【文档说明】河北省邯郸市六校2020-2021学年高二上学期12月阶段检测数学试题 【精准解析】.doc，共(21)页，2.197 MB，由小赞的店铺上传

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-1-2020-2021学年第一学期阶段测试高二数学试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.抛物线24xy=的准线方程是（）A.116y=−B.116y=C.1y=D.1y=−【答案】

D【解析】【分析】利用公式直接计算即可.【详解】∵抛物线的方程为24xy=∴抛物线的准线方程是1y=−故选：D.2.总体由编号为01、02、…、19、20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取7个个体，选取方法从

随机数表第1行的第1列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第7个个体的编号为（）7816657208026314070243699728019832049234493582003623486969387481A.08B.04C.02D.01【答案

】B【解析】【分析】本题可根据题意结合随机数表依次找出每一个个体的编号，即可得出结果.【详解】因为总体由编号为01、02、…、19、20的20个个体组成，从随机数表第1行的第1列数字开始由左到右依次选取两个数字，所以第一个个体的编号为16，之后的编号依次为08、02、14、07、01、04，故选

出来的第7个个体的编号为04，故选：B.3.设函数()fx的导数为()fx，且()()221fxxxf=+，则()1f=（）-2-A.0B.4−C.2−D.2【答案】C【解析】【分析】可先求函数的导数，令1x

=求出()1f即可.【详解】由()()()()221221fxxxffxxf=+=+，令1x=得(1)212(1)ff=+，解得()12f=−.故选：C4.“()2,0a−”是“直线0xya+−=与圆C

：()()22122xy−+=+相交”的（）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求出直线与圆相交时a的范围，然后根据充分必要条件的定义判断．【详解】直线0xya+−=与圆C：()()22122xy−+=+相交，则122

2a−−，解得31a−，所以()2,0a−是直线与圆相交的充分不必要条件．故选：A．5.曲线()sin2fxx=在原点处的切线方程是（）A.yx=B.2yx=C.yx=−D.2yx=−【答案】B【解析】【分析】求出

()0f的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.-3-【详解】()sin2fxx=，则()2cos2fxx=，()02f=，因此，曲线()sin2fxx=在原点处的切线方程是2yx=.故选：B.6.五行系指古人把宇宙万物划分为五种性质的事物，也即分

成木、火、土、金、水五大类，并叫它们为“五行”.早见《尚书·洪范》记载的箕子与周武王的对话：“五行：一曰水，二曰火，三日木，四日金，五曰土.水日润下（滋润），火曰炎上（燃烧），木日曲直（弯曲，舒张），金曰从革

（成分致密，善分割），土爰稼穑（意指播种收获）.润下作威，炎上作苦，曲直作酸，从革作辛，稼穑作甘”.后人根据对五行的认识，又创造了五行相生相克理论，这个理论主要在“五行生克”定律上面.相生，是指两类属性不同的事物之间存在相互帮助，相互促进的关系；具体是：木生火，火

生土，土生金，金生水，水生木.相克，则与相生相反，是指两类不同五行属性事物之间关系是相互克制的；具体是：木克土，土克水，水克火、火克金、金克木.其相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为（）

A.15B.23C.25D.12【答案】D【解析】【分析】列举出所有的基本事件，并确定事件“从五种不同属性的物质中任取两种，取出的两种物质恰好是相克关系”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的-4-概率.【详解】从五种不同属性的物质中任取两种，

所有的基本事件有：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共10种，其中，事件“从五种不同属性的物质中任取两种，取出的两种物质恰好是相克关系”所包含的基本事件有：木土、土水、水火、火金、金木，共5

种，因此，所求概率为51102P==.故选：D.7.如图，正方体1111ABCDABCD−中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上（包括边界）移动，且满足11BPDE⊥，则点P在底面ABCD上运动形成的轨迹为（）A.抛物线一部分B.

线段C.一段圆弧D.椭圆一部分【答案】B【解析】【分析】以D为坐标原点，以1,,DADCDD为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，设(),,0Pxy，利用110BPDE=即可求解.【详解】设正方体的边长为1以D为坐标原点，以1,,DADCDD为,,xyz轴，-5-建

立空间直角坐标系，如图：设(),,0Pxy，且01,01xy，()10,0,1D=，1,1,02E，()11,1,1B，所以()11,1,1BPxy=−−−，11,1,12DE=−,由11BPDE⊥，可得110BPDE=，所以()1111

02xy−+−+=，即1122yx=−+，()01x，所以点P在底面ABCD上运动形成的轨迹为线段.故选：B8.如图，设1F、2F分别是椭圆的左、右焦点，点P是以12FF为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长2PF与椭圆交于点Q，若222PFQF=，则椭圆的离心率为

（）-6-A.56B.49C.53D.22【答案】C【解析】【分析】设2||QFx=，由已知条件及椭圆、圆的性质得2||2PFx=，1||2QFax=−，1||22PFax=−且1PFPQ⊥，根据勾股定理列方程求x，进而求椭圆离心率.【详解】连11,PFQF，若2||QFx=，则

2||2PFx=，1||2QFax=−，1||22PFax=−，又1PFPQ⊥，则22211||||||PFPQQF+=，即2224()9(2)axxax−+=−，得3ax=，又2221212||||||PFPFFF+=，即2224()44axxc−+=，3ax=代

入得53e=.故选：C.【点睛】关键点点睛：根据椭圆的定义、圆的性质，由垂直关系，利用勾股定理列齐次方程求离心率.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的

得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9.2020年初以来，5G技术在我国已经进入高速发展的阶段；5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了近5个月来5G手机的实际销量，如下表所示：月份2020年2月2020年3月2020年4月2020年5

月2020年6月月份编号x12345销量y/千部37104a196216-7-若y与x线性相关，且求得线性回归方程为ˆ455yx=+，则下列说法正确的是（）A.146a=B.y与x正相关C.y与x的相关系数为负数D.7月份该手机商城的5G手机销

量约为27.5万部【答案】BD【解析】【分析】根据回归方程，将3x=、6x=代入求值可判断A、D的正误，由回归方程的单调性可判断B、D的正误.【详解】A：将3x=代入回归方程，得4535140a=+=，错误；B：由ˆ455yx=+

中k=45>0，单调增函数，即y与x正相关，正确；C：由B中结论，y与x正相关，则相关系数为正数，错误；D：6x=代入方程得4565275y=+=，即7月份该手机商城的5G手机销量约为27.5万部，正

确.故选：BD.10.如图，已知在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，点E，F，H分别是AB，1DD，1BC的中点，下列结论正确的是（）A.11//CD平面ABH-8-B.1AC⊥平面1BDAC.三棱锥1FDBC−的体积为112D.直线EF与1BC所成的角为60【答案】B

C【解析】【分析】A中，利用线面平行的判定定理，得出11//CD平面ABH；B中，建立空间直角坐标系，利用向量的数量积判断垂直，得出1AC⊥平面1BDA；C中，利用等体积法11FDBCBFDCVV−−=可计算三棱锥1FDB

C−的体积；D中，利用向量的数量积求夹角即可．【详解】如图1所示，由题意，11//CDAB，11CD平面ABH，所以11//DC平面ABH不成立，所以A错；建立空间直角坐标系，如图2所示；由1AB=，则()()()()()111,0,0,1,1,0,0,0,0,1,0,1,0,1,

1ABDAC，则1(1AC=−，1，1)，(1BD=−，1−，0)，1(1DA=，0，1)；所以11100ACBD=−+=，111010ACDA=−++=，所以1ACBD⊥，11ACDA⊥，又1BDDA

D=，所以1AC⊥平面1BDA，所以B正确；-9-三棱锥1FDBC−的体积为1111111132212FDBCBFDCVV−−===，所以C正确；又(1E，12，0)，(0F，0，1)2，所以

(1EF=−，12−，1)2，1(1BC=−，0，1)所以cosEF，111110322||||322EFBCBCEFBC++===，所以EF与1BC所成的角是30°，所以直线EF与1BC所成的角为30°，

所以D不正确．故选：BC．11.已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的离心率2e=，C上的点到其焦点的最短距离为1，则（）A.C的焦点坐标为()2,0B.C的渐近线方程为3yx=C.若点P为双曲线C上的动点，则点P到两条渐近线的

距离之积为定值D.直线()0mxymmR−−=与C恒有两个交点【答案】ABC【解析】【分析】根据已知条件求出a、b、c的值，可判断AB选项的正误；利用点到直线的距离公式可判断C选项的正误；取3m=可判断D选项的正误.【详解】双曲线C上的点到其焦

点的最短距离为1ca−=，该双曲线的离心率为2cea==，所以，2c=，1a=，223bca=−=，双曲线C的标准方程为2213yx−=.-10-对于A选项，双曲线C的焦点坐标为()2,0，A选项正确；对于B选项，双曲线C的渐近线方程为3byxxa==，B选项正确；对

于C选项，设点()00,Pxy，则220013yx−=，双曲线C的两条渐近线方程分别为03yx−=、03yx+=，则双曲线C上的点P到两条渐近线的距离之积为22000000123333441111333y

yyxxxdd−−+===++，C选项正确；对于D选项，当3m=时，直线方程为()31yx=−，联立()223133yxxy=−−=，整理可得211x−=，解得1x=，所以，直线()31y

x=−与双曲线C只有一个交点，D选项错误.故选：ABC.【点睛】方法点睛：直线与双曲线位置关系的判断方法：（1）方程思想的应用：把直线方程与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为20axbxc++=的形式，在0a的情况下考察方程20axbxc++=的判别式.①0时，直线与双曲线有两个

不同的公共点；②0=时，直线与双曲线只有一个公共点；③时，直线与双曲线没有公共点当0a=时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点.（2）数形结合思想的应用①直线过定点时，根据定点的位置和双曲

线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系可确定其位置关系；②直线斜率一定时，通过平移直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系.12.曲线C：221axby+=（0ab）与直线1yx=−交于A，B两

点，过原点与线段AB中-11-点的直线的斜率为k，以下结论正确的是（）A.若3k=，则3ab=B.若3k=−，则3ab=−或33−C.若0k，则C为椭圆D.若C为双曲线，则0k【答案】AD【解析】【分析】设()()1122,,,AxyBxy，利用点差法

可得akb=，再依次判断每个选项即可.【详解】设()()1122,,,AxyBxy，则12121yyxx−=−−，线段AB的中点为1212,22xxyy++，又2211222211axbyaxby

+=+=，两式相减得()()()()121212120axxxxbyyyy+−++−=，则12121212yyxxaxxbyy−+=−−+，由题意可知121222yykxx+=+，即1212yykxx+=+，则有11abk−=

−，即akb=，对A，若3k=，则3ab=，故A正确；对B，若3k=−，则3ab=−，故B错误；对C，若0k，则0akb=，当1k时，且0,0ab时，曲线是椭圆，否则曲线是圆或不存在，故C错误；对D，若C为双曲线，则0ab，此时0akb=，故D正确.故选：AD.

【点睛】关键点睛：本题考查圆锥曲线的综合运用，解题的关键是利用点差法得出akb=.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）-12-13.命题“)00,+x，3000xx+”的否定是______.【答案】)0,x+，30xx

+【解析】【分析】由特称命题的否定为全称命题可得答案.【详解】由特称命题的否定为全称命题，可得命题“)00,+x，3000xx+”的否定为“)30,,0xxx++”故答案为：)0,x+，30xx+.1

4.从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图频率分布直方图：则这500件产品质量指标值的中位数为______.（精确到0.1）【答案】200.2【解析】【分析】根据中位数左边的矩形面积之和为0.5列等式可

求得中位数的值.【详解】设这500件产品质量指标值的中位数为x，前三个矩形的面积之和为()0.0020.0090.022100.33++=，前四个矩形的面积之和为0.330.033100.66+=，()195,205x.-13-所以，()0.331950.0330.5x

+−=，解得200.2x.故答案为：200.2.15.已知点P在曲线41xye=+上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是____【答案】3,4【解析】【分析】利用导数在

切点处的值是曲线的切线斜率，再根据斜率等于倾斜角的正切值求出角的范围．【详解】由已知函数41xye=+的导数为'2441(1)2xxxxeyeee=−=−+++1122xxxxeeee+=，124xxee++，[1,0)y−即tan[1,0)−，0，3

4，即答案为：3,4．【点睛】本题主要考查直线的斜率、导数的几何意义．属于基础题16.已知抛物线C：24yx=的焦点为F，过点F的直线与抛物线C的两个交点分别为A，B，且满足3AFFB=uuuruur，E为AB的中点，则点E到抛物线

准线的距离为______.【答案】83【解析】【分析】求出焦点坐标和准线方程，设直线AB的方程为：1xty=+，代入24yx=，利用韦达定理结合向量知识求出213t=，再根据中点公式，利用抛物线的定义可求得结果.【详解】依题意可得(1,0)F，准线为1x=−设直

线AB的方程为：1xty=+，代入24yx=，得2440yty−−=，设11(,)Axy，22(,)Bxy，所以1212(,)22xxyyE++，-14-则124yyt+=，124yy=−，因为3AFFB=uuuruur，所以1122(1,)3(1,)

xyxy−−=−，所以123yy−=，即123yy=−，所以2234yyt−+=，所以22yt=−，16yt=，所以(2)64tt−=−，所以213t=，所以1212()2xxtyy+=++=242t+410233=+=，所以点E到抛物线准

线的距离为1258(1)1233xx+−−=+=.故答案为：83.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知命题p:0xR，使得200210axx−−成立；命题q:2240xaxa++对一切实数x恒成立.（1）若命题p

为假命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p和命题q只有一个正确，求实数a的取值范围.【答案】（1）1a−；（2）10a−或4a.【解析】【分析】（1）根据命题p为假命题，可得p为真命题，再根据00a即可求解.（2）分两种情况：①当p真q假；②当p假q真，求出结果再取

并集即可.【详解】（1）由题意可知p：xR，使得200210axx−−恒成立为真命题，即00a，求解不等式有：1a−（2）2240xaxa++对一切实数x恒成立，所以2Δ4160aa=−，得04a，分下

列情况：①当p真q假时，当p为真时，1a−，q为假时，0a或4a，所以p真q假时，可得10a−或4a.-15-②当p假q真时，则104aa−无解；∴实数a的取值范围是10a−或4a.18.已知曲线3yaxb

=+（a，b为常数）在2x=处的切线方程为440xy−−=.（1）求a，b的值；（2）求曲线过点()2,4P的切线方程.【答案】（1）13a=，43b=；（2）44yx=−或2yx=+.【解析】【分析】（1）求出导函数，由22324xya===，解出a，再由()2,4在切

线上可求b.（2）设切点()00,xy，求出在切点处的导数值，根据切点()00,xy既在切线上，也在曲线上，代入曲线方程与切线方程，联立求切点，代入切线方程即可求解.【详解】（1）23yax=，依题意可得22324xya===，∴13a=，当2x

=，代入直线方程得4y=，将点()2,4代入曲线方程，求得43b=；（2）设切点()00,xy，则020xxkyx===，切线方程为()2042yxx−=−，切点()00,xy既在切线上，也在曲线上，从而有()200042yxx−=−，①3001433yx=+，②联立①②消去

0y，整理可得3200340xx−+=，()()()()()23222000000000240222210xxxxxxxxx−−+=−−+−=−+=，解得0024xy==或0011xy=−=，切点为()2,4或()1,1−，从而切

线方程为44yx=−或2yx=+.19.如图，四棱锥EABCD−的侧棱DE与四棱锥FABCD−的侧棱BF都与底面ABCD垂直，ADCD⊥,//ABCD，4AB=，8ADCD==，10AE=，213AF=.-16-（1）证明：

//DF平面BCE；（2）设平面BCF与平面ADF所成的二面角为，求cos.【答案】（1）证明见解析；（2）66565.【解析】【分析】（1）证明DE与BF平行且相等，得平行四边形，得//DFBE后可证得线面平行；（2）以,

,DADCDE为,,xyz轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角的余弦值．【详解】（1）因为DE⊥平面ABCD，AD平面ABCD，所以DEAD⊥，因为8AD=，10AE=所以221086DE=−=，同理6BF=，又DE⊥平面ABCD，BF⊥

平面ABCD，所以//DEBF，又BFDE=，所以平行四边形BEDF，故//DFBE，因为BE平面BCE，DF平面BCE，所以//DF平面BCE；（2）建立如图空间直角坐标系，-17-则()0,0,0D，()8,0,0A，()8,4,0B，()0,8,0C，()8,4,6F−，()8,0,0D

A=，()8,4,6DF=−()0,0,6BF=−，()8,4,0BC=−设平面ADF的法向量()111,,mxyz=，由1111808460mDCxmDFxyz===+−=，令13y=，得()0,3,2m=，设平面BCF的一个

法向量为()222,,nxyz=，由22280840nBFznBCxy=−==−+=，令22y=，得()1,2,0n=，所以6665cos,65135mnmnmn===，由题意可知665cos65θ=.【点睛】方法点睛：本题考查证明线

面平行，求二面角．求二面角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．20.已知椭圆C：22221xy

ab+=（0ab）的焦距是2，长轴长为4.（1）求椭圆C的方程；（2）A，B是椭圆C的左右顶点，过点()1,0F−作直线l交椭圆C于M，N两点，若MAB△-18-的面积是NAB△面积的2倍，求直线l的方程.【答案】（1）22143xy+=；（2）25105xy++=或

25105xy−+=.【解析】【分析】（1）由题意求得a与c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）设1(Mx，1)y，2(Nx，2)y，由已知可得，直线MN与x轴不重合，设直线:1MNxmy=−，联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程

，由面积关系可得M，N的纵坐标的关系，结合根与系数的关系求解m，则直线方程可求．【详解】解：（1）由题意，22c=，24a=，则2a=，1c=.∴2223bac=−=.∴椭圆C的方程22143xy+=

；（2）设()11,Mxy，()22,Nxy，由已知可得，直线MN与x轴不重合，设直线MN：1xmy=−.联立221143xmyxy=−+=，整理得()2234690mymy+−−=.()223636340mm=++恒成立

.122634myym+=+，1229034yym−=+.由2MABNABSS=△△，得122yy=，即122yy=−，从而()22121221221412342yyyymyymyy+−==++=−+.解得245m=，即255m=

.∴直线MN的方程为：25105xy++=或25105xy−+=.【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建

立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．-19-21.下图是某校某班44名同学的某次考试的物理成绩y和数学成绩x的散点图：根据散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A，B．经调查得知，A考

生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计量的值：4214641iix==，4213108iiy==，42

1350350iiixy==，()422113814.5iixx=−=，()42215250iiyy=−=，其中ix，iy分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，1,2,,42i=．y与x的相关系数0.82r=．（1）若不剔除A、B两名考生的数据，

用44数据作回归分析，设此时y与x的相关系数为0r，试判断0r与r的大小关系，并说明理由；（2）求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01），并估计如果B考生参加了这次物理考试（已知B考生的数学成绩为125分），物理成绩是多少？（精确到个位）．附：回归方程ˆˆˆyabx=+中

，121()()()niiiniixxyyaybxbxx==−−==−−，．【答案】（1）0rr；理由见解析；（2）ˆ0.5018.64yx=+；81分【解析】【分析】（1）结合散点图，可得出结论；（

2）利用题中给的相关系数，最小二乘法写出回归直线方程，再令x＝125，即可算出答案；【详解】（1）0rr．理由如下：由图可知，y与x成正相关关系，-20-①异常点A，B会降低变量之间的线性相关程度．②44个数据点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差，所以相关系数更小．③

42个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大．④42个数据点更贴近其回归直线l．⑤44个数据点与其回归直线更离散．（以上理由写出任一个或其它言之有理均可得分）（2）由题中数据可得：4211110.542iixx===，42117

442iiyy===，()()42421142iiiiiixxyyxyxy==−−=−=35035042110.5746916−=所以()()()21424216916ˆ0.50113814.5iiiiixxyybxx==−−==−，

ˆˆ740.501110.518.64aybx=−=−，所以ˆ0.5018.64yx=+，将125x=代入，得ˆ0.5012518.6462.518.6481y=+=+，所以估计B同学的物理成绩约为81分．【点睛】本题主要

考查概率与统计等基础知识，意在考查数学建模、数据分析、数学运算等数学核心素养，是一道中档题.22.在平面直角坐标系xOy中，圆F：()2211xy+−=外的点Q在x轴的上半部分运动，且Q到圆F上的点的最小距离等于它到x轴的距离.（1）求动点Q的轨迹方程；（2

）若从点(),4Pm−作曲线的两条切线，切点分别为A，B，求证：直线AB恒过定点.【答案】（1）24xy=（0y）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设出Q点坐标，根据已知条件列等量关系式，化简后求得

Q点的轨迹方程.（2）设直线AB的方程为ykxb=+，联立直线AB的方程和抛物线的方程，写出根与系数关-21-系.结合过A（和B）的抛物线的切线方程求得另一个根与系数关系.结合两个根与系数关系求得,kb，由此判断出直线AB过定点()0,4.【详解】（1）设(),Qxy，依题意0y

，()0,1F.因为Q在圆F外，所以Q到F上点的最小距离为1QF−，依题意得1QFy−=，即()2211xyy+−−=，化简得Q点的轨迹方程为24xy=（0y）（2）已知直线AB的斜率一定存在.不妨设直线AB的方程为ykxb=+.

联立24xyykxb==+，整理得2440xkxb−−=，其中()2160kb=+，设()11,Axy，()22,Bxy，则124xxk+=，124xxb=−.①由抛物线的方程可得：214yx=，∴12yx=.∴过()11,Axy的抛物线的切线方程

为()11112yyxxx−=−，又21114yx=代入整理得：2111124yxxx=−.切线过(),4Pm−，代入整理得：2112160xmx−−=同理可得2222160xmx−−=.∴1x，2x为方程22160xmx−−=的两个根，∴122xxm+=，1216xx=−.②联立①②，

得4b=，2mk=.则直线AB的方程为42myx=+，直线AB恒过定点()0,4.【点睛】求过抛物线上一点的切线方程，可借助导数来求.求动点轨迹方程，最后要注意是否有特殊点要排除.