【文档说明】河北省2023届高三适应性考试数学试题 含解析.docx，共(28)页，3.923 MB，由小赞的店铺上传

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河北省2023届高三年级适应性考试数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.若集合2560Axxx=−+，11Bxx=−，则AB=（）A.(2,3B.2,3C.0,3D.(0,

3【答案】A【解析】【分析】根据集合的交集运算即可求解.【详解】25602,3Axxx=−+=，()()11,02,Bxx=−=−+，因此，(2,3AB=.故选：A.2.若z=1+i，则|z2–2z|=（）A0B.1C.2D.2【答案】D【解析】【分析】由

题意首先求得22zz−的值，然后计算其模即可.【详解】由题意可得：()2212zii=+=，则()222212zzii−=−+=−.故2222zz−=−=故选：D.【点睛】本题主要考查复数的运算法则和复数的模的求解等知识，属于基础题.3.已知5axx−的展开式中

含2x−的项的系数为80，则=a（）A.2−B.2C.2−D.2【答案】C【解析】【分析】利用二项展开的通项公式1CrnrrrnTab−+=，根据指定项求出r，再根据系数求出参数...【详解】解：根据二项展开的通项公式，则515C()()rrrraTxx−+=−，整理得()53

215C1rrrrrTax−+=−，因为展开式中含2x−的项的系数为80，所以5322r−=−，解得3r=，所以系数()3335C180a−=，解得2a=−.故选：C.4.如图为延安革命纪念馆陈列的呈正四棱台的木盒子，它是以前计量粮食用的斗，其四周和底部五

面合围，上部开口的中间有一斗柄，作为手提之用．1947年，党中央果断做出了“撤离延安、转战陕北”的重大决策，为了及时供应部队军粮，保证部队的粮食需求，地方政府将米脂、镇川和子洲等地的公粮集中在沙家店粮

站，这个斗就是沙家店粮站当时使用过的，纪念馆测得该正四棱台下底面边长为38厘米，上底面边长为32厘米，侧棱长23厘米．则斗的侧面与底面夹角余弦值为（）A.3130260B.3260260C.3223D.323【答案】A【解析】【分析】作出斗的侧面与底面夹角，求得相关线段长，解直角

三角形，即可求得答案.【详解】如图，正四棱台1111ABCDABCD−中，设上下底面的中心为1,OO,设11,BCBC的中点分别为,EH,连接11,,,EHOEOHOO，作EFOH⊥,垂足为F，由于侧面11BBCC为等等腰梯形，故EHBC⊥，而

OHBC⊥，且1OEOH∥，,,EHOHHEHOH=平面1OHEO，故BC⊥平面1OHEO，EH平面11BBCC，OH平面ABCD,则EHF即为平面11BBCC与底面ABCD所成二面角的平面角，即E

HF即为斗的侧面与底面的夹角，由题意可知116,19,19163OEOHFH===−=,在等腰梯形11BCCB中，123BB=，则2223(1916)5202130EH=−−==,在RtEFH△中，3cos21331302060FHEFHEH===，即斗

的侧面与底面夹角的余弦值为3130260，故选：A5.甲乙丙丁四名同学去听同时举行的三个讲座，每名同学可自由选择听其中的一个讲座，则甲乙二人正好听的同一讲座而丙丁听的不同讲座的情况为（）种A.6B.10C.18D.36【答案

】C【解析】【分析】先安排甲乙，再安排丙丁，根据分步乘法计数原理即可求解.【详解】解：先安排甲乙共有13C,再安排丙丁共有23A,所以根据分步乘法计数原理得总共有13C23A18=（种），故选:C.6.已知函数()()()sin3co

ssin0fxxxx=+在区间4ππ,3上不单调，则的最小正整数值为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】由二倍角公式以及辅助角公式化简()π1sin262fxx=−+

，进而根据为正整数，由4πππ,,236xx−的范围，即可结合正弦函数的单调区间进行求解.【详解】()()311π1sin3cossinsin2cos2sin222262fxxxxxxx=+=−+=−

+，由于为正整数，当1=时，()π1sin262fxx=−+，此时4ππ11π15π3π5ππ,,2,,,366622xx−故此时()fx在4ππ,3上单调，1=时不符合，当2=时，()π1sin462fxx

=−+，此时4ππ23π31π7π9ππ,,4,,,366622xx−且23π31π9π31π,,6626，故此时()fx在4ππ,3先增

后减，因此不单调，2=符合，当3=时，()π1sin662fxx=−+，此时4ππ35π47π47π35ππ,,6,=2π366666xx，−−，而sinyx=的周期为2π，此时()fx在4ππ,3上不单调，3

=符合，但不是最小的正整数，同理4ω=要求符合，但不是最小的正整数，故选：B7.抛物线C：22(0)ypxp=的准线与x轴交于点M，过C的焦点F作斜率为2的直线交C于A、B两点，则tanAMB=（）A.2

55B.25C.45D.不存在【答案】C【解析】【分析】由AAMBBM△△得出AMFBMF=，再由同角三角函数的基本关系得出2tan5AMF=，最后根据倍角公式求解即可.【详解】作ANx⊥轴于N，分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为A，B，则AMAFAABMBFBB==

，∴AAMBBM△△∴AMFBMF=由22sintan2cossincos1AFNAFNAFNAFNAFN==+=，可得2sin5AFN=.又∵2sintan5ANAMAFNMAAAFAA

====．∴2tan5AMF=．∴2225tantan245215AMBAMF===−.故选：C8.已知函数()ln,01,0xxxfxxxx−=+，若()yfxkx=−恰有两个零点，则k的取值范围为（）A.11,1e−B.11,1e

−C.11,e−+D.()11,11,e−+【答案】D【解析】【分析】将问题转化为()fxkx=恰有两个实数根，求导确定函数的单调性，进而画出函数的图象，结合函数图象即可确定k的取值.【详解】()yfxkx=−恰有两个零点,即()0fxkx−=恰有两个

实数根，由于0x，所以()0fxkx−=恰有两个实数根等价于()fxkx=恰有两个实数根，令()()fxgxx=，则()2ln1,011,0xxxgxxx−=+，当0x时，()()2lnln11xxgx,gxxx-¢=-=，故当()e0x,gx,¢>>此时()gx单调递增

，当()0e0x,gx¢<<<，此时()gx单调递减，故当ex=时，()gx取极小值也是最小值，且当1x时，()lnln011xx,gxxx>\=-<，当0x时，()2111gxx=+>，且()gx单调递增，在直

角坐标系中画出()gx的大致图象如图：要使()gxk=有两个交点，则()11,11,ek−+，故选：D二、不定项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错

的得0分，部分选对的得2分．9.某市两万名高中生数学期末统考成绩（满分100分）服从正态分布，其正态密度函数()()2751281e82πxfx−−=，则（）附：若随机变量X服从正态分布()2,N，则()0.6827PX−+，()

220.9545PX−+，()330.9973PX−+．A.试卷平均得分与试卷总分比值为该试卷难度，则该份试卷难度为0.5B.任取该市一名学生，该生成绩低于67分的概率约为0.023C.若按成绩靠前

的16%比例划定为优秀，则优秀分数线约为83分D.该次数学成绩高于99分的学生约有27人【答案】CD【解析】【分析】根据正态分布的对称性以及3原则，即可结合选项逐一求解.【详解】由正态密度函数()()2751281e82

πxfx−−=得μ=75σ=8,,故可知试卷的平均分为75，试卷总分为100分，故难度为0.75，故A错误,由于()7587580.6827PX−+，所以()10.6827670.15872PX−，故B错误，由于()10.6827830.158716%2PX−，所以

C正确，由于()10.997375242PX−+，故高于99分的学生约10.997320000=272−人，所以D正确，故选：CD10.点(),xy为圆221xy+=上一动点，则（）A.11xy−−B.52124xyxy−

+++C.52132xyx+−+D.()11220xyxy+【答案】BC【解析】【分析】设cos,sin,[0,2π)xy==，可得πcossin2cos()4xy−=−=+，结合

三角函数性质可判断A；将2xyxy++化为cossin2cossi2nxyxy+=+++，继而令cossint+=，转化为关于t的二次函数，求其最值，判断B；将22xyx++转化为2(1)12yx−++，利用几何意义，数形结合，可判断C；举出反例可判断D.【详解】由题意点(

),xy为圆221xy+=上一动点，故设cos,sin,[0,2π)xy==，则πcossin2cos()4xy−=−=+，而ππ9π[,)444+，πcos()[1,1]4+−，故22xy−−，A错误；cossin2cossi2nxyxy+=+++，设coss

int+=，则π2sin()[2,2]4t=+−，22cossin1t=−，故22151()224xyttyxt+−++=−+=，当12t=−时，2xyxy++取最小值54−，当2t=时，2xyxy++取最大值215(2)1224+−=+，即52124xyxy−+++，B正确；22

(1)122xyyxx+−=+++，设12ykx−=+，则21ykxk=++，即2(1)2yx−+可看作点(,)xy与点(2,1)P−连线的斜率，如图示：当直线21ykxk=++与圆221xy+=相切时，k取得最值，则2|21|11kk+=+，解

得0k=或43k=−，则41032yx−−+，故22(1)51[,1]223xyyxx+−=+−++，C正确；取(),xy为22(,)22−，满足221xy+=，但此时110xy+=，D错误，故选：BC【点睛】方法点睛：对于A，B选项的判断，结合

其结构特征，利用三角代换，结合三角恒等变换或cossin,2cossin+之间的关系，可进行判断；对于22xyx++，可变形为2(1)12yx−++，利用几何意义进行判断.11.函数()fx及导函数()fx的定义域均为R，则下列选项错误的是（）A.若()()2fxfx=+，则()f

x的周期为2B.若()()2424fxfx+=−+，则()2fx+为奇函数C.若()()24242fxfx++−+=，则()24fx+为偶函数D.若()()24240fxfx++−+=，则()4fx+为偶函数【答案】ABC【解析】【分析】根据导函数的对称性可举反例，即

可判断ABC,由定积分的性质以及导函数的对称性即可求解D.【详解】对于A,由()()2fxfx=+可得()fx是周期函数且周期为2，无法确定()fx的周期性，例如()=sinπ2fxx+为周期2的函数，但是()0fx¢>恒成立，()fx单调递增，不具有周期性，故A

错误，对于B,由()()2424fxfx+=−+可得()fx关于4x=对称，可取()()24fxx=−，则()()3143fxx=−，()()31223fxx+=−不是奇函数，故B错误，对于C,由()()24242fxfx++−+=可知()fx关于点()

4,1对称，取()()341fxx=−+，则()()4144fxxx=−+，故()()44124244244244fxxxxx+=+−++=++为非奇非偶函数，故C错误，对于D,由()()24240fxfx++−+=得()fx关于点()4,0对称，所以()()8fxfx

=−−+，则()()4dxfxftt=，则()()()()44444d4dxxfxfttfxftt+−+=−=，，由于()()8ftft=−−+，所以()()()44444d=8dxxfxfttftt+++=

−−+，令8mt=−，则()()()()44444dd4xxfxfmmfmmfx−−+=−==−，所以()4fx+为偶函数，故D正确，故选:ABC12.函数()xfxa=（0a且1a），()logagxx=（0a且1a），则（）A.当

116a=时，()fx与()gx有唯一的公共点B.当32a=时，()fx与()gx没有公共点C.当eae=时，()fx与()gx有唯一公共点D.当1eae时，()fx与()gx有两公共点【答案】BCD【解析】

【分析】根据求解交点确定A选项，根据反函数性质，列式求解，分情况讨论无交点，一个交点和两个公共点求参可以判断BCD选项.【详解】()xfxa=与()logagxx=（0a且1a）互为反函数．当1a时，()fx与()gx均递减且与yx

=交于一点．116a=时，()116xfx=，1124f=，1142f=，∴()fx过11,24和11,42，而116logyx=也过11,24和11,42

，∴当116a=时，()fx与()gx有三个交点.当1a时，设()xfxa=与yx=相切，设切点为()00,xxa，()lnxfxaa=，0001ln1xxaxaa==①②，由①得，00xax=，两边取对数，00lnlnxax=，将00xax=代入②得

，0ln1xa=，∴0ln1x=，0ex=，∴eea=，1eeeea==，由指数函数性质得eea=时，()fx与yx=相切，则eea时，()fx与yx=无交点，e1ea时，()fx与yx=有两个交点，故BCD均正确．故选：BCD.三、填空题：本题

共4小题，每小题5分，共20分．13.若数列na为等比数列，1176aa+=−，5136aa=，则9a=______．【答案】6−【解析】【分析】根据等比数列的性质,得96a=，再通过分析可得96a=−.【详解】解:根据等比数列的性质得，2

51396aaa==，所以96a=，又()161171160aaaq+=+=−，所以10a，所以8910aaq=所以96a=−,故答案为：6−.14.点M、N分别是正四面体ABCD棱BC、AD的中点，则cos,AMCN=______．【答案】23−【解析】【分析】以,,ABACAD为

基底，()11,22AMABACCNADAC=+=−，即可求解.【详解】解：以,,ABACAD为基底，它们两两之间均为60，设正四面体ABCD棱长为2，则()11,22AMABACCNADAC=+=−,()1111122222=+−=+−−AMCNABACAD

ACADABADACACABACAC()1112422=+−−=−所以()()222112324=+=++=，AMABACABABACAC22211324=−=−+=CNADACADADACAC，所以2cos,3AMCNAMCNAMCN==−,故答案

为：23−15.已知1F，2F为双曲线C：()222210,0xyabab−=的左右焦点，直线xm=与C的两渐近线分别交于点M、N，若12:MFNF的最大值为3，则双曲线的离心率为______．【答案】2【解析】【分析】根据点点距离公式，结合不等式即可求解最

值，进而可得离心率.【详解】要使12:MFNF取最大，此时直线0xm=，由对称性可知22MFNF=，双曲线的渐近线方程为byxa=，联立byxaxm==，解得bymaxm==，不妨设,MN

分别在第一象限和第四象限，所以bmbmMm,,Nm,aa骣骣琪琪-琪琪桫桫，故()()22222222212222222222222244:11222mbmbmcmcmcmaaMFNFcmccmmbmbmcmcmcmcamaaa+++++===+=++−−+−++−+，由于2222?2cmccmc

ceamama+==，当且仅当2cmcam=时，即ma=时，等号成立，故12244:11222MFNFcmceam=++−+−，即12:MFNF的最大值为4122e+−，因此413222ee+==−，故答案为：216.近年我国基础研究和原始创新不断加

强，一些关键核心技术实现突破，载人航天、探月探火、深海深地探测、超级计算机、卫星导航、量子信息等都取得重大成果．如图正方体为制作某深海探测器零件的新型材料，其棱长为2厘米，制作中要用与正方体内切球相切的平面去裁切正方体的一个角，要求截面为正

三角形．若正方体八个角都做这样的裁切，则所剩几何体体积为______3cm．【答案】40203−【解析】【分析】由题意可得所截正三棱锥高31AO=−，从而求得其体积953AEFMV−=−，又因为相邻两个

三棱锥重叠部分为三棱锥PMNQ−，求出26533PMNQV−=−，从而可得剩余体积.【详解】由正方体棱长2，可知其内切球球心为正方体中心O，半径为1，正方体顶点到球心距离3AO=，由题意截面EFM为正

三角形，切点O，,,AOO三点共线，则31AO=−，设正三棱锥AEFM−侧棱AMAEAFa===，则2EFEMFMa===，为O为正三角形中心，所以63OMa=，则3313AOa==−，解得

33a=−，所以31195332AEFMVa−==−，又因为相邻两个三棱锥重叠部分为三棱锥PMNQ−，可得423MN=−，则直角三角形MNQ中，2(423)2262MQ=−=−，()()21112622642

3533223PMNQV−=−−=−，所以剩下的体积为：()326289531253402033V=−−+−=−.故答案为：40203−【点睛】关键点点睛：确定与内切球相切的截面所截部

分位置关系，进而应用柱体、锥体体积公式求几何体体积.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知a，b，c分别为ABC内角A，B，C的对边，且sinsinsinsinBACAcab−−=+．（1）求B的值；（2）若ABC面

积为3，求AC边上的高h的最大值．【答案】（1）π3B=（2）3【解析】【分析】（1）由正余弦定理边角转化即可求解，（2）由三角形面积公式，结合基本不等式即可求解最值.【小问1详解】∵sinsinsinsinBACAcab−−=+，∴bacacab−−=+，222baca

c−=−，222acbac+−=，∴2221cos22acbBac+−==，∵0πB，∴π3B=.【小问2详解】由ABC面积为3得：1sin32acB=，而3sin2B=，∴4ac=∵AC边上高为h，∴132ABCSbh==△，则23hb=，∵2224acb+−=，∴22

24244bacac=+−−=，当且仅当2ac==时，取“=”，即b的最小值为2．此时h最大为3．18.已知函数na的首项135a=，且满足1321nnnaaa+=+．（1）求证11na−为等比数列，并求na．（2）对于实数x，x表示不超过x的最大整数

，求123100123100aaaa++++的值．【答案】（1）证明见解析，332nnna=+（2）5051【解析】【分析】（1）由已知可推得112133nnaa+=+，变形可得1111113nnaa+−=−

，即可得出证明.由已知11213a−=，进而得出1213nna−=，整理即可得出答案；（2）分组求和得出()1210012310010010011231001210023332aaaa+++++=++++.根据错位相减法的求123100

1231003333T=++++，得出1003203443T=−，即可得出1001001231231002035051.523aaaa++++=−，然后根据100203013，即可得出答案.

【小问1详解】因为135a=，1321nnnaaa+=+，所以0na，所以12113nnnaaa++=2133na=+，所以1111113nnaa+−=−.又因为11213a−=，所以数列

11na−是首项为23，公比为13的等比数列，所以112112333nnna−−==，所以1213nna=+，所以332nnna=+.【小问2详解】因为1213nna=+，所以1210012310012310024200123100333aaaa++

++=++++++++()1210010010011210023332+=++++.设1231001231003333T=++++，所以234101112310033333T=++++，所以231001012111110033

3333T=++++−100101100101111100111003311323313−=−=−−−，所以1003203443T=−，所以100123123100aaaa++++100100320320350505051.522323=+

−=−.因为100203013，所以10020310232，所以10020350515051.55051.523−，所以1001231231005051aaaa++++=.19.如图所示，多面体ABCDF中，底面ABCD为正

方形，四边形BDEF为矩形，且EDAB⊥，2BD=，1DE=．（1）求平面FAC与平面EFBD所成二面角大小；（2）求多面体ABCDEF的体积；（3）点P在线段EF上，当//DP平面FAC时，求DP与平面AEF所成的角的正弦值．【答案】（1）90（2）43（3）12【解析

】【分析】(1)由线面垂直的判定定理证ED⊥平面ABCD，从而证平面EFBD⊥平面ABCD，即可得到AC⊥平面EFBD，从而得到平面AFC⊥平面EFBD，即平面FAC与平面EFBD所成二面角为90；(2)由（1）知，AC⊥平面EF

BD，把多面体ABCDEF看做两个同底的四棱锥A-EFBD和C-EFBD组合而成，即可求体积.(3)设ACBDO=,由DP∥平面AFC得DPOF∥，即P为EF的中点．建立空间直角坐标系，求DP和平面AEF的法向量n的坐标，代入夹角

公式即可求DP和n所成角的余弦值，即可得到DP与平面AEF所成的角的正弦值．【小问1详解】∵四边形EFBD为矩形，∴EDBD⊥又∵EDAB⊥，BDABA=,BD平面ABCD,AB平面ABCD,∴ED⊥平面ABCD，∵ED平面EFBD∴平面EF

BD⊥平面ABCD.∵平面EFBD与平面ABCD的交线为BD，ACBD⊥，∴AC⊥平面EFBD，又∵AC平面AFC，∴平面AFC⊥平面EFBD，∴平面AFC与平面EFBD所成二面角为90.【小问2详解】由（1）知，AC⊥平面EFBD，又∵2BD=，1DE=,底面A

BCD为正方形，∴2AC=，∴多面体ABCDEF体积A-EFBDC-EFBDVV=+()114212333EFBDSAC===．【小问3详解】如图，设ACBDO=,连接OF.则平面AFC与平

面EFBD交于OF，∵PEF，∴DP平面EFBD,∵DP∥平面AFC∴DPOF∥，则P为EF的中点．以D为坐标原点,DA、DC、DE所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则()0,0,0

D，22,,122P，()2,0,0A，()0,0,1E，()2,2,1F所以2,122,2DP=uuur，()2,0,1AE=−，()0,2,1AF=uuur，设平面AEF的法向量(),,nxyz=得00AEnAFn==即2020xzyz−+=

+=，令1x=，则1,2yz=−=，所以()1,1,2n=−，则21cos,224nDPnDPnDP===，所以PD与平面AEF所成角的正弦值为12．20.随着全球新能源汽车市场蓬勃增长，在政策推动下，中国新能源汽车企业在10余年间实现了“弯道

超车”，一跃成为新能源汽车产量连续7年居世界第一的全球新能源汽车强国．某新能源汽车企业基于领先技术的支持，改进并生产纯电动车、插电混合式电动车、氢燃料电池车三种车型，生产效益在短期内逐月攀升，该企业在1月份至6月

份的生产利润y（单位，百万元）关于月份x的数据如下表所示，并根据数据绘制了如图所示的散点图．月份x123456收入y（百万元）6.88616.119.628.140.0（1）根据散点图判断，yaxb=+与edxyc=（a，b，c，d均为常数）哪一个更适宜

作为利润y关于月份x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）的结果及表中的数据，求出y关于x的回归方程；.（3）该车企为提高新能源汽车的安全性，近期配合中国汽车技术研究中心进行了包括跌落、追尾、多车碰撞等一系列安全试验项目，其中在实验场进行了一项甲、乙、丙三车同时去碰撞

实验车的多车碰撞实验，测得实验车报废的概率为0.188，并且当只有一车碰撞实验车发生，实验车报废的概率为0.1，当有两车碰撞实验车发生，实验车报废的概率为0.2，由于各种因素，实验中甲乙丙三车碰撞实验车发生概率分别为0.7，0.5，0.4，且互不影响，求当三车同时碰撞实验车发生时实验车

报废的概率．参考数据：yu()621iixx=−()()611iixxyy=−−()()61iiixxuu=−−19.872.8017.50113.756.30其中，设lnuy=，()ln1,2,3,4,5,6i

iuyi==．参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据()(),1,2,3,,iixyin=，其回归直线ˆˆyx=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为()()()1121ˆniiniixxyyxx==−−=−

，ˆyx=−．【答案】（1）选用edxyc=作为利润y关于月份x的回归方程更合适（2）1.540.36eexy=（3）0.5【解析】【分析】（1）由散点的分布在一条曲线附近，即可选择非线性的.（2）由

对数运算，结合最小二乘法即可求解，（3）由概率的乘法公式，结合全概率公式即可求解.【小问1详解】散点图中的点的分布不是一条直线，相邻两点在y轴上的差距是增大的趋势．故选用edxyc=作为利润y关于月份

x的回归方程更合适．【小问2详解】由edxyc=，取对数可得lnlnycdx=+，设lnuy=，所以lnudxc=+，1234563.56x+++++==，()62117.50iixx=−=，()()616.30iiixxuu=−−=，2.80u=，所以()()()6

116216.300.3617.5iiiixxuudxx==−−===−，2.800.363.5lnc=+，所以ln2.800.363.51.54c=−=，ln0.361.54yx=+，即1.540.36e

exy=．【小问3详解】设事件B为“实验车报废”，事件1A为“只有一车碰撞实验车”，事件2A为“恰有两车碰撞实验车”，事件3A为“三车碰撞实验车”，则()()()()()()()110.710.50.410.70.510.40.710.510.4PA=−−+−−+−−0.3

0.50.40.30.50.60.70.50.6=++0.36=()()()()210.70.50.40.710.50.40.70.510.4PA=−+−+−0.30.50.40.70.50.50.70.50.60.41=++=

()30.70.50.40.14PA==由已知得()1|0.1PBA=，()2|0.2PBA=利用全概率公式得()()()()()()()112233|||PAPBAAPBAAPBABPPP=++()30.360.10.

410.20.14|0.188PBA=++=解得()3|0.5PBA=所以当三车同时碰撞实验车发生时实验车报废的概率为0.5．21.在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴上滑动，点B在y轴上滑动，A、B两点间距离为13+．点P满足3BPPA=，且点P的轨迹为

C．（1）求C的方程；（2）设M，N是C上的不同两点，直线MN斜率存在且与曲线221xy+=相切，若点F为()2,0，那么MNF的周长是否有最大值．若有，求出这个最大值，若没有，请说明理由．【答案】（1）2213xy+=（2）有，最大值为43【解析

】【分析】（1）根据向量的坐标运算可得133ax+=，()13by=+，由点点距离即可求解.（2）联立直线与椭圆方程，得到韦达定理，进而由弦长公式求解MN，由两点距离公式求解NFMF，,结合不等式或者二次函数的性质即可求解最值.【小问1详

解】设点P坐标为(),xy，点A,B的坐标分别为(),0a,()0,b．由题意3BPPA=，得()(),3,xybaxy−=−−则133ax+=，()13by=+，又因为A、B两点间距离为13+，则()22213ab+=+()()()2222213131

33xy+++=+整理得点P的轨迹为椭圆，其方程C：2213xy+=．【小问2详解】因为直线MN的斜率存在，设()11,Mxy，()22,Nxy，设直线MN：ykxm=+，因为M，N是椭圆C上的不同两点，所以

0k由直线MN与曲线221xy+=相切可得211mk=+，得221mk=+，联立2213ykxmxy=++=可得()222136330kxkmxm+++−=，所以122613kmxxk+=−+，21223313mxxk−=+，所以(

)2212214MNkxxxx=++−22222633141313kmmkkk−=+−−++2222222222424241131313kkkmkmkkk=+==+++，()()2222111112222MF

xyxxy=−+=−++∵221113xy+=，()2211122213xMFxx=−++−22111112262932223333xxxxx−+−=−+==1633x=−同理2633NFx=−()126233MFNFxx+=−+22662

3232631313kmkmkk=+=+++所以MNF的周长22222423261313kmkmkk=++++当0km时，MNF的周长23=当0km时，MNF的周长2234613kmk=++，（法一）由221mk=+

()()()2242222221133131kkkmkkkkk++==+++设231kt+=，则()1,t+，213tk−=，()42222221212139331kmkttttktk+−++−===++当114t=，即4t=时，21213tt+−最

大值为24．此时，2314k+=，所以1k=，即12km==或12km=−=−，此时直线MN：2yx=+或2yx=−−，所以MNF的周长最大值为22346434+=．（法二）()222223462346133kmkmkm

kk+=++−+2223462kmmk=++2223464322kmmk+=当222mk=，即21k=时，等号成立，则12km==或12km=−=−，此时直线MN：2yx=+或2yx=−−，

所以MNF的周长最大值为22346434+=．【点睛】圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析

几何中还要注意向量的应用，根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用.22.已知函数()ln1fxaxbx=++，且点11,22f处的切线为ln2yx=−．（1）求a、b的值，并证明：当0x时，11

1ln1xxxx++成立；（2）已知xnN，2n，求证：4333111111e23n+++．【答案】（1）1a=−，1b=，证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，根据点11,2

2f处的切线为ln2yx=−，由11222112flnf=−=求解；从而得到()ln1fxxx=−++．由导数法得到()ln10fxxx=−++，即ln1−xx证明；（2）由（1）得到0x时，11lnxxx+即11ln1x

x+，令3xn=，得到3311ln1nn+，再由()()()()3311111111211nnnnnnnnnn==−−−+−+，从而有()()31111ln1211nnnnn+−−+

求解.【小问1详解】函数()fx定义域为()0,+，()bfxax=+，由11222112flnf=−=，得12122221ablnlnab−+=−+=，

解得11ab=−=，所以()ln1fxxx=−++．于是()111xfxxx−=−=，当01x时，()0fx¢>；当1x时，()0fx．故()fx的增区间为()0,1，减区间为()1,+，故()fx的最大值为()10f

=，即()ln10fxxx=−++．化简得ln1−xx（当且仅当1x=时不等式取等号）．于是，当0x时，由11xx+，得111ln1xxxxx++−=；由11xx+，得1111ln1lnln111111xxx

xxxxxxxx+−=−−++++++．故当0x时，有111ln1xxxx++．【小问2详解】证明：由（1）可知0x时，11lnxxx+即11ln1xx+所以nN，2n时，令3xn=，得3311ln1

nn+()()()()3311111111211nnnnnnnnnn==−−−+−+()()31111ln1211nnnnn+−−+得31111ln1221223+−31111ln1322334

+−……………()()31111ln1211nnnnn+−−+将所得各式相加，得333111ln1ln1ln123n++++++

()()111111121223233411nnnn−+−++−−+，故()()333111111111ln1ln1ln12321214214nnnnn+++++

+−=−++所以3331111ln111234n++++即4333111111e23n+++【点睛】关键点点睛：本题第二问关键是由（1）

得到11ln1xx+，根据所证问题，令3xn=，得到3311ln1nn+，再由放缩得到()()()()3311111111211nnnnnnnnnn==−−−+−+，从而构造()()31111ln1211nnnnn

+−−+而得解.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com