【文档说明】高考数学培优专题55讲：第06讲导数构造辅导助函数问题选择填空题专练【高考】.doc，共(15)页，1.519 MB，由小赞的店铺上传

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1第六讲导数构造辅导助函数问题选择填空题专练A组一、选择题1．已知()'fx是函数()()0fxxRx且的导函数，当0x时，()()'0xfxfx−成立，记()()()0.2220.22220.2log5,,20.2log5fffabc==

=，则（）A．abcB．bacC．cabD．cba【答案】C【解析】()()2'()()0xfxfxfxxx−=，所以函数()()fxgxx=在(0,)+上单调递减，又20.220.2122log5，所以cab

，选C.2．已知定义域为R的奇函数()yfx=的导函数为()'yfx=，当0x时，()()'0fxfxx+，若1122af=，()22bf=−−，11lnln22cf=，则abc，，的大小关系是（）A．a

bcB．bcaC．cabD．acb【答案】D【解析】构造函数)()(xxfxg=，则)(')()('xxfxfxg+=，由已知，)(xg为偶函数，所以)21(21)21(21−−=ff，又()()'0fxfx

x+，即0)()('+xxfxxf，当0x时，0)(')(+xxfxf，即0)('xg，所以函数)(xg在)0,(−单调递减，又2121ln2−−，所以)21(21)21(ln)21(ln

)2(2−−−−fff，即acb．3．定义在(0,)2上的函数()fx，'()fx是它的导函数，且恒有'()()tanfxfxx成立.则有（）A．3()()63ffB．3()2cos1(1)6ffC．2()6()46ffD．2()()43f

f【答案】A2【解析】由'()()tanfxfxx且(0,)2x，则'()cos()sin0fxxfxx−，设()()cosgxfxx=，则'()'()cos()singxfxxfxx=−0，所以()gx在(0,)2上是增函数，所以()

()36gg，即()cos()cos3366ff，即()3()36ff．故选A．4．函数)(xf是定义在)0,(−上的可导函数，其导函数为)('xf且有'3()()0fxxfx+，则

不等式3(2016)(2016)8(2)0xfxf+++−的解集为（）A．()2018,2016−−B．(),2018−−C．()2016,2015−−D．(),2012−−【答案】A【解析】依题意，有()()()'32'30xfxxfxxfx=+，故()3xfx是减

函数，原不等式化为()()()()332016201622xfxf++−−，即()020162,2018,2016xx+−−−.5．定义域为R的可导函数()yfx=的导函数为()fx，满足()()fxfx，且()02f=，则不等式()2xfxe的解

集为（）A．(),0−B．(),2−C．()0,+D．()2,+【答案】C【解析】构造函数()()()()()'',0xxfxfxfxFxFxee−==，()Fx在R上单调递减，故()2xf

xe等价于()()002,0xfxfxee=.6．设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）＝0，当x>0时，有2xfx-fxx（）（）<0恒成立，则不等式x2f（x）>0的解集是（）A．（－

2,0）∪（2，＋∞）B．（－2,0）∪（0,2）C．（－∞，－2）∪（2，＋∞）D．（－∞，－2）∪（0,2）【答案】D【解析】3因为当0x时，有()()02−xxfxfx恒成立，即()0xxf恒成立，所以()xxf在()+,0内单

调递减．因为()02=f，所以在()2,0内恒有()0xf；在()+,2内恒有()0xf．又因为()xf是定义在R上的奇函数，所以在()2,−−内恒有()0xf；在()0,2−内恒有()0xf．又不等式()02xfx的解集，即不等式()0xf的解集．故答案为：()()2,

02,−−，选D.7．设函数'()fx是奇函数()()fxxR的导函数，(1)0f−=，当0x时，'()()0xfxfx−，则使得()0fx成立的x的取值范围是()A．(,1)(0,1)−−B．(1,0)(1,)−+C．(,1)(1,0)−−−D．(0

,1)(1,)+【答案】B【解析】考虑取特殊函数3()fxxx=−，是奇函数，且(1)0f−=，2'()31fxx=−，当0x时，'233()()(31)()2xfxfxxxxxx−=−−−=>0，满足题设条件.直接研究函数3()fxxx=−，图象如下图，可知选B答案.8．定义在0,+

的函数()fx的导函数为()'fx,对于任意的0x,恒有()()()()32',2,3fxfxaefbef==,则,ab的大小关系是（）A．abB．abC．ab=D．无法确定【答案】B【解析】构造函数xexfxF)()(=，因0)()()(//−=xe

xfxfxF，故xexfxF)()(=在[0,]+上单调递增，则)3()2(FF，即32)3()2(efef，也即)3()2(23fefe，所以ba，4应选B。9．已知定义在实数集R上的函数)(xf满足4

)1(=f，且)(xf的导函数满足3)(xf，则不等1ln3)(ln+xxf的解集为（）A．),1(+B．),(+eC．)1,0(D．),0(e【答案】D【解析】令lntx=，则；1ln3)(ln+xxf，()31,()310fttftt+−−，可构造函数，()=f(t

)-3t-1,()=f(t)-3,f(t)<3,()0gtgtgt，为减函数．又，4)1(=f可得；(1)(1)310gf=−−=，使1ln3)(ln+xxf成立，即；1,ln1,(0,)txxe10．设ln

24a=，ln39b=，ln525c=，则（）A．bacB．abcC．bacD．abc【答案】D【解析】令2ln(2)xyxx=，则42ln02xxxyxex−===，因此2lnxyx=在[2,)+上单调递，减，从而abc，选D.11

．已知()fx在()0,+上非负可导，且满足0)()(/−xfxxf，对于任意正数,mn，若mn，则必有（）A．()()nfmmfnB．()()mfmfnC．()()nfnfmD．()()mfnnfm【答案】D【解析】构造函数xxfxF)()(=,则由0)()()(2

//−=xxxfxfxF可知函数xxfxF)()(=是单调递减函数,因为nm,所以)()(nFmF,即nnfmmf)()(,也即)()(nmfmnf,因此应选D．12．已知定义在R上的函数()fx的导函数为()fx，且满足()()fxfx，则

下列结论正确的是（）A.(1)e(0)ffB.(1)e(0)ff5C.(1)(0)ffD.(1)(0)ff【答案】A【解析】令xexfxg)()(=()()()()()()()'''2xxxxfxfxefxefxfxgxgxxee−−===∵f′（x）＞f（x），∴g′（x）＞0，g（

x）递增，∴g（1）＞g（0），即()()010ffee，∴f（1）＞ef（0），二、填空题13．定义在R上的函数)(xf满足：1)(')(+xfxf，4)0(=f，则不等式3)(+xxexfe（其中

e为自然对数的底数）的解集为．【答案】),0(+【解析】设()()xxexfexg−=，则()()()()()1−+=−+=xfxfeexfexfexgxxxx，()()1+xfxf，()()01−+xfxf，()0x

g，()xgy=在定义域上单调递增，()3+xxexfe，()3xg，又()30=g，()()0gxg，0x．故答案为()+,0．B组一、选择题1．已知函数()fx对定义域R内的任意x都有()()4fxfx=−，且当2x

时其导函数()'fx满足()()''2xfxfx，若24a，则（）A.()()()223logafffaB.()()()23log2affafC.()()()2log32afaff

D.()()()2log23afaff【答案】C【解析】∵函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4-x），∴f（x）关于直线x=2对称；又当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x）⇔f′（x）（x-2）＞0，∴当x＞2时，f′（x）＞0，f（

x）在（2，+∞）上的单调递增；同理可得，当x＜2时，f（x）在（-∞，2）单调递减；∵2＜a＜4，∴21log2a，6∴2＜4-2loga＜3，又4＜2a＜16，f（2loga）=f（4-2loga），f（x）在

（2，+∞）上的单调递增；∴f（2loga）＜f（3）＜f（2a）2．已知()fx为定义在(),−+上的可导函数，且()()fxfx对于xR恒成立（e为自然对数的底），则（）A．()()2015201620162015efef

B．()()2016201620162015efef=C．()()2015201620162015efefD．()20152016ef与()20162015ef大小不确定【答案】C【解析】令xexfxg)()(=，则0)()()(''−=xexfxfxg，所以)

(xg在R上单调递减。有)2015()2016(gg即20152016)2015()2016(efef，所以)2015()2016(20162015fefe，故选C.3．已知函数()()fxxR满足()11f=，且

()fx的导函数()'13fx，则()233xfx+的解集为（）A．11xx−B.1xxC．1xx−D．11xxx−或【答案】B【解析】令F（x）=f（x）-13x，则F'（x）=f'（x）-13＜0，∴函数F（x）在R上单调递减函数，∵()233xfx+，

∴f（x）-13x＜f（1）-13，即F（x）＜F（1），根据函数F（x）在R上单调递减函数可知x＞14．已知在实数集R上的可导函数)(xf，满足)2(+xf是奇函数，且＞2)('1xf，则不7等式121(x)＞−xf的解集是（）A.（-∞，2）B.（2，+∞）C.（0，2

）D.（-∞，1）【答案】A【解析】令121)()(+−=xxfxF,则21)()(//−=xfxF,因＞2)('1xf,故21)(0/xf,所以0)(/xF,函数121)()(+−=xxfxF是单调递减函数,又因为)2(+xf是奇函数,所以0)2(=f且011)

2()2(=+−=fF,所以原不等式可化为)2()(FxF,由函数的单调性可知2x,应选A.5．若1201xx,则()A．2121lnlnxxeexx−−B．2121lnlnxxeexx−−C．1221xxxexeD．2112xxexex【答案】D【解析】设()(

)()'21xxxxxeexexfxfxxee−−===当01x时()'0fx，函数单调递减，由1201xx可得()()1212122112xxxxeefxfxxexexx6．设函数)(xf在R上存在导数)(xf

，Rx，有2)()(xxfxf=+−，在),0(+上xxf)(，若mmfmf48)()4(−−−，则实数m的取值范围为（）A、]2,2[−B、),2[+C、),0[+D、(,2][2,)−−+【答案】B

【解析】令()()()()()()221,02gxfxxgxgxfxfxx=−+−=+−−=，()gx为奇函数，在),0(+上()'()0gxfxx=−，()gx在),0(+上递减，在(),0−上也递减，由()00g=知，()gx

在R上递减，mmfmf48)()4(−−−可得8()()4,4,2gmgmmmm−−，即实数m的取值范围为),2[+，故选B.7．已知定义在R上的函数)(xf和)(xg满足xfxefxfx)0(22)1(')(222−+=−，且0)(2)('+xgxg，则

下列不等式成立的是（）A．)2017()2015()2(ggfB．)2017()2015()2(ggfC．)2017()2()2015(gfgD．)2017()2()2015(gfg【答案】D【解析】因为xfx

efxfx)0(22)1(')(222−+=−，所以22'()'(1)22(0)xfxfexf−=+−，所以22'(1)'(1)22(0)(0)1ffeff−=+−=，又22'(1)(0)'(1)22ffefe−==，得()

222()22xfxexxfe=+−=；令()2()xxegx=()22'2()'()xxxegxegx=+，又因为0)(2)('+xgxg，所以()'0x，所以()x在R上单调递减；所以()()()()

()()22015220172201520172015201720152017egeggeg()()()201522017gfg，故选D.8．设函数'()fx是奇函数()()fxxR的导函数，(1)0,f−=当0x时，'()()0xfxfx−，则使得(

)0fx成立的x的取值范围是（）A.(1,0)(1,)−+B.(,1)(0,1)−−C.(,1)(1,0)−−−D.(0,1)(1,)+【答案】B【解析】根据已知条件可构造函数xxfx

g)()(=，则)(xg为偶函数，由(1)0,f−=可知0)1()1-(==gg可求得导函数2)()()(xxfxfxxg−=，因为当0x时，'()()0xfxfx−，所以0)(xg，则当0x时，0)(xg，所以在区间)

1,0()0,1(−上有0)(xg，在区间），（+−1)1-,(上有0)(xg，又)()(xxgxf=，可知()0fx的解集应该为(,1)(0,1)−−，所以本题的正确选项为B.9．定义在()0,+上的可导函数()fx满足()'fx()xfx，且()20f=

，则9()0fxx的解集为（）A．()0,2B．()()0,22,+C．()2,+D．()()0,33,+【答案】A【解析】因为()'fx()xfx，所以()'fx()0xfx−()()()20fxfxxfxxx−=

，令()()fxgxx=，则()gx为()0,+上的减函数，又因为()20f=，所以()20g=，所以()0gx的解为()0,2即()0fxx的解集为()0,2，故选A.10．设函数)(xf在

R上的导函数为)(xf，在)0(+，上xxf2sin)(，且Rx，有xxfxf2sin2)()(=+−，则以下大小关系一定正确的是（）A.)34()65(ffB.)()4(ffC.)34()65(−−ffD.()()4ff−−【答案】C【解析

】由xxfxf2sin2)()(=+−，可得()()22sin()sin0fxxfxx−−−+−=，设()()2singxfxx=−则()()0gxgx−+=，所以()gx是R上的奇函数，又在)0(+，上xxf2sin)(，即()()()2sincos

sin20gxfxxxfxx=−=−，所以()gx在)0(+，上是减函数，又()gx是R上的奇函数，所以()gx是R上的减函数，所以5463gg−−，即51416232ff−−

−−，因此)34()65(−−ff，故答案填)34()65(−−ff.11．已知()'fx是函数()fx(0xRx且)的导函数，当0x时，()()'0xfxfx−，记()()()0.2220.2

2220.2log5,,20.2log5fffabc===，则（）A．abcB．bacC．cabD．cba【答案】C10【解析】由题意得，设()()fxgxx=，则()()()2'0xfxfxgxx−=，所以当0x时，函

数()gx的单调递减函数，又0.222122,0.21,log52，所以()()()0.2220.22220.2log5log520.2fff，即cab，故选C.二、填空题12．已知定义在R上的可导函数()fx满足'()1fx，若(1)()12f

mfmm−−−，则实数m的取值范围是__________．【答案】),21(+【解析】令1)()(−=xfxF,则01)()(//−=xfxF,故函数1)()(−=xfxF在R上单调递减,又由题设(1)()12fmfmm−−−可得)()1(mFmF−,故mm−1,即21

m,答案为),21(+．C组一、选择题1．已知定义在R上的可导函数()=yfx的导函数为()fx，满足()()fxfx，且(1)yfx=+为偶函数，(2)1=f，则不等式()xfxe的解集为（）A.(,0)−B.(0,)+C.4(,)−eD.

4(,)+e【答案】B【解析】因为(1)yfx=+为偶函数，所以(1)(1)fxfx−=+，因此()()201ff==．令()()xfxhxe=，则原不等式即为()()0hxh．又()2()()()()xxxxfxefxefx

fxhxee−−==，()()fxfx，所以()'0hx，所以函数()hx在R是减函数，所以由()()0hxh得0x，故选B．2．定义在),0(+上的单调递减函数)(xf，若)(xf的导函数存在且满足xxfxf)

()(，则下列不等式成立的是（）11A．)3(2)2(3ffB．)3(4)4(3ffC．)4(3)3(2ffD．)1(2)2(ff【答案】C【解析】因为在),0(+上函数)(xf单调递减，则()0f

x．又因()()fxxfx，所以()0fx，且()()0xfxfx−．设()()fxgxx=，所以2()()()0xfxfxgxx−=，即函数()gx在),0(+上单调递增．所以(4)(3)(2)(1)4321ffff，即3(4)4(3)ff，2(3)3(2)f

f，(2)2(1)ff，故选C．3．已知函数()fx的导数为()fx，且()()()10xfxxfx++对xR恒成立，则下列函数在实数集内一定是增函数的为（）A．()fxB．()xfxC．()xefx

D．()xxefx【答案】D【解析】设()()xfxexFx=,则()()()()()()()xfxxfxexfxexfexxFxxx++=++=11,()()()01++xfxxfx对Rx

恒成立,且()()xFxFex,0,0在R上递增,故选D.4．已知()fx是R上的减函数，其导函数'()fx满足()1'()fxxfx+，那么下列结论中正确的是（）A．xR，()0fxB．当且仅当(,

1)x−，()0fxC．xR，()0fxD．当且仅当(1+)x，，()0fx【答案】C【解析】因为()1'()fxxfx+，()fx是定义在R上的减函数，'()fx0，所以)()(f)(xfxxxf•+，所以0)1)(()(

−+xxfxf，所以0])()1[(−xfx，所以12函数)()1xyxf−=（在R上单调递增，而1x=时，0y=，则0y1x时，，当1x时，,01x−故0)(xf，又()fx是定义在R上的减函数，所以1x时，0)(xf也成立，∴()0

fx对任意Rx成立．5．设12x，则lnxx，2ln()xx，22lnxx的大小关系是（）A．222lnlnln()xxxxxxB．222lnlnln()xxxxxxC．222lnlnln()xxxxxx

D．222lnlnln()xxxxxx【答案】A【解析】令21,ln)(−=xxxxf，则011)('−=xxf，所以函数21,ln)(−=xxxxf为增函数，所以01)1(ln)(=−=fxxxf，所以0lnxx，即0ln1xx，

所以xxxxlnln2；又因为0lnln2lnln222−=−xxxxxxxx，所以222lnlnln()xxxxxx，故应选A.6．设奇函数()fx在R上存在导数()'fx,且在()0,+上()2'fxx,若()()()331113fmfmmm−−−−,则实数

m的取值范围为（）A．11,22−B．1,2+C．1,2−D．11,,22−+【答案】B【解析】令()31()3gxfxx=−，因为3311()()()()()033gxgxfxxfxx−+=−−−

+−=，所以函数()gx的奇函数，因为(0,)x+时，()2()0gxfxx=−，所以函数()gx在(0,)+为减函数，又题意可知，()00,(0)0fg==，所以函数()gx在R上为减函数，13所以331(1)()[(1)]3fm

fmmm−−−−，即(1)()gmgm−，所以1mm−，所以12m，故选B.7．设)(xf为函数)(xf的导函数，已知21()()ln,()xfxxfxxfee+==，则下列结论正确的是()A．()fx在(0,)+单调递增B．()fx在(0,)+单调递减C．()fx在(0,

)+上有极大值D．()fx在(0,)+上有极小值【答案】不【解析】由2'()()lnxfxxfxx+=，得ln'()()xxfxfxx+=，从而ln[()]'xxfxx=，令()()gxxfx=，则()()gxfxx=，∴22'()()ln()'()xgxgxxgxfxxx−−==

，令()ln()hxxgx=−，则11ln1ln'()'()xxhxgxxxxx−=−=−=（0x），令'()0hx，即1ln0x−，因此当0xe时，()hx是增函数，令'()0hx，即1ln0x−，因此当xe时，

()hx是减函数，由1()fee=，得()()1geefe==，∴()hx在(0,)+上有极大值()ln()110heege=−=−=，也是最大值．∴()0hx，即'()0fx，当且仅当xe=时，'()0fx=，∴()fx在(0,)+上为减函

数．故选B．8．已知定义在),0(+上的函数)(xf，满足0)()1(＞xf；)(2)()()2(xfxfxf＜＜(其中)(xf是)(xf的导函数，e是自然对数的底数)，则)2()1(ff的范围为()A.)1,21(2eeB.)1,1(2eeC.)2,(eeD.),(3ee【答案】B【解析】

设()()xfxgxe=，则()()()0xfxfxgxe−=，所以函数()gx在区间(0,)+上单调递增，所以(1)(2)gg，即2(1)(2)(1)1,(2)fffeefe；令2()()xfxhxe=，则2()2()()0xfxfxhxe−=，所以函数()hx在区

间(0,)+上单调递减，所以14(1)(2)hh，即242(1)(2)(1)1,(2)hhfeefe，综上21(1)1(2)fefe，故选B.9．若函数()fx是定义在R上的偶函数，当0x时，'()()0fxxfx+，且(4)0f−=，则不等式()0xfx的解集为（）

A．(4,0)(4,)−+B．(4,0)(0,4)−C．(,4)(4,)−−+D．(,4)(0,4)−−【答案】D【解析】当0x时,构造函数()()gxxfx=,'()()'()0gxfxxfx=+,所以函数()gx在

-0（，）上为减函数,由于()()()()()gxxfxxfxgx−=−−=−=−,所以函数()gx为奇函数,所以函数()gx在0（，+）上为减函数.且(4)(4)0gg−=−=,所以不等式()0gx解集为(,

4)(0,4)−−.故选D.10．已知定义在R上的可导函数)(xf满足：0)()('+xfxf，则122)(+−−mmemmf与)1(f的大小关系是（）A．122)(+−−mmemmf>)1(fB．122)(+

−−mmemmf<)1(fC．122)(+−−mmemmf=)1(fD．不确定【答案】A【解析】设),()(xfexgx=因为,0)()('+xfxf所以.0))()(()(''+=xfxfexgx)(xg为R上的减函数，又因为012+−mm所以12−mm，).1(

)(2gmmg−即),1()(22efmmfemm−−所以122)(+−−mmemmf>)1(f.故选A.二、填空题11．已知函数()fx是R上的奇函数，()gx是R上的偶函数，且有(1)0g=，当0x时，有'

'()()()()0fxgxfxgx+，则()()0fxgx的解集为.【答案】(1,0)(1,)−+【解析】15构造函数()()()hxfxgx=,则函数()hx是R上的奇函数.且(1)(1)0hh=

−=,当0x时，有''()()()()0fxgxfxgx+，即'()0hx,所以函数()hx在(0,)+上为增函数,且(1)0h=,则函数()hx在(,0)−上为增函数,且(1)0h−=,()0hx的解为10x−或1x.()()0fxgx的解集为(1,0)(1

,)−+.