【文档说明】湖南省衡阳市第八中学2020届高三下学期2月网上月考数学（理）试题【精准解析】.doc，共(22)页，1.825 MB，由小赞的店铺上传

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湖南省衡阳市第八中学2020届高三2月份网上月考高三数学试卷理科一、选择题1.若集合34Axxx=−，1,3,5,7B=，则AB=（）A.3,5B.5,7C.3,5,7D.1,3,5,7【答案】C【解析】【分析】解出集合A中不等式的解集，根据交集运算法则求解.【详解

】因为34Axxx=−，1,3,5,7B=，所以3,5,7AB=.故选：C【点睛】本题考查集合的运算，关键在于准确求解不等式，考查运算求解能力，根据交集运算法则求解.2.231+=−ii（）A.15i22−+B.1522i−−C.5522i+D.5122i−【答案】A【解析

】【分析】分子分母同乘1i+,即根据复数的除法法则求解即可.【详解】解:23(23)(1)151(1)(1)22iiiiiii+++==−+−−+,故选:A【点睛】本题考查复数的除法运算,属于基础题.3.中国铁路总公司相关负责人表

示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（）A.每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B.从2

014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关C.2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D.从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列【答案】D【解析】【分析】由折线图逐项分

析即可求解【详解】选项A，B显然正确；对于C，2.91.60.81.6−，选项C正确；1.6,1.9,2.2,2.5,2.9不是等差数列，故D错.故选D【点睛】本题考查统计的知识，考查数据处理能力和应用意识,是基础题4.已知函数()21xfxx−＝，则

不等式121()()xxfefe﹣﹣＞的解集是（）A.2,3−−B.2,3−C.(,0)−D.2,3+【答案】B【解析】【分析】由导数确定函数的单调性，利用函数单调性解不等式即可.【详解】函数21

1()xfxxxx−==−，可得21()1fxx=+，0()x+，时，()0fx＞，()fx单调递增，∵12100xxee−−，，故不等式121(())xxfefe﹣﹣的解集等价于不等式121xxee﹣﹣的解集．121xx−−．∴23x．故选：B．【点睛】本题主要考查了利

用导数判定函数的单调性，根据单调性解不等式，属于中档题.5.若65sincos+＝，则2sin＝（）A.925B.950C.1125D.1150【答案】C【解析】【分析】已知等式两边平方，利用同角三角函数关系化简即可.【详解】∵65sincos+

＝，则平方可得36121225sincossin++＝＝，∴11225sin＝，故选：C．【点睛】本题主要考查了同角三角函数的基本关系，属于简单题.6.过双曲线()222210,0xyabab−=的左焦点作倾斜角为30°的直线l，若l与y轴的交点

坐标为()0,b，则该双曲线的标准方程可能为（）A.2212xy−=B.2213xy−=C.2214xy−=D.22132xy−=【答案】A【解析】【分析】直线l的方程为()33yxc=+，令0x=，得33yc=，得到a,b的关系，结合选项求解即可【详解】直线l的方程为(

)33yxc=+，令0x=，得33yc=.因为33cb=，所以22222232acbbbb=−=−=，只有选项A满足条件.故选A【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系以及双曲线的标准方程，考查运算求解能力

.7.设曲线(1)lnyaxx=−−在点()1,0处的切线方程为33yx=−，则a=（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】利用导数的几何意义得直线的斜率，列出a的方程即可求解【详解】因为1yax=−，且在点()1,0处的切线的斜率为3，

所以13a−=，即4a=.故选D【点睛】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力，是基础题8.若x，y满足约束条件103020xyxyx+−−++，则22xy+的最大值是（）A.92B.322C.13D.13

【答案】C【解析】【分析】由已知画出可行域，利用目标函数的几何意义求最大值．【详解】解：22xy+表示可行域内的点(,)xy到坐标原点的距离的平方，画出不等式组表示的可行域，如图，由1020xyx+−=+=解得32yx==

−即()2,3A−点()2,3A−到坐标原点(0,0)的距离最大，即2222()(2)313maxxy+=−+=．故选：C．【点睛】本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，属于基础题．9.在直三棱柱111ABCABC−中，己知ABBC⊥，2

ABBC==，122CC=，则异面直线1AC与11AB所成的角为（）A.30B.45C.60D.90【答案】C【解析】【分析】由条件可看出11ABAB，则1BAC为异面直线1AC与11AB所成的角，可证得三角形1BAC中，1ABBC⊥，解得

1tanBAC，从而得出异面直线1AC与11AB所成的角．【详解】连接1AC，1BC，如图：又11ABAB，则1BAC为异面直线1AC与11AB所成的角.因为ABBC⊥，且三棱柱为直三棱柱，∴1ABCC⊥，∴AB⊥面11BCCB

，∴1ABBC⊥，又2ABBC==，122CC=，∴()22122223BC=+=，∴1tan3BAC=，解得160BAC=.故选C【点睛】考查直三棱柱的定义，线面垂直的性质，考查了异面直线所成角的概念及求法，考查了逻辑推理能力，属于基础题．10.已知函数()3sincosfxxmx=+，其

图象关于直线3x=对称，为了得到函数2()3cos2gxmx=+的图象，只需将函数()fx的图象上的所有点（）A.先向左平移6个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变B.先向右平移6

个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变C.先向右平移3个单位长度，再把所得各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标保持不变D.先向左平移3个单位长度，再把所得各点横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变【答案】D【解析】

【分析】由函数()fx的图象关于直线3x=对称，得1m=，进而得()3sincos2sin2cos63fxxxxx=+=+=−，再利用图像变换求解即可【详解】由函数()fx的图象

关于直线3x=对称，得233fm=+，即23322mm+=+，解得1m=，所以()3sincos2sin2cos63fxxxxx=+=+=−，()2cos2gxx=，故只需将函数

()fx的图象上的所有点“先向左平移3个单位长度，得2cos,yx=再将横坐标缩短为原来的12，纵坐标保持不变,得()2cos2gxx=”即可.故选D【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，考查图像变换，考查运算求解能力，是中档题11.一个几何体的三视

图如图所示，正视图、侧视图和俯视图都是由一个边长为a的正方形及正方形内一段圆弧组成，则这个几何体的表面积是（）A.234a−B.262a−C.264a−D.2364a−【答案】C【解析】【分析】画出直观图

，由球的表面积公式求解即可【详解】这个几何体的直观图如图所示，它是由一个正方体中挖掉18个球而形成的，所以它的表面积为2222213346484aSaaaa=+−+=−.故选C【点睛】本题考查三视图以及几何体的表

面积的计算，考查空间想象能力和运算求解能力.12.已知抛物线2()20Cxpyp：＝＞的焦点为1(0)F，，若抛物线C上的点A关于直线22lyx+：＝对称的点B恰好在射线()113yx＝上，则直线AF被C截得的弦长为（）A.919B.1009C.1189D.1279【答案】B【解析】【分析

】由焦点得抛物线方程，设A点的坐标为2()14mm，，根据对称可求出点A的坐标，写出直线AF方程，联立抛物线求交点，计算弦长即可.【详解】抛物线2()20Cxpyp：＝＞的焦点为1(0)F，，则12p＝，即2

p＝，设A点的坐标为2()14mm，，B点的坐标为()113nn，，，如图：∴2211114211142222mnmmmn−=−−++=+，解得62mn==，或343359mn=−=(舍去)，∴9(6)A，∴直线AF的方程为

413yx+＝，设直线AF与抛物线的另一个交点为D，由24134yxxy=+=，解得69xy==或2319xy=−=，∴21,39D−，∴2221100||69399AD=++−=，故直

线AF被C截得的弦长为1009．故选：B．【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，简单几何性质，点关于直线对称，属于中档题.二、填空题13.已知()fx为偶函数，当0x时，()xfxex−=−，则(ln2)f=__________．【答案】2ln2+【解析】【分析】由偶函数的性质直

接求解即可【详解】()()()ln2ln2ln2ln22ln2ffe=−=−−=+.故答案为2ln2+【点睛】本题考查函数的奇偶性，对数函数的运算，考查运算求解能力14.在ABC中，CA0CB=uuuvuuv，BC2BA=uuuvuuv，则BC

=uuuv_________.【答案】2【解析】【分析】先由题意得：CACB⊥，再利用向量数量积的几何意义得2BCBABC=，可得结果.【详解】由0CACB=知：CACB⊥，则BA在BC方向的投影为BC，由

向量数量积的几何意义得：2cos2BCBAABBCABCBC===，∴2BC=故答案为2【点睛】本题考查了投影的应用，考查了数量积的几何意义及向量的模的运算，属于基础题.15.西周初数学家商高在公元前1000年发现勾股定理的一个特例：勾三，股四，弦五.此发现早于毕达哥拉

斯定理五百到六百年.我们把可以构成一个直角三角形三边的一组正整数称为勾股数.现从3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13这11个数中随机抽取3个数，则这3个数能构成勾股数的概率为__________．【答案】

155【解析】【分析】由组合数结合古典概型求解即可【详解】从11个数中随机抽取3个数有311C种不同的方法，其中能构成勾股数的有共()()()3,4,5,6,8,10,5,12,13三种，所以，所求概率为3113155PC==.故答案为155【点

睛】本题考查古典概型与数学文化，考查组合问题，数据处理能力和应用意识.16.如图，在ABC中，2BC=，AB6=，23ACB=，点E在边AB上，且ACEBCE=，将射线CB绕着C逆时针方向旋转6，并在所得射线上取一点D，使得31CD=−，连接DE，则C

DE的面积为__________．【答案】335−【解析】【分析】由余弦定理求得31AC=−，再结合正弦定理得2sin2BAC=，进而得62sinsin344AEC+=+=，得423CE=−，则面积可求【详解】由2222cosABACBCACBCACB=+−，得

2220ACAC+−=，解得31AC=−.因为sinsinBCABBACACB=，所以2sin2BAC=，4BAC=，所以()62sinsinsin344AECACEBAC+=+=

+=.又因为sinsinCEACBACAEC=，所以423CE=−.因为2ECDBCEBCD=+=，所以13352DCESCECD==−.故答案为335−【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查运算求解能力，是中档题三、解答题17.等差数列

na的前n项和为nS，已知3620aa+＝，535S＝．（1）求数列na的通项公式；（2）设数列{12nSn++}的前n项和为nT，求使920nT＞成立的n的最小值．【答案】（1）21nan+＝；（2）n的最小值为19.【解析】【分析】（1）根

据条件列方程组求出首项、公差，即可写出等差数列的通项公式；（2）根据等差数列前n项和化简12nSn++，利用裂项相消法求和，解不等式即可求解.【详解】(1)等差数列na的公差设为d，3620aa+＝，535S＝，可得12720ad+＝，151035ad+＝，解得13a

＝，2d＝，则()32121nann+−+＝＝；(2)1(321)(2)2nSnnnn=++=+，111112(2)2(1)(2)12nSnnnnnnnn===−+++++++++，前n项和为1111112334

12nTnn=−+−++−++1122n=−+，920nT即1192220n−+，可得220n+＞，即18n＞，则n的最小值为19.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等差数列的前n项和，裂项相消法求和，属于

中档题18.如图，在矩形ABCD中，2AB=，3BC=，点E是边AD上一点，且2AEED=，点H是BE的中点，将ABE△沿着BE折起，使点A运动到点S处，且满足SCSD=.（1）证明：SH⊥平面BCDE；（2）求二面角CSBE−−的余弦值.【答

案】（1）见解析；（2）33【解析】【分析】（1）取CD的中点M，连接HM，SM，由2SESB==，进而SHBE⊥，由SCSD=，得SMCD⊥.进而CD⊥平面SHM,进而结论可得证（2）（方法一）过H点作CD的平行线GH交BC于点G，

以点H为坐标原点，,,HGHMHS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz−，求得平面SBC，平面SBE的法向量，由二面角公式求解即可（方法二）取BS的中点N，BC上的点P，使2BPPC=，连接,,HNPNP

H，得HNBS⊥，HPBE⊥，得二面角CSBE−−的平面角为PNH，再求解即可【详解】（1）证明：取CD的中点M，连接HM，SM，由已知得2AEAB==，所以2SESB==，又点H是BE的中点，所以SH

BE⊥.因为SCSD=，点M是线段CD的中点，所以SMCD⊥.又因为HMBC⊥，所以HMCD⊥，从而CD⊥平面SHM，所以CDSH⊥，又CD，BE不平行，所以SH⊥平面BCDE.（2）（方法一）由（1）知，过H点作CD的平行线GH交BC于点G，以点H为坐标原点，

,,HGHMHS所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz−，则点()1,1,0B−，()1,2,0C，()1,1,0E−，()0,0,2S，所以()0,3,0BC=，()2,

2,0BE=−，()1,1,2BS=−.设平面SBE的法向量为()111,,mxyz=，由00mBEmBS==，得1111120xyxyz=−++=，令11y=，得()1,1,0m=.同理，设平面SBC的法向量为()222,,nxyz=，由00nBCnBS==

，得2222020yxyz=−++=，令21z=，得()2,0,1n=.所以二面角CSBE−−的余弦值为23cos,323mnmnmn===.（方法二）取BS的中点N，BC上的点P，使2BPPC=，连接,,HNPNPH，

易知HNBS⊥，HPBE⊥.由（1）得SHHP⊥，所以HP⊥平面BSE，所以HPSB⊥，又HNBS⊥，所以BS⊥平面PHN，所以二面角CSBE−−的平面角为PNH.又计算得1NH=，2PH=，3PN=，所以13cos33PNH

==.【点睛】本题考查线面垂直的判定，考查空间向量求二面角，考查空间想象及计算能力，是中档题19.为践行“绿水青山就是金山银山”的发展理念和提高生态环境的保护意识，高二年级准备成立一个环境保护兴趣小组.该年级理科班有男生400人，女生200人；文科班有男生100人，女

生300人.现按男、女用分层抽样从理科生中抽取6人，按男、女分层抽样从文科生中抽取4人，组成环境保护兴趣小组，再从这10人的兴趣小组中抽出4人参加学校的环保知识竞赛.（1）设事件A为“选出的这4个人中要求有两个男生两个女生，而且这两个男生必须文、理科生都有”，求事件A发生的概率；（2）用X表示抽取

的4人中文科女生的人数，求X的分布列和数学期望.【答案】（1）421；（2）见解析【解析】【分析】（1）按分层抽样得抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人，再利用古典概型求解即可（2）由

超几何分布求解即可【详解】（1）因为学生总数为1000人，该年级分文、理科按男女用分层抽样抽取10人，则抽取了理科男生4人，女生2人，文科男生1人，女生3人.所以()11241541040421021CCCPAC===.（2）X的可能取值为0,1,2,3，(

)4073410106CCPXC===，()3173410112CCPXC===，()22734103210CCPXC===，()13734101330CCPXC===，X的分布列为X0123P16123101301131601236210305EX=+++=.【点睛】本题

考查分层抽样，考查超几何分布及期望，考查运算求解能力，是基础题20.已知椭圆()2222:10xyEabab+=的右焦点为2F，过2F作x轴的垂线交椭圆E于点A（点A在x轴上方），斜率为()0kk的直线交椭圆E于,AB两点，过点A作直线AC交椭圆E于点C，且ABAC⊥，直线AC交y轴于点D

.（1）设椭圆E的离心率为e，当点B为椭圆E的右顶点时，D的坐标为210,3baa−，求e的值.（2）若椭圆E的方程为2212xy+=，且22k−，是否存在k使得2ABAC=成立？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）12e=；（2）不存在，理由见解析【解析】【

分析】（1）写出2,bAca，根据ADAB⊥，斜率乘积为-1，建立等量关系求解离心率；（2）写出直线AB的方程，根据韦达定理求出点B的坐标，计算出弦长AB，根据垂直关系同理可得AC，利用等式2ABAC=即可得解.【详解】（1）由题可得2,bAca，过点

A作直线AC交椭圆E于点C，且ABAC⊥，直线AC交y轴于点D.点B为椭圆E的右顶点时，D的坐标为210,3baa−，ABAC⊥即ADAB⊥，1ADABkk=−，2221310bbbaaaacca−−=−−−化简得：22230caca−+=，即22310ee−+=，解

得12e=或1e=（舍去），所以12e=；（2）椭圆E的方程为2212xy+=，由（1）可得221,,:22AABykxk=−+，22k−联立222122xyykxk+=−+=得：()()22

22221222210kkxxkkk+−+−−=−，设B的横坐标Bx，根据韦达定理222221211Bkkkx−−+=，即22222112Bkkxk−−=+，22k−，所以22211222211BkAkkBkx++=−+=+−，同理可得22221121212221221k

kACkkkk−+−=−−=−++++若存在k使得2ABAC=成立，则222222222121122kkkkkk+−−+=+++，化简得：2220kk++=，，此方程

无解，所以不存在k使得2ABAC=成立.【点睛】此题考查求椭圆离心率，根据直线与椭圆的位置关系解决弦长问题，关键在于熟练掌握解析几何常用方法，尤其是韦达定理在解决解析几何问题中的应用.21.已知函数()()()fxxalnxa−

R＝，它的导函数为()fx．（1）当1a＝时，求()fx的零点；（2）当0a＝时，证明：()1xfxecosx+−＜．【答案】（1）见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】()1当1a=时，求函数的导数()'fx，判断导函数的单调性，计

算()'11110fln=+−=即为导函数的零点；()2当0a=时，分类讨论x的范围，可令新函数()1xhxecosxxlnx=+−−，计算新函数的最值可证明()1xfxecosx+−．【详解】(1)()fx的定义域为(0)+，当1a＝时，()

()1fxxlnx−＝，()11fxlnxx+−＝，易知()11fxlnxx+−＝为(0)+，上的增函数，又()11110fln+−＝＝，所以1x＝是()fx的唯一零点；(2)证明：当0a＝时，()fxxlnx＝，①若01x＜，则10xecosx+

−＞，0xlnx所以()1xfxecosx+−＜成立，②若1x＞，设()1xhxecosxxlnx+−−＝，则()1xhxesinxlnx−−−＝，令()()mxhx＝，则()1xmxecosxx−−＝，因为1x＞，所以()11

0mxe−−＞＞，从而()mx在(1)+，上单调递增，所以()()1110mxmesin−−＞＝＞，即()()0mxhx＝＞，()hx在(1)+，上单调递增；所以()()1110hxhecos+−＞＝＞

，即1xxlnxecosx+−＜，故()1xfxecosx+−＜.【点睛】本题主要考查导数法研究函数的单调性，单调性，零点的求法．注意分类讨论和构造新函数求函数的最值的应用．22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为3423xtyt=+=−+，（t为参数）.以坐标原点为极点，x轴的正

半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为22cos80+−=.（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若点p是直线l的一点，过点p作曲线C的切线，切点为Q，求PQ的最小值.【答案】（1）34170xy−−=，22(1)9xy++=；（2）见解析【解析】【分析】（1）消去

t,得直线l的普通方程，利用极坐标与普通方程互化公式得曲线C的直角坐标方程；（2）判断l与圆A相离，连接,AQAP，在RtAPQ中，22222||||437PQPAAQ=−−=，即可求解【详解】（1）将l的参数方程3423xtyt=+

=−+（t为参数）消去参数，得34170xy−−=.因为xcosysin==，22cos80+−=，所以曲线C的直角坐标方程为()2219xy++=.（2）由（1）知曲线C是以()1,0−为圆心，3为半径的圆，设圆心为A，则圆心A到直线l的距离31

7435d−−==，所以l与圆A相离，且4PA.连接,AQAP，在RtAPQ中，22222||||437PQPAAQ=−−=，所以，7PQ，即PQ的最小值为7.【点睛】本题考查参数方程化普通方程，极坐标

与普通方程互化，直线与圆的位置关系，是中档题23.己知0a，函数()fxxa=−.（1）若2a=，解不等式()()35fxfx++；（2）若函数()()()2gxfxfxa=−+，且存在0xR使得()202g

xaa−成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）|23xx−；（2）(0,4]【解析】【分析】（1）零点分段解不等式即可（2）等价于()2max2gxac−，由2xaxaxaxaa−−+−−−=，得不等式即可求解【详解】（1）当2a=时，()()12,13213,1221,2x

xfxfxxxxxx−−++=−++=−−，当1x−时，由125x−，解得21x−−；当12x−时，由35，解得12x−；当2x时，由215x−，解得23x.综上可知，原不等式的解集为|23xx−.（2）()()()2g

xfxfxaxaxa=−+=−−+.存在0xR使得()202gxaa−成立，等价于()2max2gxaa−.又因为2xaxaxaxaa−−+−−−=，所以222aaa−，即240aa−.解得04a，结合0a，所以实数a的取值范围为(0,4.【点睛】本题考查绝对值不等式的解

法，考查不等式恒成立及最值，考查转化思想，是中档题