【文档说明】【精准解析】专题66离散型随机变量及其分布列-（文理通用）【高考】.docx，共(39)页，1.621 MB，由小赞的店铺上传

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专题66离散型随机变量及其分布列最新考纲1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性，会求某些取有限个值的离散型随机变量的分布列.2.了解超几何分布，并能进行简单的应用.基础知识融会贯通1．离散型随机变量的分布列(1)随着试验结果变化而变化的变量叫做随机

变量．所有取值可以一一列出的随机变量叫做离散型随机变量．(2)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则称表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的

分布列，具有如下性质：①pi≥0，i＝1,2，…，n；②p1＋p2＋…＋pi＋…＋pn＝1.离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．2．两点分布如果随机变量X的分布列为X

01P1－pp其中0<p<1，则称离散型随机变量X服从两点分布．其中p＝P(X＝1)称为成功概率．3．超几何分布一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝CkMC

n－kN－MCnN(k＝0,1,2，…，m)．即X01…mPC0MCn－0N－MCnNC1MCn－1N－MCnN…CmMCn－mN－MCnN其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*.如果一个随机变量X的分布列

具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布．重点难点突破【题型一】离散型随机变量的分布列的性质【典型例题】设离散型随机变量X的概率分布如下：X1234Pm则m的值为【解答】解：由离散型随机变量X的概率分布的性质得：1，解得m．故答案为：．【再练一题】已知随机变量ξ的分布列为：ξ﹣

2﹣10123P若，则实数x的取值范围是（）A．4＜x≤9B．4≤x＜9C．x＜4或x≥9D．x≤4或x＞9【解答】解：由随机变量ξ的分布列，知：ξ2的可能取值为0，1，4，9，且P（ξ2＝0），P（ξ2＝1），P（ξ2＝4），P（ξ2＝9），∵P（ξ2＜x），∴实数x的取值范围是4＜x≤9．故选

：A．思维升华(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法

公式．【题型二】离散型随机变量的分布列的求法命题点1与排列、组合有关的分布列的求法【典型例题】装有除颜色外完全相同的6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出1个黑球赢2元，而每取出1个白球输1元，取出黄球无输赢．（1）

以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值？求X的分布列；（2）求出赢钱（即X＞0时）的概率．【解答】解：（1）从箱中取两个球的情形有以下6种：{2个白球}，{1个白球，1个黄球}，{1个白球，1个黑球}，{2个黄球}，{1个黑球，

1个黄球}，{2个黑球}．当取到2个白球时，随机变量X＝﹣2；当取到1个白球，1个黄球时，随机变量X＝﹣1；当取到1个白球，1个黑球时，随机变量X＝1；当取到2个黄球时，随机变量X＝0；当取到1个黑球，1个黄球时，随机变量X＝2；当取到2个黑球时，随机变量X＝4；所以

随机变量X的可能取值为﹣2，﹣1，0，1，2，4…P（X＝﹣2），P（X＝﹣1），P（X＝0），P（X＝1），P（X＝2），P（X＝4）∴X的概率分布列如下：X﹣2﹣10124P…（2）P（X＞0）＝P（X＝1）+P（X＝2）+P（X＝4）．…【

再练一题】某班组织知识竞赛，已知题目共有10道，随机抽取3道让某人回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试，他只能答对其中6道，试求：（1）抽到他能答对题目数的分布列；（2）他能通过初试的概率．【解答】解：（1）设随机抽出的三道题目某人能答对的道数为X，且X＝0、1、2

、3，X服从超几何分布，分布列如下：X0123P即X0123P（2）要答对其中2道才能通过初试，则可以通过初试包括两种情况，这两种情况是互斥的，根据上一问的计算可以得到命题点2与互斥事件有关的分布列的求法【典型例题】已知随机变量X的分布列为P（X＝i）（i＝1，2，3，4），则P（2＜X≤4）等

于（）A．B．C．D．【解答】解：依题意1，解得a＝5．所以P（2＜X≤4）＝P（X＝3）+P（X＝4）．故选：B．【再练一题】设离散型随机变量ξ的分布列如表，则p＝（）ξ012p1﹣2pp2A．1B．C．D．【解答】解：由离散型随机变量ξ的分布列，知：（1﹣2p

）1，且0＜P＜1，解得p＝1．故选：B．命题点3与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法【典型例题】国际上常用恩格尔系数（食品支出总额占个人消费支出总额的比重）反映一个国家或家庭生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活

质量越高．联合国根据恩格尔系数的大小，对世界各国的生活质量有一个划分标准如下：恩格尔系数（%）生活质量大于等于60贫穷[50，60）温饱[40，50）小康[30，40）相对富裕[20，30）富裕小于20极其富裕

下表记录了我国在改革开放后某市A，B，C，D，E五个家庭在五个年份的恩格尔系数．年份家庭恩格尔系数（%）ABCDE1978年57.752.562.361.058.81988年54.248.351.955.4

52.61998年44.741.643.549.047.42008年37.936.529.241.342.72018年28.627.719.835.734.2（Ⅰ）从以上五个家庭中随机选出一个家庭，求该家庭在20

08年和2018年都达到了“富裕”或更高生活质量的概率；（Ⅱ）从以上五个家庭中随机选出三个家庭，记这三个家庭在2018年达到“富裕”或更高生活质量的个数为X，求X的分布列；（Ⅲ）如果将“贫穷”，“温饱”，“小康”，“相对富裕”，

“富裕”，“极其富裕”六种生活质量分别对应数值：0，1，2，3，4，5．请写出A，B，C，D，E五个家庭在以上五个年份中生活质量方差最大的家庭和方差最小的家庭（结论不要求证明）．【解答】解：（Ⅰ）记“在2008年和2018年都达到了“富裕”或更高生活质量

”为事件M．因为在2008年和2018年都达到了“富裕”或更高生活质量的只有家庭C．所以（Ⅱ）X的可能取值为1，2，3，，X的分布列为：X123P﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）生活质量方差

最大的家庭是C，方差最小的家庭是E．家庭1978年1988年1998年2008年2018年A11234B12234C01245D01223E1122344．某批发市场对某种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果如下：日销售量11.52天数102515频率0.2ab若

以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立．（Ⅰ）求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率；（Ⅱ）已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），求X的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ），，依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率p＝0.5，

设5天中该种商品有Y天的销售量为1.5吨，则Y～B（5，0.5），∴．（Ⅱ）X的可能取值为4，5，6，7，8，则：P（X＝4）＝0.22＝0.04，P（X＝5）＝2×0.2×0.5＝0.2，P（X＝6

）＝0.52+2×0.2×0.3＝0.37，P（X＝7）＝2×0.3×0.5＝0.3，P（X＝8）＝0.32＝0.09，∴X的分布列为：X的数学期望E（X）＝4×0.04+5×0.2+6×0.37+7×0.3+8×0.09＝6.2．【再练一题】一次数学考试中，4位同学各自在选作题第22题和第23题

中任选一题作答，则至少有1人选作第23题的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：一次数学考试中，4位同学各自在选作题第22题和第23题中任选一题作答，基本事件总数n＝24＝16，至少有1人选作第23题的对立事件无有人选择第23题，∴至少有1人选作第

23题的概率P＝1．故选：D．思维升华求离散型随机变量X的分布列的步骤(1)理解X的意义，写出X可能取的全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的分布列．求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．【题型三】

题型三超几何分布【典型例题】有6个大小相同的黑球，编号为1，2，3，4，5，6，还有4个同样大小的白球，编号为7，8，9，10，现从中任取4个球，有如下几种变量：①X表示取出的最大号码；②Y表示取出的最小号码；

③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，ξ表示取出的4个球的总得分；④η表示取出的黑球个数，这四种变量中服从超几何分布的是（）A．①②B．③④C．①②④D．①②③④【解答】解：超几何分布取出某个对象

的结果数不定，也就是说超几何分布的随机变量为实验次数，即指某事件发生n次的试验次数，由此可知③④服从超几何分布．故选：B．【再练一题】某校高二年级某班的数学课外活动小组有6名男生，4名女生，从中选出4人

参加数学竞赛考试，用X表示其中男生的人数，（1）请列出X的分布列；（2）根据你所列的分布列求选出的4人中至少有3名男生的概率．【解答】解：（1）依题意得，随机变量X服从超几何分布，随机变量X表示其中男生的人数，

X可能取的值为0，1，2，3，4．．∴所以X的分布列为：X01234P（2）由分布列可知至少选3名男生，即P（X≥3）＝P（X＝3）+P（X＝4）．思维升华(1)超几何分布的两个特点①超几何分布是不放回抽样问题；②随机变量为抽到的某类个体的个数．(

2)超几何分布的应用条件①两类不同的物品(或人、事)；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体．基础知识训练1．某工厂预购买软件服务，有如下两种方案：方案一：软件服务公司每日收取工厂60元，对于提供的软件服务每次10元；方案二：软件服务公司每日收取工厂200元，

若每日软件服务不超过15次，不另外收费，若超过15次，超过部分的软件服务每次收费标准为20元．（1）设日收费为y元，每天软件服务的次数为x，试写出两种方案中y与x的函数关系式；（2）该工厂对过去100天的软件

服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由．【答案】(1)方案一中:1060,yxxN=+,方案二：200,15,2

0100,15,xxNyxxxN=−.(2)从节约成本的角度考虑，选择方案一.【解析】（1）由题可知，方案一中的日收费y与x的函数关系式为1060,yxxN=+方案二中的日收费y与x的函数关系式为200,

15,20100,15,xxNyxxxN=−.（2）设方案一种的日收费为X，由条形图可得X的分布列为X190200210220230P0.10.40.10.20.2所以()1900.12000.42100.12200.22300.2210EX=++++

=（元）方案二中的日收费为Y，由条形图可得Y的分布列为Y200220240P0.60.20.2()2000.62200.22400.2212EY=++=（元）所以从节约成本的角度考虑，选择方案一.2．某商场营销人员进行某商品的市场营

销调查时发现，每回馈消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表：反馈点数t12345销量（百件）/天0.50.611.41.7（Ⅰ）经分析发现，可用线性回归模型0.08ybt=+拟合当地该商品销量y（千件

）与返还点数t之间的相关关系.试预测若返回6个点时该商品每天的销量；（Ⅱ）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：返还点数

预期值区间（百分比）[1,3)[3,5)[5,7)[7,9)[9,11)[11,13)频数206060302010（1）求这200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值x的样本平均数及中位数的估计值（同一区间的预期值可用该

区间的中点值代替；估计值精确到0.1）；（2）将对返点点数的心理预期值在[1,3)和[11,13]的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消

费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，设抽出的3人中“欲望紧缩型”消费者的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望.【答案】（Ⅰ）返回6个点时该商品每天销量约为2百件；（Ⅱ）（1）均值

x的估计值为6,中位数的估计值为5.7；（2）详见解析.【解析】解：（Ⅰ）由题意可得：123450.50.611.41.73,1.0455ty++++++++====，因为线性回归模型为0.08ybt=+，所以1.0430.08b=+，解得0.32b=；故y关于t的线性回归方程为0.

320.08yt=+，当6t=时，2.00y=，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件.（Ⅱ）（1）根据题意，这200位拟购买该商品的消费者对返回点数的心里预期值X的平均值x的估计值为：20.140.360.380.15100.1120.056x=+++++=，中位

数的估计值为100206025255.7603−−+=+.（2）抽取6名消费者中“欲望紧缩型”消费者人数为206430=，“欲望膨胀型”消费者人数为106230=.由题意X的可能取值为1,2,3，所以1242361(1)5CC

PXC===,2142363(2)5CCPXC===,3042361(3)5CCPXC===故随机变量X的分布列为X123P153515131()1232555EX=++=.3．已知正四棱锥PABCD−的底面边长和高都为2.现从该棱锥的5个顶点中

随机选取3个点构成三角形，设随机变量X表示所得三角形的面积.（1）求概率(2)PX=的值；（2）求随机变量X的概率分布及其数学期望()EX.【答案】（1）25（2）见解析【解析】解：（1）从5个顶点中随机选取3个点构成三角形，共有3510C=种取法.其中2X=的三角形如ABD，这类三角

形共有344C=个.因此42(2)105PX===.（2）由题意，X的可能取值为5，2，12xx.其中5X=的三角形是侧面，这类三角形共有4个；其中22X=的三角形有两个，PAC和PBD.因此2(5)5PX==，1(

22)5PX==.所以随机变量X的概率分布列为：X5212xx()PX252515所求数学期望22125224()52225555EX++=++=.4．某次招聘分为笔试和面试两个环节，且只有笔试过关者方可进入面试环节，笔试与面试都过关才会被录用.笔试需考完全部三

科，且至少有两科优秀才算笔试过关，面试需考完全部两科且两科均为优秀才算面试过关.假设某考生笔试三科每科优秀的概率均为23，面试两科每科优秀的概率均为34.（1）求该考生被录用的概率；（2）设该考生在此次招聘活动

中考试的科目总数为，求的分布列与数学期望.【答案】（1）512（2）见解析【解析】解：（1）该考生被录用，说明该考生笔试与面试均得以过关.所以P=3223221335[()+()]=3334412C（2）易得的可能取值为3,5(=3)=1-P3

223221207[()+()]=1-=3332727C或(=3)=P31231127()+()=33327C20(=5)=1-(=3)=27PP或(=5)=P322322120()+()=33327C35P7272027720

121=3+5=272727E5．甲、乙两家物流公司都需要进行货物中转，由于业务量扩大，现向社会招聘货车司机，其日工资方案如下：甲公司，底薪80元，司机毎中转一车货物另计4元：乙公司无底薪，中转40

车货物以内（含40车）的部分司机每车计6元，超出40车的部分司机每车计7元．假设同一物流公司的司机一填中转车数相同，现从这两家公司各随机选取一名货车司机，并分别记录其50天的中转车数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3

839404142天数101510105乙公司送餐员送餐单数频数表送餐单数3839404142天数51010205（1）现从记录甲公司的50天货物中转车数中随机抽取3天的中转车数，求这3天中转车数都不小于40的概率；（2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司货车司机日工资为X（单位：元

），求X的分布列和数学期望E（X）；②小王打算到甲、乙两家物流公司中的一家应聘，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．【答案】（1）23196；（2）①见解析，②若从日工资的角度考虑，小王应该选择乙公司【解析】（1）设“这三天中转车数都

不小于40”的事件为A，则P（A）=325350CC=23196．（2）①设乙公司货车司机中转货车数为t，则X=6t,t407t40,t40−，则X的所有取值分别为228，234，240，247

，254，其分布列为：日工资228234240247254概率P101151525101∴E（X）=228×101+234×15+240×15+247×25+254×101=241.8．②设甲公司货车司机日工资为Y，日中转车数为μ，则Y=4μ+80，则Y的所有可能取值为23

2，236，240，244，248，则分布列为：日工资232236240244248概率P151031515101E（Y）=131123223624024451055++++248×101=238.8．由E（X）＞E（Y），知：若从日工资的角度考虑，小王应该选择乙公司．

6．某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，制作一个蛋糕成本3元，且以8元的价格出售，若当天卖不完，剩下的则无偿捐献给饲料加工厂。根据以往100天的资料统计，得到如下需求量表。该蛋糕店一天制作了这款蛋糕()XXN个，以x（单位：个，100150x，2π）

表示当天的市场需求量，T（单位：元）表示当天出售这款蛋糕获得的利润.需求量/个[100,110)[110,120)[120,130)[130,140)[140,150]天数1525302010（1）当135x

=时，若130X=时获得的利润为1T，140X=时获得的利润为2T，试比较1T和2T的大小；（2）当130X=时，根据上表，从利润T不少于570元的天数中，按需求量分层抽样抽取6天.（i）求此时利润T关

于市场需求量x的函数解析式，并求这6天中利润为650元的天数；（ii）再从这6天中抽取3天做进一步分析，设这3天中利润为650元的天数为，求随机变量的分布列及数学期望.【答案】(1)21TT.(2)（i）3;（ii）见解析.【

解析】（1）130X=时，11305650T==元；140X=时，2135535660T=−=元，∴21TT；（2）（i）当130X=时，利润8390,100130650,130150xxTx−=，

当570T时，即8390570x−，即120130x，又650570，所以利润T不少于570元时，需求量120150x，共有60天，按分层抽样抽取，则这6天中利润为650元的天数为1632=.（ii）由题意可知0,1,2,3

=，其中33361(0)20CPC===，2133369(1)20CCPC===，1233369(2)20CCPC===，33361(3)20CPC===.故的分布列为P0123201920920201∴99

13()232020202E=++=.7．某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：等级标准果优质果精品果礼品果个数10304

020（1）若将频率视为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率.（结果用分数表示）（2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考.方案1：不分类卖出，单价为20元/kg.方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：等级

标准果优质果精品果礼品果售价(元/kg）16182224从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？（3）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X表示抽取的是精品果的数量，求X的分布列及数学期望(

)EX.【答案】（1）96625；（2）第一种方案；（3）详见解析【解析】（1）设从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为A，则()2011005PA==现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为X，则1~4,5XB

恰好抽到2个礼品果的概率为：()22244196255625PXC===（2）设方案2的单价为，则单价的期望值为：()1342165488481618222420.610

10101010E+++=+++==()20E从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案（3）用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个现从中抽取3个，则精品果的数量X服从超几何分布，所有可能的取值为：0,1,2,3则()36310106CPXC===；

()2164310112CCPXC===；()12643103210CCPXC===；()343101330CPXC===X的分布列如下：X0123P1612310130()1131601236210305EX=+++=8．“伟大的变革—庆祝改革开放40周年大型展览”于

2019年3月20日在中国国家博物馆闭幕，本次特展紧扣“改革开放40年光辉历程”的主线，多角度、全景式描绘了我国改革开放40年波澜壮阔的历史画卷．据统计，展览全程呈现出持续火爆的状态，现场观众累计达423万人次，参展人数屡次创造国家博物馆参观纪录，网上展馆点击浏览

总量达4.03亿次．下表是2019年2月参观人数（单位：万人）统计表日期1234567891011121314人数3.03.12.52.35.46.86.26.75.54.93.23.02.72.5日期1516171819202122232425262728人

数2.42.93.23.02.82.92.33.02.93.13.03.13.13.0根据表中数据回答下列问题：（1）请将2019年2月前半月（114日）和后半月（1528日）参观人数统计对比茎叶图填补完整，并通过茎叶图比较两组数据方差的大小（不要求计算出具体值，得出结论即

可）；（2）将2019年2月参观人数数据用该天的对应日期作为样本编号，现从中抽样7天的样本数据．若抽取的样本编号是以4为公差的等差数列，且数列的第4项为15，求抽出的这7个样本数据的平均值；（3）根据国博以往展览数据及调

查统计信息可知，单日入馆参观人数为0~3（含3，单位：万人）时，参观者的体验满意度最佳，在从()2中抽出的样本数据中随机抽取三天的数据，参观者的体验满意度为最佳的天数记为，求的分布列与期望．【答案】(1)见解析

；(2)3.3(3)见解析【解析】（1）由茎叶图可知，后半月数据分布较集中，故后半月数据的方差小于前半月数据的方差．（2）由题意，抽取到的样本编号分别是3号、7号、11号、15号、19号、23号和27号，对应的样本数据依次是2.5、6.2、3.2、2.4、2.8、2.9和3.1．故平

均值为：2.56.23.22.42.82.93.13.37++++++=．（3）由（2）知所抽样本7天中，有三天参观人数超过3万人，其余四天体验满意度最佳．从而可取值0，1，2，3()33371035CPC===，()12

433712135CCPC===()21433718235CCPC===，()34374335CPC===的分布列如下：0123P1351235183543512184121233535357E=++=．9．某校工会开展健步

走活动，要求教职工上传3月1日至3月7日微信记步数信息，下图是职工甲和职工乙微信记步数情况：（Ⅰ）从3月1日至3月7日中任选一天，求这一天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000的概率；（Ⅱ）从3月1日至3月7日中任选两天，记职工乙在这两天中微信记步数不低于10000的天

数为X，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）如图是校工会根据3月1日至3月7日某一天的数据，制作的全校200名教职工微信记步数的频率分布直方图．已知这一天甲和乙微信记步数在单位200名教职工中排名分别为第68和第142，请指出这是根据哪一天的数据制作的频率分布直方图（不用说明理由）．【答案】

（Ⅰ）()37PA=；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）3月3日【解析】（Ⅰ）设“职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000”为事件A从3月1日至3月7日这七天中，3月2日，3月5日，3月7日这三天职工甲和职工乙微信记步数都不低于10000，所以()37PA=；（Ⅱ）X的

所有可能取值为0，1，2，…()2337107CPXC===，()114327417CCPXC===，()2427227CPXC===X的分布列为X012P174727()14280127777EX=++=（Ⅲ）由直方图知，微信记步数落在20,25，)15,20，)10,15，

)5,10，)0,5（单位：千步）区间内的人数依次为2000.1530=，2000.2550=，2000.360=，2000.240=，2000.120=据折线图知，这只有3月2日、3月3日和3月7日；而由乙微信记步数排名第142，可知当天乙微信记步数在5000---100

00之间，根据折线图知，这只有3月3日和3月6日．所以只有3月3日符合要求．10．某大型工厂有5台大型机器，在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修．每台机器出现故障的概率为12．已知1名工人每月只有维修1台机器

的能力，每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修，就能使该厂获得10万元的利润，否则将亏损3万元．该工厂每月需支付给每名维修工人1.5万元的工资．（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修，则称工厂能正常运行．若

该厂只有2名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；（2）已知该厂现有4名维修工人．（ⅰ）记该厂每月获利为X万元，求X的分布列与数学期望；（ⅱ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘1名维修工人？【答案】（1）12；（2）（ⅰ）139532；（ⅱ）不应该.【解析

】解：（1）因为该工厂只有2名维修工人，故要使工厂正常运行，最多只有2台大型机器出现故障．∴该工厂正常运行的概率为：51422355111111()C()C()()222222++=．（2）（i）X的可能取值有31，44，511(31)()232PX

===，131(44)13232PX==−=．∴X的分布列为：X3144P1323132∴13113953144323232EX=+=．（ⅱ）若工厂再招聘一名维修工人，则工厂一定能正常运行，工厂所获利润为5101.5542.5−=万元，因为139542.532，∴该厂不应该再招聘1名

维修工人．11．某商场进行抽奖活动.已知一抽奖箱中放有8只除颜色外，其它完全相同的彩球，其中仅有5只彩球是红色.现从抽奖箱中一个一个地拿出彩球，共取三次，拿到红色球的个数记为X.（1）若取球过程是无放回的，求事件“2X=”

的概率；（2）若取球过程是有放回的，求X的概率分布列及数学期望()EX.【答案】（1）1528；（2）详见解析.【解析】（1）根据超几何分布可知：()21533815228CCPXC===；（2）随机变量X的可能取值为：0,1,2,3；且53,8XB

()335388kkkPXkC−==，0,1,2,3k=分布列如下：X0123P27512135512225512125512()515388EX==12．甲、乙、丙三个口袋内部分别装有6个只有颜色不相同的球，并且每个口袋内的6个球均有1个红球，

2个黑球，3个无色透明的球，甲、乙、丙三个口袋中依次随机各摸出1个球.（Ⅰ）求恰好摸出红球、黑球和无色球各1个的概率；（Ⅱ）求摸出的3个球中含有有色球个数的概率分布列和数学期望.【答案】（Ⅰ）16（Ⅱ）分布列见解析，()32E=【解析】由于各个袋中球

的情况一样，而且从每一个袋中摸出红球、黑球、无色球的概率均分别为16，13，12，所以根据相互独立事件同时发生的概率公式可得（Ⅰ）3311116326PA==（Ⅱ）的取值为0,1,2,3，并且

()311028P===；()213111316328PC==+=；()223111326328PC==+=；()3331113638PC==+=.从而的概率分布列为0123P183

83818()13313012388882E=+++=.13．诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用“周实际回收水费周投入成本”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分

析，以四周为一周期，下表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计：第一周第二周第三周第四周第一个周期95%98%92%88%第二个周期94%94%83%80%第三个周期85%92%95%96%（1）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数X；（2）分别从表中每个周

期的4个数据中随机抽取1个数据，设随机变量X表示取出的3个数中“水站诚信度”超过91%的数据的个数，求随机变量X的分布列和期望；（3）已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚为本”的主题教育活动，根据已

有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由.【答案】（1）91%（2）见解析（3）两次活动效果均好．详见解析【解析】（1）表中十二周“水站诚信度”的平均数：959892889494838085929596191%12100x++

+++++++++==.（2）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，()1212044464PX===，()3211211444444PX==+1231444464+=，()3213212444444PX==+

3233044464+=，()32318344464PX===，∴X的分布列为：X0123P1327321532932171590123232323232EX=+++=.（3）两次活动效果均好．理由：活动举办后，“水站诚信度”由88%94%→和80%到85%看出，后继一周都

有提升．14．某合资企业招聘大学生时加试英语听力，待测试的小组中有男、女生共10人（其中女生人数多于男生人数），若从中随机选2人，其中恰为一男一女的概率为815.（Ⅰ）求该小组中女生的人数；（Ⅱ）若该小组中每个女生通过测试的

概率均为34，每个男生通过测试的概率均为23.现对该小组中女生甲、女生乙和男生丙、丁4人进行测试.记这4人中通过测试的人数为随机变量X，求X的分布列和数学期望.【答案】（Ⅰ）6；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）设该小组中有n个女生，由题意，得11102108

15nnCCC−=，解得6n=或4n=（舍），所以该小组有6名女生；（Ⅱ）由题意，X的取值为0，1，2，3，4()22111043144PX===，()22112231112151443433

72PXCC==+=，()()22222123132111237243434343144PXC==++=，()2211223123215344343312PXCC==+=

，()223214434PX===.所以X的分布列为：X01234P11445723714451214所以1537511701234144721441246BX=++++

=.15．某小组共7人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动的次数为1，2，3的人数分别为2，2，3.现从这7人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会：（Ⅰ）设A为事件“选出的2人参加义工活动的次数之和为4”，求事件A发生的概率；（Ⅱ）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求

随机变量X的分布列及数学期望.【答案】（Ⅰ）13;（Ⅱ）见解析【解析】（I）由已知得：P11223227CCC1C3+==，∴事件A发生的概率为13；（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2；计算()2222

2327CCC5PX0C21++===，P（X＝1）1111223227CCCC10C21+==，P（X＝2）112327CC2C7==；∴随机变量X的分布列为X012P521102127∴随机变量X的数学期望为E（X）＝0521+11021+22227

21=．能力提升训练1．随着高考制度的改革，某省即将实施“语数外+3”新高考的方案，2019年秋季入学的高一新生将面临从物理（物）、化学（化）、生物（生）、政治（政）、历史（历）、地理（地）六科中任选三科（共20种选法）作为自己将来高考“语数外+3”新高

考方案中的“3”某市为了顺利地迎接新高考改革，在某高中200名学生中进行了“学生模拟选科数据”调查，每个学生只能从表格中的20种课程组合中选择一种学习模拟选课数据统计如下表：为了解学生成绩与学生模拟选课情况之问的关系，用分层抽样的方

法从这200名学生中抽取40人的样本进行分析(1)从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人，求这3人中至少有2人要学习生物的概率：(2)从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人，记这3人中要学

习地理的人数为x，求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】(1)1742(2)见解析【解析】解：(1)由题可知，样本中选择学习物理且学习化学的学生共有9人，其中还学习生物的有4人，则从选择学习物理且学习化学的学生中随机抽取3人，这3人中至少有2人要学习生物的概率21

30454539CC+CC17P==C42.(2)由题可知，样本中选择学习物理且学习化学的学生共有9人，其中还学习地理的有2人，则X可取0,1,2.X012P35844284784354272=0+1+2=8484843EX.2．

某鲜花店每天制作A、B两种鲜花共*()nnN束，每束鲜花的成本为a元，售价2a元，如果当天卖不完，剩下的鲜花作废品处理.该鲜花店发现这两种鲜花每天都有剩余，为此整理了过往100天这两种鲜花的日销量（单位：束），得到如下统计数据：A种鲜花

日销量48495051天数25352020B两种鲜花日销量48495051天数40351510以这100天记录的各销量的频率作为各销量的概率，假设这两种鲜花的日销量相互独立.（1）记该店这两种鲜花每日的总销量为X束，求X的分布列.（2）

鲜花店为了减少浪费，提升利润，决定调查每天制作鲜花的量n束.以销售这两种鲜花的日总利润的期望值为决策依据，在每天所制鲜花能全部卖完与99n=之中选其一，应选哪个？【答案】（1）详见解析；（2）应选99n=.【解析】（1）X所有

可能的取值为96，97，98，99，100，101，102，()960.250.40.1PX===，()970.250.350.350.40.2275PX==+=，()980.250.150.350.350.20.40.24PX

==++=，()990.250.10.350.150.20.350.20.40.2275PX==+++=，()1000.350.10.20.150.20.350.135PX==++=，()1010.20.10.20.150.0

5PX==+=，()1020.20.10.02PX===.所以X的分布列为X96979899100101102P0.10.22750.240.22750.1350.050.02（2）记销售两种鲜花的日总利润

为Y.当每天所制鲜花能全部卖完时，()96EYa，由于卖出1束利润为a元，作废品处理1束亏a元.所以99n=时，()()()9630.19720.2275Eyaa=−+−()()9810.249910.10.22750.24aa+−+−−−97

.0196aa=.所以应选99n=.3．随着社会的进步，经济的发展，道路上的汽车越来越多，随之而来的交通事故也增多.据有关部门调查，发生车祸的驾驶员中尤其是21岁以下年轻人所占比例居高，因此交通管理

有关部门，对2018年参加驾照考试的21岁以下学员随机抽取10名学员，对他们参加的科目三（道路驾驶）和科目四（安全文明驾驶相关知识）进行两轮现场测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学员的抽测成绩．记录的数据如下：(1)从2018年参加驾照考试的21岁以下学员中随机选取一名学员

，试估计这名学员抽测成绩大于或等于90分的概率；(2)根据规定，科目三和科目四测试成绩均达到90分以上（含90）才算测试合格.（i）从抽测的1号至5号学员中任取两名学员，记X为学员测试合格的人数，求X的分布列和数学期望()EX；(ii)记抽取的10名学员科目三

和科目四测试成绩的方差分别为1S，2S，试比较1S与2S的大小.【答案】（1）710；（2）（i）见解析；(ii)12ss【解析】（1）计算表中科目三与科目四的平均成绩，得到这10名学员的抽测成绩（单位：分）分别为：93，89，89，90.5，91，88.5，91.5

，91，90.5，91，其中大于90分的有1号、4号、5号、7号、8号、9号、10号，共7人．所以样本中学员的抽测成绩大于或等于90分的频率为：P710==0.7．所以估计学员抽测成绩大于或等于90分的概率为：P=0.7．（2）（i）从抽测

的1号到5号学员中任取两名学员，记X为学员测试合格的人数，则X的可能取值为0，1，2，P（X＝0）2225110CC===0.1，P（X＝1）112325610CCC===0.6，P（X＝2）2325310CC===0.3，∴X的分布列

为：X012P0.10.60.3数学期望E（X）＝0×0.1+1×0.6+2×0.3＝1.2．（ii）由表中的数据得到科目三的测试成绩比科目四的测试成绩更集中，∴s1＜s2．4．在国家“大众创业，万众创新”战略下，某企业决定加大对某种产品的研究投入.为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟

定的价格试销，得到一组检测数据如表所示：试销价格x（元）456789产品销量y（件）898382797467已知变量x，y具有线性相关关系，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得回归直线方程分别为：甲ˆ459yx=+；乙1ˆ40

5yx=−+；丙4.6104ˆyx=−+，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的.（1）试判断谁的计算结果正确？求回归方程.（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据”.现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据”的个数X的分布列和数学期望.【答

案】(1)乙同学正确，ˆ4105yx=−+(2)见解析【解析】（1）已知变量x，y具有线性负相关关系，故甲不对，6.5x=，79y=，代入两个回归方程，验证乙同学正确，故回归方程为：1ˆ405yx=−+；（2）x456789y898382797467ˆy898581

777369“理想数据”的个数X取值为：0123，，，；()0333361020CCPXC===,()1233369120CCPXC===,()2133369220CCPXC===,()33361320CPXC===于是“理想数据”的个数X的分布列：X0123p12092092

0120数学期望()199130123202020202EX=+++=5．某闯关游戏共有两关，游戏规则：先闯第一关，当第一关闯过后，才能进入第二关，两关都闯过，则闯关成功，且每关各有两次闯关机会.已知闯关者甲第一关每次闯过的概率均为12，第二关每次闯过的概率均为

23.假设他不放弃每次闯关机会，且每次闯关互不影响.(1)求甲恰好闯关3次才闯关成功的概率；(2)记甲闯关的次数为，求随机变量的分布列和期望.。【答案】(1)5()18PA=(2)见解析【解析】解：（1）设事件A为“甲恰好闯关3次才闯关成功的概率

”，则有()12211251123322318PA=−+−=，（2）由已知得：随机变量ξ的所有可能取值为2,3,4，所以，()121172232212P==+=，()12211211113112332232333

P==−+−+=，()112141122312P==−−=.从而234P71213112()7115234123122E=++=.6．为响应党中央号召，学校以“我们都是追梦人”为主题举行知识竞赛。现有1

0道题，其中6道甲类题，4道乙类题，王同学从中任取3道题解答.（Ⅰ）求王同学至少取到2道乙类题的概率;（Ⅱ）如果王同学答对每道甲类题的概率都是23，答对每道乙类题的概率都是35，且各题答对与否相互独立，已知王同学恰好选中2道甲类题，1道乙类

题，用X表示王同学答对题的个数，求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】（Ⅰ）13；（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）设“王同学至少取到2道乙类题”为事件A王同学取到2道乙类题共有2146CC种取法王同学取到3道乙类题共有34C种取法()2134643104011203CCCPAC+

===（Ⅱ）X的所有可能取值为0,1,2,3()020223201335451PXC==−=()021022213213111133533545PXCC==−+=()2021

222122132042335335459PXCC==+==()202221312433354515PXC====X0123P245114549415()2114429012345

4591515EX=+++=7．某不透明纸箱中共有4个小球，其中1个白球，3个红球，它们除颜色外均相同．（Ⅰ）一次从纸箱中摸出两个小球，求恰好摸出2个红球的概率；（Ⅱ）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取4次，记得到

红球的次数为，求的分布列；（Ⅲ）每次从纸箱中摸出一个小球，记录颜色后放回纸箱，这样摸取100次，得到几次红球的概率最大？只需写出结论．【答案】(Ⅰ)1()2PA=(Ⅱ)见解析（Ⅲ）75【解析】解：(Ⅰ)设“一次从纸箱中摸出两个小球，恰好摸出2个红球”为事件A．则()232412C

PAC==．(Ⅱ)可能取0，1，2，3，4．()04043310144256PC==−=，()1314333114464PC==−=，()2224332721

44128PC==−=，()31343327314464PC==−=，()404433814144256PC==−=．所以的分布列为01234P125636

427128276481256（Ⅲ）75．8．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．()1设A为事件“选出的2人参加义工活动次

数之和为4”，求事件A发生的概率；()2设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列和数学期望．【答案】（1）13；（2）()1EX=.【解析】（1）由已知有1123432101()3CCCPAC+==，所以事件A的发生的概率为13；（2）随机

变量X的所有可能的取值为0，1，2；2223342104(0)15CCCPXC++===；111133342107(1)15CCCCPXC+===；11342104(2)15CCPXC===；所以随机变量X的分布列为：X012P415715415数

学期望为()4740121151515EX=???.9．某中学图书馆举行高中志愿者检索图书的比赛，从高一、高二两个年级各抽取10名志愿者参赛。在规定时间内，他们检索到的图书册数的茎叶图如图所示，规定册数不小于20的为优秀.(Ⅰ)从两个年级

的参赛志愿者中各抽取两人，求抽取的4人中至少一人优秀的概率；(Ⅱ)从高一10名志愿者中抽取一人，高二10名志愿者中抽取两人，3人中优秀人数记为X，求X的分布列和数学期望.【答案】(1)107135；(2)答案见解析.【解析】(1)由茎叶图知

高一年级有4人优秀，高二年级有2人优秀。记“抽取的4人中至少有一人优秀”为事件A.则226822101028107()11135135CCPACC=−=−=.(2)X的所有可能取值为0，1，2，3.126812101016884(0)450225CCPXCC====

，1211148628121010208104(1)450225CCCCCPXCC+====，1111242862121010707(2)45045CCCCCPXCC+====，124212101042(3)450225CCPXCC====，故随机变量X的分布列为X0123p84225

1042257452225X的数学期望84104724()0123225225452255EX=+++=.10．1995年联合国教科文组织把每年4月23日确定为“世界读书日”，为提升学生的文化素养，养成多读书、读好书的文化生活习惯，某中学开展图书源流活动，让图书发挥它的最大价值，

该校某班图书角有文学名著类图书5本，学科辅导书类图书3本，其它类图书2本，共10本不同的图书，该班班委会从图书角的10本不同的图书中随机挑选3本不同的图书参加学校的图书漂流活动。（I）求选出的三本图书来自于两个不同类别的概率：（II）设随机变量表示选

出的3本图书中，文学名著类本数与学科辅导类本数差的绝对值，求随机变量的分布列和数学期望。【答案】（I）（II）见解析【解析】（I）设选出的三本书来自于两个不同类别为事件则：（II）随机变量的所有可能的取值为：；的分布

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