【文档说明】广西2021届高三模拟理科数学测试（2021年4月）含解析.doc，共(18)页，1.084 MB，由小赞的店铺上传

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-1-2021年广西高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（每小题5分）.1．若z（1﹣i）＝1+3i，则z＝（）A．﹣1+2iB．﹣1﹣2iC．2+2iD．2﹣2i2．已知集合A＝{x|2x2+x﹣1＜0}，B＝{y|y＝3x﹣}，则A∩

B＝（）A．（﹣1，1）B．（﹣，1）C．（﹣1，）D．（﹣，）3．锐角△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3sin2B＝2bsinAcosB，则a＝（）A．1B．2C．3D．64．已知两个单位向量，满足|2﹣|＝，则|+|＝（）A．1B．C．D．5．2020年

11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，使得“绕、落、回”三步探月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础．若在不考虑空气阻力和地球引力的

理想状态下，可以用公式v＝v0•ln计算火箭的最大速度v（m/s），其中v0（m/s）是喷流相对速度，m（kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（kg）是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”．若A型火箭

的喷流相对速度为1000m/s，当总质比为500时，A型火箭的最大速度约为（）（lge≈0.434，lg2≈0.301）A．4890m/sB．5790m/sC．6219m/sD．6825m/s6．已知函数f（x）＝cos（2x+），则下列结论正确的是（）A．f（x）的最

小正周期为2πB．f（x）在[0，]上的最大值为C．直线x＝是f（x）图象的一条对称轴D．f（x）在[，]上单调递减7．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，P为抛物线上任意一点，已知点A（1，3），则|PF|+|PA|的最小值为（）-2-A．1B．2

C．3D．48．执行如图所示的程序框图，若输入的x∈（﹣2，4]，则输出的y∈（）A．[﹣2，2]∪（3，14]B．（﹣2，14]C．（﹣2，2）∪（3，14）D．[﹣2，14]9．（2x2﹣1）（2x+1）n展开式的各项的系数之和为243，则展开式中

x2的系数为（）A．﹣42B．﹣38C．38D．4210．函数f（x）＝ln|x|+cosx的部分图象大致为（）A．B．C．D．11．如图，圆锥AO2底面圆半径为8，高为8，母线AD，AE关于直线AO2对称，B，C分别为AD，AE的中点，过B，C作与底面圆O2平行的平面，且该平面与该圆锥相交

的横截面为圆O1，P为圆O1的圆周上任意一点，则直线DP与BC所成角的余弦值的取值范围为（）-3-A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]12．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）+f（﹣x）＝0有4个不同

的实数根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣1，0）B．（﹣，0）C．（0，）D．（0，）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．若x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最大值为．14．已知圆柱的底面周长为2

π，高为2，则该圆柱外接球的表面积为．15．桂林是世界著名的风景旅游城市和中国历史文化名城，号称“桂林山水甲天下”，每年都会迎来无数游客．甲同学计划今年暑假去桂林游玩，准备在“印象刘三姐”“漓江游船”“象山景区”“龙脊梯田”

这4个景点中任选2个游玩．已知“印象刘三姐”的门票为195元/位，“象山景区”的门票为35元/位，其他2个景点的门票均为95元/位，则甲同学所需支付的门票费的期望值为元．16．已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1

，F2，点P（x0，y0）为双曲线右支上任意一点，且点P到双曲线两条渐近线的距离之积为，双曲线的离心率为3，则的取值范围是．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、

23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某公司为了解服务质量，随机调查了100位男性顾客和100位女性顾客，每位顾客对该公司的服务质量进行打分．已知这200位顾客所打的分数均在[25，100]之间，根据这些数据得到如下的频数分布表：顾客所打分数[25，40）

[40，55）[55，70）[70，85）[85，100]男性顾客人数46103050女性顾客人数610244020-4-（1）估计这200位顾客所打分数的平均值（同一组数据用该组区间的中点值为代表）．（2）若顾客所打分数不低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为满意

；若顾客所打分数低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为不满意．根据所给数据，完成下列2×2列联表，并根据列联表，判断是否有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关？满意不满意男性顾客女性顾客附；K2＝．P（K2≥k）

0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818．已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝an+n+1．（1）求{an}的通项公式；（2）求数列{+2n}的前n项和Sn．19．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，底面ABCD是菱形，∠BAD＝，

平面CC1D1D⊥平面ABCD，BD⊥AD1．（1）证明：CD1⊥平面ABCD．（2）求二面角A1﹣BB1﹣C的正弦值．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且C经过点P（2，）．（1）求C

的方程；（2）已知F为C的右焦点，A为C的左顶点，过点F的直线l与C交于M，N两点（异于点A），若△AMN的面积的范围．-5-21．已知函数f（x）＝ax﹣lnx．（1）若f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值

范围．（2）证明：∀n∈N*，en（n+1）＞（n!）2e．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极

轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ﹣1＝0．（1）求C1的普通方程与C2的直角坐标方程；（2）设M，N是C1与C2的公共点，点P的直角坐标为（0，1），求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+3|．（1）求不等式f

（x）≥8的解集；（2）若f（x）的最小值为M，且正数a，b，c满足a2+b2+c2＝M，求a+2b+c的最大值．-6-参考答案一、选择题（每小题5分）.1．若z（1﹣i）＝1+3i，则z＝（）A．﹣1+2iB．﹣1﹣2iC．2+2iD．2﹣2i解：∵z（

1﹣i）＝1+3i，∴z＝＝＝＝﹣1+2i，故选：A．2．已知集合A＝{x|2x2+x﹣1＜0}，B＝{y|y＝3x﹣}，则A∩B＝（）A．（﹣1，1）B．（﹣，1）C．（﹣1，）D．（﹣，）解：∵A＝{x|﹣1＜x＜

}，B＝{y|y＞﹣}，∴A∩B＝（﹣，），故选：D．3．锐角△ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3sin2B＝2bsinAcosB，则a＝（）A．1B．2C．3D．6解：因为3sin2B＝2bsinAcosB，可得6sinBcosB＝2bsinAcosB，因为B为锐角，

所以6sinB＝2bsinA，由正弦定理可得6b＝2ab，所以a＝3．故选：C．4．已知两个单位向量，满足|2﹣|＝，则|+|＝（）A．1B．C．D．解：两个单位向量，满足|2﹣|＝，可得：＝5﹣4＝3，解得＝，所以|+|＝＝．-7

-故选：C．5．2020年11月24日4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号，12月17日凌晨，嫦娥五号返回器携带月球样品在内蒙古四子王旗预定区域安全着陆，使得“绕、落、回”三步探

月规划完美收官，这为我国未来月球与行星探测奠定了坚实基础．若在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v＝v0•ln计算火箭的最大速度v（m/s），其中v0（m/s）是喷流相对速度，m（kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（kg）是推进剂与火

箭质量的总和，称为“总质比”．若A型火箭的喷流相对速度为1000m/s，当总质比为500时，A型火箭的最大速度约为（）（lge≈0.434，lg2≈0.301）A．4890m/sB．5790m/sC．6219m/sD．6825m/s解：根据题意，v＝v0ln＝1000×ln500＝100

0×＝1000×≈6219m/s，故选：C．6．已知函数f（x）＝cos（2x+），则下列结论正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）在[0，]上的最大值为C．直线x＝是f（x）图象的一条对称轴D．

f（x）在[，]上单调递减解：对于函数f（x）＝cos（2x+），夏然它的最小正周期为＝π，故A错误；当x∈[0，]，2x+π4∈[，]，f（x）在[0，]上的最大值为cos＝，故B正确；令x＝，求得f（x）＝0，不是最值，故C错误

；当x∈[，]，2x+∈[，]，故f（x）在[，]上没有单调性，故D错误，故选：B．7．已知抛物线x2＝4y的焦点为F，P为抛物线上任意一点，已知点A（1，3），则|PF|+|PA|的最小值为（）A．1B．

2C．3D．4-8-解：由题意可知抛物线的焦点坐标（1，0），由抛物线定义可知当AP⊥x轴时，|PF|+|PA|取得最小值，最小值为：3﹣（﹣1）＝4．故选：D．8．执行如图所示的程序框图，若输入的x∈（﹣2，4]，则输出的y∈（）A．[﹣2，2]∪（3，14]B．（﹣2，14]C．（

﹣2，2）∪（3，14）D．[﹣2，14]解：执行如图所示的程序框图，若输入的x∈（﹣2，4]，即当x∈（1，4]时，y＝log2x+3x，①当x∈（﹣2，1]时，y＝x2+2x﹣1，②解①可得y∈（3，14]；解②可得y∈[﹣2，2]；故输出的y的范围为：[﹣2，2]∪（3，

14]．故选：A．9．（2x2﹣1）（2x+1）n展开式的各项的系数之和为243，则展开式中x2的系数为（）A．﹣42B．﹣38C．38D．42解：令x＝1，则（2﹣1）（2+1）n＝243，即3n＝243，所以n＝5，则展开式中含x2

的项为2x2﹣1×＝﹣38x2，所以x2的系数为﹣38，故选：B．10．函数f（x）＝ln|x|+cosx的部分图象大致为（）-9-A．B．C．D．解：根据题意，函数f（x）＝ln|x|+cosx，其定

义域为{x|x≠0}，则有f（﹣x）＝ln|x|+cosx＝f（x），则函数f（x）为偶函数，排除AB，在区间（0，）上，f（x）＝ln|x|+cosx＝lnx+cosx，lnx＜﹣2，则f（x）＜0，排除D，故选：C．11．如图，圆锥AO2底面圆半径为8，

高为8，母线AD，AE关于直线AO2对称，B，C分别为AD，AE的中点，过B，C作与底面圆O2平行的平面，且该平面与该圆锥相交的横截面为圆O1，P为圆O1的圆周上任意一点，则直线DP与BC所成角的余弦值的取值范围为（）A．[，]B．[，]C．[，]D．[，]解：如图，分别过P，B

，C作底面O2的垂线交圆O2于P1，B1，C1，由题意知P1，B1，C1在半径为4，圆心为O2的圆上，且|PP1|＝|AO1|＝4，则|PO2|＝＝8，∴|PO2|＝|DO2|＝8，设∠P1O2D＝θ，则|DP1|2＝|DO2|2+|

P1O2|2﹣2|DO2|•|P1O2|cosθ＝80﹣64cosθ，则|DP|2＝|DP1|2+|PP1|2＝128﹣64cosθ，-10-则cos2∠PDQ2＝＝∈[]，则cos∠PDO2∈[]，∴DP与BC所成角的余弦值的取值范围是[]．故选

：A．12．已知函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）+f（﹣x）＝0有4个不同的实数根，则实数a的取值范围为（）A．（﹣1，0）B．（﹣，0）C．（0，）D．（0，）解：设g（x）＝f（x）+f（﹣x），则g

（x）的定义域为{x|x≠0}，且g（﹣x）＝g（x），即g（x）是偶函数，故关于x的方程g（x）＝0有4个不同的实数根等价于g（x）在（0，+∞）上有2个零点，当x＞0时，g（x）＝2lnx+x2﹣2x﹣+1，则g（x）＝0等价于a

＝2xlnx+x3﹣2x2+x，令h（x）＝2xlnx+x3﹣2x2+x，则h′（x）＝2lnx﹣4x+x2+3，令m（x）＝2lnx﹣4x+x2+3，则m′（x）＝﹣4+2x≥2﹣4＝0，∴m（x）在区间（0，+∞）上单调递增，

又m（1）＝0，∴h（x）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，即h（x）在x＝1处取得极小值h（1）＝﹣，当x→0时，h（x）→0，当x→+∞时，h（x）→+∞，∴h（x）的大致图

象如下，-11-∴当﹣＜a＜0时，关于x的方程h（x）＝a在区间（0，+∞）上有两个不同的实数根，即关于x的方程f（x）+f（﹣x）＝0有4个不同的实数根．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡上．13．若x，y满足约束条

件，则z＝2x+y的最大值为12．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，4），由z＝2x+y，得y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×4+4＝12．故答案为：12．14．已知圆柱的底面周长为2π，高为2，则该圆柱外接

球的表面积为8π．解：圆柱的底面周长为2π，圆柱的底面半径为1，则底面直径为2，又圆柱的高为2，则圆柱的轴截面是边长分别为2和2的矩形，如图：-12-则圆柱的外接球的半径为r＝．∴该圆柱的外接球的表面积为4π×（）2＝8π．故答案为：8

π．15．桂林是世界著名的风景旅游城市和中国历史文化名城，号称“桂林山水甲天下”，每年都会迎来无数游客．甲同学计划今年暑假去桂林游玩，准备在“印象刘三姐”“漓江游船”“象山景区”“龙脊梯田”这4个景点中任选2个游玩．已知“印象刘三姐”的门票为1

95元/位，“象山景区”的门票为35元/位，其他2个景点的门票均为95元/位，则甲同学所需支付的门票费的期望值为210元．解：由题意可知，甲同学所需支付的门票的期望为＝210元．故答案为：210．16．

已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，点P（x0，y0）为双曲线右支上任意一点，且点P到双曲线两条渐近线的距离之积为，双曲线的离心率为3，则的取值范围是（1，2]．解：因为点P到双曲线两条渐近线的距离之积为，所以•＝．则，又双曲线的离心率为3，所

以b2＝8，a2＝1，所以c2＝9，所以＝＝1+，因为|PF2|≥c﹣a＝2，所以0＜≤1，故1＜≤2，-13-则的取值范围是（1，2]．故答案为：（1，2]．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答

．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某公司为了解服务质量，随机调查了100位男性顾客和100位女性顾客，每位顾客对该公司的服务质量进行打分．已知这200位顾客所打的分数均在[25，100]之

间，根据这些数据得到如下的频数分布表：顾客所打分数[25，40）[40，55）[55，70）[70，85）[85，100]男性顾客人数46103050女性顾客人数610244020（1）估计这200位顾客所打分数的平均值（同一组数据用该组区间的中点值为代表）．（2）若顾客

所打分数不低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为满意；若顾客所打分数低于70分，则该顾客对公司服务质量的态度为不满意．根据所给数据，完成下列2×2列联表，并根据列联表，判断是否有99%的把握认为顾客对公司服务质量的态度与性别有关？满意不满意男

性顾客女性顾客附；K2＝．P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828解：（1）由题意知，计算＝×（10×16×+34×+70×+70×）＝75.55，所以估计这200位顾客所打分数的平均值约为75.55．（2）根据

题意，填写列联表如下：满意不满意合计-14-男性顾客8020100女性顾客6040100合计14060200根据表中数据，计算K2＝＝≈9.524，因为9.524＞6.635，所以有99%的把握认为顾客对公司服务质量的

态度与性别有关．18．已知数列{an}满足a1＝1，an+1＝an+n+1．（1）求{an}的通项公式；（2）求数列{+2n}的前n项和Sn．解：（1）由a1＝1，an+1＝an+n+1，可得n≥2时，an﹣an﹣1＝n，可得an＝a1+（a2﹣a1）+（a3﹣a2）+...+（an﹣an

﹣1）＝1+2+3+...+n＝n（n+1），即an＝n（n+1），n∈N*；（2）由（1）可得+2n＝+2n＝2（﹣）+2n，所以Sn＝2（1﹣+﹣+...+﹣）+（2+4+...+2n）＝2（1﹣）+＝+2n+1﹣2＝2n+1﹣．19．如图，在四棱柱ABCD﹣A

1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，底面ABCD是菱形，∠BAD＝，平面CC1D1D⊥平面ABCD，BD⊥AD1．（1）证明：CD1⊥平面ABCD．（2）求二面角A1﹣BB1﹣C的正弦值．-15-【解答】（1）证明：取AB中点E，连接DE、AC，因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥

AC，又因为BD⊥AD1，所以BD⊥平面D1AC，又因为D1C⊂平面D1AC，所以BD⊥D1C，因为底面ABCD是菱形，∠BAD＝，E是AB中点，所以DE⊥DC，因为平面CC1D1D⊥平面ABCD，平面CC1D1D∩平面ABCD＝DC，所以DE⊥平面AA1C1

C，又因为CD1⊂平面AA1C1C，所以DE⊥CD1，因为BD∩DE＝D，BD、DE⊂平面ABCD，所以CD1⊥平面ABCD．（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，因为＝，所以∠D1DC＝60°，于是D1C＝2，＝（0，2，2），＝（﹣，1，0），设平面BB1C1C的法向量为＝（x，y，

z），，令y＝，＝（1，，﹣1），平面AA1B1B的法向量为＝（1，0，0），设二面角A1﹣BB1﹣C的大小为θ，|cosθ|＝＝＝，sinθ＝＝＝．所以二面角A1﹣BB1﹣C的正弦值为．20．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且C经过点P（2，）．（1）求C的方程；-16-

（2）已知F为C的右焦点，A为C的左顶点，过点F的直线l与C交于M，N两点（异于点A），若△AMN的面积的范围．解：（1）将点P（2，）代入C的方程得，又e＝＝，c2＝a2﹣b2，解得a＝4，b＝2，∴椭圆C的方程为：．（2）由题意可设直

线l的方程为：x＝ty+2，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组，消去x得：（3t2+4）y2+12ty﹣36＝0，∴y1+y2＝，y1y2＝，∵A（﹣4，0），∴S△AMN＝＝3＝，令m＝，m≥1，则t2＝m2﹣1，∴S△AMN＝＝，∵m≥1，∴≥4，∴，∴△AMN的面

积的范围为：（0，18]．21．已知函数f（x）＝ax﹣lnx．（1）若f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围．（2）证明：∀n∈N*，en（n+1）＞（n!）2e．解：（1）∵x＞0，∴f（x）≥0等价于a≥，令g（x

）＝，则g′（x）＝，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜e，令g′（x）＜0，解得：x＞e，故g（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，-17-故g（x）max＝g（e）＝，故实数a的取值范围是[，+∞）．（2）证明：由（1）可知﹣lnx≥0在（0，+∞）上恒成立，则x≥elnx＝lnx

e，即ex≥xe，当且仅当x＝e时“＝”成立，取x＝1，2，3，•••n，则e1＞1e，e2＞2e，e3＞3e，••••，en＞ne，将上述不等式相乘可得e1+2+3+•••+n＞（1×2×3ו••n）e＝（n!）e，即＞（n!）e，故en（n+1）＞（n

!）2e．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ

﹣1＝0．（1）求C1的普通方程与C2的直角坐标方程；（2）设M，N是C1与C2的公共点，点P的直角坐标为（0，1），求的值．解：（1）由（t为参数），消去参数t，可得y＝2x2﹣1，由ρcosθ+ρsinθ﹣1＝0，解得x＝ρcosθ，y

＝ρsinθ，可得直线l的直角坐标方程为x+y﹣1＝0；（2）由（1）可得直线l的参数方程为，代入y＝2x2﹣1，得，设M、N对应的参数分别为t1，t2，则，t1t2＝﹣2，则t1，t2异号，∴＝＝-18-＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23

．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|2x+3|．（1）求不等式f（x）≥8的解集；（2）若f（x）的最小值为M，且正数a，b，c满足a2+b2+c2＝M，求a+2b+c的最大值．解：（1）不等式f（x）≥8即为|2x﹣1|+|2x+3|≥8，当时，2x﹣1+2x+3﹣8≥0，解得；当时，﹣2x

+1+2x+3﹣8≥0，不等式无解；当时，﹣2x+1﹣2x﹣3﹣8≥0，解得；综上，不等式的解集为；（2）∵|2x﹣1|+|2x+3|≥|2x﹣1﹣（2x+3）|＝4，当（2x﹣1）（2x+3）≤0时取等号，∴a2+b2+c2＝4，∴（a+

2b+c）2≤（1+22+1）（a2+b2+c2）＝24，当且仅当时取等号，∴a+2b+2c的最大值为．