【文档说明】福建省厦门外国语学校2021届高三下学期5月高考适应性考试数学试题 版含答案.docx，共(12)页，1.286 MB，由小赞的店铺上传

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厦门外国语学校2021届高三模拟考数学试卷一、选择题1．已知集合A、集合2,3,,Bab=，且3,4AB=，则下列结论正确的是（）A．有可能8ab+=B．8ab+C．8ab+D．8ab+2

．设i为虚数单位，则复数25i1iz−=+的虚部为（）A．32B．32−C．92D．92−3．某次大学生知识大赛，某校代表队3人参赛，答4道题，每人至少答1道题，每题仅1人作答，则不同的题目分配方案种数为（）A．24B．30C．36D．424．为美化

环境，某城市决定用鲜花装饰如图所示花柱，它的下面是一个直径为1m､高为3m的圆柱形物体，上面是一个半球形体.如果每平方米大约需要鲜花150朵，那么装饰一个这样的花柱大约需要鲜花朵数为（）(π取3.1)A．1235B．1435C．1635D．18355．某市有15个旅游景点，经计算，黄金周期间各

个景点的旅游人数平均为20万，标准差为s，后来经核实，发现甲、乙两处景点统计的人数有误，甲景点实际为20万，被误统计为15万，乙景点实际为18万，被误统计成23万；更正后重新计算，得到标准差为s1，则s与s1的大小关系为（

）A．s＝s1B．s<s1.C．s>s1D．不能确定6．已知某物种经过x年后的种群数量y近似满足冈珀茨模型：0.18(0)xeykk−=，当0x=时，y的值表示2021年年初的种群数量.若()*ttN年后，该物种的种群数量不超过2021年初种群数量的14，则t的最小值为(参考值：ln31.0

9)（）A．9B．10C．11D．127．在ABC中，4AB=，6AC=，3ACAM=，CNNB=，3ANBM=−，则ABAC=（）A．32B．3C．6D．158．已知ln22a=，1eb=(e

=2.718…为自然对数的底数)，2ln39c=，则a，b，c的大小关系为（）A．abcB．acbC．bacD．bca二、多选题9．已知方程2222122xymm+=−+表示的曲线是双曲线，其离心率为e，则（）A．22m−B．点()2,0是该双曲线的一个焦点C．

12e„D．该双曲线的渐近线方程可能为20xy=10．若函数()sin(2)fxx=+对任意的xR，都有()()12fxf，则（）A．()fx的一个零点为6x=−B．()fx在区间5(,)1212−上单

调递减C．()12fx+是偶函数.D．()fx的一条对称轴为512x=−11．已知00ab，，且4abab+=，则下列不等式正确的（）A．16abB．2642ab++C．0ab−D．2211612ab+12．下列命题中，正确的命题是()A．在n次独立重复试验中，用X表

示事件A发生的次数，p为每次试验中事件A发生的概率，若()()30,20EXDX==，则23p=B．已知()()0.34,0.71PBAPB==，则()0.37PBA=C．设随机变量服从正态分布()0,1N，若()1Pp=，则()110

2Pp−=−D．某人在10次射击中，击中目标的次数为()~10,0.8XXB，，则当8X=时概率最大三、填空题13．已知直线310xy+−=与圆22230xyx++−=交于A，B两点，则AB=______．14．

已知x表示不超过x的最大整数，例如：2.32=，1.52−=−.在数列na中，[lg]nan=，n+N.记nT为数列na的前n项和，则2021T=___________.15．蜂巢是由工蜂分泌蜂蜡

建成的从正面看，蜂巢口是由许多正六边形的中空柱状体连接而成，中空柱状体的底部是由三个全等的菱形面构成，菱形的一个角度是10928，这样的设计含有深刻的数学原理、我国著名数学家华罗庚曾专门研究蜂巢的结构著有《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》．用数学的眼

光去看蜂巢的结构，如图，在正六棱柱ABCDEFABCDE﹣的三个顶点,,ACE处分别用平面BFM，平面BDO，平面DFN截掉三个相等的三棱锥MABF−，OBCD−，NDEF−，平面BFM，平面BDO，平面DFN交于点P，就形成了蜂巢的结构．如图，设平面PBO

D与正六边形底面所成的二面角的大小为，则cos=________.（用含tan5444的代数式表示）16．当11,,22xkkk−+Z时，()fxk=.若函数()()1gxxfxmx=−−没有零点，则正实数m的取值

范围是___________.四、解答题17．已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且()3cos23cosaCbcA=−.（1）求角A.（2）若23b=，BC边上的高为3，求c.18．已知公差不为零的等差数列{}na的前n项

和nS满足48Sa=.（1）证明：249,,aaa成等比数列；（2）若12,200maS=，求正整数m的最大值.19．根据国际疫情形势以及传染病防控的经验，加快新冠病毒疫苗接种是当前有力的防控手段，我国正在安全、有序加快推进疫苗接种工作，某乡村采取通知公告、微信推送、广播播放、条幅宣传等形

式，积极开展疫苗接种社会宣传工作，消除群众疑虑，提高新冠疫苗接种率，让群众充分地认识到了疫苗接种的重要作用，自宣传开始后村干部统计了本村200名居民（未接种）5天内每天新接种疫苗的情况，得如下统计表：第x天12345新接种人数y1015192328

（1）建立y关于x的线性回归方程；（2）预测该村80％居民接种新冠疫苗需要几天？参考公式：回归方程ybxa=+$$$中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：1221niiiniixynxybxnx==−=

−，aybx=−$$．20．在三棱柱111ABCABC−中，M，N分别为BC，1AB的中点．（1）证明：//MN平面11ACCA；（2）若15ABACAA===，2BC=，且1A在底面ABC上的正投影恰为点M，

求二面角1NBCC−−的正弦值．21．已知椭圆()2222:10xyCabab+=的离心率为33，点,EF分别为其下顶点和右焦点，坐标原点为O，且EOF△的面积为2.（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在直线l，

使得l与椭圆C相交于,AB两点，且点F恰为EAB的垂心？若存在，求直线l的方程，若不存在，请说明理由.22．已知函数()ln,fxxxaxa=−R.（1）若2()0fxx+恒成立，求实数a的取值范围；（2）当1a

=−时，证明：21e()4xfxxx−+.厦门外国语学校2021届高三模拟考数学试卷答案1．B【详解】2,3,,Bab=，3,4AB=，4B，若4a=，由集合中元素互异性知：4b，8ab+；若4b=，同理可知：4a，8ab+

；综上所述：8ab+.2．B解：22252(5)3(1)333311(1)(1)222iiiziiiii−+−−−=====−+++−，所以复数z的虚部为32−.3．C【详解】由题意分配方案种数为234336CA=．4．C【详解】圆柱侧面积为12332=，半球的表面积为2114=2

22，所以总面积为710.852，所以大约需要鲜花10.85×150=1627.5朵.5．C【详解】由已知，两次统计所得的旅游人数总数没有变，即两次统计的各景点旅游人数的平均数是相同的，设为x，则()()()()222231

511523...15sxxxxxx=−+−+−++−()()()()2222131512018...15sxxxxxx=−+−+−++−，若比较s与1s的大小，只需比较()()221523xx−+−与()()222

018xx−+−的大小即可，而()()2221523754762xxxx−+−=−+，()()2222018724762xxxx−+−=−+，所以()()221523xx−+−()()222018xx−+−，从而1ss.6．C【详解】因为当0x=时，y的值表示2021年年初

的种群数量，所以有8yk=，即2021年年初的种群数量为8k，当()*ttN年后，该物种的种群数量不超过2021年初种群数量的14，所以有0.10.10.10.1221182log8log28438tttetekeek−−−−10.1ln

ln30.11.0910.93ttt−=−−−，所以t的最小值为11，7．B【详解】如图所示，因为3ACAM=，所以13BMAMABACAB=−=−.又因为CNNB=，所以1()2ANACAB=+，所以1113223ANBMACABACAB=+−

=−，即221113623ACABABAC−−=−，又222236,16ACACABAB====，所以3ABAC=uuuruuur.8．C【详解】令()lnxfxx=，所以()21ln'xfxx−=所以当()0,xe时，()'0fx，()lnxfx

x=单调递增；当(),xe+时，()'0fx，()lnxfxx=单调递减，因为()ln22ln2ln44244af====，()1lnebfeee===，()2ln3ln9999cf===，所以()()()49feff

，即bac.9．AC【详解】对于A，因为方程2222122xymm+=−+表示的曲线是双曲线，所以()()22220mm−+，解得2−2m，故选项A正确；对于B，将2222122xymm+=−+化为2222122yxmm−=+−，得焦点在y轴上，

故选项B错误；对于C，因为2224m+„，所以(2241,22em=+，故选项C正确；对于D，因为双曲线的渐近线斜率的平方222212mkm+=−…，所以选项D错误.10．ACD解：函数()sin(2)fxx=+对任意的xR，都有()(

)12fxf„，则当12x=时，函数取得最大值，故有22122k+=+，即23k=+，kZ，取3=，则()sin(2)3fxx=+．令6x=−，求得()0fx=，可得()fx的一个零点为6x=−，故A正确；当5(12

x−，)12，2(32x+−，)2，()fx单调递增，故B错误；()sin(2)cos21263fxxx+=++=，是偶函数，故C正确；令512x=−，求得()1fx=−，为最小值，故()fx的一条对称轴为512x=−，故D正确，

11．ABD【详解】因为00ab，，4244abababab=+=，当且仅当4ab=时等号成立，所以16ab，A正确；由4abab+=得401aba=−，1a，同理4b，444222(1)622(1)6426111aabaaaaaa+=+=−++−+=

+−−−，当且仅当42(1)1aa−=−，即12a=+时等号成立，B正确；5,5ab==满足题意，但0ab−=，C错；由4abab+=得141ab+=，所以2221161421abab++=

，当且仅当22116ab=即4ba=时等号成立，所以2211612ab+．D正确．12．BCD【详解】对于选项A：随机变量服从二项分布(),Bnp，()30EX=，()20DX=，可得30np=，()120npp−=，则13p=，选项A错误；对于选项B：AA+为必然事

件，所以()BBAABABA=+=+，而BA与BA互斥，()()()()()()0.710.340.37PBPBAPBAPBAPBPBA=+=−=−=，选项B正确；对于选项C：随机变量服从正态分布()0,1N，则图象关于y轴对称，若()1Pp=，则()1012Pp=

−，()()110012PPp−==−，选项C正确；对于选项D：因为在10次射击中，击中目标的次数为X，()~10,0,8XB，当xk=时，对应的概率()10100.2kkkPXkC−==，所以当1k³时，()()()10101110(1)1

04110.80.210.80.2kkkkkkPXkkCPXkCk−−−−−=−===−，由()()()41111PXkkPXkk=−==−得444kk−，即4415k，因为*kN，所以18k且*kN，又()()01PXPX==，即8k=时，概率()

8PX=最大，故选项D正确．13．23【详解】圆22230xyx++−=化为()2214xy++=，则圆心为()1,02r−=，圆心到直线310xy+−=的距离为11113d−−==+所以22224123ABrd=−=−=14．4956【详解】当19n≤≤时，lg0nan==；当10

99n时，lg1nan==，此区间所有项的和为90.当100999n时，lg2nan==，此区间所有项的和为90021800=.当10002021n时，lg3nan==，此区间所有项的和为102233066=.所以2021901800306

64956T=++=.15．33tan5444【详解】先证明一个结论：如图，ABC在平面内的射影为ABC△，CABC−−的平面角为（0,2），则cosABCABCSS=.证

明：如图，在平面内作CEAB⊥，垂足为E，连接EC，因为ABC在平面内的射影为ABC△，故CC⊥，因为AB，故CCAB⊥，因为CEABE=，故AB⊥平面ECC.因为EC平面ECC，故CEAB⊥，所以CEC

为二面角的平面角，所以CEC=.在直角三角形CEC中，coscosABCABCSECCECECS===.由题设中的第二图可得：cosDBODBCSS=VV.设正六边形的边长为a，则22133224DBCSaa==V，如图，在DBO中，取BD的中点为W，连接OW，则OWBD

⊥，且3BDa=，10928BOD=，故312tan5444OWa=，故213131322tan54444tan5444DBOSaaa==V，故3cos3tan5444=.

16．481,,235【详解】当0x=时，(0)10g=−当0x时，()10xfxmx−−=可化为1()fxmx=+作出函数()fx与1()hxmx=+的图象由图可知当0x时，要使得函数(

)()1gxxfxmx=−−没有零点必须满足1102h−−，解得12m当0x时，要使得函数()()1gxxfxmx=−−没有零点必须满足3122h或者5232h，解得1433m或81355m综上，481,,235m

17．（1）6A=；（2）3c=或6c=.【详解】（1）ABC中，∵3cos(23)cosaCbcA=−，由正弦定理得3sincos2sincos3sincosACBACA=−，∴3sin()2s

incosACBA+=，即3sin2sincosBBA=；∵B为ABC内角，sin0B，∴3cos2A=，又∵A为ABC内角，∴6A=.（2）因为11sin22ABCBCSbcAah==将23b=，3BCh=，1sin2A=代入，得33ca=.

由余弦定理得2222cosabcbcA=+−，于是22233()(23)22332ccc=+−，即29180cc−+=，解得3c=或6c=.18．（1）证明见解析；（2）最大值为8.【详解】（1）设等差数列{}na的公差为d，由48Sa=，得11467adad+=+，即13da=

.则11(1)(32)naandna=+−=−，所以2141914,10,25,aaaaaa===所以2429aaa=，且10a，所以249,,aaa成等比数列.（2）若12a=，则2*111136,(31)3,2612mmaadaSmmmmm+====−=−−N，因为116

，所以数列{}mS是递增数列，当8m=时，(31)184200mm−=；当9m=时，(31)234200mm−=.所以正整数m的最大值为8.19．（1）222955yx=+；（2）7.【详解】（1）1234535x++++==，1015192328195y++++==

，则5152222222211030579214053192212345535iiiiixynxybxnx==−++++−===++++−−，222919355a=−=，故y关于x的线性回归方程222955yx

=+.（2）20080160?％，设222955nan=+，数列na的前n项和为nS，易知数列na是等差数列，则()12222922291155558225nnnaaSnnnn骣+++琪琪+桫=??+，因为61

27.2S=，7163.8S=，所以预测该村80％居民接种新冠疫苗需要7天.20．（1）证明见解析；（2）255．解：（1）如图，连接1NA，1AC，因为N为1AB的中点，且四边形11ABBA是平行四边形，所以N

为1AB的中点，又M为BC的中点，所以1//MNAC，又因为MN平面11ACCA，且1CA平面11ACCA，所以//MN平面11ACCA；（2）方法一：由（1）可知二面角1NBCC−−即为二面角11ABCC

−−，如图，连接AM和1AM，由1A在底面ABC上的正投影恰为M，所以1AM⊥平面ABC，因此1AMBC⊥，1AMAM⊥，又因为ABAC=，且M为BC中点，故BCAM⊥，即线段AM，BC，1MA两两垂直，以点M为坐标原点，AM，BC，1MA所在直线分别为x，y，z轴建立如

图所示的空间直角坐标系Mxyz−，则()0,0,0M，()10,0,1A，()2,0,0A−，()0,1,0B−，()0,1,0C，对于平面1ABC，因为AM⊥平面1ABC，且N平面1ABC，所以平面NBC的一个法向量为()2,0,0AM

→=，设平面11BCCB的法向量为(),,nxyz→=，因为()0,2,0BC→=，()112,0,1BBAA→→==，由100nBCnBB==，得2020yxz=+=，取1x=，则()1,0,2

n→=−，设二面角1NBCC−−的平面角为，则5cos5nAMnAM→→→→==，因此二面角1NBCC−−的正弦值为255．（2）方法二：由（1）可知二面角1NBCC−−即为二面角11ABCC−−，如图，连接AM，

1AM，取线段11BC的中点P，连接1PA和PM，因为1//AAMP且1AAMP=，所以四边形1AMPA为平行四边形，因为1AM⊥平面ABC，故1AMBC⊥．又因为ABAC=且M为BC中点，所以BCAM⊥，故BC⊥

平面1AMPA，因此1BCAM⊥，BCMP⊥，故1AMP为二面角11ABCC−−的平面角，在ABC中，222AMABBM=−=，在1AMA中，190AMA=，2AM=，15AA=，故11125sinsin5AMAMPAAMAA===，即二面角1NBCC−−的正弦值为255．21．（1）2

2164xy+=；（2）存在，2925yx=−+.解：（1）由题可知22233122cabcabc===+，解得622abc===，所以椭圆C的方程为22164xy+=；（2）假设满足条件的直线

l存在，由()()0,2,2,0EF−，所以2EFk=，因为点F为EAB的垂心，所以ABEF⊥，所以22ABk=−，设直线l的方程为22yxt=−+，代入22164xy+=，得()22762640xtxt−+−=，(*)，()()2

22624764966720ttt=−−−=−+，即77t−，记()()1122,,,AxyBxy，则()12212627647xxttxx+=−=，由AFBE⊥，得1221212yyxx+=−−，所以121122220yyyxxx++−=，将112222

,22yxtyxt=−+=−+代入上式，得()()()21212322240xxtxxtt−++++=，所以()()()22646232224077−−+++=ttttt，所以25180tt+−=，解得95t=(2t=−舍去)，代入(

*)满足0，所以直线l的方程为2925yx=−+．22．（1）1(,ln2]2−+；（2）证明见解析.【详解】（1）由2()0fxx+，即2ln0xxaxx−+恒成立，得22lnaxx+恒成立.令22()ln,0hxxxx=+，则由2333144(2)(2)()0x

xxhxxxxx−+−=−===得2x=.当(0,2)x时，()0hx，()hx单调递减；当(2,)x+时，()0hx，()hx单调递增，所以函数()hx在2x=时取到最小值，即min1()(2)ln22hxh==+.所以1ln22a+，

故a的取值范围是1(,ln2]2−+.（2）当1a=−时，要证21e()4xfxxx−+，即要证21eln4xxxxxx−++，由()ln,0fxxxxx=+，得()1ln1ln2fxxx=++=+，令()0fx=，则21ex=，当21(0,)ex时，()0fx，()

fx单调递减；当21(,)ex+时，()0fx，()fx单调递增，所以()fx在21ex=处取到极小值，也是最小值，即min2211()()eefxf==−.令21e()4,0xgxxxx−=+，则22(21)(21e)()xxxgxx−+

−=，令2()21extxx=+−，则22()22e2(1e)xxtx=−=−，当0x时，()0tx，所以()tx在(0,)+上单调递减，所以()(0)0txt=，令()0gx=，得12x=，

当1(0,)2x时，()0gx，()gx单调递增；当1()2,x+时，()0gx，()gx单调递减，从而可得max1()()42e2gxg==−，易知minmax21()42e()efxgx=−−=，所以当

1a=−时，21e()4xfxxx−+.