【文档说明】江苏省南京市第一中学2020-2021学年高二下学期期中数学试卷 含解析【精准解析】.doc，共(18)页，942.000 KB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年江苏省南京一中高二（下）期中数学试卷一、单项选择题（每小题5分）.1．已知i为虚数单位，复数z满足z（2﹣i）＝i2021，则z＝（）A．B．C．D．2．质点运动规律s＝t2+3，则在时间[3，3+△t]，相应的平均速度等于（）A．6+△tB．C．3+△tD．9+△t3．如图

，空间四边形OABC中，，，点M为OA的中点，点N在线段BC上，且CN＝2NB，则＝（）A．B．C．D．4．2月18日至28日在张家口举办国际雪联自由式滑雪和单板滑雪世界锦标赛．现组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中小张和小赵

只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为（）A．12B．24C．36D．485．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨

辉的一大重要研究成果．它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年．若用ai﹣j表示三角形数阵的第i行第j个数，则a100﹣3＝（）A．5050B．4851C．4950D．50006．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上两人与下三人等，问各得几何？”其意思为：

“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊所得之和相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位），这个问题中戊所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱7．函数的

部分图象大致为（）A．B．C．D．8．定义方程f（x）＝f'（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“保值点”．如果函数g（x）＝x与函数h（x）＝ln（x+1）的“保值点”分别为α，β，那么α和β的大小关系

是（）A．α＜βB．α＞βC．α＝βD．无法确定二、多项选择题：本大题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选错得0分，部分选对得2分.9．若函数y＝f（x）的图象上存在两点，使得函

数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f（x）具有T性质，下列函数中具有T性质的是（）A．y＝cosxB．y＝lnxC．y＝exD．y＝x210．在的展开式中，下列说法正确的有（）A．所有项的二项式系数和为1

28B．所有项的系数和为0C．系数最大的项为第4项和第5项D．存在常数项11．为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周．则

（）A．某学生从中选3门，共有30种选法B．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法C．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法12．已知O为坐标原点，F1，F2分别为双曲线（a＞0

，b＞0）的左、右焦点，点P在双曲线右支上，则下列结论正确的有（）A．若PO＝PF2，则双曲线的离心率e≥2B．若△POF2是面积为的正三角形，则b2＝2C．若A2为双曲线的右顶点，PF2⊥x轴，则F2A2＝F2PD．若射线F2P与双

曲线的一条渐近线交于点Q，则|QF1﹣QF2|＜2a三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是．14．函数在（a，a+1）上单调递增，则实数a的取值

范围为．15．已知复数z对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数z的陈述如下（i为虚数单位）：甲：z+＝2；乙：z﹣＝2i；丙：z•＝4；丁：＝．在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数z＝

．16．三封信随机放入两个不同的信箱中，共有n种方法，n＝；在的展开式中，x2项的系数为.（用数字作答）四、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数f（x）＝x3﹣3

x2﹣9x+1（x∈R），g（x）＝2a﹣1（1）求函数f（x）的单调区间与极值．（2）若f（x）≥g（x）对∀x∈[﹣2，4]恒成立，求实数a的取值范围．18．在①S8＝72，②S5＝6a2，③S6＝S4+a5这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．问题：已知等差数列{an}

的前n项和为Sn，a3＝6，_____，若数列{bn}满足，求数列{an+bn}的前n项和Tn．19．为了了解本学期学生参加公益劳动的情况，某校从初高中学生中抽取100名学生，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）的数据，绘制图表的一部分如表：时间人数学

生类别[0，5）[5，10）[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）性别男69101094女51213868学段初中x81111107高中（1）从男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在[10，20）的概率；（2）设参加公益劳动时间在[25，30）的

学生中抽取3人进行面谈．记X为抽到高中的人数，求随机变量X的概率分布．20．如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ABD与△BCD都为等边三角形，平面ABD⊥平面BCD，M，O分别为AB，BD的中点，AO∩DM＝G，N在棱CD上且满足2CN＝ND，连接MC，GN．（1）证明：GN∥平

面ABC；（2）求直线AC和平面GND所成角的正弦值．21．已知椭圆的离心率为，过椭圆的左、右焦点F1，F2分别作倾斜角为的两条直线，且这两条直线之间的距离为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，过点A作与x轴垂直的直线与椭圆交于点Q，

求证：直线QB过定点．22．已知函数f（x）＝lnx+ax2+（a+2）x+2（a为常数）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a为整数，函数f（x）恰好有两个零点，求a的值．参考答案一、单项选择题

（共8小题）.1．已知i为虚数单位，复数z满足z（2﹣i）＝i2021，则z＝（）A．B．C．D．解：由z（2﹣i）＝i2021＝（i4）505•i＝i，得z＝＝，故选：A．2．质点运动规律s＝t2+3，则

在时间[3，3+△t]，相应的平均速度等于（）A．6+△tB．C．3+△tD．9+△t解：根据平均变化率的公式，则在时间（3，3+△t）平均速度为＝＝6+△t，故选：A．3．如图，空间四边形OABC中，，，点M为OA的中点，点N在线段BC上，且CN＝2NB，则＝（）A．B．C．D．解：∵M为O

A的中点，点N在线段BC上，且CN＝2NB，且，∴，，∴＝＝．故选：D．4．2月18日至28日在张家口举办国际雪联自由式滑雪和单板滑雪世界锦标赛．现组委会要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中

小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案的种数为（）A．12B．24C．36D．48解：根据题意，分2种情况讨论，①若小张、小赵只有一人选，则有选法C21C21A33＝24；②若小张、小赵都入选，则有选法A22A32＝12，共有选法12+24＝36种，

故选：C．5．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家．在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果．它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年．若用ai﹣j表

示三角形数阵的第i行第j个数，则a100﹣3＝（）A．5050B．4851C．4950D．5000解：依据二项展开式可知，第i行第j个数应为，故第100行第3个数为故选：B．6．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有

如下问题：“今有五人分五钱，令上两人与下三人等，问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊所得之和相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代一种重量单位），这个问题中戊所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱解：由

题意，可设甲、乙、丙、丁、戊五人分得的钱分别为a1，a2，a3，a4，a5．则a1，a2，a3，a4，a5成等差数列，设公差为d．a1+a2+a3+a4+a5＝5，a1+a2＝a3+a4+a5．整理上面两个算式，得：，解得，∴a

5＝a1+4d＝+4×（﹣）＝．故选：D．7．函数的部分图象大致为（）A．B．C．D．解：根据题意，函数，则f（0）＝﹣＜0，即函数图像与y轴交点在x轴下方，排除BC，当x＞3时，＞0，排除D，故选：A．8．定义方程f（x）＝f'（x）的实数根x0叫做函数f（x）的

“保值点”．如果函数g（x）＝x与函数h（x）＝ln（x+1）的“保值点”分别为α，β，那么α和β的大小关系是（）A．α＜βB．α＞βC．α＝βD．无法确定解：由题意可得，g'（x）＝1，f'（x）＝，所以α＝1，ln（β+1）＝，假设β≥1，则β+1≥2，则

，所以ln（β+1）＝≤＝ln，所以，则β＜1，这与β≥1矛盾故假设不成立，所以0＜β＜1，故α＞β．故选：B．二、多项选择题：本大题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选错得0分，部分选对得2分.9．若函数

y＝f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f（x）具有T性质，下列函数中具有T性质的是（）A．y＝cosxB．y＝lnxC．y＝exD．y＝x2解：由题意函数y＝f（x）具有T

性质，则存在x1，x2，使得f′（x1）f′（x2）＝﹣1．对于选项A，y＝cosx的导数为y′＝﹣sinx，存在x1＝，x2＝﹣，使得f′（x1）f′（x2）＝﹣1；对于选项B，y＝lnx的导数为y′＝＞0，不存在x1，x2，使得f′（x1）f′（x2）＝﹣1；对于选项C，y＝ex的导数y′＝

ex＞0，不存在x1，x2，使得f′（x1）f′（x2）＝﹣1；对于选项D，y＝x2的导数为y′＝2x，存在x1＝1，x2＝﹣，使得f′（x1）f′（x2）＝﹣1．综上，具有性质T的函数为AD．故选：A

D．10．在的展开式中，下列说法正确的有（）A．所有项的二项式系数和为128B．所有项的系数和为0C．系数最大的项为第4项和第5项D．存在常数项解：选项A：所有项的二项式系数和为27＝128，故A正确；选项B：令x＝1，则（x﹣7

＝0，所以所有项的系数的和为0，故B正确；选项C：二项式的展开式的通项为T，第四项为T，第五项为T，显然第五项的系数最大，故C错误；选项D：令7﹣2r＝0，解得r＝，故不存在常数项，故D错误；故选：AB．11．为弘扬我国古代的“六艺文化”，

某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周．则（）A．某学生从中选3门，共有30种选法B．课程“射”“御”排在不相邻两周，共有240种排法C．课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，共有144种排法

D．课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，共有504种排法解：根据题意，依次分析选项：对于A，某学生从中选3门，6门中选3门共有种，故A错误；对于B，课程“射”“御”排在不相邻两周，先排好其他的4门课程，有5个空位可选，在

其中任选2个，安排“射”“御”，共有种排法，故B错误；对于C，课程“礼”“书”“数”排在相邻三周，由捆绑法分析：将“礼”“书”“数”看成一个整体，与其他3门课程全排列，共有种排法，故C正确；对于D，课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，分2种情况讨论，若课程“乐”排在最后一周，有A55

种排法，若课程“乐”不排在最后一周，有C41C41A44种排法，则共有种排法，故D正确．故选：CD．12．已知O为坐标原点，F1，F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P在双曲线右支上，则下列结论正确的有（）A．若PO＝PF2，则双曲线的离心率e≥2B．若△POF2是面积为的正三

角形，则b2＝2C．若A2为双曲线的右顶点，PF2⊥x轴，则F2A2＝F2PD．若射线F2P与双曲线的一条渐近线交于点Q，则|QF1﹣QF2|＜2a解：对于A，因为PO＝PF2，所以OF2的中垂线x＝与双曲线有交点，即有≥a，解得e≥2，故A正确；对于B，因为△POF2是面积为的正三角

形，所以PF2＝OF2＝PO＝OF1＝c＝2，在△POF1＝180°﹣∠POF2＝120°，PF1＝＝2，所以a＝＝﹣1，故b2＝c2﹣a2＝4﹣（﹣1）2＝2，故B正确；对于C，因为A2为双曲线的右顶点，则F2A2＝c﹣a，又PF2⊥x轴，则F2P＝，所以F

2A2≠F2P，故C错误；对于D，由|QF1﹣QF2|＝||QF1﹣QP﹣PF2|＜|PF1﹣PF2|＝2a，所以|QF1﹣QF2|＜2a，故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．

若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是9．解：抛物线的准线为x＝﹣1，∵点M到焦点的距离为10，∴点M到准线x＝﹣1的距离为10，∴点M到y轴的距离为9．故答案为：9．14．函数在（a，a+1）上单调递增，则实数a的取值范围为[0，e﹣1]．解：

由f（x）＝，求导，f′（x）＝＝，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，当x＞e时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）单调递减，由题意可知，（a，a+1）⊆（0，e），即a≥0，且a+1≤e，解得a∈[0，e﹣1]，故答案为

：[0，e﹣1]．15．已知复数z对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙、丁四人对复数z的陈述如下（i为虚数单位）：甲：z+＝2；乙：z﹣＝2i；丙：z•＝4；丁：＝．在甲、乙、丙、丁四人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，

则复数z＝1+i．解：由题意可设z＝a+bi（a＞0，b＞0），∴＝a﹣bi，∴＝2a，＝2bi，＝a2+b2，＝，∴丙丁不可能同时正确，乙丁不可能同时正确，且甲、乙、丙可以知二推一，∴甲丁正确，此时a＝1，b＝1，z＝1+i，故答案为：1+i．16．三封信随机放入两个不同的信箱中，共有

n种方法，n＝8；在的展开式中，x2项的系数为﹣84.（用数字作答）解：三封信随机放入两个不同的信箱中，共有n种方法，则n＝2×2×2＝8．在＝（1+2x2）（•x8﹣•x6+•x4﹣•x2+﹣•x﹣2+•x﹣4﹣•x

﹣6+•x﹣8）展开式中，故x2项的系数为﹣+2×＝﹣56+140＝﹣84，故答案为：8，﹣84．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数f（x）＝x3﹣3x2﹣9x+1（x∈R），g（x）＝2a﹣1（1）求函数f（

x）的单调区间与极值．（2）若f（x）≥g（x）对∀x∈[﹣2，4]恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）f′（x）＝3x2﹣6x﹣9，令f′（x）＞0，解得：x＜﹣1或x＞3，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜3，故函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，

﹣1），（3，+∞），单调减区间为[﹣1，3]；故f（x）的极大值为f（﹣1）＝6，极小值f（3）＝﹣26；（2）由（1）知f（x）在[﹣2，﹣1]上单调递增，在[﹣1，3]上单调递减，在[3，4]上单调递增，又f（﹣2）＝﹣1，f（3）＝﹣26，f（3）

＜f（﹣2），∴f（x）min＝﹣26，∵f（x）﹣2a+1≥0对∀x∈[﹣2，4]恒成立，∴f（x）min≥2a﹣1，即2a﹣1≤﹣26，∴a≤﹣．18．在①S8＝72，②S5＝6a2，③S6＝S4+a5这

三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．问题：已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝6，_____，若数列{bn}满足，求数列{an+bn}的前n项和Tn．【解答】若选①，设公差为d，由S8＝72，a3＝6，得，解得，∴an＝2+2（n﹣1）＝2n，又∵，∴，则an+bn＝2n+

4n，∴＝；若选②，设公差为d，∵S5＝6a2，∴5a3＝6a2，又∵a3＝6，∴a2＝5，则d＝1，则an＝5+1×（n﹣2）＝n+3，∵，∴，∴，则＝＝；若选③，∵S6＝S4+a5，∴S6﹣S4＝a6+a5＝a5，即a6＝

0．又∵a3＝6，∴d＝，则an＝﹣2（n﹣6）＝﹣2n+12．∵，∴，则Tn＝an+bn＝﹣2（1+2+…+n）+12n+212（4﹣1+4﹣2+…+4﹣n）＝＝．19．为了了解本学期学生参加公益劳动的情况，某校从初高中学生中抽取100名学生，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）的数据，绘制

图表的一部分如表：时间人数学生类别[0，5）[5，10）[10，15）[15，20）[20，25）[25，30）性别男69101094女51213868学段初中x81111107高中（1）从男生中随机

抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在[10，20）的概率；（2）设参加公益劳动时间在[25，30）的学生中抽取3人进行面谈．记X为抽到高中的人数，求随机变量X的概率分布．解：（1）100名学生中共有男生48名，其中共有29人参加公益劳动时间在[10，20），设男生中随机抽

取1人，抽到的男生参加公益劳动时间在[10，20）的事件为A，则P（A）＝＝；（2）X的所有可能取值为0，1，2，3，∴P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴随机变量X的分布列为：X0123P．20．如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ABD与△BCD都为等边三角形

，平面ABD⊥平面BCD，M，O分别为AB，BD的中点，AO∩DM＝G，N在棱CD上且满足2CN＝ND，连接MC，GN．（1）证明：GN∥平面ABC；（2）求直线AC和平面GND所成角的正弦值．【解答】（1）证明：在△ADB中，因为M，O分别为AB，BD的中点

，AO∩DM＝G，所以G为△ADB重心，所以，又＝2，所以GN∥MC．∵GN⊄平面ABC，MC⊂平面ABC，∴GN∥平面ABC．（2）解：因为平面ABD⊥平面BCD，AO⊥BD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AO⊂平面ABD，所以A

O⊥平面BCD，连结OC，则OC⊥OD，以{}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，不妨设AB＝2，则C（，0，0），D（0，1，0），A（0，0，），G（0，0，），所以，，，设平面GND的一个法向量为＝（x，y，z），则，取x＝1，则y＝，z＝3，所以平面GND的一个

法向量为＝（1，，3），所以cos＜，＞＝，所以直线AC和平面GND所成角的正弦值为．21．已知椭圆的离心率为，过椭圆的左、右焦点F1，F2分别作倾斜角为的两条直线，且这两条直线之间的距离为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）

过F2与坐标轴不垂直的直线l与椭圆交于A，B两点，过点A作与x轴垂直的直线与椭圆交于点Q，求证：直线QB过定点．解：（1）因为过椭圆E的左右焦点的倾斜角为的两条直线的距离为，所以sin＝＝，所以c＝1，又因为椭圆的离心率为e＝＝＝，解得a＝2，b＝，所以

椭圆的方程为+＝1；（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l的方程为x＝my+1，则Q（x1，﹣y1），因为直线l与坐标轴不垂直，所以直线QB的方程为y+y1＝（x﹣x1），所以y＝x﹣＝x﹣，由，可得（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，所以y1

+y2＝﹣，y1y2＝﹣，所以y＝﹣（x﹣4），所以直线QB过定点（4，0）．22．已知函数f（x）＝lnx+ax2+（a+2）x+2（a为常数）．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a为整数，函数f（x）恰好有两个零点，求a的值．【解答】解（1）由

题意x＞0，f′（x）＝＝①若a≥0，对x＞0，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）单调递增；②若a＜0，则﹣＞0，当0＜x＜﹣时，f′（x）＞0，x＞时，f′（x）＜0，所以f（x）在（0，﹣）单调递增，在（﹣，+∞）单调递

减，（2）由（1）知，若函数f（x）恰好有两个零点，则a＜0，且f（x）在x＝处有极大值，也是最大值；f（x）max＝f（）＞0，∵f（）＝ln（﹣）+a（﹣）2+（a+2）（﹣）+2＝ln（﹣）+（﹣）+1，又∵a为整数且a＜0，∴当a＝﹣1时，且f（x）max＝f（）＝0+2＝2＞0，

当a＝﹣2时，且f（x）max＝f（）＝＞0，当a＝﹣3时，且f（x）max＝f（）＝ln+1＞0，当a＝﹣4时，且f（x）max＝f（）＝＜0，故a的值为：﹣1，﹣2，﹣3．