【文档说明】专题1-7 数列求通项13类题型汇总（原卷版）.docx，共(23)页，1.350 MB，由小赞的店铺上传

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专题1-7数列求通项13类题型汇总数列求通项常见题型梳理【题型1】Sn与an【题型2】前n项积【题型3】因式分解型（正项数列）【题型4】已知等差或等比求通项【题型5】累加法（叠加法）【题型6】累乘法（叠乘法）【题型7】构造：等差、

等比，常数列【题型8】取倒数型【题型9】取倒数后进行构造【题型10】隔项等差数列求通项（和为等差）【题型11】隔项等比数列求通项（积为等比）【题型12】和为等比数列求通项【题型13】奇偶数列：奇偶项递推公式不同数列求通项常见题型梳理1、nS与nanS与na同时存在角度1：已知nS与na的

关系；或nS与n的关系用1nnSS−−，得到na例：已知()241nnSa=+，求na角度2：已知na与1nnSS−的关系；或na与1nnSS−+的关系1nnSS−−替换题中的na例：已知12(2)nnnaSSn−=；已知11nnnSa

S++=−角度3：等式中左侧含有：1niiiab=作差法（类似1nnSS−−）例子：已知123232nnaaana++++=求na2、前n项积前n项积nT角度1：已知nT和n的关系角度1：用1nnTT−，得到na例子：nb的前n项之

积()(1)*22NnnnTn+=.角度2：已知nT和na的关系角度1：用1nnTT−替换题目中na例子：已知数列na的前n项积为nT，且121nnaT+=.3、因式分解型如果式子中出现了2次项或者正项数列这些条件，可能需要因式分解例：设正项{}na的前n项和为

nS（1）若满足263nnnaSa=−,*nN,数列{}na的通项公式为__________（2）若113a=，2111(25)3nnnnaaaa++=−，{}na的通项公式为_____________（3）若

12a=，2112(4)nnnnaaaa++=−，{}na的通项公式为____________【答案】（1）33(1)3nann=+−=；（2）n1()3na=；（3）2nna=4、累加法（叠加法）若数列na满足)()(*1Nnnfaann=−+，求数列na的通项时，利用

累加法求通项公式。具体步骤：2132431(1)(2)(3)(1)nnaafaafaafaafn−−=−=−=−=−，将这1n−个式子相加（左边加左边，右边加右边）得：1naa−=11()nfn−5、累乘法（叠乘法）若数列na满足)

()(*1Nnnfaann=+，则称数列na为“变比数列”，求变比数列na的通项时，利用)2()1()3()2()1(113423121−==−nnffffaaaaaaaaaaannn求通项公式的方法称为累乘法具体步骤：2132431(1)(

2)(3)(1)nnafaafaafaafna−====−，将这1n−个式子相乘（左边乘左边，右边乘右边）得：2341231(1)(2)(3)(1)nnaaaaffffnaaaa−=−整理得：1(1)(2)(3)(1)naffffna=−6

、构造法类型1：用“待定系数法”构造等比数列形如pkaann+=+1（pk,为常数，0kp）的数列，可用“待定系数法”将原等式变形为)(1makmann+=++（其中：1−=kpm），由此构造出新的等比数列man+，从而求出数列na的通项公式.类型2：

用“同除法”构造等差数列（1）形如)(*11Nnqpqaannn+=++，可通过两边同除1+nq，将它转化为pqaqannnn+=++11，从而构造数列nnqa为等差数列，进而可求得na的通项公式.

（2）形如1*1()nnnakaqnN++=+，可通过两边同除1+nq，将它转化为111nnnnaakqqq++=+，换元令：nnnabq=，则原式化为：11nnkbbq+=+，先利用构造法类型1求出nb，再求出na的通项公式.（3）形如)0(11=−++kakaaann

nn的数列，可通过两边同除以nnaa1+，变形为kaann−=−+111的形式，从而构造出新的等差数列na1，先求出na1的通项，便可求得na的通项公式.7、倒数型用“倒数变换法”构造等差数列

类型1：形如：11nnnnpaaqaqa+++=（qp,为常数，0pq）的数列，通过两边同除1nnaa+“倒”过来，变形为qpaann+=+111，即：qpaann=−+111，从而构造出新的等差数列na1，先求出

na1的通项，即可求得na.类型2：形如11nnnnpaaqaka+++=（qp,为常数，0p，0q，0k）的数列，通过两边同除1nnaa+“倒”过来，变形为111nnqpakak+=+，可

通过换元：1nnba=，化简为：1nnqpbbkk+=+（可用“待定系数法”构造等比数列）8、隔项等差数列（和为等差）已知数列{}na，满足1(1)nnaaknb++=+−−−−，（k≠0）则21(1)(2)nnaaknb+++=++−−−−；1(1)(3)nnaa

knb−+=−+−−−−2(2)(1):nnaak+−−=；或11(1)(3):(2)nnaakn+−−−=则称数列{}na为隔项等差数列，其中：①1357,,,aaaa构成以1a为首项的等差数列，公差为k；②2468,,,aa

aa构成以2a为首项的等差数列，公差为k；9、隔项等比数列（积为等比）已知数列{}na，满足1(1)nnnaamq+=−−−−，则121(2)nnnaamq+++=−−−−；11(3)nnnaamq−−=−−−−2(2):(1)nnaqa+=（其中q为

常数）；或11(1):(2)(3)nnaqna+−=则称数列{}na为隔项等比数列，其中：①1357,,,aaaa构成以1a为首项的等比数列，公比为q；②2468,,,aaaa构成以2a为首项的等比数列，公比为q；10、和为等比数列（和为等比）已知数列{}na，满足1(1)

nnnaamq++=−−−−，则121(2)nnnaamq++++=−−−−()2(2)(1):1nnnaaqmq+−−=−，再通过累加法和错位相减求出{}na的通项公式【题型1】Sn与an1．已知数列na满足：对任意*nN，有()212333323314nnnnaaan++

+=−+，求数列na的通项公式2．（湖南师大学附中月考）已知数列na的前n项和为nS，若11a=，()12N*nnaSn+=，则有（）A．na为等差数列B．na为等比数列C．nS为等差数列D．nS为等比数

列3．已知数列{}na的前n项和为S，若11a=，12nnSa+=，则数列{}na的通项公式________4．（重庆实验外国语学校月考）（多选）若数列na满足12111,12nnaaaaan+==+++（n

为正整数），nS为数列na的前n项和则（）A．21a=B．20241012a=C．()14nnnS+=D．121113nSSS+++5．设nS为数列na的前n项和，已知*2,0,12nnnnnaaaS+=N，求na【题型

2】前n项积对于数列{}na，前n项积记为nT；①1231nnnTaaaaa−=；②11231(2)nnTaaaan−−=则①②：1(2)nnnTanT−=6．已知数列na的前n项和为()*nSnN，在数列

nb中，111ba==，()1121nnnanan−−−=−，12313nSnnbbbbb+=，求数列na，nb的通项公式7．（江苏连云港，南通调研）已知数列na的前n项积为nT，且1nnaT+=，求na的通项公式2021·全国高考乙卷（理

）——前n项积，消nS求na8．记nS为数列na的前n项和，nb为数列nS的前n项积，已知212nnSb+=．（1）证明：数列nb是等差数列;（2）求na的通项公式．【题型3】因式分解型（正项数列）9．正项递增数列na的前n项和为nS，

()2*441nnSann=+−N，求na的通项公式；10．已知各项都是正数的数列na，前n项和nS满足()2*2nnnaSan=−N，求数列na的通项公式.11．已知nS为数列na的前n项和，0na，

224nnnaaS+=,求数列na的通项公式.【题型4】已知等差或等比求通项注意与消Sn的方法进行区分12．（湖北省黄冈市9月调研）设等差数列na前n项和nS，11a=，满足()1252nnSna+=++，

•nN，求数列na的通项公式13．（苏州市高三调研）已知等比数列na中，()1*132nnnaan−++=N，求数列na的通项公式及它的前n项和nS.14．（佛山二模）已知各项均为正数的等比数

列na，其前n项和为nS，满足226nnSa+=−，求数列na的通项公式15．（潍坊一模）已知数列na为等比数列，其前n项和为nS，且满足()2nnSmmR=+，求m的值及数列na的通项公式.【题型5】累加法（叠加法）16．在数列na中，12a=，11ln(1)nn

aan+=++，则na=A．2lnn+B．2(1)lnnn+−C．2lnnn+D．1lnnn++17．已知数列na满足13a=，()111nnaann+=++，则na=（）A．14n+B．14n−C．12n+D．12n−18．已知数列na满足12a=，且()112nnn

nana−=＋＋，则4a=（）A．2B．4C．6D．819．已知数列na满足11a=，22a=，()*223nnnaan+=+N，且()*1nnnbaan+=+N，求数列nb的通项公式.【题型6】累乘法（叠

乘法）20．数列na满足12a=，()()1221nnnaann++=+N，则2022122021aaaa=+++21．已知数列na的首项为1，前n项和为nS，且()12nnnSnS+

=+，则数列na的通项公式na=.22．（2022·新高考1卷）为数列na的前n项和，已知11,nnSaa=是公差为13的等差数列，求na的通项公式.23．已知数列na的前n项和为nS，且满足()213nnSna=+−，求na的通项公式.【题型7】构造：等差

、等比，常数列24．（2020·全国Ⅲ卷）设数列{an}满足a1=3，134nnaan+=−，求an.25．已知数列na的前n项和为nS，且()222nnSna=+−，求数列na的通项公式；26．已知数列na的前n项和为nS，1

1S=，且121nnaan+=+−，求通项公式na．27．已知数列na中，114,46nnaaa+==−，则na等于（）A．2122n++B．2122n+−C．2122n−+D．2122n−−28．数列{an}满足11535nnnaa++=+，16a=

，则数列{an}的通项公式为.29．在数列na中，121,3aa==，且对任意的*Nn，都有2132nnnaaa++=−，求数列na的通项公式广东省广州市2023届高三综合测试（一）30．已知数列na的前n项和为nS，且221nnnSa+=+，求na.2023·广东惠州一模31

．已知数列na的前n项和为nS，且225nnSan=+−，求数列na的通项公式；32．已知数列na满足13a=，1211nnnaaa+=+++，则10a=（）A．80B．100C．120D．143【题型8】取倒数型33．已知数列na满足112a=，且+1=3+1nn

naaa，则数列na的通项公式为=na．34．在数列na中，若111,12nnnaaaa+==+，则na=.35．已知数列na满足211232nnnnnnaaaaaa++++−=，且1231aa==，则7a=（）A．163B．165C．1127D．1129【题型9】取

倒数后进行构造36．已知数列na满足211232nnnnnnaaaaaa++++−=，且1231aa==，则7a=（）A．163B．165C．1127D．112937．在数列{}na中，11a=，213a=，且满足1112(3)nnnn

naaaaa+−+=−(2)n，则na=.重庆市巴蜀中学校高三下学期高考适应性月考（九）38．（多选）已知数列na的前n项和为nS，11a=，且1143nnnnaaaa++=−（1n=，2，…），则（）A．13nnaa+B．51243a=C．1ln1nna+D．

17114nS【题型10】隔项等差数列求通项（和为等差）39．已知121nnaan++=+,求na的通项公式．40．已知各项均为正数的数列na满足：11a=，141nnaan++=+,求数列na的通项公式.

思路点拨：根据题意：，可推出，两式作差，判断为隔项等差数列解答过程由，可推出，两式作差所以是隔项等差数列：①构成以为首项的等差数列，公差为②构成以为首项的等差数列，公差为下结论求通项当为奇数：为第项：求通项当为偶数：

为第项：综上：无论为奇数还是偶数：.41．已知数列}{na中，对任意的+Nn,都有naann41=++，31=a，求}{na的通项公式．【题型11】隔项等比数列求通项（积为等比）42．已知正项等比数列na

对任意的*nN均满足2112nnnaa++=，12a=，求na的通项公式；思路点拨：根据题意：，可推出，两式作商，判断为隔项等比解答过程：由，可推出，两式作商所以是隔项等比数列：①构成以为首项的等比数列，公比为；②构成以为首项的等比数列，公比为；下结

论求通项当为奇数：为第项：求通项当为偶数：为第项：综上：.山东省济南市二模43．（多选）已知数列na中，11a=，12nnnaa+=，Nn，则下列说法正确的是（）A．44a=B．2na是等比数列C．12212nnnaa−−−=D．12122nnna

a+−+=2023·广东深圳二模44．已知数列na满足，13a=，21192nnnaa−+=，*Nn.(1)求数列na的通项公式；(2)证明:数列na中的任意三项均不能构成等差数列.【题型12】和为等比

数列求通项45．已知数列{}nb中，*1111,2,nnnbbbnN−+=+=，求数列2{}nb的前n和.46．（2023·重庆巴南·一模）在数列na中，已知132nnnaa++=，11a=，求na的通

项公式．47．已知数列na满足2123nnnaaa++=+，112a=，232a=．(1)求na的通项公式．思路点拨：根据题意：，可推出，两式作差变换下标，写成所以，，．．．．．．．累加，得累加求通项所以数列的前n和为求和(2)若数列

na的前n项和为nS，且()*127N4nSnn+−恒成立，求实数的取值范围．2023·浙江杭州·统二模48．设公差不为0的等差数列na的前n项和为nS，520S=，2325a

aa=．(1)求数列na的通项公式；(2)若数列nb满足11b=，1(2)nannbb++=，求数列2nb的前n项和nT．【题型13】奇偶数列：奇偶项递推公式不同2021·新高考1卷T17（1）49．已知数列na满足11a=，11,2,nnnanaan++=+

为奇数为偶数，记2nnba=，写出1b，2b，并求数列nb的通项公式50．已知数列na满足12a=，11,,2,.nnnanaan++=为奇数为偶数，记21nnba=+，求证：nb为等比数列2023·巴蜀中学高三校考5

1．已知数列na满足：①15a=；②()()12,32,nnnanaan++=+为奇数为偶数，求na的通项公式na福建师范大学附属中学高三上学期第二次月考52．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传

“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程.已知大衍数列na满足10a=，11,,nnnannaann+++=+为奇数为偶数，求na的通项公式na山东

省聊城市高三下学期第一次模拟53．已知数列na满足1322aaa+=，13,2,nnnanaan+=+为奇数为偶数，数列nc满足21nnca−=,求数列nc和na的通项公式．