【文档说明】北京市第八中学2025届高三上学期期中考试数学试卷 Word版含解析.docx，共(22)页，1.406 MB，由小赞的店铺上传

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2024—2025学年度第一学期期中练习题年级：高三科目：数学考试时间：120分钟，满分：150分一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合

11Axx=−，{|0}2xBxx=−，则AB=（）A.01xxB.12xx−C.12xx−D.02xx【答案】C【解析】【分析】解不等式化简集合B，再利用并集的定义求解即得.【详解】解不等式02xx−，得(2)020xxx−−，解得02x

，则{|02}Bxx=，而11Axx=−，所以12ABxx=−.故选：C2.命题“()0,x+，elnxx”的否定为（）A.()0,x+，elnxxB.()0,x+，elnxxC.()0,x+，elnxxD.()0,x+，elnxx

【答案】D【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得：命题“()0,x+，elnxx”的否定为“()0,x+，elnxx”.故选：D．3.已知复数z满足i1

z−=，则z的取值范围是（）A.0,1B.)0,1C.)0,2D.0,2【答案】D【解析】【分析】利用i1z−=表示以(0,1)为圆心，1为半径的圆，z表示圆上的点到原点的距离可得答案.【详解】因为在复平

面内，i1z−=表示到点(0,1)距离为1的所有复数对应的点，即i1z−=表示以(0,1)为圆心，1为半径圆，z表示圆上的点到原点的距离，所以最短距离为0，最长距离为112+=，则z的取值范围是[0,2].故选：D.4.若双曲线22221xyab−=()0,

0ab的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（）A.30xy=B.30xy=C.0xy=D.50xy=【答案】A【解析】【分析】根据公式22221bcaeaa−==−，即可求解.【详解】由题意可知，2e=，则222213bcaeaa−==−=，所以双曲线的渐近线方程为3yx=，即3

0xy=.故选：A5.直线()1:31210laxay++−=和直线2:330laxy−+=，则“53a=”是“12ll⊥”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】的【分析】由题意先求出12l

l⊥的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义判断即可.【详解】由题设12ll⊥()()31230aaa++−=，解得0a=或53a=.故1253all=⊥，1253lla⊥=.所以“53a=”是“12ll⊥”的

充分不必要条件.故选：B.6.已知函数()sin()0,0,||2fxAxA=+的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.该图象对应的函数解析式为()2sin26fxx=+B.函数()yfx=图象关于直线712x=对称C

.函数()yfx=的图象关于点5,012−对称D.函数()yfx=在区间2,36−−上单调递减【答案】B【解析】【分析】先依据图像求得函数()fx的解析式，再去代入验证对称轴、对称中心、单调区间的说法.【详解】由图象可知2,4312TA==−，即T=

，所以22T==，又212f=，可得2sin2212+=，又因为||2所以3=，的所以2n2)3(sifxx=+，故A错误；当712x=时，73sin2sin2sin131232x+=+==−

.故B正确；当512=−x时，sin2sin1032x+=−=−，故C错误；当2,36x−−时，则2[,0]3+−x，函数()fx不单调递减.故D错误．故选：B7.

已知1F，2F是椭圆C：22221(0)xyabab+=的两个焦点，P为C上一点，且1260FPF=，125PFPF=，则C的离心率为（）A.216B.22C.12D.23【答案】A【解析】【分析】根据椭圆的定义分别求出21,PFPF，在12PFF中，利用余弦定理求

得,ac的关系，从而可得出答案.【详解】解：在椭圆C：22221(0)xyabab+=中，由椭圆的定义可得122PFPFa+=，因为125PFPF=，所以215,33aaPFPF==，在12PFF中，122FFc=，由余弦定理得222121212122cosFFPFPFPFP

FFPF=+−，即222222552149999aaaac=+−=，所以222136ca=，所以C的离心率216cea==.故选：A.8.函数()2sin41xxxfx=+的大致图象为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性、特

殊点的函数值来确定正确选项.【详解】()()sin,22xxxfxfx−=+的定义域为R，()()sin22xxxfxfx−−−==−+，()fx为奇函数，图象关于原点对称，排除C选项.143,()sin12201sin115

522f==+，排除BD选项.所以A选项符合.故选：A9.“打水漂”是一种游戏：按一定方式投掷石片，使石片在水面上实现多次弹跳，弹跳次数越多越好．小乐同学在玩“打水漂”游戏时，将一石片按一定方式投掷出去，石片第一次接触水面时的速度为30m/s，然后石片在水面上继续进行多

次弹跳．不考虑其他因素，假设石片每一次接触水面时的速度均为上一次的75%，若石片接触水面时的速度低于6m/s，石片就不再弹跳，沉入水底，则小乐同学这次“打水漂”石片的弹跳次数为（）（参考数据：ln20.7,ln31.1,ln51.6）A.5B.6C.

7D.8【答案】B【解析】【分析】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为x，根据题意得300.756x，即0.750.2x，根据指数函数的单调性和对数换底公式求解即可.【详解】设这次“打水漂”石片的弹跳次数为x，由题意得300.

756x，即0.750.2x，得0.75log0.2x.因为0.751lnln0.2lg55log0.25.33ln0.75ln32ln2ln4−===−，所以5.3x，即6x=.故选：B.10.已知函数2,0,()ln,0,xxxfxxxx+=

„，()()gxfxax=−，若()gx有4个零点，则a的取值范围为（）A.20,eB.10,2eC.2,1eD.1,12e【答案】B【解析】【分析】由题意可得x=0为1个零点，只需要x0时，21,0a0xxlnxxx+

=，，即y=a与y21,00xxlnxxx+=，有3个交点且交点的横坐标不为0，作出y21,00xxlnxxx+=，的图象，即可得出结论．【详解】当x=0时，g(0)=f(0)-0=0，当

x0时，由题意可得21,0a0xxlnxxx+=，，即y=a与y21,00xxlnxxx+=，有3个交点且交点的横坐标不为0，令h(x)=2x0lnxx，,令h′（x）=312l0nxx−=，则x=12e，所以h(x)在（0，12e）单调递增，在（12e

+，）上单调递减，∴y21,00xxlnxxx+=，的大致图像如图：又h(12e)=12e，若y=a与y21,00xxlnxxx+=，有3个交点且交点的横坐标不为0，则10a2e，故选B.【点睛】本题考查分段函数的零点，考查了利用导数解决函数零点的问题，考查了分

析转化问题的能力，属于中档题．二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知向量()4,2b=，若向量a在b上的投影向量为12b，且a与b不共线，请写出一个符合条件的向量a的坐标________.【

答案】()1,3（答案不唯一）【解析】【分析】根据题意，得到12abbbbb=，求得10ab=，进而可写出一个向量，得到答案.【详解】由向量()4,2b=，可得向量20b=，因为向量a在b上的投影向量为1

2b，可得12abbbbb=，可得10ab=，设(,)axy=，可得4210xy+=，取1,3xy==，此时向量a与向量b不共线，故()1,3a=.故答案为：()1,3（答案不唯一）.12.已知(2)nxy+展开式中各项系数和为243，则展开式中的第3项为____

_______.【答案】3280xy##2380yx【解析】【分析】令1xy==，即可求出展开式系数和，从而求出n，再写出展开式的通项，即可得解.【详解】解：令1xy==，得()21243n+=，解得5n=，所以5(2)xy+的展开式的

通项()555155C22CkkkkkkkkTxyxy−−−+==，则展开式的第3项为323232352C80Txyxy==．故答案为：3280xy13.已知抛物线24yx=上的点P到抛物线的焦点F的距离为6，则以线段PF的中点为圆心，PF为直径的圆被x

轴截得的弦长为________．【答案】4【解析】【分析】首先利用抛物线定义确定P点坐标，进而可得以PF的中点为圆心，|𝑃𝐹|长度为直径的圆的方程，再代入计算可得弦长.【详解】抛物线24yx=的焦点(1,0)F，准线

为=1x−，由题意得6PF=，结合抛物线定义知P点到准线的距离为6，则615px=−=，代入横坐标可得25py=，即(5,25)P，所以PF的中点坐标为(3,5)或(3,5)−，()224256PF=+=，所以以PF的中

点为圆心，|𝑃𝐹|长度为直径的圆的方程为()22(3)59xy−+−=或()22(3)59xy−++=，圆心到x轴距离为5，所以与x截得的弦长为()22954−=，故答案为：4.14.印章是我国传统文化之一，根据遗物和历史记载，至少在春秋战国时期就已出现，其形状多为长方体､圆柱体等，陕西

历史博物馆收藏的“独孤信多面体煤精组印”是一枚形状奇特的印章（如图1），该形状称为“半正多面体”（由两种或两种以上的正多边形所围成的多面体），每个正方形面上均刻有不同的印章（图中为多面体的面上的部分印章）.图2是一个由18个正方形和8个正三角形围成的“半正多面体”（其各顶点均在一个

正方体的面上），若该多面体的棱长均为1，且各个顶点均在同一球面上，则该球的表面积为__________.【答案】()522π+【解析】【分析】根据几何体的结构特征确定其外接球球心位置，根据已知求球体半径，

进而求球体表面积.【详解】由对称性知：该多面体的各顶点在棱长为21+的正方体的表面上，如图，设其外接球的球心为O，正方形ABCD的中心为1O，则点O到平面ABCD的距离1212OO+=，又122OC=，所以该多面体外接球半径222211212522222rOO

OC++=+=+=，故该球的表面积为()25224π522π2+=+.故答案为：()522π+15.已知数列{𝑎𝑛}中各项均为正数，且211(1,2,3,)nnnaaan++−==，给出下列四个结论：①对任意的*Nn，都有

1na；②数列{𝑎𝑛}可能为常数列；③若102a，则当2n时，12naa；④若12a，则数列{𝑎𝑛}为递减数列，其中正确结论是______.【答案】②③④【解析】【分析】对于①，根据一元二次方程有解得情况，利用判别式可得首项的取值范围，

可得答案；对于②，将数列每一项设成未知量，根据等式建立方程，可得答案；对于③④，由题意作函数()()0fxxx=与函数()()20gxxxx=−的图象，利用数形结合的思想，对应数列中项在图象上的位置，可得答案.【详解】对于①，将等式21

1nnnaaa++−=看作关于1na+的一元二次方程，即2110nnnaaa++−−=，该方程有解，则140na=+，所以当14na−时，方程2110nnnaaa++−−=有解，即当101a时，一定存在数列{𝑎𝑛}满足211(1,2,3,)nnnaaan

++−==，故①错误；对于②，令nax=，由题意可得2xxx−=，解得0x=（舍去）或2，常数列2,2,2,满足211(1,2,3,)nnnaaan++−==，故②正确；由题意作函数()()0fxxx=与函数()()20gxxxx=−的图象如

下：的由211(1,2,3,)nnnaaan++−==，则点()1,nnaa+在函数()gx的图象上，易知(),nnaa在函数()fx的图象上，对于③，当102a时，由()21,aa在函数()gx的图象上，则212a，由()11,aa在函数()fx的图象上，则

122aa，当2n时，102na−，由()1,nnaa−在函数()gx的图象上，则12na，由()11,nnaa−−在函数()fx的图象上，则12nnaa−，综上所述，若102a，当2n时，12naa，故③正确；对于④，当12a时，由()21,aa在函数(

)gx的图象上，且()11,aa在函数()fx的图象上，则122aa，当2na时，由()1,nnaa+在函数()gx的图象上，且(),nnaa在函数()fx的图象上，则12nnaa+，故④正确.故答案为：②③④.三、解答题共6小题，共85分.

解答应写出文字说明，演算步摖或证明过程.16.在ABCV中，222bcabc+−=．（1）求A；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使ABCV存在且唯一确定，求ABCV的面积．条件①：11cos14B=；条件②：12ab+=；条件③

：12c=．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．【答案】（1）π3（2）答案见解析【解析】【分析】（1）根据题意，利用余弦定理求得1cos2A=

，即可求解；（2）根据题意，若选择①②，求得sinB，由正弦定理求得7,5ab==，再由余弦定理求得8c=，结合面积公式，即可求解；若①③：先求得53sin14B=，由83sinsin()14CAB=+=，利用正弦定理

求得212a=，结合面积公式，即可求解；若选择②③，利用余弦定理，列出方程求得0b=，不符合题意.【小问1详解】解：因为222bcabc+−=，由余弦定理得2221cos22bcaAbc+−==，又因为(0,

π)A，所以π3A=.【小问2详解】解：由（1）知π3A=，若选①②：11cos14B=，12ab+=，由11cos14B=，可得253sin1cos14BB=−=，由正弦定理sinsinabAB=，可得12353214aa

−=，解得7a=，则125ba=−=，又由余弦定理2222cosabcbcA=+−，可得249255cc=+−，即25240cc−−=，解得8c=或3c=−（舍去），所以ABCV的面积为113sin58103222SbcA===.若选①③：11cos14B=且12c=，由11c

os14B=，可得253sin1cos14BB=−=，因为πABC++=，可得()31115343sinsin2142147CAB=+=+=，由正弦定理sinsinacAC=，可得1234327a=，解

得212a=，所以ABCV的面积为112153453sin12222142Sacb===.若选：②③：12ab+=且12c=，因为222bcabc+−=，可得22212(12)12bbb+−−=，整理得2412bb=，解得0b=，不符合题意，（舍去）.

17.已知三棱柱111ABCABC−中，12ABBB==，D是BC的中点，160BBA=o，1BDAB⊥.（1）证明：ABAC⊥；（2）若侧面11ACCA是正方形，求平面11ABBA与平面1ADC夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）55.【解析】【分析】（1）取AB

的中点O，连接1AB、OD、1OB，证明出AB⊥平面1OBD，//ODAC，由此可证得ABAC⊥；（2）以点O为坐标原点，OB、OD、1OB所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面11ABBA与平面1ADC夹角的余弦值.【详解】（1）取AB的中点O

，连接1AB、OD、1OB，因为160BBA=o，12ABBB==，故1ABB为等边三角形，因为O为AB的中点，则1OBAB⊥，因为1ABBD⊥，111OBBDB=，故AB⊥平面1OBD，OD平面1OBD，所以，ABOD⊥，O、D分

别为AB、BC的中点，则//ODAC，因此，ABAC⊥；（2）112AABB==，则四边形11ACCA是边长为2的正方形，O、D分别为AB、BC的中点，则112ODAC==，由（1）可得11sin603OBBB==，

//ODAC，11//BBAA，故OD与1BB所成角190AAC=，即1ODBB⊥，又因为ODAB⊥，1ABBBB?，OD⊥平面11AABB，1OB平面11AABB，则1ODOB⊥，所以，OD、A

B、1OB两两垂直，以点O为坐标原点，OB、OD、1OB所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则()1,0,0A−、()0,1,0D、()1,2,0C−、()10,0,3B、()1,0,0B，()11,0,3BB=−，()1,1,0AD=，()0,2,0AC=，()1111

,2,3ACACCCACBB=+=+=−，设平面1ADC的法向量为(),,nxyz=，则10230nADxynACxyz=+==−++=，为取1x=，则()1,1,3n=−，易知平面11AABB的一个法向量为()0,1,0m=ur，15cos,55mnmnmn==−=−

.因此，平面11ABBA与平面1ADC夹角的余弦值为55.18.《中华人民共和国体育法》规定，国家实行运动员技术等级制度，下表是我国现行《田径运动员技术等级标准》（单位：m）（部分摘抄）：项目国际级运动健将运动健将一级运动员二级运动员三级运动员男子跳远

8.007.807.306.505.60女子跳远6.656.355.855.204.50在某市组织考级比赛中，甲、乙、丙三名同学参加了跳远考级比赛，其中甲、乙为男生，丙为女生，为预测考级能达到国家二级及二级以上

运动员的人数，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：）：甲：6.60，6.67，6.55，6.44，6.48，6.42，6.40，6.35，6.75，6.25；乙：6.38，6.56，6.45，6.36，

6.82，7.38；丙：5.16，5.65，5.18，5.86．假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立，（1）估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率；（2）设X是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，估计X的数学期望()E

X；（3）在跳远考级比赛中，每位参加者按规则试跳6次，取6次试跳中的最好成绩作为其最终成绩本次考级比赛中，甲已完成6次试跳，丙已完成5次试跳，成绩（单位：m）如下表：第1跳第2跳第3跳第4跳第5跳第6跳甲6.506.486.476.516.466.4

9丙5.845.825.855.835.86a若丙第6次试跳的成绩为a，用2212,ss分别表示甲、丙试跳6次成绩的方差，当2212ss=时，写出a的值．（结论不要求证明）的【答案】（1）25（2）()1.4EX=（3）5.81a=或5.87a=.【解析】【分析】（1）由已知

数据计算频率，用频率估计概率；（2）由X的取值，计算相应的概率，由公式计算数学期望()EX；（3）当两人成绩满足()1,2,3,4,5,6iiyxbi=+=的模型，方差相等.【小问1详解】甲以往的10次比赛成绩中，有4次达到国家二级及二级以上

运动员标准，用频率估计概率，估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率为42105=；【小问2详解】设甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员分别为事件,,ABC，以往的比赛成绩中，用频率估计概率，有()25PA=

，()12PB=，()12PC=，X是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数，则X可能的取值为0，1，2，3，()()3113052220PXPABC====，()()()()2113113118152252252220PXPABCPABCPABC==

++=++=，()()()()2113112117252252252220PXPABCPABCPABC==++=++=，()()2112352220PXPABC====，估计X的数学期望()3872

01231.420202020EX=+++=；【小问3详解】甲的6次试跳成绩从小到大排列为：6.46,6.47,6.48,6.49,6.50,6.51，设这6次试跳成绩依次从小到大为()1,2,3,4,5,6ixi=，丙的5次试跳成绩从小到大排列为：

5.82,5.83,5.84,5.85,5.86，设丙的6次试跳成绩从小到大排列依次为()1,2,3,4,5,6iyi=，当5.81a=时，满足()0.651,2,3,4,5,6iiyxi=−=，2212ss=成立；当5.87a=时，满足()0.641,2,3,4,5,6iiyxi=−=，22

12ss=成立.所以5.81a=或5.87a=.19.已知椭圆2222:1(0)Cbbxaay+=的离心率是53，点()2,0A−在C上．（1）求C的方程；（2）过点()2,3−的直线交C于,PQ两点，直线,APAQ与

y轴的交点分别为,MN，证明：线段MN的中点为定点．【答案】（1）22194yx+=（2）证明见详解【解析】【分析】（1）根据题意列式求解,,abc，进而可得结果；（2）设直线PQ的方程，进而可求点,MN

的坐标，结合韦达定理验证2MNyy+为定值即可.【小问1详解】由题意可得222253babccea==+==，解得325abc===，所以椭圆方程为22194yx+=.【小问2详解】由题意

可知：直线PQ的斜率存在，设()()()1122:23,,,,PQykxPxyQxy=++，联立方程()2223194ykxyx=+++=，消去y得：()()()222498231630kxkkxkk+++++=，则()()()22

22Δ64236449317280kkkkkk=+−++=−，解得0k，可得()()2121222163823,4949kkkkxxxxkk+++=−=++，因为()2,0A−，则直线()11:22y

APyxx=++，令0x=，解得1122yyx=+，即1120,2yMx+,同理可得2220,2yNx+，则()()1212121222232322222yykxkxxxxx+++++++=+++()()()

()()()12211223223222kxkxkxkxxx+++++++=++()()()()1212121224342324kxxkxxkxxxx+++++=+++()()()()()()2222

22323843234231084949336163162344949kkkkkkkkkkkkkkk+++−++++===++−+++，所以线段MN的中点是定点()0,3.【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定

值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数(某些变量)无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论．20.已知函数()()221ln,fxxaxaxa=−++R.（1）若0a=，求曲线()yfx=在点()()2,2Pf处的切线方程.（2）若()fx在1x=处取得极值，求()f

x的极值.（3）若()fx在1,e上的最小值为2a−，求a的取值范围.【答案】（1）340xy−−=（2）极大值15ln224f=−−，极小值()12f=-；（3）(1],−【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义

，即可求得答案；（2）根据()fx在1x=处取得极值，求出a的值，从而判断函数的单调性，求得极值；（3）分类讨论，讨论a与区间1,e的位置关系，确定函数单调性，结合函数的最值，即可确定a的取值范围.【小问1详解】若0a=

，则()2=−fxxx，则()21fxx=−，故()()22,23ff==，故曲线()yfx=在点()()2,2Pf处的切线方程为23(2)yx−=−，即340xy−−=；【小问2详解】()()221ln,fxxaxaxa=−++R定义域为(0),+，则()()221afxxax=−++

，由于()fx在1x=处取得极值，故()()12210,1faaa=−++==，则()()()2211123123xxxxfxxxxx−−−+=−+==，令()0fx，则102x或1x，函数()fx在10(1)2,,,+

上均单调递增，令()0fx，则112x，函数()fx在1,12上单调递减，故当12x=时，()fx取到极大值11315lnln224224f=−+=−−，当1x=时，()fx取到极小值()1132f=−=−；【小问3详解】由于()(

)()(),1,e21221xxaafxxaxxx−−=−++=，当1a时，()0fx，仅在1,1ax==时等号取得，()fx在1,e上单调递增，则()min(1)2fxfa==−，符合题意；当1ea时，则1xa时，()0fx，()fx在1,a上单

调递减，eax时，()0fx，()fx在,ea上单调递增，故()min()(1)2fxfafa==−，不符合题意；当ea时，()0fx，()fx在1,e上单调递减，故()min(e)(1)2fxffa==−，不符合题意；综上

，可知a的取值范围为(1],−.【点睛】方法点睛：第三问根据函数的最小值求解参数范围，求出导数后，要分类讨论，讨论a与区间1,e的位置关系，从而确定最值，求得参数范围.21.已知有限数列12:,,,mAaaa为单调递增数列．若存在等差数列121:,,,mBbbb

+，对于A中任意一项ia，都有1iiibab+，则称数列A是长为m的数列．（1）判断下列数列是否为数列（直接写出结果）：①数列1，4，5，8；②数列2，4，8，16．（2）若(,,)abcabcR，证明：数列a，b，c为数列；（3）设M是集合{|063}xNx

的子集，且至少有28个元素，证明：M中的元素可以构成一个长为4的数列．【答案】（1）①数列1，4，5，8是数列；②数列2，4，8，16是数列；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【解析】【分析】（1）

由数列的新定义，可直接判定，得到答案；（2）分当bacb−=−，bacb−−和bacb−−三种情况讨论，结合数列的新定义，即可求解；（3）假设M中没有长为4的数列，先考虑集合{16,161,,16

15}kMkkk=++L，得到存在一个k，使得kM中没有一个元素属于M，再考虑集合,{164,1641,kjMkjkj=+++1642,1643}kjkj++++，得到存在一个j，使得,kjM中没有一个元素属于M，进

而证得集合M中至多有27个元素，即可得到结论.【详解】（1）由数列的新定义，可得数列1，4，5，8是数列；数列2，4，8，16是数列．（2）①当bacb−=−时，令1ba=，2bb=，3bc=，42bcb=−，所以数列1b，2b，3b，4b为等差数列，且1234babbbcb

≤≤≤，所以数列a，b，c为数列．②当bacb−−时，令12bbc=−，2bb=，3bc=，42bcb=−，所以数列1b，2b，3b，4b为等差数列，且1234babbbcb≤≤≤．所以数列a，b，c为数列．③当bacb−−时，令1ba=

，22acb+=，3bc=，432cab−=，所以数列1b，2b，3b，4b为等差数列，且1234babbbcb≤≤≤．所以数列a，b，c为数列．综上，若abc，数列a，b，c为数列．（3）假设M中没有长为4的数列，考虑集合{16,161,,1615}kMkkk=++

L，0k=，1，2，3．因为数列0，16，32，48，64是一个共有5项的等差数列，所以存在一个k，使得kM中没有一个元素属于M．对于其余的k，再考虑集合,{164,1641,1642,1643}kjMkjkjkjkj=+++++++，0j=，1，2，3．因为164

kj+，1644kj++，1648kj++，16412kj++，16416kj++是一个共有5项的等差数列，所以存在一个j，使得,kjM中没有一个元素属于M．因为,kjM中4个数成等差数列，所以每个,kjM中至少有一个元素不

属于M．所以集合{|063}xxN≤≤中至少有16431937++=个元素不属于集合M．所以集合M中至多有643727−=个元素，这与M中至少有28个元素矛盾．所以假设不成立．所以M中的元素必能构成长为4的数列．【点

睛】1、数列新定义问题的特点：通过给出一个新的数列概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情境，要求考生再阅读理解的基础上，以及题目提供的信息，联系所学知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；

2、遇到数列的心定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决.