【文档说明】奔驰定理、三角形四心及其向量关系.pptx，共(46)页，1.098 MB，由小赞的店铺上传

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NoImage三角形“四心”及其向量关系5知识链接2重心3垂心4外心目录CONTENTS1内心6总结721奔驰定理重心及其向量关系01三角形重心：三角形的重心是三角形三条中线的交点。性质：(1)重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。(3)重心到三角形3个顶点距

离的平方和最小。(4)在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数(2)重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。1三角形中线向量式BAMc）（ACAB21AM+=重心的向量表达式ABCGABCABAC.AG中，为的重心，请用、表示2211AGAMABACABAC3323==

+=+（）（）GBAMcG重心的坐标运算Oyx.G),,(,B,AABCGABC332211的坐标求出点）、（）、（的重心，为中，yxCyxyx3,3321321yyyyxxxxGG++=++=

分析：法1：OAAM32OG+=法2：利用课本第100页探究的结论121212PPPP,11PxxyyPPxy++===++当时，点的坐标为重心的向量式设G是∆ABC的重心，P为平面内任意一点，则有以下常用结

论：1.0GAGBGC++=MEGBCA13.()3PGPAPBPC=++2.2AGGM=)4.(),0,,APABACP=++则一定经过三角形重心例1()()ACABAP,+=++=得点拨：由ACABOAOPA外心B内心C重心D垂心C()()的点的轨迹一定通过则满足动

点点，是平面上不共线的三个、、是平面上一定点，已知ABCP,PCBAO++=ACABOAOP垂心及其向量关系02三角形垂心：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点。锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角

形的垂心在三角形外。性质：2垂心的向量式H是∆ABC的垂心,则有以下结论：1.HAHBHBHCHCHA==HBCA()OABCP,PABCABACOPOAABCOSBACCOSC=++例2：已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点

满足则点的轨迹一定通过的A外心B内心C重心D垂心BCCOSCACACCOSBABABAP的两边同乘以点拨：+=D变式1.若H为△ABC所在平面内一点，且,则H是∆ABC的心.222222HABCHBCAHCAB+=+=+HBCA垂外心及其向量关系03三角形外心：三角形

三边的垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心)到三角形三个顶点的距离相等性质：3外心的向量式O是∆ABC的外心，则有以下结论：1OAOBOC==、222OCOBOA==ODABC()()()20OAOBABOBOCBCOAOCAC+=+=+=、0coscosDPBC),0[

,D.2OCOBODDBC=+=++=+=CACBCACBABBCABCOSCACACCOSBABABP）（，，则中点点拨：取A外心B内心C重心D垂心AODABC()OABCOBOCP,[0,)2PABCABACOPABCOSBAC

COSC+=+++例3：已知是平面上一定点，、、是平面上不共线的三个点，动点满足（）则点的轨迹一定通过的内心及其向量关系04三角形内心：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。1.三角形的内心到三边

的距离相等，都等于内切圆半径r2.3.在Rt△ABC中，∠C=90°，性质：2=Srabc++=2abcr+−4内心的预备知识问题：1、的几何意义？2、的几何意义？3、的几何意义？aabbaa+)0(+）（ACACABAB是∠B

AC平分线所在直线内心的向量式P是∆ABC的内心，则有以下结论：1.0(0,ABC)ABPCBCPACAPBaPAbPBcPCabcBCACAB++=++=或其中、、分别是三边、、的长PABCacb2.,[0,),

ABACAPPABAC=++（）则一定经过三角形内心()OABCP,[0,)PABCABACOPOAABAC=+++例题4：已知是平面上一定点，、、是平

面上不共线的三个点，动点满足（）则点的轨迹一定通过的A外心B内心C重心D垂心B例题5、已知点O在△ABC所在平面内，且分别满足下列关系式：①OA→＋OB→＋OC→＝0；②OA→·AC→|AC→|－AB→|AB→|＝OB→·BC→|BC→|－BA→|BA→|＝0；③(

OA→＋OB→)·AB→＝(OB→＋OC→)·BC→＝0。则点O依次为△ABC的()A．内心、重心、垂心B．重心、内心、垂心C．重心、内心、外心D．外心、垂心、重心例题6．设△ABC外心为O，重心为G．取点H，使．求证：（1）H是△ABC的垂心；（2）O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2．解析

①由OA→＝－(OB→＋OC→)＝－2OD→(其中D为BC边的中点)可知O为BC边上中线的三等分点(靠近线段BC)，所以O为△ABC的重心；②向量AC→|AC→|，AB→|AB→|分别表示在AC→和AB→上取单位向量AC′→和AB′→，它们的差是向量B′C′→，当OA→·

AC→|AC→|－AB→|AB→|＝0,即OA⊥B′C′时，点O在∠BAC的平分线上，同理由OB→·BC→|BC→|－BA→|BA→|＝0，知点O在∠ABC的平分线上，故O为△ABC的内心；③OA→＋OB→是以OA→，OB→为边的平行四边形的一条对角线，而A

B→是该平行四边形的另一条对角线，AB→·(OA→＋OB→)＝0表示这个平行四边形是菱形，即|OA→|＝|OB→|，同理有|OB→|＝|OC→|，于是O为△ABC的外心。答案C四心的相互关系1.三角形外心与垂心的向量关系及应用设的外心为O，则点为的垂心的充要条件是。AB

C△OHOAOBOC=++2.三角形外心与重心的向量关系及应用3.三角形的外心、重心、垂心的向量关系及应用设ABC△的外心为O，则点G为ABC△的重心的充要条件是1()3OGOAOBOC=++设ABC△的外心、重心、垂

心分别为O、G、H，则O、G、H三点共线（O、G、H三点连线称为欧拉线），且12OGGH=。例题6．设△ABC外心为O，重心为G．取点H，使．求证：（1）H是△ABC的垂心；（2）O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2．【解答】证明：（1）∵

△ABC外心为O，∴又∵∴则=•==0即AH⊥BC同理BH⊥AC，CH⊥AB即H是△ABC的垂心；（2）∵G为△ABC的重心∴=3=3+=即=3即O，G，H三点共线，且OH=3OG即O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2奔驰定理及其运用05已知O是ABC内的一点，AOBAOCBOC

,,的面积分别为AS，BS，CS奔驰定理0BACSOASOBSOC•••++=则推论:O是ABC内的一点，且0=++•••OCOBOAzyx，则zyxSSSAOBCOABOC::::=已知O是ABC内的一点，AOBAOCBOC,,的面积分别为AS，BS，CS

，求证：0=++•••OCSOBSOASCBAOABCDOABCBODCACDCODBBODABDBDACDCODASBDDCSSSSSSSSS−====−证明：图一图二如图2延长AC与BC边相交于点则DCBBCBCDCB

DBCBCSSSSSSODOBOCODOBOC++=+=+BODCODBODCODABOACOABOACOABCSSSSSODOASSSSSS+====++ABCSSSODOA+=−0ACBBCBCBCBACSSSSSSSSSOAOBOCSOASOBSOC•••++

+−=+++=由此定理可得三角形四心向量式O是ABC的重心::1:1:1BOCCOAAOBSSS=0=++OCOBOAO是ABC的内心::::0BOCCOAAOBSSSabcOAOBOCab

c=•••++=O是ABC的外心::sin2:sin2:sin2BOCCOAAOBSSSABC=02sin2sin2sin=++•••OCCOBBOAAO是ABC的垂心::tan:tan:tantantantan0BOCCOAAOBSSSABCA

OABOBCOC=•••++=证明：如图O为三角形的垂心，DBCDBADCDA==tan,tanADDBBA:tan:tan==COABOCSS:ADDB:BASSCOABOCtan:tan:=同理得CBSSAOBCOA

tan:tan:=，CASSAOBBOCtan:tan:=CBASSSAOBCOABOCtan:tan:tan::=OCABD()()()0OBOAOCOAOBOCOA=−+−+−+=综合运用练1、O是平面上一定点，

A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足()[0,).||||ABACOPOAABAC=+++则P的轨迹一定通过△ABC的（）．A．外心B．内心C．重心D．垂心分析已知等式即()||||ABAC

APABAC=+，设,||||ABACAEAFABAC==，显然,AEAF都是单位向量，以二者为邻边构造平行四边形，则结果为菱形，故AP为ABC的平分线，选B．练2、ABC的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，()OHmOAOBOC

=++，则实数m=．分析：本题除了利用特殊三角形求解外，纯粹利用向量知识推导则比较复杂，更加重要的一点是缺乏几何直观．解法如下，由已知，有向量等式0AHBC=，将其中的向量分解，向已知等式形式靠拢，有()()0OHOAOCOB−−=，将已知代入，有[()]()0mOAOBOCOAOCOB++−−=

，即22()(1)0mOCOBmOABC−+−=，由O是外心，得(1)0mOABC−=，由于ABC是任意三角形，则OABC不恒为０，故只有1m=恒成立．或者，过点O作OMBC⊥与M，则M是BC的中点，有1()2OMOBOC=+；H是垂心，则AHBC⊥

，故AH与OM共线，设AHkOM=，则()2kOHOAAHOAOBOC=+=++，又()OHmOAOBOC=++，故可得(1)()()022kkmOAmOBmOC−+−+−=，有102kmm−=−=，得1m=．练3、点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA

OBOBOCOCOA==，则点O是ABC的（）．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点分析移项后不难得出，0OBCAOCABOACB===，点O是ABC的垂心，选D．练4已知O为△ABC所在平面内一

点，满足222222||||||||||||OABCOBCAOCAB+=+=+，则O为△ABC的心．分析将2222||()2BCOCOBOCOBOCOB=−=+−，22||,||CAAB也类似展开代入，已知等式与例４的条件

一样．也可移项后，分解因式合并化简，O为垂心．练５在△ABC内求一点P，使222APBPCP++最小．分析如图２，构造向量解决．取,CAaCBb==为基向量，设CPx=，有,APxaBPxb=−=−．于是，22222222211()()3[()]()3

3APBPCPxaxbxxababab++=−+−+=−+++−+．当1()3xab=+时，222APBPCP++最小，此时，即1()3OPOAOBOC=++，则点P为△ABC的重心．CP图２AB练6已知I为ABC△所在平面上的一点

，且ABc=，ACb=，BCa=．若0aIAbIBcIC++=，则I是ABC△的()．A．重点B．外心C．内心D．垂心【解析】∵IBIAAB=+，ICIAAC=+，则由题意得()0abcIAbABcAC++++=，∵ABACbABcACACABA

BACACABABAC+=+=+，∴bcABACAIabcABAC=+++．∵ABAB与ACAC分别为AB和AC方向上的单位向量，∴AI与BAC∠平分线共线，即AI平分BAC．同理可证：BI平分

ABC，CI平分ACB．从而I是ABC△的内心，如图⑸.图⑸图⑹ABCOPbacIACB谢谢