【文档说明】江苏省连云港市赣榆区2020届高三（6月份）高考仿真训练数学试题 【精准解析】.doc，共(26)页，2.298 MB，由小赞的店铺上传

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2020年江苏省连云港市赣榆区高考数学仿真训练试卷（6月份）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1.已知集合1,4,5A=，3,4B=则AB=__．【答案】1,3,4,5【解析】【分析】进行并集的运

算即可．【详解】解：1,4,5A=，3,4B=1,3,4,5AB=故答案为：1,3,4,5．【点睛】本题考查了列举法的定义，并集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.设复数z满足()14zii−=（i为虚数单位），则复数z

的模为_________.【答案】22【解析】【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简复数z，然后利用复数模的计算公式求解．【详解】由()14zii−=，得()()()41422111iiiziiii+===−+−−+，()222222z=−+=．故答案为：2

2．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3.某班的全体学生参加消防安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20，40），[40，60），[60，80），[80，100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数

是．【答案】50【解析】试题分析：低于60分的频率=，所以该班人数=考点：频率分布直方图的应用4.如图所示的算法流程图，若输出y的值为12，则输入x的值为______．【答案】－2【解析】【详解】【分析】该程序框图表示的是函数()()22,0{log,0xxfxxx=−，若()21

log2x−=，则2x=−，合题意，若122x=，则1x=−不合题意，故输入的x值为2−，故答案为2−.5.某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中选修2门课程，则该同学恰好选中1文1理的概率为________.【答案】

35【解析】【分析】先求出基本事件总数n和该同学恰好选中1文1理包含的基本事件数m，由古典概型概率公式求解即可.【详解】某校开设5门不同的选修课程，其中3门理科类和2门文科类，某同学从中选修2门课程，基本事件总数n＝25C＝10，该同学恰好选中1文1理包含的基本事件总数m＝

1132CC＝6．∴该同学恰好选中1文1理的概率p＝610mn=＝35．故答案为35．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.函数()22logfxx=−的定义域为_________．【答案】(

0,4【解析】【分析】根据函数有意义满足的不等式，即可求解.【详解】函数有意义须，222log0,log2xx−，解得04x，所以函数的定义域是(0,4.故答案为:(0,4【点睛】本题考查函数的定义域，以及解对数不等式，属于基础题.7.已知双曲线C：22221(0,0

)xyabab−=的焦点关于一条渐近线的对称点在y轴上，则该双曲线的离心率为____________．【答案】2【解析】【分析】由题意列方程得双曲线是等轴双曲线，进而可得离心率.【详解】设焦点坐标是()

,0Fc，0c其中一条渐近线方程是byxa=，设焦点关于渐近线的对称点是()0,n，则22nacbnbca=−−=，得：acnbbcna==，解得：ab=，所以，222222ccabaa=+==，所以双曲线的离心率是2.故答案为：2.【点睛】本题考查双曲线

的几何性质，重点考查等轴双曲线的几何性质，属于基础题型.8.中国古代数学专家（九章算术）中有这样一题：今有男子善走，日增等里，九日走1260里，第一日，第四日，第七日所走之和为390里，则该男子的第三日走的里数为____

______．【答案】120【解析】【分析】将题目转化成数学语言，得到等差数列关系，求出首项和公差，再求第三日走的里数，即数列的第三项.【详解】因为男子善走，日增等里，可知每天走的里数符合等差数列，设这个等差数列为na，其公差为d，前n项和为nS.根据题意可知，91471260,390S

aaa=++=，法一：()19955991260,1402aaSaa+====147443390,130aaaaa++===，5410daa=−=，34120aad=−=.法二：9147126

0390Saaa=++=，11119891260236390adaadad+=++++=解得110010ad==所以312120aad=+=【点睛】本题考查文字描述转化数学语言的能力，等差数列求和和通项以及基本性

质，属于简单题.9.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2，若它们的侧面积相等，且12SS＝94，则12VV的值是________．【答案】32【解析】试题分析：设两个圆柱的底面半径分别为R，r；高分别为H，h；∵1294SS=，∴32Rr＝，它们的侧面积相等，212RHr

h＝∴23Hh＝，∴22122323()232VRHVrh===．故答案为32．考点：1．棱柱、棱锥、棱台的体积；2．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．10.已知直线80(,)axbyabR+−=经过点(1,2)−，则124ab+的最小值是__．【答案】32【解析】【分析】根

据题意，由直线经过点(1,2)−，分析可得28ab−=，即82ab=+；进而可得824111224444abbbbb+++=+=+，结合基本不等式分析可得答案．【详解】根据题意，直线80(,)axbyabR+−=经过点(1,2)−，则有28ab−=，即

82ab=+；则8244111122424324444abbbbbbb++++=+=+=…，当且仅当2b=−时等号成立；即124ab+的最小值是32；故答案为：32．【点睛】本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及直线的一般式方程，属于中档题．1

1.已知函数()sin()(0,,0)2fxAxA=+的部分图象如图所示，将函数()fx的图象向左平移(0)个单位长度后，所得图象关于直线34x=对称，则的最小值为__．【答案】3【解析】【分析】由周期求出，由五点法作图求出的值，可得()fx

的解析式，再利用函数sin()yAx=+的图象变换规律，求得的最小值．【详解】解：根据函数()sin()(0,,0)2fxAxA=+的部分图象，可得1A=，1274123=−，求得2=．根据图像可得，函数过,03，所以2sin2033f

=+=再根据五点法作图，23+=，3=，故有()sin(2)3fxx=+．将函数()fx的图象向左平移(0)个单位长度后，得到函数sin(22)3yx=++的图

象，由所得图象关于直线34x=对称，可得322432k++=+，kZ，即423k=−，kZ.因为0所以当2k=，可得的最小值为3，故答案为：3．【点睛】本题主要考查由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出，由

五点法作图求出的值，可得()fx的解析式．函数sin()yAx=+的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于中档题．12.如图，扇形OAB的半径为2，120AOB=，P是弧AB上一点，满足·23OPOB=，AB与OP的交点为M，那么·OMAB=__．【答案】2【解析】【分析】由题意

30POB=，90POA=，求出MO，则··()MOABMOAOOBMOAOMOOB=+=+，即求答案.【详解】扇形OAB中，120AOB=，30MAOMBO==.·22cos23O

POBPOA==，3cos2POB=，30POB=，90AOP=.在直角三角形AOM中，32333MOAO==，23··()2cos3023MOABMOAOOBMOAOMOOBMOOB=+=+===.故答案为：2．【点睛】本题考查平面向量数量

积的运算，属于中档题．13.在平面直角坐标系xOy中，已知直线:2lykx=+与圆()22:19Cxy−+=交于A、B两点，过点A、B分别作圆C的两条切线1l与2l，直线1l与2l交于点P，则线段PC长度的最小值是___________.【答案】955

【解析】【分析】由题意画出图形，说明当定点()0,2是AB的中点时PC最短，然后求解三角形得答案．【详解】圆()22:19Cxy−+=的圆心坐标为()1,0C，半径为3．直线:2lykx=+过定点()0,2G，连接BC、AC，如图，BC为圆的半径是定值，cosBCPCPC

B=，要使PC最小，则cosPCB最大，即PCB∠最小，也就是AB最小，此时ABCG⊥，()1,0C，()0,2G，5CG=．求得5cos3PCB=，线段PC长度的最小值是395553=．故答案为：955．【点评】本题考查直线与圆

位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，考查运算求解能力，是中档题．14.已知函数12,0,()2,0.1xxexfxxxx+=+„若关于x的不等式2()2()20fxafxa−++的解集非空，且为有限集，则实数a的取值集

合为___________.【答案】{1,3}−【解析】【分析】利用导数，研究()fx的性质和图像；利用换元法，结合二次不等式的解集，结合()fx的函数图像，即可分类讨论求得.【详解】当0x时，1xyxe+=，则()11xyex+=+，令0y=，解得1x=−，容易得1xyxe+=

在区间(),1−−单调递减，在区间()1,0−单调递增，且在1x=−时，取得极小值，即1y=−；且0x时，0y；当0x时，221xyx=+，则()()()22111xxyx−+−=+，令0y=，解得1x=，容易得221x

yx=+在区间()0,1单调递增，在区间()1,+单调递减，且在1x=时，取得极大值，即1y=；且0x时，0y；故()fx的模拟图像如下所示：综上所述：()fx的值域为1,1−.令()fxt=，则2220tat

a−++，其2448aa=−−，对称轴为ta=：当0时，显然关于t的二次不等式解集为空集，不满足题意；当0=，即2a=或1a=−时，若2a=，显然关于t的二次不等式的解集为2t=，又()2fxt=

=，数形结合可知，此时关于x的原不等式解集为空集，不满足题意；若1a=−，关于t的二次不等式的解集为1t=−，又()1fxt==−，数形结合可知，此时关于x的原不等式解集为1−，满足题意；当0，即1a−或2a时，令2220tata−++=，解得22122

,2xaaaxaaa=−−−=+−−，显然12xx，故此时关于t的不等式的解集为12,xx，数形结合可知，要满足题意，只需11x=或21x=−.即221aaa−−−=，解得3a=，满足1a−或2a；或221aaa+−−=−，解得1a=−，不满足1a−或2a，舍去；综上所述

，要满足题意，则1a=−或3a=.故答案为：1,3−.【点睛】本题考查利用导数研究函数的性质和图像，涉及二次不等式的求解，属压轴题.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且5cos5A=．（

1）若5a=，25c=，求b的值；（2）若4B=，求cos2C的值．【答案】（1）5b=；（2）45−．【解析】【分析】（1）由已知结合余弦定理即可求解b，（2）由已知结合同角平方关系可求sinA，然后结合诱导公式及和差角公式

及二倍角公式可求．【详解】解：（1）在ABC中，由余弦定理2222cosabcbcA=+−，得，2520225255bb+−=，即2450bb−−=，解得5b=或1b=−（舍)，所以5b=；（2）由5cos5A=及0A

得，22525sin1cos1()55AA=−=−=，所以210coscos(())cos()(cossin)4210CABAAA=−+=−+=−−=，所以22104cos22cos12()1105CC=−=−=−【点睛】本题主要考查了余弦定理

在求解三角形中的应用，还考查了和差角公式，同角平方关系，二倍角公式的应用，属于中档试题．16.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD是矩形，平面PAD⊥平面,,,ABCDAPADMN=分别为棱,PDPC的中点.求

证：（1）//MN平面PAB；（2）AM⊥平面PCD.【答案】(1)详见解析;（2）详见解析.【解析】【分析】（1）线面平行的证明则只需在面内找一线与之平行即可，因为M，N分别为棱PD，PC的中点，所以MN∥DC，又因为底面ABCD是矩形，所以AB∥DC，所以MN∥A

B．（2）线面垂直则需要在面内找两根相交线与之垂直，因为AP=AD，M为PD的中点，所以AM⊥PD．因为平面PAD⊥平面ABCD，又平面PAD∩平面ABCD=AD，CD⊥AD，CD平面ABCD，所以CD⊥平面PAD．又AM平面PAD，所以CD⊥AM．【详解】

（1）因为M，N分别为棱PD，PC的中点，所以MN∥DC，又因为底面ABCD是矩形，所以AB∥DC，所以MN∥AB．又ABÌ平面PAB，MN平面PAB，所以MN∥平面PAB．（2）因为AP=AD，M为PD的中点，所以AM⊥PD．因为平面PAD⊥平面ABCD，又平面PAD∩

平面ABCD=AD，CD⊥AD，CD平面ABCD，所以CD⊥平面PAD．又AM平面PAD，所以CD⊥AM．因为CD，PD平面PCD，CDPDD=，所以AM⊥平面PCD．17.如图，定义：以椭圆中心

为圆心，长轴为直径的圆叫做椭圆的“辅助圆”．过椭圆第四象限内一点M作x轴的垂线交其“辅助圆”于点N，当点N在点M的下方时，称点N为点M的“下辅助点”．已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=上的点2(1,)2−的下辅助点为(1,1)−．（1）求椭圆E的方程；（2）若

OMN的面积等于2368−，求下辅助点N的坐标．【答案】（1）2212xy+=；（2）2(2，6)2−或6(2，2)2−．【解析】【分析】（1）利用已知条件求出椭圆长半轴为a，将点2(1,)2−代入椭圆方程22212xyb+=中，解得b，即可得到椭圆E的方

程．（2）设点0(Nx，00)(1)yy，则点0(Mx，11)(0)yy，将两点坐标分别代入辅助圆方程和椭圆方程，结合三角形的面积，求解下辅助点N的坐标．【详解】（1）椭圆2222:1(0)xyEabab+=上的点2(1,)2−

的下辅助点为(1,1)−，辅助圆的半径为221(1)2R=+−=，椭圆长半轴为2aR==，将点2(1,)2−代入椭圆方程22212xyb+=中，解得1b=，椭圆E的方程为2212xy+=；（2）设点0(Nx，00)(1)yy，则点0(Mx，11)(0)yy，将两点坐标分别代入

辅助圆方程和椭圆方程可得，22002xy+=，220112xy+=，故22012yy=，即012yy=，又()010123628OMNSxyy−=−=，则0164xy=−，将0164xy=−与220112xy+=，012yy=联立可解得002262xy==−

或006222xy==−，下辅助点N的坐标为2(2，6)2−或6(2，2)2−；【点睛】本题考查椭圆的简单性质，圆与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．18.如图，某城市小区有一个矩形休闲广场，20AB=米，广场的一角是半径为16米的扇形BC

E绿化区域，为了使小区居民能够更好的在广场休闲放松，现决定在广场上安置两排休闲椅，其中一排是穿越广场的双人靠背直排椅MN（宽度不计），点M在线段AD上，并且与曲线CE相切；另一排为单人弧形椅沿曲线CN（宽度不计）摆放．已知双人靠背直排椅

的造价每米为2a元，单人弧形椅的造价每米为a元，记锐角NBE=，总造价为W元．（1）试将W表示为的函数()W，并写出的取值范围；（2）如何选取点M的位置，能使总造价W最小．【答案】（1）2016cos()216(),sin2Waa−=+−（2）43AM=【解

析】【详解】试题分析：（1）总造价由两部分组成，根据弧长公式可求得16()2CN=−，而切线长MN需构造直角三角形或借助坐标求解，最后由线段长为正，可得的取值范围（2）利用导数求函数最值，先求导数，确定导函数零点，列表分析函数单调性变化趋势，确定极值

点，即最值点.试题解析：解：（1）过N作AB的垂线，垂足为F；过M作NF的垂线，垂足为G．在RTBNF中，16cosBF=，则2016cosMG=−在RTMNG中，2016cossinMN−=，由题意易得16()2CN

=−因此，2016cos()216(),sin2Waa−=+−（2）2245cos(2cos1)(cos2)()168=8sinsinWaaa−−−=−+，令()=0W，，1cos2=，因为1(,)2，所以3=，设锐角满足14cos5=，当

1(,)3时，()<0W，，()W单调递减；当(,)32时，()>0W，，()W单调递增．所以当3=，总造价W最小，最小值为8(163)3a+，此时83MN=，43NG=

，83NF=，因此当43AM=米时，能使总造价最小．考点：利用导数求函数最值【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′（x）＞0或f′（x）＜0求单调区间；第二步：解f′（x）＝0得两

个根x1、x2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．19.已知函数f(x)＝(3－x)ex，g(x)＝x＋a(a∈R)(e是自然对数的底数，e≈2.718…)．(1)求函数f(x)的极值；(2)若函数y＝f(x)g

(x)在区间[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围；(3)若函数h(x)＝()()fxgxx+在区间(0，＋∞)上既存在极大值又存在极小值，并且函数h(x)的极大值小于整数b，求b的最小值．【答案】（1）见解析；（2）3a−；（3）4【解析】【分析】（1）对()fx求导，通过()'fx

的正负，列表分析()fx的单调性进而求得极值.（2）先求得()()fxgx的解析式，对其求导，原题转化为导函数0在1,2x上恒成立，令()()2123mxxaxa=−+−++，求得a的范围.（3）由题意知()'0hx=在()0,+上有两个不等实根，即()()2330xrxexxa=−+−

−=在()0,+上有两个不等实根，对()rx求导分析可得()0rx=在()0,1和31,2上各有一个实根，从而得到极大值()2hx，将()2hx视为关于2x的函数，求导得到()32211,12hxee++，又因为32131142ee++，得

到整数b的最小值.【详解】（1）()()3xfxxe=−，()()'2xfxxe=−，令()'0fx=，解得2x=，列表：x(),2−2()2,+()'fx+0-()fx极大值∴当2x=时，函数()fx取得极大值()22fe=，无极小值（2）由()()()()3xyfxgxxxae=

=−+，得()()2'3323xyexaxaxa=−+−+−+−()2123xexaxa=−+−++∵0xe，令()()2123mxxaxa=−+−++，∴函数()()yfxgx=在区间1,

2上单调递增等价于对任意的1,2x，函数()0mx恒成立∴()()1020mm，解得3a−．（3）()()()()3xfxgxxexahxxx+−++==，()()2233'xexxa

hxx−+−−=令()()233xrxexxa=−+−−，∵()hx在()0,+上既存在极大值又存在极小值，∴()'0hx=在()0,+上有两个不等实根，即()()2330xrxexxa=−+−−=在()0,+上有两个不等实根1

212,()xxxx．∵()()()()22'33231xxxrxexxxexxxxe=−+−−+=−+=−∴当()0,1x时，()'0rx，()rx单调递增，当()1,x+时，()'0rx，()

rx单调递减则101x，∴()()0010rr，解得3ae−−，∴332233330244reae=−−−+∵()rx在()0,+上连续且()()010rr，(

)3102rr∴()0rx=在()0,1和31,2上各有一个实根∴函数()hx在()0,+上既存在极大值又存在极小值时，有3ae−−，并且在区间()0,1上存在极小值()1hx，在区间31,2上存在极大值()2hx

．∴()()222223xxexahxx−++=，且()()222222233'0xexxahxx−+−−==()222233xaexx=−+−，()()()222222222333xxxexexxhxx−++

−+−=()2221xex=−+令()()2xHxex=−，()()'1xHxex=−，当()1,x+时，()'0Hx，()Hx单调递减∵231,2x，∴()()2312hhxh，即()32211,12hxee++

，则32131142ee++∵()hx的极大值小于整数b，∴满足题意的整数b的最小值为4．【点睛】本题考查函数的极值，考查实数的取值范围的求法，考查函数的单调性，考查导数性质、构造法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，

属于难题．20.已知数列{}na的前n项和为nS，且21nnSa=−．（1）求数列{}na的通项公式；（2）记集合{|(1)nMnnna=+，*}nN，若M中有3个元素，求的取值范围；（3）是否存在等差数列{}nb，使得112132122nn

nnnababababn+−−++++=−−对一切*nN都成立？若存在，求出nb；若不存在，说明理由．【答案】（1）111?22nnna−−==，*nN；（2）(2，5]2；（3）存在等差数列{}nb且nbn=满足题意．【解析】

【分析】（1）运用数列的递推式，结合等比数列的通项公式，即可得到所求通项；（2）由题意可得1(1)22nnn+，设(1)()2nnnfn+=，求得f（1），f（2），f（3），f（4），结合图象，即可得到所求范

围；（3）先假设存在等差数列{}nð，然后令1n=，2n=探求等差数列{}nð的通项，最后代入验证即可．【详解】解：（1）21nnSa=−，可得1n=时，11121aSa==−，解得11a=；2n时，可得1121nnSa−−=−，相减可得1

122nnnnnaSSaa−−=−=−，即为12nnaa−=，可得111?22nnna−−==，*nN；（2）集合{|(1)nMnnna=+，*}nN，若M中有3个元素，可得1(1)22nnn+，设(1)()2nnnfn+=，f（1）1=，f（2）

32=，f（3）32=，f（4）54=，f（5）1516=，则当5n时,012212nnnnnnnnnnCCCCCC−−=+++++2(1)(1)1122nnnnnnnn−−=+++++++(1)12nnn+，又集合M中有且仅有3个元素，则15124，故实数的取值范

围是(2，5]2；（3）设存在等差数列{}nb使得112132122nnnnnababababn+−−++++=−−对一切*nN都成立，则1n=时有2112121ab=−−=，11b=；则2n=时有312212224abab+=−−=，22b=，等差数列{}nb

的公差1d=，nbn=，设121321nnnnSabababab−−=++++，由2211?2(1)2(2)2?22?1nnSnnn−−=+−+−+++，23122?2(1)2(2)2?22?1nnSnnn−=+−+−+++，2112(12)222222212nnnnSSSnnn−+−

−==−+++++=−+=−−−，存在等差数列{}nb且nbn=满足题意．【点睛】本题考查由数列递推式求数列通项、数列求和，累加法是求数列通项的常用方法，要熟练掌握，错位相减法对数列求和是高考考查的重点内容，要掌握．数学Ⅱ（附加题）【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做

两题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21.已知矩阵122Ma=的一个特征值为3，求另一个特征值及其对应的一个特征向量.【答案】另一个特征值为1，对应的一个特征向量11=

−【解析】【分析】根据特征多项式的一个零点为3，可得1a=，再回代到方程()0fλ=即可解出另一个特征值为21=−，最后利用求特征向量的一般步骤，可求出其对应的一个特征向量.【详解】矩阵M的特征多项式为：()()()12142faa−−==−−−−−，13

=是方程()0fλ=的一个根，()()31340a−−−=，解得1a=，即1221M=方程()0fλ=即()()1140−−−=，2230−−=，可得另一个特征值为：21=−，设21=−对应的一个特

征向量为：xy=则由2M=，得220220xyxy−−=−−=得xy=−，令1x=，则1y=−，所以矩阵M另一个特征值为1−，对应的一个特征向量11=−【点睛】本题考查了矩阵的特征值以及特

征向量，需掌握特征多项式的计算形式，属于基础题.22.在极坐标系中，A为曲线22cos30+−=上的动点，B为直线cossin70+−=上的动点，求AB的最小值．【答案】422−【解析】【分

析】将圆和直线的极坐标方程化为标准方程,求得圆心到直线的距离d,减去半径即为圆上的点到直线距离的最小值.【详解】曲线的普通方程为圆方程为22(1)4xy++=，圆心(-1,0)直线的普通方程为x+y-7=0圆心到直线的距离|17|422d−−==所以mi

n422AB=−【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系,圆上的点到直线距离最小值的求法,属于基础题.23.如图，在三棱柱111ABCABC−中，1CC⊥平面ABC，D，E，F分别为1AA，11AC，1BB的中点，5A

BBC==，12ACAA==．（1）求证：ACEF⊥；（2）求二面角1BCDC--的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）2121−．【解析】【分析】（1）取AC中点O，连结OB，OE，推导出四边形11AACC为矩形，ACOE⊥

，ACOB⊥，1CCOB⊥，OEOB⊥，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明ACEF⊥．（2）求出平面BCD的法向量和平面1CDC的法向量，利用向量法能求出二面角1BCDC--的余弦值．

【详解】解：（1）证明：取AC中点O，连结OB，OE，在三棱柱111ABCABC−中，1CC⊥平面ABC，四边形11AACC为矩形，O，E分别为AC，11AC的中点，ACOE⊥∴，ABBC=，ACOB⊥，1CC⊥平面ABC，1CCOB⊥，1//OECC，OEOB⊥，以O为原点，O

A为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，由题意得()()1,0,0,(0,2,0),1,0,0,(1,0,1),(0,0,2),(0,2,1)ABCDEF−，()2,0,0AC=−uuur，()0,2,1EF=

−uuur，·0ACEF=，ACEF⊥，ACEF⊥．（2）解：由（1）得(2,0,1)CD=(1,2,0)CB=设平面BCD的法向量为(,,)nabc=则·20·20nCDacnCBab=+==+=，取2a=，得(2,1,4)n=−−，平面1CDC

的法向量(0,2,0)OB=221cos,21212nOB−==−，由图得二面角1BCDC--的平面角为钝角，二面角1BCDC--的余弦值为2121−．【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦

值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．24.（1）证明：11mmmnnnCCC−+=+（,mnN且mn）；（2）证明：对一切正整数n和一切实数(0xx，1−，，)n−，有0!(1)(1)(2)()n

mmnmxnCxmxxxn=−=++++．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）利用组合数公式!!()!mnnCmnm=−，表示右边化简即可证明等式．（2）利用数学归纳法，①当1n=时，通过分析得左边=右边．②假设nk=时

，对一切实数(0xx，1−，，)k−，都有0!(1)(1)(2)()kmmkmxkCxmxxxk=−=++++成立，证明当1(*)nkkN=+时，对一切实数(0xx，1−，(1))k−+，等式也成立，即可得证．【详

解】证明：（1）右边1!!!(1)(1)!!()!(1)!(1)!!(1)!!(1)!mnnnnnmmnCmnmmnmmnmmnm+−+++=+====−−−+−+−+左边，()11,,mmmnnnCCCmnNmn−+=+且„．（2）①当1n=时，左边1111xxx=−==+

+右边．②假设nk=时，对一切实数(0xx，1−，，)k−，都有0!(1)(1)(2)()kmmkmxkCxmxxxk=−=++++成立，那么，当1(*)nkkN=+时，对一切实数(0xx，1−，(1))k−+，有11

1101(1)1(1)[](1)1kkmmmmmkkkkmmxxxCCCxmxmxk+−++==−=+−++−++++，001111(1)(1)(1)(1)01kkmmmmkkkkmmxxxxCCCxxmxmxk−+===−+−+−+−+++++1101(1)(1)kkm

mmmkkmmxxCCxmxm+−===−+−++001(1)((1))11kkmmiikkmixxxCCxmxtx==+=−−−++++!!·(1)(2)()(2)(3)(1)1kkxxxxkxxxkx=−++++++++![(1)

](1)!(1)(2)(1)(1)(2)(1)kxkxkxxxkxxxk++−+==++++++++，所以当1nk=+时，等式成立，故对一切正整数n和一切实数(0xx，1−，，)n−，有0!(1)(1)(2)()nmmnmxnCxmx

xxn=−=++++．【点睛】本题考查组合数公式的证明，选择合适的证明方法，需要有运算化简能力，属于中档题目．