【文档说明】河北省邯郸市六校2020-2021学年高二上学期12月阶段检测数学试题 【精准解析】.doc，共(21)页，2.197 MB，由小赞的店铺上传

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-1-2020-2021学年第一学期阶段测试高二数学试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）1.抛物线24xy=的准线方程是（）A.116y=−B.116y=C.1y=D.1y=−【答案】D【解析】【分析】利用公式直接计算即可.【详解】∵抛物线的方程为24xy=∴抛物线

的准线方程是1y=−故选：D.2.总体由编号为01、02、…、19、20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取7个个体，选取方法从随机数表第1行的第1列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第7个个体的编号为（）781665720802631407024369972

8019832049234493582003623486969387481A.08B.04C.02D.01【答案】B【解析】【分析】本题可根据题意结合随机数表依次找出每一个个体的编号，即可得出结果.【详解】因为总体由

编号为01、02、…、19、20的20个个体组成，从随机数表第1行的第1列数字开始由左到右依次选取两个数字，所以第一个个体的编号为16，之后的编号依次为08、02、14、07、01、04，故选出来的第7个个体的编号为04，故选：

B.3.设函数()fx的导数为()fx，且()()221fxxxf=+，则()1f=（）-2-A.0B.4−C.2−D.2【答案】C【解析】【分析】可先求函数的导数，令1x=求出()1f即可.【详解】由()()()()221221fxxxffxxf=+=+，令1x=得

(1)212(1)ff=+，解得()12f=−.故选：C4.“()2,0a−”是“直线0xya+−=与圆C：()()22122xy−+=+相交”的（）A.充分不必要条件B.充要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】求出直线与圆相交时a的范围

，然后根据充分必要条件的定义判断．【详解】直线0xya+−=与圆C：()()22122xy−+=+相交，则1222a−−，解得31a−，所以()2,0a−是直线与圆相交的充分不必要条件．故选：A．5.曲线()sin2fxx=在原

点处的切线方程是（）A.yx=B.2yx=C.yx=−D.2yx=−【答案】B【解析】【分析】求出()0f的值，利用点斜式可得出所求切线的方程.-3-【详解】()sin2fxx=，则()2cos2fxx=，()02f=，因此

，曲线()sin2fxx=在原点处的切线方程是2yx=.故选：B.6.五行系指古人把宇宙万物划分为五种性质的事物，也即分成木、火、土、金、水五大类，并叫它们为“五行”.早见《尚书·洪范》记载的箕子与周武王的对话：“五行：一曰水，二曰火，三日木，四日金，五曰土.水日润

下（滋润），火曰炎上（燃烧），木日曲直（弯曲，舒张），金曰从革（成分致密，善分割），土爰稼穑（意指播种收获）.润下作威，炎上作苦，曲直作酸，从革作辛，稼穑作甘”.后人根据对五行的认识，又创造了五行相生相克理论，这个理论主

要在“五行生克”定律上面.相生，是指两类属性不同的事物之间存在相互帮助，相互促进的关系；具体是：木生火，火生土，土生金，金生水，水生木.相克，则与相生相反，是指两类不同五行属性事物之间关系是相互克制的；具体是：木克土，土克水，水克火、

火克金、金克木.其相生相克的关系，如图所示，现从五种不同属性的物质中任取两种，则取出的两种物质恰好是相克关系的概率为（）A.15B.23C.25D.12【答案】D【解析】【分析】列举出所有的基本事件，并

确定事件“从五种不同属性的物质中任取两种，取出的两种物质恰好是相克关系”所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的-4-概率.【详解】从五种不同属性的物质中任取两种，所有的基本事件有：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共10种

，其中，事件“从五种不同属性的物质中任取两种，取出的两种物质恰好是相克关系”所包含的基本事件有：木土、土水、水火、火金、金木，共5种，因此，所求概率为51102P==.故选：D.7.如图，正方体1111ABCDABCD−中，E为BC的中点，点P在底面ABCD上（包括边界）移动，且满足11BPDE

⊥，则点P在底面ABCD上运动形成的轨迹为（）A.抛物线一部分B.线段C.一段圆弧D.椭圆一部分【答案】B【解析】【分析】以D为坐标原点，以1,,DADCDD为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，设(),,0Pxy，利用110BPDE=即可求解.【详解】设正方体的边长为1以D为坐标原点，以1,,D

ADCDD为,,xyz轴，-5-建立空间直角坐标系，如图：设(),,0Pxy，且01,01xy，()10,0,1D=，1,1,02E，()11,1,1B，所以()11,1,1BPxy=−−−，11,1,12DE

=−,由11BPDE⊥，可得110BPDE=，所以()111102xy−+−+=，即1122yx=−+，()01x，所以点P在底面ABCD上运动形成的轨迹为线段.故选：B8.如图，设1F、2F分别是椭圆的左、右焦点，点P是以12FF为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长2PF

与椭圆交于点Q，若222PFQF=，则椭圆的离心率为（）-6-A.56B.49C.53D.22【答案】C【解析】【分析】设2||QFx=，由已知条件及椭圆、圆的性质得2||2PFx=，1||2QFax=−，1||22PFax=−且1PFPQ⊥，根据

勾股定理列方程求x，进而求椭圆离心率.【详解】连11,PFQF，若2||QFx=，则2||2PFx=，1||2QFax=−，1||22PFax=−，又1PFPQ⊥，则22211||||||PFPQQF+=，即2224()9(2)axxax−+=−，得3a

x=，又2221212||||||PFPFFF+=，即2224()44axxc−+=，3ax=代入得53e=.故选：C.【点睛】关键点点睛：根据椭圆的定义、圆的性质，由垂直关系，利用勾股定理列齐次方程求离心率.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9.2020年初以来，5G技术在我国已经进入高速发展的阶段；5G手机的销量也逐渐上升，某手机商城统计了近5个月来5G手机的实际销量，如下表所示：月份2020年2月202

0年3月2020年4月2020年5月2020年6月月份编号x12345销量y/千部37104a196216-7-若y与x线性相关，且求得线性回归方程为ˆ455yx=+，则下列说法正确的是（）A.146a=B.y与x正相关C.y与x的相关系数为负数D.7月份该手机商城的5G手机销量约为27

.5万部【答案】BD【解析】【分析】根据回归方程，将3x=、6x=代入求值可判断A、D的正误，由回归方程的单调性可判断B、D的正误.【详解】A：将3x=代入回归方程，得4535140a=+=，错误；B：由ˆ455yx=+中k=45>0，单调增函数，即y与x正相关，正确；C：由B中结论，y与x正相

关，则相关系数为正数，错误；D：6x=代入方程得4565275y=+=，即7月份该手机商城的5G手机销量约为27.5万部，正确.故选：BD.10.如图，已知在棱长为1的正方体1111ABCDABCD−中，点E，F，H分别是AB，1DD

，1BC的中点，下列结论正确的是（）A.11//CD平面ABH-8-B.1AC⊥平面1BDAC.三棱锥1FDBC−的体积为112D.直线EF与1BC所成的角为60【答案】BC【解析】【分析】A中，利用线面平行的判定定理，得出11//CD平面ABH；B中，建立空间直角坐标系，利用

向量的数量积判断垂直，得出1AC⊥平面1BDA；C中，利用等体积法11FDBCBFDCVV−−=可计算三棱锥1FDBC−的体积；D中，利用向量的数量积求夹角即可．【详解】如图1所示，由题意，11//CDAB，11CD平面ABH，所以11//DC平面AB

H不成立，所以A错；建立空间直角坐标系，如图2所示；由1AB=，则()()()()()111,0,0,1,1,0,0,0,0,1,0,1,0,1,1ABDAC，则1(1AC=−，1，1)，(1BD=−，1−，0)，1(1DA=，0，1)；所以1110

0ACBD=−+=，111010ACDA=−++=，所以1ACBD⊥，11ACDA⊥，又1BDDAD=，所以1AC⊥平面1BDA，所以B正确；-9-三棱锥1FDBC−的体积为1111111132212FDBCBFDCVV−−=

==，所以C正确；又(1E，12，0)，(0F，0，1)2，所以(1EF=−，12−，1)2，1(1BC=−，0，1)所以cosEF，111110322||||322EFBCBCEFBC++===，所以E

F与1BC所成的角是30°，所以直线EF与1BC所成的角为30°，所以D不正确．故选：BC．11.已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的离心率2e=，C上的点到其焦点的最短距离为1，则（）A.C的焦点坐标为()2,0B.C的渐

近线方程为3yx=C.若点P为双曲线C上的动点，则点P到两条渐近线的距离之积为定值D.直线()0mxymmR−−=与C恒有两个交点【答案】ABC【解析】【分析】根据已知条件求出a、b、c的值，可判断AB选项的正误；利用点到直线的距离公式可判断C选项的正误；取3m=可

判断D选项的正误.【详解】双曲线C上的点到其焦点的最短距离为1ca−=，该双曲线的离心率为2cea==，所以，2c=，1a=，223bca=−=，双曲线C的标准方程为2213yx−=.-10-对于A选项，双曲线C的焦点坐标为()2,0，A选项正确；对于B选项，

双曲线C的渐近线方程为3byxxa==，B选项正确；对于C选项，设点()00,Pxy，则220013yx−=，双曲线C的两条渐近线方程分别为03yx−=、03yx+=，则双曲线C上的点P到两条渐近

线的距离之积为22000000123333441111333yyyxxxdd−−+===++，C选项正确；对于D选项，当3m=时，直线方程为()31yx=−，联立()223133yxxy=−−=，整理可得211x−=，解得1x=，所以，直线()31yx=−与双曲线C只有一个交点，D

选项错误.故选：ABC.【点睛】方法点睛：直线与双曲线位置关系的判断方法：（1）方程思想的应用：把直线方程与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为20axbxc++=的形式，在0a的情况下考察方程20axbxc++=的判别式

.①0时，直线与双曲线有两个不同的公共点；②0=时，直线与双曲线只有一个公共点；③时，直线与双曲线没有公共点当0a=时，直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点.（2）数形结合思想的应用①直线过定点

时，根据定点的位置和双曲线的渐近线的斜率与直线的斜率的大小关系可确定其位置关系；②直线斜率一定时，通过平移直线，比较直线斜率与渐近线斜率的关系来确定其位置关系.12.曲线C：221axby+=（0ab）与直线1yx=−交于A，B两点，过原点与线段AB中-11-点的直线的斜

率为k，以下结论正确的是（）A.若3k=，则3ab=B.若3k=−，则3ab=−或33−C.若0k，则C为椭圆D.若C为双曲线，则0k【答案】AD【解析】【分析】设()()1122,,,AxyBxy

，利用点差法可得akb=，再依次判断每个选项即可.【详解】设()()1122,,,AxyBxy，则12121yyxx−=−−，线段AB的中点为1212,22xxyy++，又2211222211axbyaxby+=+=，两式相减得()()()()121212120axxxxby

yyy+−++−=，则12121212yyxxaxxbyy−+=−−+，由题意可知121222yykxx+=+，即1212yykxx+=+，则有11abk−=−，即akb=，对A，若3k=，则3ab=，故A正确；对B

，若3k=−，则3ab=−，故B错误；对C，若0k，则0akb=，当1k时，且0,0ab时，曲线是椭圆，否则曲线是圆或不存在，故C错误；对D，若C为双曲线，则0ab，此时0akb=，故D正确.故选：AD.【点睛】关键点睛：本题考查圆锥曲线的综合运用，解题的关键是利用点

差法得出akb=.三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）-12-13.命题“)00,+x，3000xx+”的否定是______.【答案】)0,x+，30xx+【解析】【

分析】由特称命题的否定为全称命题可得答案.【详解】由特称命题的否定为全称命题，可得命题“)00,+x，3000xx+”的否定为“)30,,0xxx++”故答案为：)0,x+，30xx+.14.从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些

产品的一项质量指标值，由测量结果得如图频率分布直方图：则这500件产品质量指标值的中位数为______.（精确到0.1）【答案】200.2【解析】【分析】根据中位数左边的矩形面积之和为0.5列等式可求得中位数的值.

【详解】设这500件产品质量指标值的中位数为x，前三个矩形的面积之和为()0.0020.0090.022100.33++=，前四个矩形的面积之和为0.330.033100.66+=，()195,205x.-13-所以，()0.331950.03

30.5x+−=，解得200.2x.故答案为：200.2.15.已知点P在曲线41xye=+上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是____【答案】3,4【解析】【分析】利用导数在切点处的值是曲线的切线斜率，再根据斜率等于倾斜

角的正切值求出角的范围．【详解】由已知函数41xye=+的导数为'2441(1)2xxxxeyeee=−=−+++1122xxxxeeee+=，124xxee++，[1,0)y−即tan[1,0)−，0，3

4，即答案为：3,4．【点睛】本题主要考查直线的斜率、导数的几何意义．属于基础题16.已知抛物线C：24yx=的焦点为F，过点F的直线与抛物线C的两个交点分别为A，B，且满足3AFFB=uuuruur，E为A

B的中点，则点E到抛物线准线的距离为______.【答案】83【解析】【分析】求出焦点坐标和准线方程，设直线AB的方程为：1xty=+，代入24yx=，利用韦达定理结合向量知识求出213t=，再根据中点公式，利用抛物线的定义可求得结果.【详解】依题意可得(1,0)F，准线为1

x=−设直线AB的方程为：1xty=+，代入24yx=，得2440yty−−=，设11(,)Axy，22(,)Bxy，所以1212(,)22xxyyE++，-14-则124yyt+=，124yy=−，

因为3AFFB=uuuruur，所以1122(1,)3(1,)xyxy−−=−，所以123yy−=，即123yy=−，所以2234yyt−+=，所以22yt=−，16yt=，所以(2)64tt−=−，所以213t=，所以1212()2xxtyy+=++=242t+4102

33=+=，所以点E到抛物线准线的距离为1258(1)1233xx+−−=+=.故答案为：83.四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知命题p:0xR，使得200210axx−−成立；命题q:2240xaxa++对一切实数x恒成立.（

1）若命题p为假命题，求实数a的取值范围；（2）若命题p和命题q只有一个正确，求实数a的取值范围.【答案】（1）1a−；（2）10a−或4a.【解析】【分析】（1）根据命题p为假命题，可得p为真命题，再根据00a即

可求解.（2）分两种情况：①当p真q假；②当p假q真，求出结果再取并集即可.【详解】（1）由题意可知p：xR，使得200210axx−−恒成立为真命题，即00a，求解不等式有：1a−（2）2240xaxa++对一切实数x恒成立，所以2Δ416

0aa=−，得04a，分下列情况：①当p真q假时，当p为真时，1a−，q为假时，0a或4a，所以p真q假时，可得10a−或4a.-15-②当p假q真时，则104aa−无解；∴实数a的取值范围是10a−或4a.18.

已知曲线3yaxb=+（a，b为常数）在2x=处的切线方程为440xy−−=.（1）求a，b的值；（2）求曲线过点()2,4P的切线方程.【答案】（1）13a=，43b=；（2）44yx=−或2yx=+.【解析】【分析】（1）求出导函数，由22324xya===，解出a，再

由()2,4在切线上可求b.（2）设切点()00,xy，求出在切点处的导数值，根据切点()00,xy既在切线上，也在曲线上，代入曲线方程与切线方程，联立求切点，代入切线方程即可求解.【详解】（1）23yax=，依题意可得22324x

ya===，∴13a=，当2x=，代入直线方程得4y=，将点()2,4代入曲线方程，求得43b=；（2）设切点()00,xy，则020xxkyx===，切线方程为()2042yxx−=−，切点()00,xy既在切线上，也在

曲线上，从而有()200042yxx−=−，①3001433yx=+，②联立①②消去0y，整理可得3200340xx−+=，()()()()()23222000000000240222210xxxxxxxxx−−+=−−+−=−+=

，解得0024xy==或0011xy=−=，切点为()2,4或()1,1−，从而切线方程为44yx=−或2yx=+.19.如图，四棱锥EABCD−的侧棱DE与四棱锥FABCD−的侧棱BF都与底面ABCD垂直，ADCD⊥,//ABCD，4AB=，8AD

CD==，10AE=，213AF=.-16-（1）证明：//DF平面BCE；（2）设平面BCF与平面ADF所成的二面角为，求cos.【答案】（1）证明见解析；（2）66565.【解析】【分析】（1）证明DE与BF平行且相等，得平行四边形

，得//DFBE后可证得线面平行；（2）以,,DADCDE为,,xyz轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求二面角的余弦值．【详解】（1）因为DE⊥平面ABCD，AD平面ABCD，所以DEAD⊥，因为8

AD=，10AE=所以221086DE=−=，同理6BF=，又DE⊥平面ABCD，BF⊥平面ABCD，所以//DEBF，又BFDE=，所以平行四边形BEDF，故//DFBE，因为BE平面BCE，DF平面BCE，所以//DF平面BCE；（2）建立如图空间直角坐标系，-17-则()0,0,0D，

()8,0,0A，()8,4,0B，()0,8,0C，()8,4,6F−，()8,0,0DA=，()8,4,6DF=−()0,0,6BF=−，()8,4,0BC=−设平面ADF的法向量()111,,mxyz=，由1111808460mD

CxmDFxyz===+−=，令13y=，得()0,3,2m=，设平面BCF的一个法向量为()222,,nxyz=，由22280840nBFznBCxy=−==−+=，令22y=，得()1,2,0n=，所以6665cos,65135m

nmnmn===，由题意可知665cos65θ=.【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，求二面角．求二面角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两

个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．20.已知椭圆C：22221xyab+=（0ab）的焦距是2，长轴长为4.（1）求椭圆C的方程；（2）A，B是椭圆C的左右顶点，过点()1,0F−作直线l交椭圆C于M，N两点，若MAB△-18-的面积是NAB△面积的2倍，求直

线l的方程.【答案】（1）22143xy+=；（2）25105xy++=或25105xy−+=.【解析】【分析】（1）由题意求得a与c的值，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）设1(Mx，1)y，2(Nx，2

)y，由已知可得，直线MN与x轴不重合，设直线:1MNxmy=−，联立直线方程与椭圆方程，化为关于y的一元二次方程，由面积关系可得M，N的纵坐标的关系，结合根与系数的关系求解m，则直线方程可求．【详解】解：（1）由题意，22c=，24a=，则2a=，1c=.∴2223bac=−=

.∴椭圆C的方程22143xy+=；（2）设()11,Mxy，()22,Nxy，由已知可得，直线MN与x轴不重合，设直线MN：1xmy=−.联立221143xmyxy=−+=，整理得()2234690mymy+−−

=.()223636340mm=++恒成立.122634myym+=+，1229034yym−=+.由2MABNABSS=△△，得122yy=，即122yy=−，从而()2212122122141

2342yyyymyymyy+−==++=−+.解得245m=，即255m=.∴直线MN的方程为：25105xy++=或25105xy−+=.【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(

或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．-19-21.下图是某校某班44名同学的某次考试的物理成绩y和数学成绩x的散点图：根据散点图可以看出y与

x之间有线性相关关系，但图中有两个异常点A，B．经调查得知，A考生由于重感冒导致物理考试发挥失常，B生因故未能参加物理考试．为了使分析结果更科学准确，剔除这两组数据后，对剩下的数据作处理，得到一些统计量的值：4214641iix==，4213108iiy=

=，421350350iiixy==，()422113814.5iixx=−=，()42215250iiyy=−=，其中ix，iy分别表示这42名同学的数学成绩、物理成绩，1,2,,42i=．y与x

的相关系数0.82r=．（1）若不剔除A、B两名考生的数据，用44数据作回归分析，设此时y与x的相关系数为0r，试判断0r与r的大小关系，并说明理由；（2）求y关于x的线性回归方程（系数精确到0.01），并估计如果B考生参加了这次物理考试（已知B考生的数学成绩

为125分），物理成绩是多少？（精确到个位）．附：回归方程ˆˆˆyabx=+中，121()()()niiiniixxyyaybxbxx==−−==−−，．【答案】（1）0rr；理由见解析；（2）ˆ0.5018.64yx=+；81分【解析】【分析】（1）结合散点图，可得

出结论；（2）利用题中给的相关系数，最小二乘法写出回归直线方程，再令x＝125，即可算出答案；【详解】（1）0rr．理由如下：由图可知，y与x成正相关关系，-20-①异常点A，B会降低变量之间的线性相关程度．②44个数据点与其回归直线的总偏差更大，回归效果更差

，所以相关系数更小．③42个数据点与其回归直线的总偏差更小，回归效果更好，所以相关系数更大．④42个数据点更贴近其回归直线l．⑤44个数据点与其回归直线更离散．（以上理由写出任一个或其它言之有理均可得分）（2）由题中数据可得：4211110.542iixx===，42117442ii

yy===，()()42421142iiiiiixxyyxyxy==−−=−=35035042110.5746916−=所以()()()21424216916ˆ0.50113814.5iiiiixxyybxx==−−==−，ˆˆ740.501110.5

18.64aybx=−=−，所以ˆ0.5018.64yx=+，将125x=代入，得ˆ0.5012518.6462.518.6481y=+=+，所以估计B同学的物理成绩约为81分．【点睛】本题主要考查概率与统计等基础知识，意在考查数学建模、数据分析、数学运算等数学核心素养，是

一道中档题.22.在平面直角坐标系xOy中，圆F：()2211xy+−=外的点Q在x轴的上半部分运动，且Q到圆F上的点的最小距离等于它到x轴的距离.（1）求动点Q的轨迹方程；（2）若从点(),4Pm−作曲线的两条切线

，切点分别为A，B，求证：直线AB恒过定点.【答案】（1）24xy=（0y）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设出Q点坐标，根据已知条件列等量关系式，化简后求得Q点的轨迹方程.（2）设直线AB的方程为ykxb=+，联立直线AB的方程和抛物线的方程，写出根与系

数关-21-系.结合过A（和B）的抛物线的切线方程求得另一个根与系数关系.结合两个根与系数关系求得,kb，由此判断出直线AB过定点()0,4.【详解】（1）设(),Qxy，依题意0y，()0,1F.因为Q在圆F外，所以Q到F上点的最小距离为1QF−，依题意得

1QFy−=，即()2211xyy+−−=，化简得Q点的轨迹方程为24xy=（0y）（2）已知直线AB的斜率一定存在.不妨设直线AB的方程为ykxb=+.联立24xyykxb==+，整理得2440xkxb−−=，其中()2160

kb=+，设()11,Axy，()22,Bxy，则124xxk+=，124xxb=−.①由抛物线的方程可得：214yx=，∴12yx=.∴过()11,Axy的抛物线的切线方程为()11112yyxxx−=−，又21114yx=代入整理得：2111124yxxx=−.切线过()

,4Pm−，代入整理得：2112160xmx−−=同理可得2222160xmx−−=.∴1x，2x为方程22160xmx−−=的两个根，∴122xxm+=，1216xx=−.②联立①②，得4b=，2mk=.则直线AB的方程为42myx=+

，直线AB恒过定点()0,4.【点睛】求过抛物线上一点的切线方程，可借助导数来求.求动点轨迹方程，最后要注意是否有特殊点要排除.