，点A到直线l距离最大，最大值为22133132222AM=++−=.法二：齐次化构造椭圆的标准方程为221124yx+=，即22312

yx+=变形为()()223331112yx−++−+=，即()()()()2236331610yyxx−+−+−+−=，设直线l的方程为()()131mxny−+−=与椭圆方程联立构造齐次式为

()()()()()()()()2236313316113yymxnyxxmxny−+−−+−+−+−−+−()()()()()()()2261366136310nymnxymx=+−++−−++−=即：()

()233616663011yynmnmxx−−+++++=−−设点()11,Pxy，()22,Qxy则11131APykkx−==−，22231AQykkx−==−是方程的两个根，又因为APAQ⊥，所以1263161mkkn+==−+，即332mn

=−−代入直线方程得：()()336210nxyx−+−−+=，故直线l过定点13,22−，记作记作13,22M−则当AMl⊥时，点A到直线l距离最大，最大值为22133132222AM=++−=.【点睛】(1)解答直线

与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue1

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