【文档说明】2020上海市高考压轴卷数学含解析【精准解析】.docx，共(17)页，829.944 KB，由小赞的店铺上传

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绝密★启封前2020上海市高考压轴卷数学一、填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分．考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分．1．若集合|1,AxyxxR==−，|1,B

xxxR=，则AB=________.2．函数()29lg2cos21yxx=−+−的定义域是______.3．已知i为虚数单位，复数z满足11ziz−=+，则z________.4．设数列{}na的前n项和为nS，且对任意正整数n，都有01011012nnanS−=−，则1

a=___5．从总体中抽取6个样本：4，5，6，10，7，4，则总体方差的点估计值为________.6．已知双曲线与椭圆221166xy+=有相同的焦点，且双曲线的渐进线方程为12yx=，则此双曲线方程为_________7．已知函数()2

23fxxax=−++在区间(),4−上是增函数，则实数a的取值范围是______.8．计算：13(2)lim32nnnnn+→−−=+_________.9．某微信群中四人同时抢3个红包（金额不同），假设每人抢到的几率相同且每人最多

抢一个，则其中甲、乙都抢到红包的概率为_____.10．向量集合(),,,SaaxyxyR==,对于任意,S,以及任意()0,1,都有()1S+−,则称S为“C类集”,现有四个命题:①若S为“C类集”,则集合

,MaaSR=也是“C类集”;②若S,T都是“C类集”,则集合,MabaSbT=+也是“C类集”;③若12,AA都是“C类集”,则12AA也是“C类集”;④若12,AA都是“C类集”,且交集非空,则12AA也是“C类集”.其中正确的命题有________(填所有正

确命题的序号)11．已知a、b、2c是平面内三个单位向量，若ab⊥，则4232acabc+++−的最小值是________12．已知数列na的通项公式为52nna−=，数列nb的通项公式为nbnk=+，设,(),()nnnnnnnbabcaa

b=，若在数列nc中，5ncc对任意*nN恒成立，则实数k的取值范围是_____;二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案

的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．13．在直三棱柱111ABCABC−中，己知ABBC⊥，2ABBC==，122CC=，则异面直线1AC与11AB所成的角为（）A．30B．45C．60D．9014．已知函数()3sin2,6fxx=+

130,6x，若函数()()2Fxfx=−的所有零点依次记为1,x2,x,nx，且12nxxx，则12122nnxxxx−++++=()A．2B．113C．4D．22315．若实数x，y满足22201

yxxyy+−−，则2zxy=−的最大值是（）A．9B．12C．3D．616．对于全集U的子集A定义函数()()()10AUxAfxxA=ð为A的特征函数,设,AB为全集U的子集,下列结论中错误的是()A．

若,AB则()()ABfxfxB．()()1RAAfxfx=−ðC．()()()ABABfxfxfx=D．()()()ABABfxfxfx=+三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．正四棱锥PABCD−的底

面正方形边长是3，O是在底面上的射影，6PO=，Q是AC上的一点，过Q且与PA、BD都平行的截面为五边形EFGHL．（1）在图中作出截面EFGHL，并写出作图过程；（2）求该截面面积的最大值．18．在ABC中，内角,,ABC所对的边长分别是,,abc.（1）若2,3cC=

=，且ABC的面积3S=，求,ab的值；（2）若()()sinsinsin2ABBAA++−=，试判断ABC的形状.19．如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中30AE=米．活动中心东

西走向，与居民楼平行.从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆.为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米，其中

该太阳光线与水平线的夹角满足3tan4=.（1）若设计18AB=米，6AD=米，问能否保证上述采光要求？（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？（注：计算中

取3）20．已知椭圆C：22221(0)xyabab+=经过定点21,2E，其左右集点分别为1F，2F且1222EFEF+=，过右焦2F且与坐标轴不垂直的直线l与椭圈交于P，Q两点.（1）求椭圆C的方程：（2）

若O为坐标原点，在线段2OF上是否存在点(,0)Mm，使得以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.21．已知数列na的前n项和为nS，且满足()13aaa=，13nnnaS+=+，设3nnnbS=−，*nN.（Ⅰ

）求证：数列nb是等比数列；（Ⅱ）若1nnaa+，*nN，求实数a的最小值；（Ⅲ）当4a=时，给出一个新数列ne，其中3,1,2nnnebn==，设这个新数列的前n项和为nC，若nC可以写成pt（t，*pN且1

t，1p）的形式，则称nC为“指数型和”.问nC中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由.参考答案及解析1．【答案】1【解析】由A中1yx=−，得到10x

−…，解得：1x…，即{|1}Axx=…，由B中不等式变形得：11x−剟，即{|11}Bxx=−剟，则{1}AB=，故答案为：{1}．2．【答案】553,,,36666−−−【解析】因为()29lg2cos21yxx=−+−，所以2902co

s210xx−−，所以331cos22xx−，所以33,66xkxkkZ−−+，解得536x−−或66x−或536x.故答案为：553,,,36666−−

−3．【答案】1【解析】因为11ziz−=+，所以21(1)1(1)1(1)(1)iizziziiii−−−=+===−++−，则22||0(1)1z=+−=.故答案为：1.4．【答案】1−【解析】由011101011(

2)1021212nnnnnnaaaSnnSnnS−=−=++=−−−，令1n=，得11(2)10aa++=，解得11a=−。5．【答案】133【解析】6个样本的平均数456107466x+++++==，所以方差2

2222221[(46)(56)(66)(106)(76)(46)]6s=−+−+−+−+−+−261363==.故答案为：1336．【答案】22182xy−=【解析】221166xy+=的焦点为：()10,0双曲线的渐进线方程为12yx=，则设

双曲线方程为：222214xybb−=，焦点为()10,0故2224102bbb+==，双曲线方程为22182xy−=故答案为：22182xy−=7．【答案】)4,+【解析】()223fxxax=−++对称轴方程为xa=，()fx在区间(),4−上是增函数，所以4a.故答案为

:)4,+.8．【答案】13【解析】1112103(2)13333limlim3210312133nnnnnnnn+→→−−−−−===+++.故答案为：13.9．【答案】12【解析】某微信群中四人同时抢3个红包（金额不同），假设每人抢到的几率相同且每人

最多抢一个，则基本事件总数34nA=，其中甲、乙都抢到红包包含的基本事件个数221322mCAA=，∴其中甲、乙都抢到红包的概率2213223432214322mpAAnCA====．故答案为：12.10．【答案】①②④【解析】集合(),,,SaaxyxyR==,对于任

意,S,且任意()0,1,都有()1S+−可以把这个“C类集”理解成,任意两个S中的向量所表示的点的连线段上所表示的点都在S上,因此可以理解它的图象成直线对于①,,MaaSR=,向量a整体倍,还是表示的是直线,故①正确;对于②,因为S,T都是“C类集”,故

,MabaSbT=+还是表示的是直线,故②正确;对于③,因为12,AA都是“C类集”,可得12AA是表示两条直线,故③错误;对于④,12,AA都是“C类集”,且交集非空,可得12AA表示一个点或者两直线共线

时还是一条直线.综上所述,正确的是①②④.故答案为:①②④.11．【答案】45【解析】令2ce=rr，设(1,0)a=，(0,1)b=r，e对应的点C在单位圆上，所以问题转化为求|2||64|aeabe+++−rrrrr的最小值.因为2222(2)(2)

330aeaeea+−+=−=rrrrrr，所以|2||2|aeae+=+rrrr，所以2222|64|()|(22)6(4)|aeyabexxy++−=+++−++−rrrrr，表示C点到点(2,0)−和(6,4)的距离之和，过点(2,0)−和(6,4)的直线为220xy

-+=，原点到直线220xy-+=的距离为211(2)225=+−，所以与单位圆相交，所以|2||64|aeabe+++−rrrrr的最小值为：点(2,0)−和(6,4)之间的距离，即45.故答案为：45.12．【答案】5,3−−.【解析】连接1A

C，1BC，如图：又11ABAB，则1BAC为异面直线1AC与11AB所成的角.因为ABBC⊥，且三棱柱为直三棱柱，∴1ABCC⊥，∴AB⊥面11BCCB，∴1ABBC⊥，又2ABBC==，122CC=，∴()22122223BC=+=，∴1tan3BAC=，解得160BAC=.故选C1

4．【答案】D【解析】令262xk+=+得,62kx=+kZ，即()fx的对称轴方程为k,62x=+kZ.()fx的最小正周期为,T=130,6x，()fx在130,6x上有5条对称轴，第一条是6，最

后一条是：136；1,x2x关于6对称，2,x3x关于46对称…4,x5x关于106对称122,6xx+=2342,6xx+=3472,6xx+=,451026xx+=，将以上各式相加得：12314710222222

66663nnxxxxx−+++++=+++=.故选：D.15.【答案】A【解析】作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分）：由2zxy=−得2yxz=−，平移直线2yxz=−，由图像可知当直线2yxz=−经过点A时，直线2yxz=−的截距最小，此时z最大，

由1220yxy=−+−=，解得41xy==−，即()4,1−A，max2419z=+=.故选：A16．【答案】D【解析】()()()10AUxAfxxA=ð对于A,AB,分类讨论：①当xA,则,xB此时()()1ABf

xfx==②当xA且xB,即UxBð,此时()()0ABfxfx==，③当xA且xB,即()UxABð时,()0,()1ABfxfx==,此时()()ABfxfx综合所述,有()()ABfxfx,故A正确;对于B,1,()1()0,AUU

AxAfxfxxA==−ðð,故(2)正确；对于C,1,()0,()ABUxABfxxCAB=()1,0,UUxABxCACB=1,1,0,0,UUxAxBxCAxCB=()()ABfxfx=,故C正确;对于D

,0,()()()1,()ABABUxABfxfxfxxCAB=+,故D错误.故选:D.17．【答案】（1）见解析；（2）9.【解析】（1）由题可知，Q是AC上的一点，过Q且与PA、BD都平行的截面为五边形EFGHL

，过Q作//ELBD，交AB于点E，交AD于点L，过Q作//QGPA，交PC于点G，再过点E作//EFPA，交PB于点F，过点L作//HLPA交PD于点H，连接,,FGGHFH，//EFPA，//HLPA，//GQPA，////EFHLGQ，所以,,,,EFGHL共面，

Q平面EFGHL，//ELBD，EL平面EFGHL，//BD平面EFGHL，同理//PA平面EFGHL.所以过Q且与PA、BD都平行的截面EFGHL如下图：（2）由题意可知，//PA截面EFGHL，//BD截面EFGHL，//,//,//PAEFPAHLPAGQ，//,//BDELBD

FH，而O是在底面上的射影，6PO=，PO⊥平面ABCD，BDAC⊥，POBD⊥，且ACBDO=，所以BD⊥平面PAC，则BDPA⊥，EFEL⊥，又//FHBD，PABCD−为正四棱锥，PHPF=

，故PFGPHG△△，于是GFGH=，因此截面EFGHL是由两个全等的直角梯形组成，因//ELBD，则AEL△为等腰直角三角形，设EQx=，则QLx=，所以，322322xEFBEOQPABAOA−===，213EFxPA=−，同理得，216QGxPA=−，又

因为22922PAPOOA=+=，设截面EFGHL面积为S，所以()292222SEFQGEQxx=+=−，即：()2299922922Sxxx=−+=−−+，当且仅当2x=时，S有最大值为9.所以截面EFGHL的面积最大值为9.18．【答案】（1）2ab

==；（2）直角三角形或等腰三角形.【解析】（1）因为2,3cC==，又余弦定理可得：2222coscababC=+−，即224abab+−=①又ABC的面积3S=，所以1sin32abC=，因此4ab=②；由①②解

得：2ab==；（2）因为()()sinsinsin2ABBAA++−=，所以sincoscossinsincoscossin2sincosABABBABAAA++−=，即cossinsincosABAA=，所以cos0A=或sinsinAB

=，因此2A=或AB=，所以ABC是直角三角形或等腰三角形.19．【答案】（Ⅰ）能（Ⅱ）20AB=米且5AD=米【解析】如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．（1）因为AB＝18米，AD＝6米，所以半圆的圆心为H

(9,6)，半径r＝9.设太阳光线所在直线方程为y＝－34x＋b，即3x＋4y－4b＝0，则由2227+24-4b3+4＝9，解得b＝24或b＝32(舍)．故太阳光线所在直线方程为y＝－34x＋24,令x＝30，得EG＝1.5＜2.5.所以此时能保证上述采光要求．（2）

设AD＝h米，AB＝2r米，则半圆的圆心为H(r，h)，半径为r.方法一设太阳光线所在直线方程为y＝－34x＋b，即3x＋4y－4b＝0，由223r+4h-4b3+4＝r，解得b＝h＋2r或b＝h－r2(舍)．故太阳光线所在直线方程为y＝－34x＋h＋2

r，令x＝30，得EG＝2r＋h－452，由EG≤52，得h≤25－2r.所以S＝2rh＋12πr2＝2rh＋32×r2≤2r(25－2r)＋32×r2＝－52r2＋50r＝－52(r－10)2＋250≤250.当且仅当r＝10时取等号．所以当AB＝20米且AD＝5米时，可使得

活动中心的截面面积最大．方法二欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，则此时点G为(30,2.5)，设过点G的上述太阳光线为l1，则l1所在直线方程为y－52＝－34(x－30)，即3x＋4y－100＝0.由直线l1与半圆H相切，得r＝3r+4h-100

5.而点H(r，h)在直线l1的下方，则3r＋4h－100＜0，即r＝－3r+4h-1005，从而h＝25－2r.又S＝2rh＋12πr2＝2r(25－2r)＋32×r2＝－52r2＋50r＝－52(r－10)2＋250≤250.当且仅当r

＝10时取等号．所以当AB＝20米且AD＝5米时，可使得活动中心的截面面积最大．20．【答案】（1）2212xy+=（2）存在，m的取值范围为10,2【解析】（1）∵点E在椭圆上，且1222EFEF+=，∴222a=，2a=，又∵定点21,

2E在椭圆上，∴221112ab+=，∴1b=，∴椭圆C的方程为：2212xy+=；（2）假设存在点(,0)Mm满足条件，设11(,)Pxy，22(,)Qxy，直线l的方程为：(1)ykx=−，联立方程22(1)12ykx

xy=−+=，消去y得：2222(12)4220kxkxk+−+−=，∴21224k12kxx+=+，21222212kxxk−=+，2880k=+△，又()11,MPxmy=−，()22,MQxmy=−，()2121,PQxxyy=−−，

∴()12122,MPMQxxmyy+=+−+，由题意知.21211221(2)()(())()xxmxxMPMQPQyyyy=+−−++−+212112(2)()()0xxmxxyy=+−−+=，∵12x

x，∴21122()0xxmkyy+−++=，即()22112220xxmkxx+−++−=，则22222442201212kkmkkk−+−=++，∴2012mkm=−，∴102m，故存在点(,0)Mm，使得以MP，MQ为邻边的

平行四边形是菱形，m的取值范围为10,2.21．【答案】（I）详见解析；（II）9−；（III）3C为指数型和.【解析】（I）13nnnaS+=+，*11323,nnnnnnnSSSSSnN++−=+=+.由于3nnnbS=−，当3a

时，11113233233nnnnnnnnnnnbSSbSS++++−+−===−−，所以数列nb是等比数列.1133bSa=−=−，()132nnba−=−.（II）由（I）得()1332nnnnbSa−=−=−，()1332nnnSa

−=+−()12*12332,2,nnnnnaSSannN−−−=−=+−，所以()12,12332,2nnnanaan−−==+−.因为1nnaa+，213aaaa=+=.当2n时，()122332nnnaa−−=+−，()112332nnnaa−+=

+−，而1nnaa+，所以10nnaa+−，即()()12123322332nnnnaa−−−+−−+−()1243320nna−−=+−，化简得11243338322nnna−−−−

+=−+，由于当2n时，13832n−−+单调递减，最大值为2138312392−−+=−+=−，所以9a−，又3a，所以a的最小值为9−.（III）由（I）当4a=

时，12nnb−=，当2n时，()1212324232112nnnnC+−=++++=+=+−.13C=也符合上式，所以对正整数n都有21nnC=+.由21,12pnpntt=+−=，（*,tpN且1,1tp），t只能是不小于3的奇数.①当p为偶数时，2

21112pppnttt−=+−=，由于21pt+和21pt−都是大于1的正整数，所以存在正整数,gh，使得2212,12ppghtt+=−=，()222,2212ghhgh−−=−=，所以22h=，且2121,2ghhg−−===，相应的3n=，即有233C=，3C为

“指数型和”；②当p为奇数时，()()21111ppttttt−−=−++++，由于211pttt−++++是p个奇数之和，仍为奇数，又1t−为正偶数，所以()()21112pntttt−−++++=不成立，此时没“指数型和”.综上所述，

nC中的项存在“指数型和”，为3C.