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第七章复数7.2复数的四则运算7.2.2复数的乘、除运算课后篇巩固提升必备知识基础练1.(2019全国Ⅱ卷)设z=i(2+i),则𝑧=()A.1+2iB.-1+2iC.1-2iD.-1-2i答案D解析z=2i+i2=-1+2i,则𝑧=-1-2i.故选D.2.若z=1+2i,则

4i𝑧𝑧-1=()A.1B.-1C.iD.-i答案C解析4i𝑧𝑧-1=4i(1+2i)(1-2i)-1=i,故选C.3.(2019全国Ⅲ卷)若z(1+i)=2i,则z=()A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i答案D解析z=2i1+i=2i(1-i)(1+i)(1-i)

=2+2i2=1+i.故选D.4.已知复数z1=3+4i,z2=a+i,且z1𝑧2是实数,则实数a等于()A.34B.43C.-43D.-34答案A解析z1𝑧2=(3+4i)(a-i)=3a+4+(4a-3)i,因为z1𝑧2是实数,所以4a-3=0,即a=34

.5.设z=1-i1+i+2i,则|z|=()A.0B.12C.1D.√2答案C解析z=1-i1+i+2i=(1-i)(1-i)(1-i)(1+i)+2i=-i+2i=i,则|z|=1,故选C.6.已知复数z满足1-i𝑧-2=1

+i,则在复平面内,复数z对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案D解析∵1-i𝑧-2=1+i,∴z-2=1-i1+i=(1-i)2(1+i)(1-i)=-i,∴z=2-i,∴z的对应点为(2,-1).故选D.

7.(2021山东枣庄期末)方程x2+2x+2=0在复数范围内的解为x=.答案-1±i解析由求根公式可得,x=-2±√22-4×1×22=-2±2i2=-1±i.8.已知复数z=1-ii(i是虚数单位),则z2=;|z|=.答案2i√2解析z=1-ii=(1-i)(-i)-i2=-1-i

,∴z2=(-1-i)2=2i,|z|=√2.9.计算:(1)(-12+√32i)(2-i)(3+i);(2)(√2+√2i)2(4+5i)(5-4i)(1-i).解(1)(-12+√32i)(2-i)(3+i)

=(-12+√32i)(7-i)=√3-72+7√3+12i.(2)(√2+√2i)2(4+5i)(5-4i)(1-i)=4i(4+5i)5-4-9i=-20+16i1-9i=-4(5-4i)(1+9

i)82=-4(41+41i)82=-2-2i.10.已知x=1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b,c为实数).(1)求b,c的值;(2)试判断x=1-i是否为方程的根.解(1)因为1+i是方程x2+b

x+c=0的根,所以(1+i)2+b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+b)i=0,于是{𝑏+𝑐=0,2+𝑏=0,解得{𝑏=-2,𝑐=2,故b的值为-2,c的值为2.(2)由(1)方程可化为x2-2x+2=0,把x=1-i代入方程左边得x2-2x+2=(1-i)2-2(1

-i)+2=0,显然方程成立,所以x=1-i也是方程的根.关键能力提升练11.(多选题)设z1,z2是复数,则下列命题中是真命题的是()A.若|z1-z2|=0,则𝑧1=𝑧2B.若z1=𝑧2,则𝑧1=z2C.若|z1|=|z2

|,则z1𝑧1=z2𝑧2D.若|z1|=|z2|,则𝑧12=𝑧22答案ABC解析A,|z1-z2|=0⇒z1-z2=0⇒z1=z2⇒𝑧1=𝑧2,真命题;B,z1=𝑧2⇒𝑧1=z2,真命题;C,|z1|=|z2|⇒|z1

|2=|z2|2⇒z1𝑧1=z2𝑧2,真命题;D,当|z1|=|z2|时,可取z1=1,z2=i,显然𝑧12=1,𝑧22=-1,即𝑧12≠𝑧22,假命题.12.若复数z=21+i,其中i为虚数单位,则下列结论正确的是()A.z的虚部为-iB.|z|=2C.z的共轭复数

为-1-iD.z2为纯虚数答案D解析z=21+i=2(1-i)(1+i)(1-i)=1-i.z的虚部为-1,A错误;|z|=√1+1=√2,B错误;𝑧=1+i,C错误;z2=(1-i)2=-2i,为纯虚数,D正确.13.若复数z=𝑎+2i2-i为纯虚数(a∈R,i为虚数单位),则复数z+

1+i的虚部为()A.2iB.2C.3iD.3答案B解析∵𝑎+2i2-i=(𝑎+2i)(2+i)(2-i)(2+i)=2𝑎-25+(4+𝑎)i5为纯虚数,∴2𝑎-25=0且4+𝑎5≠0,解得a=1,∴z=i,∴z+1+i=1+2i

,其虚部为2.故选B.14.(多选题)(2021江苏邳州校级期中)已知z1与z2是共轭复数,以下说法一定正确的是()A.𝑧12>|z2|2B.z1z2=|z1z2|C.z1+z2∈RD.1𝑧2=z1答案BC解析设z1=a+bi(a,b∈R),则z2=a-

bi.𝑧12=a2-b2+2abi,当ab≠0时,𝑧12为虚数,由虚数与实数不能比较大小可知A错误;z1z2=(a+bi)(a-bi)=a2+b2,|z1z2|=|a2+b2|=a2+b2,故B正确;z1+z2=a+bi+a-bi=2a∈R,故C正确;1𝑧2=1𝑎-𝑏

i=𝑎+𝑏i(𝑎-𝑏i)(𝑎+𝑏i)=𝑎+𝑏i𝑎2+𝑏2,若a2+b2≠1,则𝑎+𝑏i𝑎2+𝑏2≠a+bi,故D错误.故选BC.15.(2021上海杨浦校级三模)若复数(1+ai)(2-i)在复平面

上对应的点在直线y=x上,则实数a=.答案3解析∵(1+ai)(2-i)=2-i+2ai+a=(a+2)+(2a-1)i,∴复数(1+ai)(2-i)在复平面上对应的点的坐标为(a+2,2a-1),则2a-1=a+2,即a=3.16.关于x的方程3x2-𝑎2x-1=(10-x-2x

2)i有实数根,则实数a的值等于.答案11或-715解析设方程的实数根为x=m,则原方程可变为3m2-𝑎2m-1=(10-m-2m2)i,所以{3𝑚2-𝑎2𝑚-1=0,10-𝑚-2𝑚2=0,解得a=11或-715.17.已知复数z满足(1+2i

)𝑧=4+3i.(1)求复数z;(2)若复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,求实数a的取值范围.解∵(1+2i)𝑧=4+3i,∴𝑧=4+3i1+2i=(4+3i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=10-5i5=2-i.∴z=2+i.(2)(z+ai)2=(2+i+ai)2=4

-(a+1)2+4(a+1)i,∵复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限,∴{4-(𝑎+1)2>0,4(𝑎+1)>0,解得-1<a<1,即实数a的取值范围为(-1,1).18.已知复数z=2+i(i是虚数单位)是关于x的实系数方程x2+px+q=0的根.(1)求p+q的值;

(2)复数w满足zw是实数,且|w|=2√5,求复数w的值.解(1)关于x的实系数方程x2+px+q=0的虚根是互为共轭复数的,所以它的另一根是2-i,根据根与系数的关系可得p=-4,q=5,p+q=1.(2)设w=a+bi(a,b∈R

).由(a+bi)(2+i)=(2a-b)+(a+2b)i∈R,得a+2b=0.又|w|=2√5,则a2+b2=20,解得a=4,b=-2或a=-4,b=2,因此w=4-2i或w=-4+2i.学科素养创新练19.设z是虚数,ω=z+1𝑧是实数,且-1<ω<2.(1)求|z|的值及z的实部的

取值范围;(2)设u=1-𝑧1+𝑧,证明u为纯虚数.(1)解因为z是虚数,所以可设z=x+yi,x,y∈R,且y≠0.所以ω=z+1𝑧=x+yi+1𝑥+𝑦i=x+yi+𝑥-𝑦i𝑥2+𝑦2=x+𝑥𝑥2+𝑦2+(𝑦-𝑦𝑥2+𝑦2)i.因为

ω是实数且y≠0,所以y-𝑦𝑥2+𝑦2=0,所以x2+y2=1,即|z|=1.此时ω=2x.因为-1<ω<2,所以-1<2x<2,从而有-12<x<1,即z的实部的取值范围是(-12,1).(2)

证明设z=x+yi,x,y∈R,且y≠0,由(1)知,x2+y2=1,∴u=1-𝑧1+𝑧=1-(𝑥+𝑦i)1+(𝑥+𝑦i)=(1-𝑥-𝑦i)(1+𝑥-𝑦i)(1+𝑥)2+𝑦2