【文档说明】备战2024年高考数学易错题（新高考专用）专题06 解三角形及应用 Word版含解析.docx，共(38)页，2.656 MB，由小赞的店铺上传

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专题06解三角形及应用易错点一：易忽视三角形解的个数（解三角形多解情况）1．方法技巧：解三角形多解情况在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式sinabA=sinbAabababab

解的个数一解两解一解一解无解2．在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用：（1）若式子含有sinx的齐次式，优先考虑

正弦定理，“角化边”；（2）若式子含有,,abc的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”；（3）若式子含有cosx的齐次式，优先考虑余弦定理，“角化边”；（4）代数变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理使用；（6）同时出现两个自由

角（或三个自由角）时，要用到ABC++=．技巧：正弦定理和余弦定理是解三角形的两个重要工具，它沟通了三角形中的边角之间的内在联系，正弦定理能够解决两类问题问题1：已知两角及其一边，求其它的边和角。这时有且只有一解。问题2：已知两边和其中一边的对角，求其它的边和角,这是由于正弦函数在在区间

()0,内不严格格单调，此时三角形解的情况可能是无解、一解、两解，可通过几何法来作出判断三角形解的个数。题设三角形中，已知一个角A和两个边ba,，判断三角形个数，遵循以下步骤第一步：先画一个角并标上字母A第二步：标斜边（非对角边）b第三步：画角的高，然后观察（Abasin,）易错提醒

：利用正弦定理解三角形时，若已知三角形的两边及其一边的对角解三角形时，易忽视三角形解的个数.例．设ABC的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，则下列结论正确的是（）A．若ab，则sinsinABB．若2

22abc+，则ABC为钝角三角形C．若π10,8,3acC===，则符合条件的ABC有两个D．若coscosaAbB=，则ABC为等腰三角形或直角三角形【详解】A：由正弦定理可知：sinsinabAB=，因为ab，所以si

nsinAB，因此本选项正确；B：根据余弦定理由22222222coscos0abcabababCC+++−，因为(0,π)C，所以有π(,π)2C，因此该三角形是钝角三角形，所以本选项正确；C：由正弦定理可知：10853

sin1sinsinsin832acAACA===，所以不存在这样的三角形，因此本选项不正确；D：()22222244222coscos022bcaacbaAbBababcabbcac+−+−==−++=()()222222200ababcab−+−=−=，或2220a

bc+−=，当220ab−=时，可得ab=，此时该三角形是等腰三角形；当2220abc+−=时，可得222+=abc，此时该三角形是直角三角形，故选：ABD变式1．在ABC中，内角、、ABC所对的边分别为,,abc，则下列说

法正确的是（）A．coscosabCcB=+B．若()()3abcabcab+++−=，且2cossinsinABC=，则ABC为等边三角形C．若sin2sin2AB=，则ABC是等腰三角形D．在ABC中，1,,30

abxA===，则使ABC有两解的x的范围是(1,2)【详解】对A，coscosabCcB=+即sinsincossincosABCCB=+，即()sinsinABC=+，因为()()sinsinπsinB

CAA+=−=，故原式成立，故A正确；对B，()()3abcabcab+++−=则()223abcab+−=，即222abcab+−=，故2221cos222abcabCabab+−===，由()0,πC可得π3C=.又2cossinsinABC=可得()2cossinsins

incoscossinABABABAB=+=+，即sincoscossin0ABAB−=，故()sin0AB−=，由(),0,πAB可得AB=.故π3ABC===，则ABC为等边三角形，故B正确；对C，当ππ,36AB==时，满足sin2sin2AB=，则22AB

=或22πAB+=，所以AB=或π2AB+=，故ABC不一定为等腰三角形，故C错误；对D，要使ABC有两解，则需sinaabA，故12b，即12x，故D正确.故选：ABD变式2．在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc．则下列

结论正确的是（）A．若AB，则coscosABB．若2BCBAAB，则角A为钝角C．若,,ABC均不为直角，则tantantantantantanABCABC=++D．若π2,2,6abB===，则ABC唯一确定【详解】A选项，

2ππ,36AB==，AB，13cos,cos22AB=−=，coscosAB，所以A选项错误.B选项，22cosBCBAABBABCBAB==，即cosBCBBA，即cosaBc，

由正弦定理得()sincossinsinsincoscossinABCABABAB=+=+，则cossin0AB，由于0πB，所以sin0B，所以cos0A，所以A为钝角，所以B选项正确.C选项，()tantanta

ntantantanABCABAB=−+tantantantan1tantanABABAB+=−−，()tantantantantantanABCABAB++=+−+()()()tantan1tantantantantantantantan1tantan1ta

ntanABABABABABABAB+−−++=+−=−−tantantantan1tantanABABAB+=−−，所以tantantantantantanABCABC=++，C选项正确.D选项，1sin212aB==，所以sinaBba，所以ABC有

两解，所以D选项错误.故选：BC变式3．在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列叙述正确的是（）A．若23c=，π3B=，5b=，则满足条件的三角形有且只有一个B．若222sinsinsinBCA+

，则ABC为钝角三角形C．若()()222222abbcaacbba+−=+−，则ABC为等腰三角形D．若ABC不是直角三角形，则tantantantantantanABCABC++=【详解】对于A，由sin3cB=，则5

3b=，又523，知满足条件的三角形只有一个，故A正确；对于B，222sinsinsinBCA+，即222222cos02bcabcaAbc+−+=，A为钝角，故B正确；对于C，()()222222222222

22abbcaacbbcaacbabbabcac+−+−+−=+−=，即coscosaAbB=，由正弦定理可得sincossincosAABB=，则sin2sin2AB=，所以AB=或π2AB+=，故C错误．对于D，因为ABC不是直角三角形，所以tanA

，tanB，tanC均有意义，又π()ABC=−+，所以tantantantan()1tantanBCABCBC+=−+=−−，所以tantantantantantanABCABC++=，故D正确；故选：ABD．1．在ABC中，已知3cos5A=，sinBa=，若cosC有唯一值，则实数a的

取值范围为（）A．40,5B．30,{1}5C．40,{1}5D．4,15【答案】C【分析】由3cos5A=可求4sin5A=，对a的取值进行讨论，求出使得B唯一时a的取值范围，此时cosC有唯一值.【详解】由3cos5A=

可得：π0,2A，且24sin1cos5AA=−=，若405a，则sinsinBA，由正弦定理可得ACBC,则BA，所以B为锐角，此时B唯一，则C也唯一，所以cosC有唯一值.当sin1Ba==时，π2B=，则此时B唯一，则C也唯一，所以cosC有唯一值.当415a

时，因为sinBa=，根据正弦函数图像易知，sinxa=在()0,π上存在两个根，所以B存在两个值满足sinBa=，所以不成立.故选：C2．在ABC中，角,,ABC所对的边为,,abc，有如下判断，其中正确的判断是（）A．若sin2sin2AB=，则ABC为等腰直角三角形B．若sincosabC

cB=+，则π4C=C．若12,10,60abB===，则符合条件的ABC有两个D．在锐角三角形ABC中，不等式2220bca+−恒成立【答案】BD【分析】A选项，由sin2sin2AB=得到AB=或π2AB+=，得到答案

；B选项，由正弦定理得到sincosCC=，从而得到π4C=；C选项，sinaBb，故无解；D选项，A为锐角，由余弦定理得到2220bca+−恒成立.【详解】A选项，sin2sin2AB=，()0,πAB+，故22AB=或2

2πAB+=，解得AB=或π2AB+=，所以ABC为等腰三角形或直角三角形，A错误；B选项，sincosabCcB=+，由正弦定理得sinsinsinsincosABCCB=+，因为()sinsinsincoscossinABCBCBC=+=+，所以sin

sinsincossincoscossinBCCBBCBC+=+，故sinsinsincosBCBC=，因为()0,πB，所以sin0B，故sincosCC=，tan1C=，因为()0,πC，故π4C=，B正确；C选项，若12,10,60abB===，

则sin6310aBb==，则符合条件的ABC有0个，C错误；D选项，ABC为锐角三角形，故A为锐角，由余弦定理得，222cos02bcaAbc+−=，故不等式2220bca+−恒成立，D正确.故选：BD3．在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，以下说法中正确的是（）A．若AB

，则sinsinABB．若π8,10,4abA===，则符合条件的三角形有一个C．若4,5,6abc===，则ABC为钝角三角形D．若21sin222Abc+=，则ABC直角三角形【答案】AD【分析】利用正弦定理以及余弦定理逐一判断各选项即可

.【详解】对于A，若AB，则ab，所以由正弦定理sinsinabAB=，可得sinsinAB，故A正确；对于B，若π8,10,4abA===，根据正弦定理可得sin10252sin828bABa===，0sin1B，又

ba，所以B有两解，可以是锐角，也可以是钝角，所以符合条件的三角形有两个，故B错误对于C，若4a=，5b=，6c=，由cba得C为ABC的最大角，因为222cab+，由余弦定理222cos02abcCab+−=，所以角C为锐角，即ABC为锐角三角形

，故C错误；对于D，由21sin222Abc+=得1cossin122sin2ABC−+=，即sinsincosBCA=，又()sinsinsincoscossinBACCACA=+=+，所以cossin0CA=,因为0πA，0πC，所以sin

0A，所以cos0C=，所π2C=，故D正确.故选：AD4．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A．若AB，则sinsinABB．若30A=，4b=，3a=，则ABC有两解C．若ABC为钝角三角形，则222abc+D．若sin2sin2AB=，则此三角形

为等腰三角形【答案】AB【分析】利用大角对大边及正弦定理，结合余弦定理及三角方程即可求解.【详解】对于A，因为AB，所以ab，由正弦定理得sinsinAB，故A正确；对于B，因为30A=，4b=，3a=，所以sin

sinabAB=,即14sin212sinsin332bABAa====,所以B有两解，所以ABC有两解，故B正确；对于C，因为ABC为钝角三角形，但C不一定是钝角，所以222abc+不一定成立，故C错误；对于D，因为0π,0πAB，

所以022π,02πAB，由sin2sin2AB=，得22AB=或22πAB+=，解得AB=或π2AB+=，所以此三角形为等腰三角形或此三角形为直角三角形，故D错误.故选：AB.5．对于△ABC，有以下判断，其中正确的是（）A．若sin2sin2AB=，

则△ABC为等腰三角形B．若AB，则sinsinABC．若9a=，10b=，60A=，则符合条件的三角形有两个D．若222sinsinsinABC+，则△ABC是锐角三角形【答案】BC【分析】根据正弦值相等，即可判断角的关系，即可判断A；根

据正弦定理，即可判断B；根据判断三角形个数的公式，即可判断C；根据正弦定理，化为边的关系，再结合余弦定理，即可判断D.【详解】对于A：若sin2sin2AB=，则22AB=或22180AB+=o,所以AB=或90AB+=，即ABC是等腰三角形或直角三角形，故A错误；对于B：AB，则

ab，根据正弦定理sinsinabAB=可知，sinsinAB，故B正确；对于C：若9a=，10b=，60A=，则sinbAab，则符合条件的三角形有两个，故C正确；对于D：根据正弦定理可知，若222sinsinsinABC+，即222ab

c+，222cos02abcCab+−=，则C为锐角，但不能说明角,AB的情况，故D错误.故选：BC6．对于ABC，有如下判断，其中正确的判断是（）A．若sin2sin2AB=，则ABC为等腰三角形B．若AB，则sinsinABC．若8,10,60abB===，则符合

条件的ABC有两个D．若222sinsinsinABC+，则ABC是钝角三角形【答案】BD【分析】A项，ABC可能为直角三角形；B项，由大角对大边及正弦定理可得；C项，由ab，可知A为锐角，满足条件的三角形只有一个；D项，由正弦定理得2220abc+−，

得C为钝角.【详解】选项A，当π2AB+=时，则22πAB+=，满足sin2sin2AB=，即ABC不一定是等腰三角形，可能为直角三角形，故A项错误；选项B，由大角对大边可得，ab，由正弦定理2sinsinabRAB==，得2sin,2sinaRAbRB==，则

2sin2sinRARB，即sinsinAB，故B项正确；选项C，由正弦定理得810sinsin60A=，即23sin5A=，又810,ab，则AB，故A为锐角，由此,AC唯一确定，边c也唯一确定，故ABC有唯一解，

故C项错误；选项D，已知222sinsinsinABC+，由正弦定理得222abc+，则2220abc+−，所以222cos02abcCab+−=，则C角为钝角，故ABC是钝角三角形，D项正确.故选：BD.7

．已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法正确的是（）A．若::1:2:3ABC=，则::1:3:2abc=B．若sinsinAB，则abC．若coscosaAbB=，则ABC为等腰三角形D．若45A=，52a=，22b=，

则ABC只有一解【答案】AB【分析】对于A，先求出,,ABC，然后利用正弦定理可求出三边的比，对于B，利用正弦定理分析判断，对于C，利用余弦定理统一成边的形式，然后化简可判断三角形的形状，对于D，先求出AB边上的高，然后结合已知条件分析判断【详解】对于A，因为::1:

2:3ABC=，所以πππ,,632ABC===，所以由正弦定理得πππ::sin:sin:sinsin:sin:sin1:3:2632abcABC===，所以A正确，对于B，因为sinsinAB，所以由正弦

定理得22abRR（R为三角形外接圆半径），所以ab，所以A正确，对于C，因为coscosaAbB=，所以由余弦定理得22222222bcaacbabbcac+−+−=，所以22222222()()abcabacb+−=+−，化简得22222()()0aba

bc−+−=，所以220ab−=或2220abc+−=，所以ABC为等腰三角形或直角三角形，所以C错误，对于D，设AB边上的高为h，则2sin2222hbA===，因为52a=，22b=，所以hab，所以A

BC有两解，所以D错误，故选：AB8．已知ABC的内角,,ABC的对边分别为,,,abc则下列说法正确的是（）A．若230abB，==?，则ABC有一个解B．若230abB，==?，则ABC有两个解C．若sin2sin2AB=，则ABC为等腰三角形D．若sincosAC，则ABC为钝角三

角形【答案】ABD【分析】运用正弦定理、结合正弦函数的性质逐一判断即可.【详解】对于A，由正弦定理，sin2sin1AB==，因为30150A，因此90A=，有唯一解，故A正确；对于B，由正弦定理，2sin2sin2AB==，因为30150A，所以45A=o或135A=，有两

解，故B正确；对于C，因为0180,0180AB，sin2sin2AB=，所以22AB=或22180AB+=o，即AB=或90AB+=，因此为等腰或直角三角形，故C错误；对于D，当A为钝角时，ABC为钝角三角形，当A为直角时，不满足条件，当A为锐角时，sincos(

90)cosAACo=-<，因此90ACo->，90ACo+<，因此ABC为钝角三角形，故D正确.故选：ABD.9．ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列说法正确的是（）A．若AB，则sinsinABB．若30A=，4b=，3

a=，则ABC有两解C．若ABC为钝角三角形，则222abc+D．若22()6cab=−+，π3C=，则ABC的面积是3【答案】AB【分析】利用正弦定理可以判断A正确；由正弦定理与三角形大角对大边的性质，可判断B正确；由余弦定理，可得C错误

；由余弦定理和三角形面积公式可得D错误.【详解】A.因为AB，由大角对大边得ab，所以由正弦定理可得sinsinAB，故A正确.B.由正弦定理得34πsinsin6B=，4π2sinsin363B==，又ba，

A是锐角，πsinsin6B，所以B角可以是锐角或者钝角，所以ABC有两解，故B正确.C.若ABC为钝角三角形，若A为钝角，C为锐角，则由余弦定理222cos02abcCab+−=，此时222abc+，故C错误.D.由余弦定理2222coscababC=+−且π3

C=，得222cabab=+−；又2222()626cababab=−+=+−+，所以6ab=；又113sin63222ABCSabC==；故D错误.故选：AB.10．ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc、，

则下列说法正确的是（）A．若AB，则sinsinABB．若30,4,3Aba===，则ABC有两解C．若ABC为钝角三角形，则222abc+D．若三角形ABC为斜三角形，则tantantantantantanABCABC++=【答案】ABD【分析】由三角形的性质和正弦定理，可判定A正

确；利用正弦定理求得2sin3B=，进而得到B有两解，可判定B正确；当C为钝角时，得到222abc+，可判定C错误；结合两角和的正切公式，可判定D正确.【详解】对于A中，由AB，可得ab,由正弦定理得sinsinAB，所以A正确；对于B中，因为30,4,3Aba===，由正

弦定理sinsinabAB=，可得sin4sin302sin33bABa===，因为ba且1sin2A=，所以sinsinBA，所以B有两解，即ABC有两解，所以B正确；对于C中，若ABC为钝角三角形，当C为钝角时，由余弦定理可得222abc+，所以C错误

；对于D中，因为πABC+=−，可得tan()tan(π)tanABCC+=−=−，又因为tantantan()1tantanABABAB++=−，可得tantantan()(1tantan)tan(1tantan)ABABABCAB+=+−=−−

，所以tantantantan(1tantan)tantantantanABCCABCABC++=−−+=，所以D正确；故选：ABD.11．对于ABC中，有如下判断，其中正确的判断是（）A．若8a=，10c=，

60A=，则符合条件的ABC有两个B．若coscosaAbB=，则ABC为等腰三角形或直角三角形C．若2sinABCSaA=，则cosA的最小值为34D．若点P在ABC所在平面且2coscos+=++OBABAOOCABCABCPC，)0,+

，则点P的轨迹经过ABC的外心【答案】BCD【分析】利用正弦定理可判断A选项；利用余弦定理可判断B选项；利用三角形的面积公式可得出212abc=，利用余弦定理结合基本不等式可判断C选项；利用平面向量数量积

的运算性质可判断D选项.【详解】对于A选项，由正弦定理可得sinsincaCA=，则310sin532sin188cACa===，故ABC不存在，A错；对于B选项，因为coscosaAbB=，由余弦定理可得2222222

2bcaacbabbcac+−+−=，整理可得()()222220ababc−+−=，所以，ab=或222+=abc，故ABC为等腰三角形或直角三角形，B对；对于C选项，因为21sinsin2ABCSaAbcA==，因为()0,πA

，则sin0A，则212abc=，由余弦定理可得22222112322cos2224bcbcbcbcbcaAbcbcbc+−−+−===，当且仅当bc=时取等号，故cosA的最小值为34，C对；对于D选项，设线段BC的中

点为D，连接PD，由BDDC=，可得ODOBOCOD−=−，所以，2OBOCOD+=，由2coscos+=++OBABAOOCABCABCPC，可得coscosABACDPOPODABACBC+=−=，所以，coscoscoscosABBCACBCBAB

CCACBDPBCABBACCABBACC=+=−+()coscos0coscosBABCBCACBCCBCBABBCAC=−+=−+=

，即DPBC⊥，所以，点P的轨迹经过ABC的外心，D对.故选：BCD.易错点二：解三角形时，出现类似于sin2A=sin2B易漏解（解三角形问题）《正弦定理》①正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin===②变形：acACcbCBbaBA===sin

sin,sinsin,sinsin③变形：CBAcbasin:sin:sin::=④变形：CcBbAaCBAcbasinsinsinsinsinsin===++++⑤变形：BcCbAcCaAbBasinsin,sinsin,sinsin===《余弦定理》①余弦定理：CabcbaBa

cbcaAbcacbcos2,cos2,cos2222222222=−+=−+=−+②变形：abcbaCacbcaBbcacbA2cos,2cos,2cos222222222−+=−+=−+=核心问题：什么情况下角化边?

什么情况下边化角?⑴当每一项都有边且次数一样时，采用边化角⑵当每一项都有角《sin》且次数一样时，采用角化边⑶当每一项都是边时，直接采用边处理问题⑷当每一项都有角《sin》及边且次数一样时，采用角化边或变化角均可三角形面积公式①AbcSBacSCabSABCAB

CABCsin21,sin21,sin21===②()rlcbarSABC2121=++=其中lr,分别为ABC内切圆半径及ABC的周长推导：将ABC分为三个分别以ABC的边长为底，内切圆与边相交的半径为高的三角形，利用等面积法即可

得到上述公式③RabcCBARSABC4sinsinsin22==（R为ABC外接圆的半径）推导：将ARasin2=代入ACBaSABCsinsinsin212=可得CBARSABCsinsinsin22=将CRcBRbARasin2sin2,sin2

===，代入CBARSABCsinsinsin22=可得RabcSABC4=④CBAcSBCAbSACBaSABCABCABCsinsinsin21,sinsinsin21,sinsinsin21222===⑤海伦公式()()()cpbpappSA

BC−−−=（其中()cbap++=21）推导：根据余弦定理的推论abcbaC2cos222−+=222222121cos121sin21−+−=−==abcbaabCabCabSABC()()()()()()cbabacacbcbacb

aab−+−+−+++=−+−4124122222令()cbap++=21，整理得()()()cpbpappSABC−−−=正规方法：面积公式+基本不等式①()CcababcCabbaCabcbaCabScos122cos2cos2sin212222222−+=+=−+=②(

)BbacacbBaccaBacbcaBacScos122cos2cos2sin212222222−+=+=−+=③()AabcbcaAbccbAbcacbAbcScos122cos2cos2sin21222

2222−+=+=−+=易错提醒：当解题过程中出现类似于sin2A=sin2B这样的情况要注意结合三角形内角范围进行讨论，另外当题设中出现锐角三角形时一定要注意条件之间的相互“限制”例．对于ABC，有如下命题：

①若sin2sin2AB=，则ABC为等腰三角形；②若sincosAB=，则ABC为直角三角形；③若222sinsincos1ABC++，则ABC为钝角三角形．其中正确命题的序号是（）A．①②B．①③C．③D．②③

【详解】解:对于①，由sin2sin2AB=可得22AB=或22πAB+=，所以AB=或π2AB+=，所以ABC为等腰三角形或直角三角形，故错误；对于②，取120,30AB==，满足sincosAB=，但ABC不是直角三角形，故错误；对于③，由222sinsincos1AB

C++可得，2222sinsin1cossinABCC+−=，所以222abc+，即2220abc+−，所以222cos02abcCab+−=，所以π,π2C，所以ABC为钝角三角形，故正确.故选：C.变式1．在ΔABC中，已知

(cos)coscoscosacBAaBC−=，那么ΔABC一定是（）A．等腰或直角三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．等边三角形【详解】(cos)coscoscosacBAaBC−=，由正弦定理可得

：(sinsincos)cossincoscosACBAABC−=，()sincoscossincossincoscossinAABCAACBB=+=，所以sin2sin2AB=，所以22AB=或22AB+=，即A

B=或2AB+=.所以ΔABC是等腰或直角三角形.变式2．在ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若22tantanbAaB=，则ABC是（）A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角

三角形【详解】22tantanbAaB=，由正弦定理化简得22sintansintanBAAB=，即22sinsinsinsincoscosABBAAB=，故sincossincosAABB=，sin2sin2AB=，则22AB=或22πAB+=，即AB=或π2AB+

=，故选：C变式3．在ABC中，角,,ABC所对的边分别为,,abc，则下列结论正确的个数（）（1）若AB，则sinsinAB（2）若sin2sin2AB=，则ABC一定为等腰三角形（3）若coscosaBbAc−

=，则ABC一定为直角三角形（4）若,23BAB==，且该三角形有两解，则边AC的范围是(3,)+A．1B．2C．3D．4【详解】对于（1）：因为AB，可得ab，由正弦定理可得2sin2sinRARB，所以sinsin

AB，所以（1）正确；对于（2）：由sin2sin2AB=，可得22AB=或22AB+=，即AB=或2AB+=，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，所以（2）不正确；对于（3）：若coscosaBbAc−=，由正弦定理可得sincossincossinABBAC−=，即sin()sinAB

C−=，所以ABC−=，即ABC=+，又因为ABC++=，所以2A=，所以ABC一定为直角三角形，所以（3）正确；对于（4）：若,23BAB==，可得sin3ABB=，要使得该三角形有两解，可得32AC，即边AC的范围是(3,2)，所以（

4）不正确.故选：B.1．在ABC中，sinsin2,2BAca==，则（）A．B为直角B．B为钝角C．C为直角D．C为钝角【答案】C【分析】由正弦定理边化角得cos2bAa=，结合余弦定理和2ca=化解，可求出,,ABC.【详解】由sin

sin22sincosBAAA==，即2cosbaA=，cos2bAa=，又2ca=，所以2222224cos2222bcabaabAbcbaa+−+−===，化简得3ba=，则::1:3:2abc=，故在ABC中，ππ

π,,632ABC===，故选：C2．在ABC中，若coscosAbBa=，则该三角形的形状一定是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等边三角形【答案】C【分析】cosc

osAbBa=由正弦定理化简为sin2sin2AB=，然后在ABC分析，即AB=，或22AB+=，从而得到结论.【详解】coscosAbBa=，coscosaAbB=，根据正弦定理可知：sincossincosAAB

B=，sin2sin2AB=，在ABC中，AB=，或22AB+=，即2AB+=，即2C=.ABC为等腰三角形或直角三角形.故选：C3．在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sin2sin2AB=，则ABC的形状为（）A．正三角形B．等腰三角形或直角

三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形【答案】B【分析】利用二倍角公式和余弦定理可得出a、b、c所满足的等式，进而可判断出ABC的形状.【详解】sin2sin2AB=，2sincos2sincosAABB=，由正弦定理和余弦定理得2222222222bcaacb

abbcac+−+−=，变形整理得()()22222222abcabacb+−=+−，即2242240acabcb−−+=，即()()()22222220cababab−−−+=，即()()222220abcab−−−=，ab=或222+=abc，因此，ABC是等腰三角形或直角三角形.

故选：B.4．在ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若22tantanbCcB=，则ABC的形状为（）A．等腰三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【答案】D【分析】由正弦定理与二倍角公式化简后判断即可.【详解】22tantanbCcB=，由

正弦定理化简得22sintansintanBCCB=，即22sinsinsin?sin?coscosCBBCCB=，故sincossincosBBCC=，sin2sin2BC=，则22BC=或22πBC+=，即BC=或π2BC+=，则ABC的形状为等腰或直角三角形.故选：D.5

．在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，coscosaBbA=，则ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【答案】D【分析】利用正弦定理结合二倍角的正弦公式可得出sin

2sin2AB=，求出2A、()20,πB，利用正弦型函数的基本性质可得出A、B的关系，即可得出结论.【详解】因为coscosaBbA=，则coscosaAbB=，因为ABC中至少有两个锐角，则A、B中至少一个为锐角，不妨设A为锐角，则cos0B，从而可知B为锐角，由正

弦定理可得sincossincosAABB=，即sin2sin2AB=，因为A、π0,2B，则2A、()20,πB，所以，22AB=或22πAB+=，即AB=或π2AB+=，因此，ABC为等腰三角形或直角三角形.故选：D.6．已知ABC的内角A，B，C所对

的边分别为a，b，c，2sincossin2aCAcB=，且AB，则ABC一定是（）A．等腰三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．锐角三角形【答案】C【分析】由正弦定理边角互化，化简可得角的关系，进而判断三角形

形状即可.【详解】由正弦定理得2sinsincossinsin2ACACB=，因为sin0C，所以sin2sin2AB=，因为,(0,π)AB，所以22AB=或22πAB+=，又AB，所以ππ,π()22ABCAB

+==−+=，所以ABC为直角三角形．故选：C.7．在ABC中，已知sin2sin2AB=，则ABC的形状为（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【答案】D【分析】利二倍角公式展开，再由正余弦定理角化边，然后因式分解可得.【详解】因为sin2sin2AB=，所以2s

incos2sincosAABB=，由正余弦定理可得2222222222bcaacbabbcac+−+−=，整理得22222()()0ababc−+−=，所以ab=或2220abc+−=，所以ABC为等腰三角形或直角三角形.故选：D8．在△ABC中

，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若coscosabBA=则该三角形一定是（）A．等腰三角形但不是直角三角形B．直角三角形但不是等腰三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】利用正弦边角关系及倍角正弦公式可得sin2s

in2AB=，结合三角形内角性质有22AB=或22πAB+=，即可判断形状.【详解】由正弦边角关系知：sinsincoscosABBA=，则sincossincosAABB=，即sin2sin2AB=，又0πAB+，所以22A

B=或22πAB+=，即AB=或π2AB+=，所以三角形一定是等腰三角形或直角三角形.故选：D9．在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且满足2221tan22cos121tan2BAabB−−=+，则A

BC的形状是（）.A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【答案】D【分析】先用正弦定理将边化为角，再把倍角公式及商数关系代入化简即可得出结果.【详解】解：因为2221tan22cos121tan2BAabB−

−=+，在ABC中由正弦定理sinsinsinabCABC==代入可得：2221tan2sin2cos1sin21tan2BAABB-骣琪-=琪琪桫+，将2sin2cos2cos1,tan22cos2BABAB=-=代入可得：22222222sin21c

oscossin222sincossinsinsincossin2221cos2BBBBAABBBBBB--==++，化简可知sincossincosAABB=，即sin2sin2AB=，因为(),0,πAB，所以有22AB=或22πAB+=，解得AB=或π2AB+=，

所以ABC为等腰三角形或直角三角形.故选：D10．在ABC中，若(cos)sin(cos)sinaaBBbcCA−=−，则这个三角形是（）A．底角不等于45的等腰三角形B．锐角不等于45的直角三角形C．等腰直角三

角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】已知等式利用正弦定理化简，整理后根据sin0A，得到sin2sin2BC=，确定出B与C的关系，即可判断.【详解】由正弦定理及题意，得()()sinsin

cossinsinsincossinAABBBCCA−=−，sinsincossinsincosABBCAC=．∵sin0A，∴sin2sin2BC=，∴22BC=或22BC=−，即BC=或BC+=2．∴这个三角形为直角三角形或等腰三角形．故选：D11．ABC的三内角,,ABC

的对边分别为,,abc且满足coscos2cosaBbAcC+=，且sinsinAB=，则ABC的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】B【分析】对已知条件结合正弦定理进行边换角，另一个条

件说明三角形是等腰三角形，两者结合起来判断.【详解】根据条件：coscos2cosaBbAcC+=，利用正弦定理可得：sincossincos2sincosABBACC+=，整理得：sin()sin2sincosA

BCCC+==，0πC，则sin0C，化简得：1cos2C=，故π3C=，在ABC中，由于sinsinAB=，所以AB=（不可能πAB+=），故3ABC===.所以ABC为等边三角形.故选：B.易错点三：实际问题中题意不明致误（利用解三角形知识解决实际问题）解三角形的

实际应用问题的类型及解题策略1、求距离、高度问题（1）选定或确定要创建的三角形，要先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的量．（2）确定

用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．2、求角度问题（1）分析题意，分清已知与所求，再根据题意画出正确的示意图，这是最关键、最重要的一步，画图时，要明确仰角、俯角、方位角以及方向角的含义，并能准确找到这些

角．（2）将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的综合应用．易错提醒：实际问题应用中有关名词、术语也是容易忽视和混淆的。要注意理解仰角、俯角、方向角、方位角、坡度的具体含义例．如图所示，A，B两处各有一个垃圾中转站，B在A的正东方向18km处，AB的南面为居民生

活区.为了妥善处理生活垃圾，政府决定在AB的北面P处建一个发电厂，利用垃圾发电.要求发电厂到两个垃圾中转站的距离（单位：km）与它们每天集中的生活垃圾量（单位：吨）成反比，现估测得A，B两处中转站每天集中的生活垃圾量分别约

为40吨和50吨.(1)当15kmAP=时，求APB的值；(2)发电厂尽量远离居民区，也即要求PAB的面积最大，问此时发电厂与垃圾中转站A的距离为多少?【详解】（1）由题意15PA=，505404PAPB==，

可得12PB=，可得2222221512181cos2215128APPBABAPBAPPB+−+−===，所以1arccos8APB=．（2）222cos2PAABPBPABPAAB+−=，设5PAx=，则4PBx=，可得9cos205

xPABx=+，可得2sin1cosPABPAB=−，P到AB距离sinhPAPAB=，()224222294181411515811641600205400502516216xxxhxxxxxx=−+=−+−=−+−=−−+当21640x−=，即241

x=，h取得最大值为40km，因此选址方案满足1041kmPA=，841kmPB=．变式1．为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气候仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气候观测，B，C，D三地位于同一水平面上，这种仪器

在B地进行弹射实验，,CD两地相距100m，60BCD=，在C地听到弹射声音的时间比D地晚217秒，在C地测得该仪器至最高点A处的仰角为30．（已知声音的传播速度为340m/s），求：(1)B，C两地间的距离；(2)这种仪器的垂直弹射高

度AB．【详解】（1）设BCx=，∵在C地听到弹射声音的时间比D地晚217秒，∴23404017BDxx=−=−，在BCD△中，由余弦定理2222cosBDBCCDBCCDBCD=+−，∴()224010000100xxx−=+−，解

得420x=，故B，C两地间的距离为420米；（2）在ABC中，420BC=，∴3tan42014033ABBCACB===米，故该仪器的垂直弹射高度AB为1403米．变式2．南京市人民中学创建于1887年，是南京市办学历史最长的中学之一，位于南京市的珠江路南侧，中山

路东侧，长江路北侧如图所示的位置.南京人民中学到长江路和中山路十字路口约330米，长江路和中山路夹角约为70.5°，现小王和小张正位于如图所示的位置分别距长江路和中山路十字路口200米，300米，并分别按如图所示的方向散步，速度均为60米/分钟(1)起初两人直线距离多少米？（参考数据：1cos7

0.53）；(2)t分钟后两人间直线的距离是多少？（从现位置开始计时到小张到南京市人民中学大门结束）；(3)什么时候两人间的直线距离最短，最短距离时多少？（忽略路宽､等侯红绿灯时间）【详解】（1）设起初两人直线距离为0d，由题意可得22220020

03002200300cos70.5300300dd=+−==，即起初两人直线距离为300米；（2）设t分钟后两人间直线的距离是d，则当100,3t时，易知小王此时仍在中山路东侧，此时由余弦定理可知()()()()222200603006022

006030060cos70.5dtttt=−+−−−−22480040000900002012100225ttdtt=−+=−+，当103t=时，易知小王此时在中山路与长江路十字路口，显然两人相距300200100−=米，当10,53t时，此时小王在中山路西侧，小张仍在长

江路南侧，则由余弦定理可得()()()()()222602003006026020030060cos18070.5dtttt=−+−−−−−22480040000900002012100225ttdtt=−+=−+，当5t=时，此时小张在中山路与长江路十字路口，两人相距300200100−

=米，当(5,10.5t时，此时小张在长江路北侧，小王在中山路西侧，则由余弦定理可知()()()()222602006030026020060300cos70.5dtttt=−+−−−−224800400009

00002012100225ttdtt=−+=−+，又当103t=和5t=时，两人的直线距离也符合关系式22012100225dtt=−+，故综上所示t分钟后两人间直线的距离是22012100225dtt=−+；（3）

由二次函数的单调性可知当100252126t==分钟时，此时2min252510062012100225663d=−+=.变式3．如图，某城市有一条从正西方()MO通过市中心O后转向东偏北60方向()ON的

公路，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路L，并在,OMON上分别设置两个出口,,ABB在A的东偏北的方向（,AB两点之间的高速公路可近似看成直线段），由于,AB之间相距较远，计划在,AB之间设置一个服务区P．(1)若P在O的正北方向且2kmOP=，

求,AB到市中心O的距离和最小时tan的值；(2)若B在市中心O的距离为10km，此时P在AOB的平分线与AB的交点位置，且满足2211OPBPOPBP+，求A到市中心O的最大距离．【详解】（1）设OAB=，在RtAOP△中，

2tanOA=,32OBPOPB=−=+在OPB△中，由正弦定理得sinsinOPOBOBPOPB=2sin2cos42313tansincossin322OB+===−−−()22242tan

232tan3tantan3tan(tan3)33tan36tan3OAOB++=+==−−+−+++−+当且仅当6tan3tan3+=+，即tan63=−时取到等号,AB到市中心O的距离和最小时，tan63=−．（2）2211OPBPOPBP+

，2229OPBPOPBPOPBP+−2()9OPBPOPBP−，即()29OBOPOPOB−2100945OPOP−，2003OP又AOBAOPBOPSSS=+△△△1211si

nsinsin232323OAOBOAOPOBOP=+即1010OAOAOPOP=+1010101010101OPOAOPOPOPOP===−−−当203OP=时，max||20OA=1．某

景区有一人工湖，湖面有,AB两点，湖边架有直线型栈道CD，长为50m，如图所示．现要测是,AB两点之间的距离，工作人员分别在,CD两点进行测量，在C点测得45ACD=，30BCD=；在D点测得135,120ADBBDC==．（,,,ABCD在同一平面内）(1)求,AB两点之间的距离

；(2)判断直线CD与直线AB是否垂直，并说明理由．【答案】(1)505m(2)直线CD与直线AB不垂直，理由详见解析.【分析】（1）先求得,ADBD，利用余弦定理求得AB.（2）先求得,ACBC，然后根据向量法进行判断.【详解】（1）依题意

，45ACD=，30BCD=，135,120ADBBDC==，所以360135120105,1804510530ADCCAD=−−==−−=，1801203030CBDBCD=−−==

，所以50BDCD==，在三角形ACD中，由正弦定理得50,502sin45sin30sin30ADCDAD===，在三角形ABD中，由余弦定理得()2250502250502cos135505mAB=+−=.（2）在三角形BCD中，由余弦定理得22505025050co

s120503BC=+−=，()62sin105sin6045sin60cos45cos60sin454+=+=+=，在三角形ACD中，由正弦定理得50,1001sin105sin306224ACCDAC

===+，()2562AC=+，直线CD与直线AB不垂直，理由如下：()CDABCDCBCACDCBCDCA=−=−()50503cos30502562cos45=−+2500125030=−,所以直线CD

与直线AB不垂直.2．如图，某乡镇绿化某一座山体，以地面为基面，在基面上选取A，B，C，D四个点，使得22ADBC=，测得30BAD=o，45BCD=，120ADC=．(1)若B，D选在两个村庄，两村庄之间有一直线型隧道，且102kmBD=，20kmCD=，求A，C两点间距离；(2)求

tanBDC的值．【答案】(1)207km(2)4313+【分析】（1）由正弦定理证得BCD△为等腰直角三角形，再由余弦定理求AC即可；（2）设BDC=，利用正弦定理可得()sin302sin+=，展开化简即可得其正切值.【详解】（1）在BCD△中，由正弦定理得sinsin

CDBDCBDBCD=，即20102sinsin45CBD=，解得sin1CBD=，所以90CBD=，则BCD△为等腰直角三角形，所以102BC=，则2240ADBC==．在ACD中，由余弦定理得22212cos1600400

2402028002ACADCDADCDADC=+−=+−−=，故207AC=．故A，C两点间距离为207km．（2）设BDC=，则由题意可知，120ADB=−，30ABD=+．

在ABD△中，由正弦定理得sinsinBDADBADABD=，即()2sin30ADBD=+，在BCD△中，由正弦定理得sinsinBCBDBDCBCD=，即2sinBCBD=，又22ADBC=，所以

()132sin30222sincossin2sin22+=+=，解得43tan13+=，所以43tan13BDC+=．3．某数学建模活动小组在开展主题为“空中不可到达两点的测距问题”的探究活动中，抽象并构建了如图所示的几何模型，该模型中

MA，NB均与水平面ABC垂直.在已测得可直接到达的两点间距离AC，BC的情况下，四名同学用测角仪各自测得下列四组角中的一组角的度数，①MCA，NCB，ABC，②ACB，NCB，MCN，③MCA，NCB，MCN，④MCA，NCB

，ACB.(1)请同学们指出其中一定能唯一确定M，N之间的距离的组号；（指出所有满足条件的组号）(2)若已知3AC=，6BC=，π4MCA=，π4MCN=，π3NCB=，π6ABC=，π2ACB=，请你结合自己在（

1）中的选择，从中选出一组利用所给数据，求MN的值.（若多做，按第一种方案给分）【答案】(1)③④(2)按方案③310MN=；按方案④162363MN=−.【分析】（1）综合应用正弦定理和余弦定理解三角形，结合提供的角逐个分析；（2）综合应用正弦定理和余弦定理解三角形.【详解】（1）不

妨记BCa=，ACb=，ABc=，CMm=，CNn=，NBh=，MAd=，MNx=，ACB=，NCB=，MCA=，MCN=，ABC=.①中，已知,,,,ab，在RtNCB△中，由tanha=，可确定h，同理在RtMCA△中，可确定d，在ABC中，已知,,ab，

利用余弦定理解三角形可能有两解，例如若3a=，1b=，30=，则2313232cc=+−，解得1c=或2，由2()MNMAABBN=++2222dchdh=++−可得MN有两个值，故①错误；②中，已知,,,,ab，在RtNCB△中，由tanha=，cosan

=可确定h，n，在ABC中，利用余弦定理可得c，在RtMCA△中，由勾股定理可得22mdb=+，在MCN△中，由余弦定理得222222()2cosxdbnndb=++−+，又22222xdchdh=++

−，解此关于,xd的二元二次方程组，可得MN，但此二元二次方程组可能有两解，故②错误；③中，已知,,,,ab，在RtNCB△中，由cosan=，可确定n，同理在RtMCA△中，可确定m，在MCN△中，由余弦定理可唯一确定MN，故③正确；④中，已

知,,,,ab，由,,ab及余弦定理，可确定c，在RtNCB△中，由tanha=，可确定h，同理在RtMCA△中，可确定d，再由2()MNMAABBN=++2222dchdh=++−可唯一确定MN，故④正确.（2）若按方案

③，在RtMAC中，3AC=，π4MCA=，可得32MC=，在RtNCB△中，6BC=，π3NCB=，可得12NC=；又因为π4MCN=，在MCN△中，由余弦定理可得221814423212902MN=+−=，所以31

0MN=.若按方案④，在RtMAC中，3AC=，π4MCA=，可得32MC=，在RtNCB△中，6BC=，π3NCB=，可得12NC=，63NB=，在RtACB△中，3AC=，6BC=，π2ACB=，

可得35AB=；过点M向NB作垂线，垂足为D，在MDN△中，35MDAB==，633ND=−，所以()2245633162363MN=+−=−，所以162363MN=−.4．如图，某观察站B在城A的南偏西20°的方向，由城A出发的一条公路走向是南偏东40°，在B处

测得公路上距B处32km的C处有一人正沿公路向A城走去，走了20km之后到达D处，此时B，D间的距离为21km．这个人还要走多少路才能到达A城？【答案】16.41km【分析】由余弦定理得到cosC，进而求出sinC，由正弦定理求出AB，在ABC中，由余弦

定理得到AC，进而求出AD，得到答案.【详解】由题意得402060BAC=+=，32BC=km，20CD=km，21BD=km，在BCD△中，由余弦定理得222222203221983cos22203

21280CDBCBDCCDBC+−+−===，故2sin1cos0.64CC=−，在ABC中，由正弦定理得sinsinBCABBADC=，故sin320.6423.65sin6032BCCAB=km，在AB

C中，由余弦定理得222cos2ABACBCBACABAC+−=，即22223.65321223.652ACAC+−=，解得36.41ACkm，负值舍去，故36.412016.41ADACCD=−−=km.故这个人还

要走16.41km的路才能到达A城.5．如图，某日中午12：00甲船以24km/h的速度沿北偏东40°的方向驶离码头P，下午3：00到达Q地．下午1：00乙船沿北偏东125°的方向匀速驶离码头P，下午3：00到达R地．若R在Q的正南方向，则乙船

的航行速度是多少？（精确到1km/h）【答案】28km/h【分析】画出平面图形，求出角度，再利用正弦定理即可解决．【详解】由题可知，40PQR=，55PRQ=，72kmPQ=，设乙船速度为v，则2PRv=.于是在PQR中，由正弦定理可得：sin

sinPQPRPRQPQR=，即722sin55sin40v=，解得28v，所以，乙船的航行速度大约是28km/h.6．如图，某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西

30方向且与该港口相距20nmile的A处，并以30nmile/h的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以nmile/hv的航行速度匀速行驶，经过ht与轮船相遇.(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则

小艇航行速度的大小应为多少？(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30nmile/h，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．【答案】(1)航行速度为303nmile/h(2)航行方向为北偏东30°，航行速度为30nmile/h

,理由见解析【分析】（1）利用余弦定理和二次函数的最值求解；（2）要用时最小，则首先速度最高，然后是距离最短，则由(1)利用余弦定理得到方程解得对应的时间t，再解得相应角，即可求解.【详解】（1）如图设小艇的速度为v，时间为t相遇，则由余弦定理得:2222cosOCACOAACOAOAC=

+−,叩:2222214009001200cos60900600400900()3003vtttttt=+−=−+=−+,当13t=时，OC取得最小值，此时速度nmile/h303v=，此时

小艇的航行方向为正北方向，航行速度为303nmile/h.（2）要用时最小，则首先速度最高，即为:30nmile/h，则由(1)可得:2222cosOCACOAACOAOAC=+−,即:()22304009001200cos60ttt=+−,解得:23t=，此时30BOD

=,此时，在OAB中，20OAOBAB===，故可设计航行方案如下:航行方向为北偏东30°，航行速度为30nmile/h，小艇能以最短时间与轮船相遇.7．一颗人造地球卫星在地球上空1600km处沿着圆形的轨道运行，每2h沿轨道

绕地球旋转一圈．假设卫星于中午12点正通过卫星跟踪站A点的正上空，地球半径约为6400km．(1)求人造卫星与卫星跟踪站在12：03时相隔的距离是多少．(2)如果此时跟踪站天线指向人造卫星，那么天线瞄准的方向与水平线的夹角的

余弦值是多少？（参考数据：cos90.988，sin90.156）【答案】(1)1950km(2)0.64．【分析】（1）设人造卫星在12:03时位于C点，得到9=，在ACO△中，由余弦定理求得AC的长，即可

求解；（2）设此时天线的瞄准方向与水平线的夹角为，则90CAO=+，利用正弦定理求得()sin900.64+，从而得到cos0.64，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，设人造卫星在12:03时位于C点，其中AOC=，则33609120==，在A

CO△中，6400kmOA=，()640016008000kmOC=+=，9=，由余弦定理得22264008000264008000cos9AC=+−63.7910，解得31.9510AC，因此，在12:

03时，人造卫星与跟踪站相距约1950km．（2）解：如图所示，设此时天线的瞄准方向与水平线的夹角为，则90CAO=+，由正弦定理得()sin90sin9019508000+=，故()8000sin90sin90.641950+=，

即cos0.64，因此，天线瞄准方向与水平线的夹角的余弦值约为0.64．8．如图，某海产养殖户承包一片靠岸水域，AB，AC为直线海岸线，1006m3AB=，2π3BAC=，π12CBA=.(1)求B与C之间的直线距离.(2)在海面上有一点D（A，B，C

，D在同一平面上），沿线段DB和DC修建养殖网箱，若DB和DC上的网箱每米可获得30元的经济收益，且π3BDC=，求这两段网箱获得的最高经济总收益.【答案】(1)100m(2)6000元【分析】（1）根据题意，先求ACB，再利用正弦定理即可计算.（2）需要获得的最高经济总收益，求这两

段网箱和的最大长度，即求BDCD+的最大值，所以利用余弦定理，基本不等式即可计算最大值.【详解】（1）在ABC中，2ππππ3124ACB=−−=.由正弦定理sinsinBCABBACACB=，得sin100sinABBACBCACB

==.故B与C之间的直线距离为100m.（2）在BCD△中，由余弦定理22222π2cos3BCBDCDBDCDBDCDBDCD=+−=+−，即()2100003BDCDBDCD−=+，得()()2210000310

00034BDCDBDCDBDCD++=++，()21100004BDCD+，即200mBDCD+，当且仅当100mBDCD==时，等号成立，故这两段网箱获得的最高经济总收益为200306000=元.9．山东省滨州市的黄河楼位于蒲湖水面内东南方向的东关岛上，渤海

五路以西，南环路以北.整个黄河楼颜色质感为灰红，意味黄河楼气势恢宏，更在气势上体现黄河的宏壮.如图，小张为了测量黄河楼的实际高度AB，选取了与楼底B在同一水平面内的两个测量基点,CD，现测得30,95,116mBCDBDCCD===，在点D处

测得黄河楼顶A的仰角为45，求黄河楼的实际高度（结果精确到0.1m，取sin550.82=）.【答案】70.7m【分析】利用正弦定理即可求解.【详解】由题知，18055CBDBCDBDC=−−=，在BC

D△中，由正弦定理得sinsinBDCDBCDCBD=，则sin116sin305870.73msinsin550.82CDBCDBDCBD===.在ABD△中，,45ABBDADB⊥=，所以tan70.73m

ABBDADBBD==，故黄河楼的实际高度约为70.7m.10．在长江某渡口处，江水以5km/h的速度向东流．一渡船从长江南岸的A码头出发，预定要在0.1h后到达北岸的B码头（如图）．设AN为正北方向，已知B码头在A码头北偏东15的方向上，并

与A码头相距1.2km．该渡船应按什么方向航行？速度是多少（角度精确到0.1，速度确到0.1km/h）？【答案】渡船应按北偏西9.3的方向，并以11.7km/h的速度航行．【分析】根据题意，以AC为边，AB为对角线作ACBD，结合余弦定理可得AD，然后再由余弦定理即可

得到cosABC，即可得到结果.【详解】如图所示，船按AD方向开出，AC方向为水流方向，以AC为边，AB为对角线作ACBD，其中()1.2kmAB=，()50.10.5kmAC==．在ABC中，由余弦定理，得()()22221.20.521.20.

5cos90151.38kmBC=+−−，所以()1.17kmADBC=．因此，船的航行速度为()1.170.111.7km/h=．在ABC中，由余弦定理，得2221.21.170.5cos0.911321.21.17ABC+−=

，所以24.3ABC．因此159.3DANDABNABABC=−=−．即渡船应按北偏西9.3的方向，并以11.7km/h的速度航行．11．如图，为了测量河对岸,AB两点之间的距离，在河岸这边取点,CD，测得85AD

C=，60BDC=，47ACD=，72BCD=，100mCD=．设,,,ABCD在同一平面内，试求,AB两点之间的距离（精确到1m）．【答案】57m【分析】利用正弦定理，在ADC△中，求AC，在BDC中，求BC

，用余弦定理，在ABC中求AB即可.【详解】解在ADC△中，85ADC=，47ACD=，则48DAC=．又100mDC=，由正弦定理，得：()sin100sin85134.05msinsin48DCADCACDAC==

．在BDC中，60BDC=，72BCD=，则48DBC=．又100mDC=，由正弦定理，得：()sin100sin60116.54msinsin48DCBDCBCDBC==．在AB

C中，由余弦定理，得：2222cosABACBCACBCACB=+−∠()22134.05116.542134.05116.54cos7247=+−−()23233.95m，所以()57mAB．故

A，B两点之间的距离约为57m．