【文档说明】8.1 立体几何图形-2021-2022学年高一数学下学期题型分类归纳同步讲义（人教A版2019必修第二册）(解析版).docx，共(21)页，1.169 MB，由管理员店铺上传

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8.1立体几何图形一、空间几何体的相关概念1、空间几何体：在我们的周围存在着各种各样的物体，他们都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体。例如：我们日常接触到的足球、篮球等，吐过只

考了他们的形状和大小，他们都是球体，还有其他几何体如长方体、正方体等。2、多面体：一般地，由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体.（1）多面体的面：围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；（2）多面体的棱：两个面的公共边叫做多面体的棱；（3）多面体的顶点：棱与棱的公共点叫做多面

体的顶点。3、旋转体：一条平面曲线（包括直线）绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条定直线叫做旋转体的轴。二、棱柱1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各

面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫棱柱。（1）有两个互相平行的面叫做棱柱的地面，它们是全等的多边形；（2）其余各面叫做棱柱的侧面，他们都是平行四边形；（3）相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；（4）侧面与底面的公共

顶点叫做棱柱的顶点。【注意】（1）有两个面互相平行，并不代表只有两个面互相平行，如长方体有三组对面互相平行，其中任意一组对面都可以作为底面。（2）棱柱的另外一种定义一般地，由一个平面沿着某一方向平移形成的空间几何体叫做柱体，平移起止位置的两个面叫做柱体的底面，缩变形

的边平移所形成的的面叫做柱体的侧面2、棱柱的分类：（1）按底面多边形的边数：可以把棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等等；（2）按侧棱与底面的位置关系：可以把棱柱分为直棱柱和斜棱柱；其中直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱．斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱

．正棱柱：底面是正多边形的直棱柱．平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱．三、棱锥1、定义：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。（1）这个多边形面叫做棱锥的底面；（2）有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；（3）相邻

侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；（4）各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。【注意】有一个面是多边形，其余各面都使三角形的几何体不一定是棱锥，如图。棱锥还需要满足各三角形有且只有一个公共顶点。2、棱锥的分类：按底面多边形的边数，可以把棱锥分

成三棱锥、四棱锥和五棱锥。【注意】底面为正多边形的棱锥叫做正棱锥，如正三棱锥、正四棱锥……四、棱台1、定义：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面与截面之间的部分叫做棱台。（1）原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；（2）其他各面叫做棱

台的侧面；（3）相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱；（4）侧面与底面的公共顶点叫做棱台的定点。【注意】（1）棱台上下底面是互相平行且相似的多边形；（2）侧面都是梯形；（3）各侧棱的延长线交于一点。2、棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别

叫做三棱台、四棱台、五棱台……五、圆柱定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面围成的旋转体角圆柱。（1）旋转轴叫做圆柱的轴；（2）垂直于轴的变旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；（3）平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；（4）无论转到什么位置，平行与轴

的边都叫做圆柱侧面的母线。【注意】（1）底面是互相平行且全等的圆面；（2）母线有无数条，都平行与轴；（3）轴截面为矩形。六、圆锥定义：以直角三角形的一条所在的直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。（1）垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；（2）直角三角形的斜边

旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；（3）无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线。【注意】（1）底面是圆面，横截面是比底面更小的圆面，轴截面是等腰三角形；（2）圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是圆锥的母线；（3）母

线有无数条，且长度相等，侧面由无数条母线组成。（4）直角三角形绕其任意一边所在的直线旋转一周所形成的几何体不一定是圆锥。七、棱台1、第一种定义：用平行与圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。2、第二种定义：以直角题型处置与底面的腰所在

的的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体。【注意】（1）圆台上、下底面是半径不相等且互相平行的圆面；（2）母线有无数条且长度相等，各母线的延长线交于一点；（3）轴截面为等腰梯形。八、球定义：半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体

叫做球体，简称球。（1）球心：半圆的圆心叫做球的球心；（2）半径：连接圆心与球面上任意一点的线段叫做球的半径；（3）直径：连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径。九、组合体的定义现实世界中物体表示的是几何体，除了

柱体、锥体、台体和球等简单几何体外，还有大量的几何体是由简单几何体组合而成，这些几何体称作组合体。组合体可以由几何体拼接、截去或挖去一部分形成。题型一棱柱的几何特征【例1】下列命题正确的是（）A．棱柱的每个面都是平行四边形B．一个棱柱至

少有五个面C．棱柱有且只有两个面互相平行D．棱柱的侧面都是矩形【答案】B【解析】对于A，棱柱的上下底面可以是三角形或者是梯形，故A不正确；对于B，面最少的就是三棱柱，共有五个面，B正确；对于C，长方体是棱柱，但是上下、左右、前后都是互相平行的，C不正确；对于D，斜棱柱的侧面可以不是矩形，D错误.【

变式1-1】下列关于四棱柱的说法：①四条侧棱互相平行且相等；②两对相对的侧面互相平行；③侧棱必与底面垂直；④侧面垂直于底面.其中正确结论的个数为（）A.1B.2C.3D.4【答案】A【解析】由题意，根据棱柱的定义：侧棱垂直于底面的四棱柱叫做直四棱柱，由四棱柱的各个侧面都是平行四

边形，所有的侧棱都平行且相等，①正确；②两对相对的侧面互相平行，不正确，如下图：左右侧面不平行.本题题目说的是“四棱柱”不一定是“直四棱柱”，所以，③④不正确.【变式1-2】下列命题正确的是（）．A．有两个面互相平

行，其余各面都是四边形的几何体叫作棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫作棱柱的底面C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形【答案】D【解析】由棱柱的定义可知，只有D正确，对于选项,,ABC分别构造反例图形如下：A：平面ABCD与平面111

1DCBA平行，四边形ABCD与1111DCBA相似不全等，故A错；B：正六棱柱的相对侧面11ABBA与11EDDE平行，但不是底面，故B选项错误；C：直四棱柱底面ABCD是菱形，故C选项错误．故选：D.【变式1

-3】(多选题)下列说法错误的是()A．有2个面平行，其余各面都是梯形的几何体是棱台B．多面体至少有3个面C．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D．九棱柱有9条侧棱，9个侧面，侧面为平行四边形【答案】ABC【解析】选项A错误，反例如图①；一个多面体至少有4个面，如三棱锥有4个面，不存在有

3个面的多面体，所以选项B错误；选项C错误，反例如图②，上、下底面是全等的菱形，各侧面是全等的正方形，它不是正方体；根据棱柱的定义，知选项D正确．①②题型二棱锥和棱台的几何特征【例2】下列说法正确的是（）A．有

一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体【答案】D

【解析】A：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面围成的多面体是棱锥，其余各面的三角形必须有公共的顶点，故A错误；B：棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形

的多面体不一定是棱台，因为侧棱延长不一定交于一点，故B错误；C：当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360时，各侧面构成平面图形，构不成棱锥，由此推导出这个棱锥不可能为六棱锥，即选项C错误；D：若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长

方形，符合长方体的定义，即选项D正确．故选：D．【变式2-1】（多选）下列说法正确的是（）A．如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等B．五棱锥只有五条棱C．一个棱柱至少有五个面D．棱台的各侧棱延长后交于一点【答案】CD【解析】四棱锥的底面是正方形，它的侧

棱可以相等，也可以不相等，A错误；五棱锥除了五条侧棱外，底面上还有五条棱，故共10条棱，B错误；一个棱柱最少有三个侧面，两个底面，故至少有五个面，C正确；棱台是由平行于棱锥底面的截面截得，故棱台的各侧棱延长后交于一点，D正确.【变式2-2】下列命题中，正确的是（）A．有两个侧面是矩形的棱

柱是直棱柱B．底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱C．侧面都是矩形的四棱柱是长方体D．侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥【答案】B【解析】对于A，根据直棱柱的概念，侧棱垂直于底面的棱柱是直棱柱，有两个侧面是矩形的棱柱可能是斜棱柱，只有相邻的两个侧

面是矩形时，才是直棱柱，故A不正确；对于B，有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱，可知侧棱垂直于底面，又底面为正多边形，故B正确；对于C，侧面都是矩形的直棱柱，底面不是矩形，不是长方体，故C不正确；对于D，侧面都是等腰三角形，底面不是正多边形的棱锥不是正棱

锥，故D不正确.【变式2-3】下列说法正确的是________．①一个棱锥至少有四个面；②如果四棱锥的底面是正方形，那么这个四棱锥的四条侧棱都相等；③五棱锥只有五条棱；④用与底面平行的平面去截三棱锥，得到的截面三角形和底面三

角形相似．【答案】①④【解析】①正确．②不正确，四棱锥的底面是正方形，它的侧棱可以相等．也可以不等．③不正确，五棱锥除了五条侧棱外，还有五条底边，故共10条棱．④正确．题型三旋转体的几何特征类型1旋转体的概念【例3-1】一个直角三角形绕斜边所在直线旋转360°

形成的空间几何体为（）A．一个圆锥B．一个圆锥和一个圆柱C．两个圆锥D．一个圆锥和一个圆台【答案】C【解析】此直角三角形被斜边上的高线所在直线分成两个小的直角三角形，绕斜边所在直线旋转360°，相当于绕小直角三角形的直角边所在直线旋转360°，得到的空间几何体是两个同底的圆锥．故选C．

【变式3-1】（1）如图，第一排的图形绕虚线旋转一周能形成第二排中的某个几何体．请写出第一排、第二排中相应的图形的对应关系________.A．B．C．D．【答案】（1）~C，（2）~B，（3）~D，（4）~A【解析】对于（1），旋转所得是半球，对应C；对于（2）旋

转所得是两个圆锥，对应B；对于（3）旋转所得是一个圆锥和一个圆柱，对应D；对于（4）旋转所得是圆锥，对应A.故填：（1）~C，（2）~B，（3）~D，（4）~A.【变式3-1】（2）如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为()A．

一个球体B．一个球体中间挖去一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体【答案】B【解析】圆面旋转一周形成球，圆中的矩形旋转一周形成一个圆柱，所以选B.【变式3-1】（3）经过旋转可以得到图中几何体的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】上部为一个圆锥，下部是一个与圆

锥同底的圆台，圆锥可由一直角三角形以一直角边所在的直线为轴旋转一周得到，圆台可由一直角梯形以垂直于两底的腰所在的直线为轴旋转一周得到，通过上述判断再对选项中的平面图形适当分割，只有A符合.故选A.【变式3-1】（

4）以一个等边三角形的底边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的几何体是A.一个圆柱B.一个圆锥C.两个圆锥D.一个圆台【答案】C【解析】以一个等边三角形的底边所在的直线为旋转轴旋转一周所得的几何体是两个圆锥。类型2圆柱、圆锥、圆台的几何特征【例3-2】给出下列命

题：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条

母线所在的直线是互相平行的.其中正确的是（）A．①②B．②③C．①③D．②④【答案】D【解析】由圆柱的母线无论旋转到什么位置都与轴平行，故①错误；圆锥是以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的，故②正确；

③中连接的线可能存在与轴异面的情况，而圆台的母线与轴共面，故③错误；④由于圆柱中任意母线均与轴平行，故其中任意两条母线相互平行，故④正确；综上可知②④正确，①③错误.【变式3-2】（1）下列说法正确的是（）A．以直角三角形的一边所

在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥B．以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台C．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面D．一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台【答案】C【解析】以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆

锥，以斜边为轴旋转一周所得的旋转体是是两个同底圆锥的组合体，A错；以直角梯形的直角腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体才是圆台，B错；圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，正确；平行于圆锥底面平面截圆锥，得到一个圆锥和一

个圆台，如果截面不平行于底面，则截得的不是圆锥和圆台，D错.【变式3-2】（2）下列结论中正确的是（）A．半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球B．直角三角形绕一直角边为轴旋转一周得到的旋转体是圆锥

C．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体D．用一个平面截圆锥底面与截面组成的部分是圆台【答案】B【解析】因为半圆弧以其直径为轴旋转一周所形成的曲面叫做球面，球面围成的几何体叫做球，故A错误；当以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转时，其余各边旋转形成的面

所围成的几何体是圆锥，故B正确；当两个平行截面不平行于上、下两个底面时，两个平行截面间的几何体不是旋转体，故C错误；圆锥的截面不与底面平行时，圆锥底面与截面组成的部分不是圆台，故D错误.【变式3-2】（3）给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的

圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的；⑤圆台所有母线的延长线交于一点，其中正确的命题是（）A

．①②④B．②③④C．①③⑤D．②④⑤【答案】D【解析】由于圆柱母线所在的直线互相平行且与旋转轴平行，而在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线与旋转轴不一定平行，故①错误，④正确；由圆锥母线

的定义知②正确；在圆台的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是母线，且圆台所有母线的延长线交于一点，故③错误，⑤正确.故选：D.【变式3-3】下列说法不正确的是()A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面

围成的几何体是圆锥D．圆台平行于底面的截面是圆面其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．②④【答案】C【解析】直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周所围成的几何体是圆锥．强调一定要绕着它的一条直角边，即旋转

轴为直角三角形的一条直角边所在的直线，因而C错．【变式3-4】给出下列命题：①圆柱的母线与它的轴可以不平行；②圆锥的顶点、圆锥底面圆周上任意一点及底面圆的圆心三点的连线都可以构成直角三角形；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是

互相平行的．【答案】D【解析】由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知②④正确，①③错误．题型四简单的组合体【例4】如图所示的组合体，其结构特征是（）A．由两个圆锥组合成的B．由两个圆柱组合成的C．由一个棱锥和一个棱柱组合成的D．由一个圆锥和一个圆柱

组合成的【答案】D【解析】由图知：该组合体是由一个圆锥和一个圆柱组合成的，故选：D【变式4-1】如图的组合体是由（）组合而成.A．两个棱柱B．棱柱和圆柱C．圆柱和棱台D．圆锥和棱柱【答案】B【解析】由图可知该组合体由圆柱和六棱柱组合而成，故选：

B【变式4-2】将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是由()A．一个圆台、两个圆锥构成B．两个圆台、一个圆锥构成C．两个圆柱、一个圆锥构成D．一个圆柱、两个圆锥构成【答案】D【解析】旋转体如图，中间是一个圆

柱，两端是相同的圆锥构成，故选D．【变式4-3】(多选题)对如图中的组合体的结构特征有以下几种说法，其中说法正确的是()A．由一个长方体割去一个四棱柱所构成的B．由一个长方体与两个四棱柱组合而成的C．由一个长方体挖去一个四棱台所构成的D．由一个长方体与两个四棱台组合而成的

【答案】AB【解析】如图，该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成，也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成．故选项AB正确．【变式4-4】如图所示的螺母可以看成一个组合体，其结构特征是（）A.一个棱柱中挖去一个棱柱B.一个棱柱中挖去一个圆柱C.一个圆柱中挖去一个棱锥D.一个棱台

中挖去一个圆柱【答案】B【解析】螺栓是圆柱，螺母的横截面是六边形内有一个圆，所以螺母可以看成一个棱柱中挖去一个圆柱.故选B.【变式4-5】关于如图所示几何体的正确说法为_____．①这是一个六面体；②这是一个四棱台；③这是一个四棱柱；④这是一个四棱柱和三棱柱的组合体；⑤

这是一个被截去一个三棱柱的四棱柱．【答案】①③④⑤【解析】①因为有六个面，属于六面体的范围，②这是一个很明显的四棱柱，因为侧棱的延长线不能交与一点，所以不正确．③如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱，④可以由四棱柱和三棱柱组成，⑤和④的想法一样，割补方法就可以得到．故答案为：①

③④⑤．题型五空间几何体展开图问题【例5】如图，两个图形都是立体图形的平面展开图，你能分别说出这两个立体图形的名称吗？【答案】（1）正方体（2）四棱锥【解析】（1）将展开图还原为原图可知，该几何体为正方体.（2

）将展开图还原为原图可知，该几何体为四棱锥.【变式5-1】下列图形不是正方体表面展开图的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】通过分析可知，A选项是正方体表面展开图；B选项不是正方体表面展开图，因为有正方形会重合；C选项是正方体表面展开图；D选项是正方

体表面展开图.故本小题选B.【变式5-2】某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的平面展开图应该为(对面是相同的图案)()【答案】A【解析】由选项验证可知选A.【变式5-3】如图是一个正方体的

表面展开图，则图中“0”在正方体中所在的面的对面上的是（）A．2B．1C．高D．考【答案】C【解析】将展开图还原成正方体可知，“0”在正方体中所在的面的对面上的是“高”，故选:C.【变式5-4】一圆柱的底面半径为3π，母线长为4，轴截面为ABCD，从点A拉一绳子沿圆柱侧面到相

对顶点C，求最短绳长.【答案】5【解析】沿BC剪开，将圆柱体的侧面的一半展开得到矩形BADC.则AD＝4，AB＝3π·π＝3．∴AC＝32＋42＝5，即最短绳长为5．【变式5-5】如图所示，有一圆锥形粮堆，母线与底面圆的直径构成边长

为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一只老鼠正在偷吃粮食.此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，求小猫所经过的最短路程.(结果不取近似值)【答案】35【解析】设底面圆的周长为l.∵△ABC为正三角形，∴BC＝6，∴l＝2π×

3＝6π，根据底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，得：nπ×6180°＝6π，故n＝180°，则∠B′AC＝90°，∴B′P＝36＋9＝35(m)，∴小猫所经过的最短路程是35m.题型六简单的截面问题【例6】如图所示，在三棱台A′B′C′－ABC

中，截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是（）A．三棱锥B．四棱锥C．三棱柱D．组合体【答案】B【解析】根据棱锥的结构特征可判断，余下部分是四棱锥A′－BCC′B′．故选：B.【变式6-1】若用长为4，宽为2的矩形作侧面围成一个圆柱，则此圆柱轴截面的面

积为()A．8B.8πC.4πD.2π【答案】B【解析】若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为4π，其轴截面的面积为8π；若底面周长为2，则圆柱高为4，此时圆柱的底面直径为2π，其轴截面的面积也为8π.【变式6-2】用一个平面去截一个几何体，得到的截

面是三角形面，这个几何体不可能是（）A．棱锥B．圆锥C．圆柱D．正方体【答案】C【解析】圆柱的截面的图形只有矩形或圆形，如果截面是三角形，那么这个几何体不可能是圆柱.【变式6-3】用一个平面去截一个三棱锥，截面形

状可能是________．(填序号)①三角形；②四边形；③五边形；④不可能为四边形．【答案】①②【解析】按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图②所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形．

【变式6-4】如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是（）A．①②B．①③C．①④D．①⑤【答案】D【解析】一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下

的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，当截面经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为三角形除去一条边，所以①正确；当截面不经过圆柱上下底面的圆心时，圆锥的截面为抛物线的一部分，所以⑤正确；