【文档说明】辽宁省辽东教学共同体2023-2024学年高二上学期10月月考试题+数学+含答案.docx，共(14)页，822.562 KB，由小赞的店铺上传

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辽东教学共同体高二月考数学试卷（考试时间:120分钟，满分：150分）第I卷（60分）一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意)1．已知空间点P(3,1,4)，则点P关于y轴对称的点的坐标为（）A．(3,1,4)−

B．(3,1,4)−−C．(3,1,4)−D．(3,1,4)−−2．已知向量()1,2,1a=，()1,1,bm=−，且2ab=−，则m=（）A．1−B．1C．2−D．23．已知直线经过()3,5A，()2,6B两点，则该直线的倾斜角为（）A．30°B．45

°C．135°D．150°4．已知直线l经过点()3,2，而且()3,4−是直线l的一个法向量，则直线l的方程为（）A．4360xy−−=B．43180xy+−=C．34170xy+−=D．3410xy−−=5．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且

一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥PABCD−为阳马，PA⊥平面ABCD，且2ECPE=，若DExAByAzAPC+=+，则xyz−+=（）A．3B．73C．53D．16．如图，二面角l−−等于120，AB、是棱l上两点，

BDAC、分别在半平面、内，ACl⊥，BDl⊥，且2ABACBD===，则CD的长等于（）A．23B．22C．4D．27．已知点P是棱长为4的正四面体SABC−表面上的动点，若MN是该四面体内切球的一条直径，则PMPN的最大值是（）A．163B．43C．43−D．163−

8.在四面体PABC−中，Q为△ABC的重心，分别为侧棱,,PAPBPC上的点，若13PEPA=，23PFPB=，12PGPC=，PQ与平面EFG交于点D，则PDQD=（）A．67B．56C．45D．34二、多项选择题(本题共4小题，每小题5

分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分)9．已知直线l的方程为310xy++=，则（）A．点()2,3−在l上B．l的倾斜角为5π6C．l的图象不过第一象限D．l的一个方向向量为()3,110．已知()1,0,1a=，()1,

2,3b=−−，()2,4,6c=−，则（）A．ac⊥B．bc∥C．,ab为钝角D．b在a方向上的投影向量为()2,0,2−−11．已知函数()1fxx=，设曲线()yfx=在第一象限内的图像为E，过O点作斜率为1的直线交E于1B，过1B点作斜率为1−的直线交x轴于

1A，再过1A点作斜率为1的直线交E于2B，过2B点作斜率为1−的直线交x轴于2,A，依这样的规律继续下去，得到一系列等腰直角三角形，如图所示．给出下列四个结论，其中正确的是（）A．12AB的长为22B．点3A的坐标为()23,0C．233ABA△与344ABA的周长之比是()

()32:23−−D．在直线90x=左侧有2023个三角形12.在棱长为1正方体1111ABCDABCD−中，点P为线段1CC上异于端点的动点，（）A．三角形1DBP面积的最小值为64B．直线1DB与DP所成角的余弦值的取值范围为30,3C．二面角1ABD

P−−的正弦值的取值范围为6,13D．过点P做平面，使得正方体的每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的的取值范围为30,2第II卷（非选择题）三、填空

题(本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13.在空间直角坐标系中，已知点()()()2,3,0,1,2,3,8,,ABCxy−，若,,ABC三点共线，则BC的长为_______．14．已知三棱锥−PABC的体积为43，2APPC==，22ACBC==，4AB=，

则二面角PACB−−的大小为_______．15.已知过点()0,1P−的直线l与连接()1,2A−、()2,1B两点的线段总有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围为_______．16.如图，C是以AB为直

径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，1PAPCAC===，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l，若直线l上存在点(1,2)iMi=，使直线iMP分别与平面AEF、直线EF所成的角

互余，则12MM的长为_______．四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本题满分10分)如图，在直棱柱111ABCABC-中，12AAABAC===，ABAC⊥，点D、E、F分别是11AB、1CC、BC的中点．(1)求直线AE与

直线DF所成角的大小；(2)求点A到平面DEF的距离．18．(本题满分12分)已知三角形ABC的顶点()4,6A、()1,1B−，()3,3C．(1)求BC边上中线的长；(2)求BC边上中线所在直线的

方程．(3)过A引直线l，若l被两坐标轴截得的线段中点为A，求直线l的方程．19．(本题满分12分)如图，在四面体ABCD中，AD⊥平面BCD，DA＝DB＝DC，∠BDC＝90°，M是AD的中点，P是BM

的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC．(1)求证：PQ∥平面BCD；(2)求PQ与平面BCM所成角的正弦值．20．(本题满分12分)设直线l的方程为(1)20(R)axyaa+++−=(1)求证：不论a为何值，直线必过定点M；(2)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.(3)若直线l

交x轴正半轴于点A，交y轴负半轴于点B，AOB的面积为S，求S的最小值.21．(本题满分12分)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，BC＝2AD＝2，AB＝3，E为CD的中点，PB⊥AE.(1)证明：平面PBD⊥平面ABCD；(2)若PB＝

PD，PC与平面ABCD所成的角为π4，试问在侧面PCD内是否存在一点N，使得BN⊥平面PCD？若存在，求出点N到直线PD的距离；若不存在，请说明理由．22．(本题满分12分)如图，多面体ABCEF中，2ABAC==，BFCE⊥，D为BC的中点，四边形ADEF为矩形.(1)证明：BECE

⊥；(2)若120BAC=，当三棱锥EBCF−的体积最大时，求二面角ABFE−−的余弦值.高二月考数学试卷参考答案一、单项选择题1-4BACD5-8BCAA二、多项选择题9．BC10．BCD11．BCD12．AB三、填空题13．31914．45°或135°15．π3π0,,π44

16．1四、解答题17．解：（1）以A为坐标原点、CA、AB、1AA的方向为x轴、y轴、z轴正方向建立如图的空间直角坐标系.由题意可知()0,0,0A,()0,1,2D,()2,0,1E−,()1,1,0F−.故()2,0,1AE=−,()1,0,2DF=

--………………………………………3分则2020AFDF=+−=，所以AE与DF所成角的大小为2.………………………………………5分(2)设(),,nxyz=r是平面DEF的一个法向量,由（1）知，()1,0,2DF=--,()1,1,1EF=−,故由00DFnEFn==，得2

00xzxyz−−=+−=令1z=，解得23xy=−=，故平面DEF的一个法向量为()2,3,1n=−，………………………………………8分又()2,0,1AE=−.设A到平面DEF的距离为d,故()2203115141414AEndn×-?+??===所以A到平面DEF的距离为5

1414.………………………………………10分18．解：（1）设边BC的中点为(,)Exy，由ABC的三个顶点()()()4,6,1,1,3,3ABC−，得13131,222xy−++====，所以BC边上中线的长为22(41)(62)5AE=−+−=；.……………………

…………………3分（2）由（1）知，BC边上的中线AE所在直线的斜率624413AEk−==−，所以直线AE的方程为：46(4)3yx−=−，即4320xy−+=；.………………………………………7分（3）设l与两坐

标轴交于(,0)(0,)MaNb、，则004,622ab++==，解得8,12ab==，所以直线l的方程为：1812xy+=，即32240xy+−=..………………………………………12分19．解：（1）过P作PS∥MD，交BD于S，过Q作QR∥MD，交CD于R，连接RS，∵PS∥

MD，P是BM的中点，∴S是BD的中点，且PS＝12MD，∵QR∥MD，AQ＝3QC，M是AD的中点，∴QR＝14AD＝12MD，∴QR∥PS，且QR＝PS，∴四边形PQRS为平行四边形，∴PQ∥SR，…

………………………4分∵PQ⊄平面BCD，SR⊂平面BCD，∴PQ∥平面BCD．..………………………………………6分（2）以D为坐标原点，,,DBDCDA的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系，设

DA＝DB＝DC＝4，则()()()()()()0,0,4,4,0,00,4,02,0,10,3,1,0,0,2ABCPQM,,,，则()2,3,0PQ=−，()44,BC=−,0，()0,4,2CM=-，..………………………………………8分设平面BCM的一个法向量为(),,

nxyz=，则440420nBCxynCMyz=−+==−+=，取y＝1，得()1,1,2n=，..………………………………………10分设PQ与平面BCM所成角为，则sin＝||17878||||136PQnPQn==．..………………

……………12分20．解：（1）证明：直线l的方程为(1)20(R)axyaa+++−=整理可得：()120xaxy−+++=．令1020xxy−=++=，可得13xy==−，故不论a为何值，直线必过定点()1,3M−.………………………………………3分（2）当直线过原点时满

足条件，此时20a−=，解得2a=，此时直线方程为30xy+=当直线不过原点时，l在两坐标轴上的截距相等，则直线斜率为1−，故11a+=，解得0a=，可得直线l的方程为:20xy++=综上所述，直线l的方程为30xy+=或20xy

++=...……………………………7分（3）由题意知10a+，令0x=，解得20ya−=，解得2a；令0y=，解得20+1axa−=，解得2a或1a−.综上有1a−.所以()121919=2=+1+6=3+1+2+12+121AOBaSaaaaa

a−−−−−−−()193+21621aa−−−−=，当且仅当911aa−−−−=，即4a=−时取等号故AOB面积的最小值是6.………………………………………12分21．解：(1)证明：∵四棱锥的底面ABCD是直角梯形

，AB＝3，BC＝2AD＝2，AB⊥BC，∴DC＝2，∠BCD＝π3，∴△BCD是等边三角形，∴BD＝2，DB平分∠ADC.∵E为CD的中点，∴DE＝AD＝1，∴BD⊥AE，又∵PB⊥AE，PB∩BD＝B，∴AE⊥平面PBD.∵AE⊂平面ABCD，∴平面PBD⊥平面ABC

D....……………………………4分(2)存在．在平面PBD内作PO⊥BD于O，连接OC.∵平面PBD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，∴PO⊥平面ABCD，...……………………………5分∴PO⊥OC

，∴∠PCO即为PC与平面ABCD所成的角，则∠PCO＝π4.∵PB＝PD，PO⊥BD，∴O为BD的中点，OC⊥BD.易得OP＝OC＝3，...……………………………6分以O为原点，,,OBOCOP的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(

1，0，0)，C(0，3，0)，D(－1，0，0)，P(0，0，3)，∴PC→＝(0，3，－3)，PD→＝(－1，0，－3)．假设在侧面PCD内存在点N，使得BN⊥平面PCD，设PN→＝λPD→＋μPC→(λ，μ≥0，λ＋μ≤1)，易得N(－λ，3μ，－3(λ＋

μ－1))，∴BN→＝(－λ－1，3μ，－3(λ＋μ－1))．由BN→·PC→＝0，BN→·PD→＝0，即3μ＋3（λ＋μ－1）＝0，λ＋1＋3（λ＋μ－1）＝0，解得λ＝15，μ＝25

，满足题意，所以存在点N，使得BN⊥平面PCD...……………………………10分且N(15−，235，235)，PN→＝123(,3,3555−−),所以点N到直线PD的距离为()2228215525PNPDPNPD−=−

=.………………………………12分22．解：（1）四边形ADEF为矩形，ADDE⊥，又ABAC=，D为BC中点，ADBC⊥；,BCDE平面BCE，BCDED=，AD⊥平面BCE，//ADEF，EF⊥平面BCE，又CE平面BCE，EFCE⊥，B

FCE⊥，=BFEFF，,BFEF平面BEF，CE⊥平面BEF，又BE平面BEF，BECE⊥..………………………………5分（2）由2ABAC==，120BAC=，112ADEFAB===，223BCBD==；由（1）知：EF⊥平面B

CE，()22111136612EBCFFBCEBCEVVSEFBECEEFBECEBECE−−====+21112BC==（当且仅当6BECE==时取等号），即BECE=时，三棱锥EBCF−的体积最大，.………………………………7分又D为BC中点，EDBC⊥；则以D为坐标原点，

,,DADBDE的方向为,,xyz轴正方向可建立如图所示空间直角坐标系，则()1,0,0A，()0,3,0B，()1,0,3F，()0,3,0C−，()0,0,3E，()0,0,3AF=，()1,3,0AB=−，()0,3,3CE=，由（1）知：CE⊥平面BEF，平面BEF

的一个法向量为()0,3,3CE=；设平面ABF的法向量(),,nxyz=，则3030AFnzABnxy===−+=，令1y=，解得：3x=，0z=，()3,1,0n=，32cos,462CEnCEnCEn===.…………………

……………10分由图形可知：二面角ABFE−−为钝二面角，二面角ABFE−−的余弦值为24−..………………………………12分获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com