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2.2.2直线的两点式方程A级必备知识基础练1.已知三角形三个顶点分别为A(-5,0),B(3,-3),C(0,2),则BC边上的中线所在的直线方程是()A.x-13y+5=0B.x-13y-5=0C.x+13y+5=0D.x+13y=02.过点P(1,4)且在x轴

、y轴上的截距的绝对值相等的直线共有()A.1条B.2条C.3条D.4条3.直线l过点(-1,-1)和(2,5),点(1011,b)在直线l上,则b的值为()A.2019B.2020C.2023D.20224.经过点A(1

,3)和B(a,4)的直线方程为.5.斜率为12,且与两坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程为.6.已知三角形三个顶点分别是A(-3,0),B(2,-2),C(0,1),求这个三角形三边各自所在直线的

方程.B级关键能力提升练7.过点(-1,1)和(3,9)的直线在x轴上的截距是()A.-32B.-23C.25D.28.若直线𝑥𝑎+𝑦𝑏=1过第一、三、四象限,则()A.a>0,b>0B.a>0,b<0C.a<0,b>0D.a<0,b<09.已知

两点A(3,0),B(0,4),动点P(x,y)在线段AB上运动,则xy()A.无最小值,且无最大值B.无最小值,但有最大值C.有最小值,但无最大值D.有最小值,且有最大值10.(多选题)过点A(4,

1)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为()A.x+y-5=0B.x-y-5=0C.x-4y=0D.x+4y=011.已知直线l过点P(2,1),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,则三角形OAB面积的最小值为.12.过点P

(4,1)作直线l分别交x轴、y轴正半轴于A,B两点,O为坐标原点.当|OA|+|OB|取最小值时,直线l的方程为.13.已知直线l过点P(4,1),(1)若直线l过点Q(-1,6),求直线l的方程;(2)若直线l在y轴上

的截距是在x轴上的截距的2倍,求直线l的方程.C级学科素养创新练14.直线过点P43,2且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点,是否存在这样的直线同时满足下列条件:(1)△AOB的周长为12;(2)△AOB的面积为6?若存在,求出直线的方程;若不存在,

请说明理由.2.2.2直线的两点式方程1.C∵B(3,-3),C(0,2),∴线段BC中点的坐标为D(0+32,2-32),即D(32,-12).则BC边上的中线应过A(-5,0),D(32,-12)两点,由两点式,得𝑦-0-1

2-0=𝑥+532+5,整理得x+13y+5=0.故选C.2.C当直线经过原点时,在x轴上的截距和在y轴上的截距都为0,符合题意;当直线不经过原点时,设直线方程为𝑥𝑎+𝑦𝑏=1,由题意得{1𝑎+4𝑏=1,|

𝑎|=|𝑏|,解得{𝑎=-3,𝑏=3或{𝑎=5,𝑏=5.综上,符合题意的直线共有3条.3.C直线l的两点式方程为𝑦-(-1)5-(-1)=𝑥-(-1)2-(-1),化简得y=2x+1,将x=1011代入,得b=2

023.4.x-(a-1)y+3a-4=0当a=1时,直线AB的斜率不存在,所求直线的方程为x=1;当a≠1时,由两点式,得𝑦-34-3=𝑥-1𝑎-1,整理,得x-(a-1)y+3a-4=0,在这个方程中,当a=1时方程也为x=1,所以,所求的直线方程为x-(a-1)y+3a-4=0.5.x

-2y+4=0或x-2y-4=0设直线方程为y=12x+b,令x=0,得y=b;令y=0,得x=-2b.所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为S=12|b|·|-2b|=b2.由b2=4,得b=±2.所以直线方程为y=12x±2,即x-2y+4=0或x-2y-4=0.6.解

由两点式方程得AB:𝑦-0-2-0=𝑥-(-3)2-(-3),即AB方程为y=-25x-65.由两点式方程得BC:𝑦-1-2-1=𝑥-02-0,即BC方程为y=-32x+1.由截距式方程,得AC:𝑥-3+𝑦1=1.即

AC方程为y=13x+1.7.A由直线的两点式方程得过点(-1,1)和(3,9)的直线方程为𝑦-19-1=𝑥+13+1,即2x-y+3=0.令y=0,得x=-32.8.B因为直线过第一、三、四象限,所以它在x轴

上的截距为正,在y轴上的截距为负,所以a>0,b<0.9.D线段AB的方程为𝑥3+𝑦4=1(0≤x≤3),于是y=41-𝑥3(0≤x≤3),从而xy=4x1-𝑥3=-43x-322+3,显然当x=32∈[0,3]时,xy取最大值为3;当x=0或3时

,xy取最小值0.10.AC当直线过点(0,0)时,直线方程为y=14x,即x-4y=0;当直线不过点(0,0)时,可设直线方程为𝑥𝑎+𝑦𝑎=1,把(4,1)代入,解得a=5,所以直线方程为x+y-5=0.综上可知,直线方程为x+y-5=0或x-4y=0.11.4

设直线l的截距式方程为𝑥𝑎+𝑦𝑏=1,依题意,a>0,b>0,又因为点P(2,1)在直线l上,所以2𝑎+1𝑏=1,即2b+a=ab.又因为△OAB面积S=12|OA|·|OB|=12ab,所以S=12ab=12(2b+a)≥2√2𝑎𝑏2=√2𝑎𝑏,当且仅当2b=a时,等号成

立,所以12ab≥√2𝑎𝑏,解这个不等式,得ab≥8.从而S=12ab≥4,当且仅当2b=a时,S取最小值4.12.x+2y-6=0设直线l的方程为𝑥𝑎+𝑦𝑏=1(a>0,b>0).由点P在直线l上,得4𝑎+1𝑏=1,∴|OA|+|OB|=a+b=(a+b

)(4𝑎+1𝑏)=5+4𝑏𝑎+𝑎𝑏≥5+2√4𝑏𝑎·𝑎𝑏=9,当且仅当4𝑏𝑎=𝑎𝑏,即a=6,b=3时,等号成立.∴直线l的方程为𝑥6+𝑦3=1,即x+2y-6=0.13.解(1)∵直线l过点P(4,1),Q(-1,6),所以直线l的方程为𝑦-16-1=𝑥-4-

1-4,即x+y-5=0.(2)由题意知,直线l的斜率存在且不为0,所以设直线l的斜率为k,则其方程为y-1=k(x-4).令x=0得,y=1-4k;令y=0得,x=4-1𝑘.∴1-4k=24-1𝑘,解得k=14或k=-2.∴直线l的方程为y-1=14(

x-4)或y-1=-2(x-4),即y=14x或2x+y-9=0.14.解存在.设直线方程为𝑥𝑎+𝑦𝑏=1(a>0,b>0),若满足条件(1),则a+b+√𝑎2+𝑏2=12.①又直线过点P43,2,∴43𝑎+2𝑏=1.②由①②可得5a2-3

2a+48=0,解得{𝑎=4,𝑏=3或{𝑎=125,𝑏=92,∴所求直线的方程为𝑥4+𝑦3=1或5𝑥12+2𝑦9=1,即3x+4y-12=0或15x+8y-36=0.若满足条件(2),则ab=12,③由题意得43𝑎

+2𝑏=1,④由③④整理得a2-6a+8=0,解得{𝑎=4,𝑏=3,或{𝑎=2,𝑏=6,∴所求直线的方程为𝑥4+𝑦3=1或𝑥2+𝑦6=1,即3x+4y-12=0或3x+y-6=0.