【文档说明】江苏省南通市2020届高三下学期第四次调研测试数学试题【精准解析】.doc，共(29)页，2.592 MB，由小赞的店铺上传

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江苏省南通市2020届高三第四次调研测试数学试题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1.已知集合3,1,1,3A=−−，2230Bxxx=−−=∣，则AB=________．【答案】{1,3}

−【解析】【分析】解一元二次方程求得集合B，由此求得AB.【详解】由()()223310xxxx−−=−+=解得1x=−或3x=，所以1,3B=−，所以AB={1,3}−故答案为：{1,3}−【点睛】本小题主要考查集合交集的概念和运算，属于基础

题.2.已知复数z满足()24zi−=，其中i是虚数单位，则z的实部为________．【答案】2【解析】【分析】由已知求出24zi=−，即得z的实部.【详解】由题得24424iziii−===−，所以24zi=−，所以z的实部为2.故答案为：2【点睛】本

题主要考查复数的运算和复数实部的概念，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3.某中学为了了解高三年级女生的体重（单位：千克）情况，从中随机抽测了100名女生的体重，所得数据均在区间48,58中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100

名女生中，体重在区间50,56的女生数为________．【答案】75【解析】【分析】先根据频率分布直方图求出所求区间的频率，然后乘以总人数即为所求.【详解】由频率分布直方图可知，体重在区间50,56的频率为()20.1000.1500.1250.75++=，所以体重在区间50,56

的女生数为0.7510075.=故答案为：75【点睛】本题主要考查频率分布直方图，属于基础题.4.一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，若输出的值为7−，则输入的x的值为________．【答案】1【解析】【分

析】模拟程序的运行过程可知该程序的功能是求分段函数的函数值，利用分类讨论即可求出答案．【详解】解：模拟程序的运行过程可知，该程序的功能是求分段函数6,228,23xxyxx−=−−的函数值，当2x时，67x−=−，得1x=−，不符合题意；当2

x时，2873x−=−−，得1x=，符合题意；∴输入的x的值为1，故答案为：1．【点睛】本题主要考查程序与算法的应用，属于基础题．5.在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线2216416xy−=上一点M到它的一个焦点的距离等于1，则点M到另一个焦点的距

离为________．【答案】17【解析】【分析】设双曲线的左右焦点分别为12,FF,由题得12||||||16MFMF−=，令2||1MF=即得解.【详解】设双曲线的左右焦点分别为12,FF,由题得12||||||2816MFMF−==,所以11|||1|2816||17MFMF−=

==，或15−（舍）.所以点M到另一个焦点的距离为17.故答案为：17.【点睛】本题主要考查双曲线的定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.6.已知区域{(,)|||2Axyx=„，||2}y„和{(,)|0Bxyx=，0y，2}xy+„，若在区域

A内随机取一点，则该点恰好落在区域B内的概率为________．【答案】18【解析】【分析】分别求出集合A，B所对应的区域的面积，然后根据几何概型的概率公式即可求解．【详解】因为{(,)|||2Axyx=„，||2}y„表示的区域是以4为边长的正方形，面积为16，由{(,)|

0Bxyx=，0y，2}xy+„可知，其区域为如图所示的阴影部分，面积12222S==，故在区域A内随机取一点，则该点恰好落在区域B内的概率21168P==.故答案为：18.【点睛】本题主要考查几何概型的概率的计算，意在

考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析数学问题的能力.7.若实数x，y满足34xy+=，则28xy+的最小值为________．【答案】8【解析】【分析】利用基本不等式求得所求表达式的最小值.【详解】依题意3334282222222228xyxyxyxy++=+===，当且仅当

322xy=，即32xy==时等号成立.所以28xy+的最小值为8.故答案为：8【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最值，属于基础题.8.已知数列na满足112nnnnaaaa+++=−，且119a=，则6

a的值为________．【答案】27【解析】【分析】根据已知条件判断出数列na是等比数列，进而求得6a的值.【详解】由于112nnnnaaaa+++=−，1122nnnnaaaa+++=−，13nnaa+=，所以13nnaa+=，所以数列na是首项为119a=，

公比为3q=的等比数列，所以55361133279aaq====.故答案为：27【点睛】本小题主要考查根据递推关系求某一项的值，考查等比数列的定义，属于基础题.9.已知()fx是定义在R上的周期为3的奇函数，且(2)2(8)1ff−=+，则(202

0)f的值为________．【答案】13【解析】【分析】根据题意可知函数的周期为3，可得()()()(2)1,81−==−ffff，然后根据函数的奇偶性可得()1f，最后利用函数的周期性可得(2020)f【详解】由题可知：函数()fx

是定义在R上的周期为3的奇函数所以()()()()(2)1,811−==−=−fffff，又(2)2(8)1ff−=+所以(1)2(1)1=−+ff，则1(1)3f=所以()()1(2020)6733113=+==fff故答案为：13【点睛】本题考查函数的周期性和奇偶性的综合应用，关键

在于观察，利用函数的周期性，把大数变小数，属基础题.10.已知柏拉图多面体是指每个面都是全等的正多边形构成的凸多面体．著名数学家欧拉研究并证明了多面体的顶点数（V）、棱数（E）、面数（F）之间存在如下关系：2VFE+−=．利用这个公式，可以证明柏拉

图多面体只有5种，分别是正四面体、正六面体（正方体）、正八面体、正十二面体和正二十面体．若棱长相等的正六面体和正八面体（如图）的外接球的表面积分别为12,SS，则12SS的值为________．【答案】32【解析】【分析】设棱长为a，分别求出正

六面体和正八面体的外接球半径即可.【详解】设棱长为a正六面体即正方体，它的外接球的半径等于体对角线的一半，所以132Ra=对于正八面体，易得ACBDEF==，故其外接球的球心为AC中点，所以222Ra=所以2211222234342424aSRSRa===故答案为：32【点睛】

本题考查的是几何体外接球，找出球心的位置是解题的关键，属于中档题.11.在平面直角坐标系xOy中，已知圆M经过直线2:330xyl−+=与圆22:4Cxy+=的两个交点，当圆M的面积最小时，圆M的标准

方程为________．【答案】2233122xy++−=【解析】【分析】直线l的方程与圆C方程联立，求出两交点,AB，当圆M的面积最小时，圆M以AB为直径，可求得圆的标准方程.【

详解】由2:330xyl−+=与22:4Cxy+=联立得22(323)4yy−+=，得1y=或2y=，则两交点坐标为(3,1),(0,2)AB−，当圆M的面积最小时，圆M以AB为直径，则圆心33(,)22−，半径为12AB=，圆M的标准方程为2233122x

y++−=.故答案为：2233122xy++−=【点睛】本题考查了求直线与圆的交点坐标，求以两点的线段为直径的圆的标准方程，属于基础题.12.如图，四边形ABCD是以AB为直

径的圆的内接四边形．若2,1ABAD==，则DCAB的取值范围是________．【答案】(0,3)【解析】【分析】连接,,BDBCAC，则()2DCABDAABABBCACCB=+++，再由直径AB可得1cos2DAB=，90A

CB=，从而可求DCAB的值.【详解】连接,,BDBCAC因为AB为直径，故90ADB=，而2,1ABAD==，所以1cos2DAB=.同理90ACB=.()2DCABDAABBCABDAABAB

BCAB=++=++()2112432BCACCBCB=−+++=−，因为C在BD之间（异于,BD两点），故()0,3BC，所以()0,3DCAB，故答案为：(0,3).【点睛】本题考查向量的数量积，其计算方法有定义法、坐标法、基底法等，解题中注意向已知的向量转化

.13.已知函数23,0()2,0xxfxxxx=−，则函数(()24)yffxx=−+的不同零点的个数为________．【答案】5【解析】【分析】先求得()fx的零点，然后由(()24)0yffxx=−+=，求得函数

(()24)yffxx=−+的不同零点的个数.【详解】由于函数23,0()2,0xxfxxxx=−，当0x时，30x，没有零点.当0x时，220xx−=，解得10x=或22x=.令(()24)0yffxx=−+=，则()240fxx−+=或()242fxx−+=，即()24fxx

=−或()22fxx=−.由3240xxx=−或22240xxxx−=−或3220xxx=−或22220xxxx−=−.解得4x=−或2x=，或2x=−，或22x=.所以函数(()24)yffxx=−+的不同零点的个

数为5.故答案为：5【点睛】本小题主要考查分段函数零点问题，属于中档题.14.已知点G是ABC的重心，且GAGC⊥，若111tantanAC+=，则tanB的值为________．【答案】12【解析】【分析】由GAGC⊥得到0GAGC=，结合

G是ABC的重心，得到2225bac=+，结合余弦定理和正弦定理，求得tanB的值.【详解】依题意GAGC⊥，所以0GAGC=，所以()()0BABGBCBG−−=①，因为G是三角形ABC的中心，所以()13BGBABC=+②，把②代入①并化简得5ACACBCBC

ABAB=+，即2225bac=+，由余弦定理得2222cosacbacB+=+，所以242cosbacB=，由正弦定理得22sinsinsincosBACB=③，已知111tantanAC+=，所以coscossincoscossinsinsinsin

sinACACACACAC++=()sinsin1sinsinsinsinACBACAC+===，所以sinsinsinBAC=④，由③④得2sincosBB=，所以1tan2B=.故答案为：12【点睛】本小题主要考查向量线性运算、数量积的运算，考查正弦定理、余弦定理解三角形，考

查同角三角函数关系以及三角恒等变换，属于难题.二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.如图，在三棱锥PABC−中，PC⊥平面,10,6,8ABCABBCAC

PC====，E，F分别是,PAPC的中点，求证：（1）//AC平面BEF；（2）PA⊥平面BCE．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先证明//EFAC，//AC平面BEF即得证；（2）先证明BCPA⊥，PAEC⊥，PA⊥平面BCE即得证．【详解】（1）在

PAC中，E，F分别是,PAPC的中点，所以//EFAC．又因为EF平面BEF，AC平面BEF，所以//AC平面BEF．（2）在ABC中，10,6,8ABBCAC===，所以222ABACBC=+，所以BCAC⊥．因

为PC⊥平面ABC，BC平面ABC，所以PCBC⊥．又因为,,BCPCACPCCAC⊥=平面,PACPC平面PAC．所以BC⊥平面PAC．因为PA平面PAC，所以BCPA⊥在PAC中，因为ACPC=，E为PA的中点，

所以PAEC⊥．又因为,,PABCCEBCCCE⊥=平面,BCEBC平面BCE．所以PA⊥平面BCE．【点睛】本题主要考查空间直线平面的位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和空间想象转化能力

.16.已知函数2()2coscos2,46fxxxxR=+++．（1）求()fx的最小值；（2）在ABC中，03A，且1()2fA=−，若2,2ACBC==，求角B的大

小．【答案】（1）13−；（2）2B=.【解析】【分析】（1）用降次公式，两角和与差公式，辅助角公式化简()fx，再求得最小值；（2）由1()2fA=−，求得角A，再由正弦定理求得角B.【详解】（1）2()2coscos246fxxx=+++1cos2cos2c

ossin2sin266xxx=+++−311sin2cos2sin222xxx=−+−331cos2sin222xx=+−13cos23x=++．因为当()3xkkZ=+时，cos23x+的最小值为1−，所以()

fx的最小值为13−（2）由（1）知，1()13cos232fAA=++=−，即3cos232A+=−．因为03A，所以233A+，所以5236A+=，即4A=．在ABC中，因为2AC=，2BC=，由正弦定理sinsinAC

BCBA=，得22sinsin4B=，所以sin1B=．因为0B，所以2B=．【点睛】本题考查了降次公式，两角和与差公式，辅助角公式，已知三角函数值求角，正弦定理，属于中档题.17.如图，在市中心

有一矩形空地,100m,75mABCDABAD==．市政府欲将它改造成绿化景观带，具体方案如下：在边,ADAB上分别取点M，N，在三角形AMN内建造假山，在以MN为直径的半圆内建造喷泉，其余区域栽种各种观赏类植物．（1）若

假山区域面积为2400m，求喷泉区域面积的最小值；（2）若100mMN=，求假山区域面积的最大值．【答案】（1）2200m；（2）212503m.【解析】【分析】（1）设,0,2ANM=，半圆的直径

2MNr=，根据假山区域面积为2400m，找到r与的关系，再表示出喷泉区域面积，求最值，注意验证半圆是否在矩形空地ABCD内，即验证是否能取到最小值；（2）由（1）根据以MN为直径的半圆区域在矩形广场内，求得的范围，再将假山区域面积用表示出来，再求最值.【详解】解：（1）设,0,2ANM

=，半圆的直径2MNr=，半圆的圆心为O．在直角三角形AMN中，2MAN=，所以2sin,2cosAMrANr==．因为假山区域面积为2400m，所以2112sin2cossin24

0022AMANrrr===所以2400sin2r=，所以喷泉区域面积22002002sin2Sr==喷泉…，当且仅当sin21=，即4=时取等号．此时20r=．因为点O到CD的距离112dADAM=−，点O到BC的距离212dABAN=−

，所以175sin7510220drr=−=−=，即1dr，2100cos10010220drr=−=−=，即2dr．所以以MN为直径的半圆区域一定在矩形广场内．所以当4=时，S喷泉取得最小值2200m．喷泉区域面积的最小值为2200m．（2）由（1）知，若100mMN=，则2

100,100sin,100cosrAMAN===．所以点O到CD的距离175sin7550sindr=−=−，点O到BC的距离210050cosd=−，因为以MN为直径的半圆区域在矩形广场内，所以12,,drdr……即7550sin50,10050cos50,−

−……所以1sin2．又因为0,2，所以0,6．所以假山区域面积11100sin100cos2500sin222SAMAN===假山，因为0,6，所以20,3，所

以当6=时，假山区域面积的最大值为212503m．【点睛】本题是三角函数在几何中的应用题，结合考查了直线与圆的位置关系，二倍角公式，还考查了学生的分析理解能力，运算能力，属于中档题.18.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆221:195xyC+=与()222206:136xybCb=+的

离心率相等．椭圆1C的右焦点为F，过点F的直线与椭圆1C交于A，B两点，射线OB与椭圆2C交于点C，椭圆2C的右顶点为D．（1）求椭圆2C的标准方程；（2）若ABO的面积为10，求直线AB的方程；（3）若2AFBF=，求证：四边形AOCD是平行四边形．【答案】（1）2213620xy+=；（2

）515100xy−=；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题得223636b−=，解方程即得b的值，即得椭圆2C的标准方程；（2）设直线AB的方程为2xmy=+，联立22195xy+=，得到韦达定理，再根据ABOAOFBOFSSS=+11||2OFy=21||2OFy+

求出m的值，即得直线AB的方程；（3）设()()1122,,,,AxyBxy先求出,,ABC的坐标，得到533OACDkk==．所以//OACD，又5321ADOCkk==−，所以//OCAD．即得四边形AOCD是平行四边形．【详解】（1）由题意知，椭圆1C的长轴长126a=，短轴长

1225b=，焦距22111224cab=−=，椭圆2C的长轴长2212a=，短轴长2b，焦距222236cb=−．因为椭圆1C与2C的离心相等，所以1212ccaa=，即223636b−=，因为06b，所以

220b=，所以椭圆2C的标准方程为2213620xy+=．（2）因为椭圆1C右焦点为()2,0F，且A，O，B三点不共线，设直线AB的方程为2xmy=+，联立22195xy+=，消x得()225920250mymy++−=．设()11,Axy，()22,Bxy，()22(20)100590

mm=++，所以()()()2221,22220(20)459(25)20301259259mmmmmymm−−+−−+==++，即1212222025,5959myyyymm−+=−=++．因为121212111|

|||||222ABOAOFBOFSSSOFyOFyOyyyFy=+=+=−=−(22121222201004105959myyyymm=+−=+=++，化简得4259m=，所以155m=，所以直线AB的方程为1525xy=+，即515100xy−=．（3）因为2AFB

F=，所以2AFFB=．因为()()1122,,,,(2,0)AxyBxyF，所以()()11222,22,xyxy−−=−，所以121262,2.xxyy=−=−因为()()1122,,,AxyBxy在椭圆22

195xy+=上，所以221122221,951,95xyxy+=+=，所以()222222226241,951,95xyxy−+=+=消2y，得2218x=．代入2222195xy+=，由对称性不妨设120,

0yy，所以2538y=−，从而得，11353,44xy==，即3532153,,,4488AB−．所以5321OCk=−，直线OC的方程为5321yx=−，联立2213620xy+=，得244116x=．

由题知0x，所以2153,44xy==−，所以2153,44C−．又(6,0)D，所以533OACDkk==．又因为,OACD不共线，所以//OACD，又5321ADOCkk==−，且,OCAD不共线，所以//OCAD．所

以四边形AOCD是平行四边形．【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和面积的计算，考查直线方程的求法和位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和计算能力.19.已知函数()(1ln)()mRfxxxm=++

．（1）求曲线()yfx=在1x=处的切线方程；（2）设()()fxgxxx=+，求函数()ygx=的单调区间；（3）若()fxmx对任意的(0,)x+恒成立，求满足题意的所有整数m的取值集合．【答案】（1）21yxm=+−

；（2）答案见解析；（3）{1,2,3}.【解析】【分析】（1）利用切点和斜率求得切线方程.（2）求得()gx的表达式，利用()'gx，对m分成0m，0m两种情况进行分类讨论，由此求得()gx的单调区间.（3）由()fxmx对

任意的(0,)x+恒成立，得到(1ln)0xxmxm+−+对(0,)x+成立，由此构造函数()(1ln)mxxxmxm=+−+，利用来导数研究()mx的单调区间和最值，由此求得整数m的取值集合.【详解】（1）()2ln=+fxx，所以(1)2f=，()11fm

=+，所以所求切线方程为()121ymx−−=−，即21yxm=+−．（2）由已知，()()1lnfxmgxxxxxx=+=+++，所以2221()1mxxmgxxxx+−=−+=．当0m时，()()0,gxgx的单调递增区间为(0,)+；当0m时，令()0gx=，得1142m

x−++=或1142mx−−+=（舍去），1140,2mx−++时，()0gx，函数()gx单调递减；114,2mx−+++时，()0gx，函数()gx单调递增．综上，当0m时，()gx的单调递增区间

为(0,)+；当0m时，函数的单调递减区间为1140,2m−++，函数的单调递增区间为114,2m−+++．（3）由已知(1ln)0xxmxm+−+对(0,)x+成立，设()(1ln)mxxxmxm

=+−+，令()'ln20mxxm=+−=，得2mxe−=．当()20,mxe−时，()'0,()mxmx单调递减；当()2,mxe−+时，()'0,()mxmx单调递增．所以()min22[()]mmmxmeme−−==−，设2()mhmme−=−，令2()10mhme−=−=，得

2m=．当),(2m−时，()()0,hmhm单调递增；当(2,)m+时，()()0,hmhm单调递减．又(0)0h，1(1)10he−=−，0(2)20he=−，(3)30he=−，2(4)4

0he=−，所以满足题意的整数m构成的集合为{1,2,3}．【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数求单调区间，考查利用导数求解不等式恒成立问题，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题.20.已知数列na的前n

项和为nS，nnnSba=()Nn，若nb是公差不为0的等差数列，且2711bbb=．（1）求数列nb的通项公式；（2）证明：数列na是等差数列；（3）记2nnnaSc=，若存在1k，2Nk（1

2kk），使得12kkcc=成立，求实数1a的取值范围．【答案】（1）1(1)2nbn=+；（2）证明见解析；（3）(20,log3.【解析】【分析】（1）根据已知条件求得1b和数列nb的公差，由此求得数列n

b的通项公式.（2）由（1）得到*1(1),2nnSnnNa=+，进而得到数列nan是常数列，求得数列nan的通项公式，进而证得数列na是等差数列.（3）先求得nc的表达式，然后求得1nncc+−的表达式，对1a进行分类讨论，结合数列nc的

单调性，求得1a的取值范围.【详解】（1）设等差数列nb的公差为d，因为1111Sba==，所以1(1)nbnd=+−．由2711bbb=得，(1)(16)110ddd++=+，即220dd−=，因为0d，所以12d=，从而1(1)2nbn=+

．（2）由（1）知，*1(1),2nnSnnNa=+，即有2(1)nnSna=+，①所以112(2)nnSna++=+，②②-①得，112(2)(1)nnnanana++=+−+，整理得1(1)nnnana+=+．两边除以(1)nn+得，()*101nnaanNnn+−=+，所以数列

nan是常数列．所以111naaan==，即1nana=，所以11nnaaa+−=，所以数列na是等差数列．（3）因为nnnSba=，所以11(1)22nnnnnSaa++==，所以111(1)22n

nnnaaSnnac++==．因为111111111111(1)(2)(1)(1)(2)122222nnnaananaannannannanccn++++++++++−=−=−+，当*nN时，211,1223nnn=−++．显然10a，①若10a，则1111

1,0222aann−+恒成立，所以10nncc+−，即*1,nnccnN+，所以nc单调递减，所以不存在12kkcc=；②若12log3a，则111,02322kkaann−+恒成立，所以10nncc+−，即*1,nnccnN+，所以nc单调递减，所

以不存在12kkcc=；③若21log3=a，则1123ka=，所以当1n=，11022ann−=+成立，所以存在12cc=．④若120log3a，则111132a．当1221an−，且*nN时，1nncc+，nc单调递增；当1221an−，且*nN时，1nncc+，

nc单调递减，不妨取()*0120002log,2kakNkk+=…，则001kkcc+=．综上，若存在*12,kkN，使得12kkcc=成立，则1a的取值范围是(20,log3.【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的求法，考查由递推关系证明等差数列，考查数列的单调性，考查分类讨

论的数学思想方法，属于难题.第II卷（附加题，共40分）【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A．选修4-2：矩阵与变

换21.已知矩阵114aA=−的一个特征值为2．（1）求实数a的值；（2）求矩阵A的另一个特征值及其对应的一个特征向量．【答案】（1）2a=；（2）矩阵A的另一个特征值为3，其对应的一个特征向量为11.【解析】【分析】（1）根据

矩阵A的特征多项式列方程，结合矩阵A的特征值求得a的值.（2）由（1）求得另一个特征值，根据特征向量的求法，求得对应的特征向量.【详解】（1）由已知，矩阵A的特征多项式为1()(1)(4)14afa−−==−−+−，令()0fλ=得，2540a−++=．

因为矩阵A的一个特征值为2，所以上述方程有一个实数解2=，所以2a=．（2）由（1）得，2560−+=，解得122,3==，所以另一个特征值为3=．设其对应的一个特征向量为xy，则12314xxyy=

−，取1x=，则1y=．所以矩阵A的另一个特征值为3，其对应的一个特征向量为11．【点睛】本小题主要考查根据特征值求参数，考查特征值和特征向量的求法，属于中档题.B.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系

xOy中，直线l的参数方程为2222xmtyt=+=（t为参数），椭圆C的参数方程为2cossinxy==（为参数）．若直线l被椭圆C所截得的弦长为425，求实数m的值．【答案】2m

=．【解析】【分析】将椭圆C的参数方程化为普通方程，将直线l的参数方程代入椭圆方程，结合直线的参数方程中参数的几何意义与韦达定理即可求出答案．【详解】解：将椭圆C的参数方程2cos,sinxy==（为

参数）化为普通方程得2214xy+=，将直线l的参数方程代入椭圆方程得222244022mtt++−=，即2252402tmtm++−=，由()22524402mm=−−得，55m−，设12,tt为两交点对应的参数，∴()212122422,55m

mtttt−+=−=，∴()()()()222221212128482048425525mmmtttttt−−−=+−=−=，∵直线l截椭圆所得弦长为425，∴()28204322525m−=，2m=，符合

，∴2m=．【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查直线的参数方程的应用，属于中档题．C．选修4-5：不等式选讲23.若实数a，b，c满足7abc++=，求证：2224936abc++．【答案】证明见解析.【解析】【分析】利用柯西不等式证得不等式成立.【详解】因为()2222222

1111149232323abcabc++++++…，所以2222()4911149abcabc++++++…．又7abc++=，所以2224936ab

c++…【点睛】本小题主要考查利用柯西不等式证明不等式，属于中档题.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．24.已知直四棱柱1111ABCDABCD−

的棱长均相等，且60BAD=，M是侧棱1DD的中点，N是棱11CD上的点．（1）求异面直线1BD与AM所成角的余弦值；（2）若二面角MACN−−的大小为4，试确定点N的位置．【答案】（1）105；（2）点N与点1C重合.【解

析】【分析】连结BD，取AB的中点E，连接DE，可以证明DEDC⊥，11,DDDCDDDE⊥⊥，从而建立如图所示的空间直角坐标系.（1）算出1,BDAM的坐标后可求1,BDAM的余弦值，从而得到异面直线

所成角的余弦值.（2）算出平面AMC的法向量和平面ACN的法向量后再计算它们夹角的余弦值，从而可得二面角的余弦值.【详解】连结BD，取AB的中点E，连接DE，因为直四棱柱1111ABCDABCD−的棱长均相等，所以底面ABCD是菱形．又60BAD=，所以ABD△

是正三角形，所以DEAB⊥，因为//ABDC，所以DEDC⊥．因为直四棱柱1111ABCDABCD−中，1DD⊥平面ABCD，DC，DE平面ABCD，所以11,DDDCDDDE⊥⊥．分别以直线1,,DEDCDD为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系．（1）设

直四棱柱1111ABCDABCD−的棱长均为2，则1(0,0,0),(3,1,0),(3,1,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,0,1)DABCDM−．所以1(3,1,2),(3,1,1)BDAM=−−=−，设异面直线1BD与AM所成角的大小为，则1113121

0cos|cos,|5||||225BDAMBDAMBDAM−+====，所以异面直线1BD与AM所成角的余弦值为105．（2）由（1）知，(3,3,0),(3,1,1)ACAM=−=−．设平面AMC的法向量为()1111,,nxyz

=，则11nACnAM⊥⊥即11nACnAM，所以11111330,30.xyxyz−+=−++=取13x=，则111,2yz==，即平面AMC的一个法向量为1(3,1,2)n=．设(0,,2),02N剟，则(0,2,2)CN=

−．设平面ACN的法向量为()2222,,nxyz=，则22nACnCN⊥⊥即2200nACnCN==，所以2222330,(2)20.xyyz−+=−+=取23x=，则2221,2yz−==，即

平面ACN的一个法向量为223,1,2n−=．则121221231(2)2coscos4222142nnnnnn++−====−+，解得2=．所以当二面角MAC

N−−的大小为4，点N与点1C重合．【点睛】本题考查空间角的计算，此类问题我们可以借助于空间中直线的方向向量和平面的法向量来帮助计算，比如异面直线所成角的的余弦值就是它们所在直线的方向向量夹角的余弦值的绝对值，二面角的平面角的余弦值就是两个平面的法向

量的夹角的余弦值或其相反数（结合二面角的大小来考虑）.25.设230123(12)kkkxaaxaxaxax+=+++++（2k，kN）．（1）若展开式中第5项与第7项的系数之比为3∶8，求k的值；（2）设222nnk+−=（nN），且各项系数0a，1a，2a，…，ka互

不相同．现把这1k+个不同系数随机排成一个三角形数阵：第1列1个数，第2列2个数，…，第n列n个数．设it是第i列中的最小数，其中1in，且i，nN．记123ntttt的概率为nP．求证：12(1)!nPn−．【答案】（1）

9k=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用题目所给展开式中第5项与第7项的系数之比列方程，解方程求得k的值.（2）利用相互独立事件概率乘法公式，求得nP的表达式，构造数列()*(1)22,2nnnnannN+=−…，判断出数列na

的单调性，由此证得不等式成立【详解】（1）因为在展开式中第5项与第7项的系数之比为3∶8，即44662328kkCC=，所以4632kkCC=，即303(4)(5)2kk=−−，所以292020kk−+

=，解得0k=或9k=．因为*2,kkN，所以9k=．（2）由题意，最小数在第n列的概率为2212nnnn=++，去掉第n列已经排好的n个数，则余下的(1)(1)22nnnnn+−−=个数中最小值在第1n−列的概率为12(1)2nnnn−=−，…………以此类推，余下的数中最

小数在第2列的概率为23，所以12222213(1)3(1)!nnnPnnnnn−===+++．由于2222nnk+−=…，所以2n．设()*(1)22,2nnnnannN+=−…，所以()*1212,nnnaannnN+−=−−…．记()*212,nnbnnnN=−

−…，所以1210nnnbb+−=−，所以nb是递增数列，所以210nbb=…；na是递增数列，所以21naa=…，所以(1)22nnn+，所以2(1)1(1)!2(1)!2(1)!nnnnnn+=++−，

即12(1)!nPn−．【点睛】本小题主要考查二项式展开式的系数，考查相互独立事件概率计算，考查数列的单调性，属于难题.