【文档说明】新疆昌吉回族自治州昌吉州第二中学2019-2020高二下学期期中考试数学（理科）试题【精准解析】.doc，共(17)页，1.226 MB，由小赞的店铺上传

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数学试卷（理科）一、单选题（每题5分，共60分）1.如图所示的是()yfx=的图象，则()Afx与()Bfx的大小关系是()A.()()ABfxfxB.()()ABfxfxC.()()ABfxfx=D.不能确定【答案】B【解析】试题分析：由函数图像可知函数

在A处的切点斜率比在B处的切线斜率要小，由导数的几何意义可知()()ABfxfx成立考点：导数的几何意义2.已知复数z满足21izi=+（i为虚数单位），z为z的共轭复数，则z=（）A.2B.2C.22D.4【答案】B【解

析】分析：先求复数z,再求z，再求z.详解：由题得2(1)2(1)1(1)(1)2iiiiziii−−===++−，所以221,1(1)2.ziz=−=+−=故答案为B.点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的共轭

复数和模，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2)复数(,)zabiabR=+的共轭复数,zabi=−复数(,)zabiabR=+的模22||zab=+.3.曲线()2xfxxe=−在点(0,(0))f处的切线方程是（）A.10xy++=B.10xy−+=C.10x

y+−=D.10xy−−=【答案】D【解析】【分析】利用函数和导函数在0x=处的值，写出点斜式的切线方程，然后转变为一般式方程.【详解】曲线()2()2,(0)1,(0),1xxfxxefxeff=−=−==−故切线方程为10xy−−=.故答案为D.【点睛】本题考察曲线上某点处

的切线方程的求法，难度较易.4.()fx是函数y＝f(x)的导函数，若y＝()fx的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由已知条件找到导函数()fx在(,0)−和(2,)+为正,在(0,2)为负,可

得原函数的单调性即可得答案.【详解】由已知条件找到导函数()fx在(,0)−和(2,)+为正,在(0,2)为负,可得原函数在(,0)−为增函数,在(0,2)为减函数,在(2,)+为增函数.故选:D.【点睛】本题考查了导数在函数单调性中的应用,考查了学生数形结合的能力,属于基础题.5

.在一次数学单元测验中，甲、乙、丙、丁四名考生只有一名获得了满分.这四名考生的对话如下，甲：我没考满分；乙：丙考了满分；丙：丁考了满分；丁：我没考满分.其中只有一名考生说的是真话，则考得满分的考生是（）A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】A【解析】【分析】分析四人说的话，由丙

、丁两人一定是一真一假，分丙为真与丁为真进行推理判断可得答案.【详解】解：分析四人说的话，由丙、丁两人一定是一真一假，若丙是真话，则甲也是真话，矛盾；若丁是真话，此时甲、乙、丙都是假话，甲考了满分，故选：A

.【点睛】本题主要考查合理推理与演绎推理，由丙、丁两人一定是一真一假进行讨论是解题的关键.6.用数学归纳法证明()111111111234212122nNnnnnn−+−+−=+++−++，则从k到1k+时左边添加的项是（）A.121k+B.112224kk−++C.122k−+D.

112122kk−++【答案】D【解析】【分析】根据式子的结构特征，求出当nk=时，等式的左边，再求出1nk=+时，等式的左边，比较可得所求．【详解】当nk=时，等式的左边为111111234212kk−+−++−−，当1nk=+时，等式的左边为11111

1112342122122kkkk−+−++−+−−++，故从“nk=到1nk=+”，左边所要添加的项是112122kk−++．故选：D．【点睛】本题考查用数学归纳法证明等式，注意式子的结构特征，以及从nk=到1nk=+项的变化．7.中国古代中的“

礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，指数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如

下要求：“数”必须排在第三节，且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有（）A.12种B.24种C.36种D.48种【答案】C【解析】【分析】根据“数”排在第三节，则“射”

和“御”两门课程相邻有3类排法，再考虑两者的顺序，有222A=种，剩余的3门全排列，即可求解.【详解】由题意，“数”排在第三节，则“射”和“御”两门课程相邻时，可排在第1节和第2节或第4节和第5节或第5节和第6

节，有3种，再考虑两者的顺序，有222A=种，剩余的3门全排列，安排在剩下的3个位置，有336A=种，所以“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有32636=种不同的排法.故选：C.【点睛】本题主要考查了排列、组合的应用，其中解答中认真审题，根据题设条件，先排列有限制条件的

元素是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8.已知P与Q分别为函数260xy−−=与函数21yx=+的图象上一点，则线段||PQ的最小值为()A.65B.5C.655D.6【答案】C【解析】【分析】利用导数法和两直线平行性质，将线段||PQ的最小值

转化成切点到直线距离.【详解】已知P与Q分别为函数260xy−−=与函数21yx=+的图象上一点，可知抛物线21yx=+存在某条切线与直线260xy−−=平行，则2k=，设抛物线21yx=+的切点为()200,1xx+，则由2yx=可得022x=，01x=，所以切点为(1,2)，则

切点(1,2)到直线260xy−−=的距离为线段||PQ的最小值，则min|2126|65||55PQ−−==.故选：C.【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，以及点到直线的距离公式的应用，考查转化思想和计算能力.9.函数()23xefxx=−在

2,4上的最大值为（）A.2eB.36eC.413eD.22e【答案】A【解析】【分析】对函数()yfx=求导，利用导数分析函数()yfx=的单调性，求出极值，再结合端点函数值得出函数()yfx=的最大值．【详解】()23xefxx=−，()()(

)()()()22222231333xxexxexxfxxx−−+−==−−，令()0fx=，由于24x，得3x=.当23x时，()0fx；当34x时，()0fx．因此，函数()yfx=在3x=处取得最小值，在2x=或4x=

处取得最大值，()22fe=，()()4222421313eefeef===，因此，()()2max2fxfe==，故选A．【点睛】本题考查利用导数求解函数的最值，一般而言，利用导数求函数在闭区间上的最值的

基本步骤如下：（1）求导，利用导数分析函数在闭区间上的单调性；（2）求出函数的极值；（3）将函数的极值与端点函数值比较大小，可得出函数的最大值和最小值．10.已知函数()(1)elnxfxxax=−−在1[,3]2上单调

递减，则a的取值范围是（）A.)39,e+B.(3,9e−C.)24,e+D.(2,4e−【答案】A【解析】【分析】等价于'()e0xafxxx=−„在1[,3]2上恒成立，即2

exax…在1[,3]2上恒成立，再构造函数2()exgxx=并求g(x)的最大值得解.【详解】'()e0xafxxx=−„在1[,3]2上恒成立，则2exax…在1[,3]2上恒成立，令2()exgxx=，()2'()2e0xgxxx=+，所以()gx在1[,3]2单

调递增，故g(x)的最大值为g(3)=39e.故39ae.故选A【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，属于基础题.11.设函数'()fx是奇函数()fx（xR）的导函数，(1)0f−=，当0x时，'()()0xfxfx−，则

使得()0fx成立的x的取值范围是（）A.(,1)(0,1)−−B.(1,0)(1,)-??C.(,1)(1,0)−−−D.(0,1)(1,)+【答案】A【解析】【详解】构造新函数()()fxgxx=,()()()2'xfxfxgxx−=，当0x时()'0gx.所以在

()0,+上()()fxgxx=单减，又()10f=，即()10g=.所以()()0fxgxx=可得01x,此时()0fx，又()fx为奇函数，所以()0fx在()(),00,−+上的解集为：()(),10,1−−

.故选A.点睛：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如()()xfxfx−，想到构造()()fxgxx=.一般：（1）条件含有()()fxfx+，就构造()()xgxefx=,（2）若()()fxfx−

，就构造()()xfxgxe=，（3）()()2fxfx+，就构造()()2xgxefx=，（4）()()2fxfx−就构造()()2xfxgxe=，等便于给出导数时联想构造函数.12.已知不等式()ln11xaxb+−+对一切1x−都成立，

则ba的最小值是（）A.1e−B.eC.31e−−D.1【答案】A【解析】【分析】令()ln11yxaxb=+−−−，求出导数，分类讨论，进而得到ln2baa−++，可得ln2aaaba−++，通过导数求出单调区间和极值、最值，进而得到ba的最小值．【详解】令()ln11y

xaxb=+−−−，则11yax=−+，若0a，则0y恒成立，1x−时函数递增，无最值．若0a，由0y=得1axa−=，当11axa−−时，0y，函数递增；当1axa−时，0y，函数递减．则1axa−=处取得

极大值，也为最大值ln2aab−+−−，ln20aab−+−−，ln2baa−+−，ln2aabaa−+−，令ln2aata−+−=，2ln1ata+=，()10,e−上，0t，()1,e−+上，0t，1ae−=时，min1te=−，ba的最小值为1e−．

故选：A．【点睛】本题考查了利用导数解决恒成立问题，意在考查学生的计算能力和转化能力.二、填空题（每题5分，共20分）13.设复数21iz=+（i为虚数单位），则z的虚部为______.【答案】1−【解析】【分析】利用复数的除法运算，求出z，即可得出其虚

部.【详解】∵22(1)2(1)11(1)(1)2iiziiii−−====−++−，∴复数z的虚部为1−.故答案为：1−.【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数的概念，属于基础题.14.1202xxdx−+=_____

_____【答案】4【解析】1202xxdx−+表示以(1,0)为圆心,1为半径的圆的14个圆的面积,所以14π×12=4；故答案为415.6人排成一排合影，甲乙相邻但乙丙不相邻，共有____（用数字）种不同的排法.【答案】192【解析】【分析】先将甲乙两人捆

绑在一起看成一个人且内部自排，再与除丙外的其他3人排列，最后将丙插空放入，保证与乙不相邻即可.【详解】第一步：甲乙相邻，共有222A=种排法；第二步：将甲乙看成一个人，与除丙外的其他3人排列，共有：4424A=种排法；第三步：将丙插空放入，保证与乙不相邻，共有：144A=种排法；根据分步

计数原理可得，共有2244192=种排法.故答案为:192【点睛】本题主要考查有限制条件的排列问题，属于中档题.解有限制条件的排列问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确，分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终，同时需掌握有限制条件的

排列问题的求解方法.16.“克拉茨猜想”又称“31n+猜想”，是德国数学家洛萨•克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n为奇数就将它乘3加1,不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能

够得到1.己知正整数m经过6次运算后得到1，则m的值为__________．【答案】10或64.【解析】【分析】从第六项为1出发，按照规则逐步进行逆向分析，可求出m的所有可能的取值．【详解】如果正整数m按照上述规则经过6次运算得到1，则经过5次运算

后得到的一定是2；经过4次运算后得到的一定是4；经过3次运算后得到的为8或1（不合题意）；经过2次运算后得到的是16；经过1次运算后得到的是5或32；所以开始时的数为10或64．所以正整数m的值为10或

64．故答案为10或64．【点睛】本题考查推理的应用，解题的关键是按照逆向思维的方式进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题．三、解答题（17题10分，其余各题12分）17.为支援武汉抗击疫情，某医院准备从6名医生和3名护士中选出5人组成一个医疗小组远赴武汉，请解

答下列问题：（用数字作答）(1)如果这个医疗小组中医生和护士都不能少于2人，共有多少种不同的建组方案？(2)医生甲要担任医疗小组组长，所以必选，而且医疗小组必须医生和护士都有，共有多少种不同的建组方案？【答案】(1)75种

；(2)65种【解析】【分析】(1)根据题设可知可能的情况有医生3人护士2人和医生2人护士3人，再根据组合问题的求解方法求解即可；(2)先求出除去医生甲后且不考虑必须医生护士都有的建组方案的种数，再减去只有医生、护士的情况种

数，即可的到答案.【详解】(1)如果这个医疗小组中医生和护士都不能少于2人，可能的情况有医生3人护士2人和医生2人护士3人，所以共3223636375CCCC+=种不同的建组方案.答：共有75种不同的建组方案．(2)由已知，除去医生甲后且不考虑必须医生护士都有的建组方案

共488765701234C==种，其中只有医生的情况数有455C=，不可能存在只有护士的情况．故共有70565−=种不同的建组方案.答：共有65种不同的建组方案.【点睛】本题主要考查组合的实际应用，属于基础题.解组合问题，应按元素的性质进行分类，分类标

准明确，不重不漏，在事件的正面较多的情况下，可以考虑用排除法求解.18.已知函数32()3xfxx=+.(I)求()fx的减区间;(II)当[1,1]x−时,求()fx的值域.【答案】(I)(2,0)−(II)4[0

,]3【解析】【分析】(I)对函数进行求导，求出导函数小于零时，x的取值范围即可．(II)利用导数求出函数的增区间，结合（1），判断当1,1x−时，函数的单调性，然后求出最值．【详解】解:(I)由

函数()323xfxx=+,求导()22fxxx=+当()220fxxx=+,解得()2,0x−即()fx的减区间()2,0−(II)当()220fxxx=+,解得()(),20,x−−+即()fx在1,0−上递减,在

0,1上递增()()()()0max1,1ffxff−故()fx的值域40,3【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性及在闭区间上的最值问题．19.如图，设()2,4A是抛物线2:Cyx=上的一点．（Ⅰ）求该抛物线在点A处的切线l的方程；（Ⅱ）

求曲线C、直线l和x轴所围成的图形的面积．【答案】（Ⅰ）44yx=−（Ⅱ）23【解析】【分析】（Ⅰ）求导数可得切线斜率，从而利用直线的点斜式得到切线方程；（Ⅱ）利用定积分可求曲线C、直线l和x轴所围成的图形的面积．【详解】（Ⅰ）因为2

yx=，所以2yx=所以直线l在A处的斜率2|4xky===则切线l的方程为()442yx−=−即44yx=−（Ⅱ）由（Ⅰ）可知14yx=+，所以由定积分可得面积342203224121221|44404838330ySydyyyy=+

−=+−=+−−=所以曲线C、直线l和x轴所围成的图形的面为23．【点睛】本题考查求过曲线上一点的切线方程以及利用定积分求面积，属于简单题．20.已知()()()()()()11111,121231fngnfffnn

fn=++++=+++−−.（1）写出()2g，()3g，()4g的值；（2）归纳()gn的值，并用数学归纳法加以证明.【答案】（1）()22g=，()33g=，()44g=；（2）()gnn=，证明见解析.【解析】【分析】(1)由题意结合所给

的条件首先求得()()()2,3,4fff的值，然后求解()2g，()3g，()4g的值即可；(2)结合(1)中的结果首先猜想()gn的值，然后用数学归纳法加以证明即可.【详解】(1)由题意可得：f(1)=1，13(2)122f=+=，1111(3)1236

f=++=，11125(4)123412f=+++=.1(2)(1)2(2)1gff==−，1(3)[(1)(2)]3(3)1gfff=+=−，1(4)[(1)(2)(3)]4(4)1gffff=++=−.(2)由(1)猜想g(n)=n(n⩾2).下面利用数学归纳法证明：①当n=

2时，猜想成立；②假设当*,)2(nkkNk=…时，g(k)=k.即1()[(1)(2)(1)]()1gkfffkkfk=+++−=−，∴f(1)+f(2)+…+f(k−1)=kf(k)−k，则当n=k+1时，1(1)[(1)(2)()](1)1gkfffkfk+=++++−1

[(1)()]1()11kfkkfkk=+−+−+=k+1，因此当n=k+1时，命题g(k+1)=k+1成立.综上可得：*nN，g(n)=n(n⩾2)成立.【点睛】本题主要考查递推关系的应用，归纳推理的应用，数学归纳法的证明方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21.已知函数(

)ln1fxaxx=++.(1)若1a=−，求函数()fx的最大值；(2)对任意的0x，不等式()xfxe恒成立，求实数a的取值范围.【答案】(1)0；(2)1aae−【解析】【分析】(1)当1a=−时，()ln1(0)fxxxx=−++，利

用导数研究其单调性，即可求出()fx的最大值；(2)不等式ln1xaxxe++恒成立，等价于ln1xexax−−在()0,+恒成立，令()ln1xexgxx−−=，0x，只需利用导数求出函数()gx的最小值即可.【详解】(1)当1a=−时，()ln1fxxx=−++，定

义域为()0,+，()111xfxxx−=−+=.令()0fx，得01x；令()0fx，得1x.因此，函数()yfx=的单调递增区间为()0,1，单调递减区间为()1,+；所以()()max1

0==fxf(2)不等式ln1xaxxe++恒成立，等价于ln1xexax−−在()0,+恒成立，令()ln1xexgxx−−=，0x，故只需()minagx即可，()()21lnxxexgxx−+=，令()()1lnxhxxex=−+，0x，则()1

0xhxxex=+，所以()yhx=在()0,+单调递增，而()10h=，所以()0,1x时，()0hx，即()0gx，()ygx=在()0,1单调递减；()1,x+时，()0hx，即(

)0gx，()ygx=在()1,+单调递增，所以在1x=处()ygx=取得最小值()11ge=−，所以1ae−≤，即实数a的取值范围是1aae−.【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值及分离参数法解决恒成立问题，属于

中档题．恒成立问题常用方法有：①分离参数求最值法；②含参求最值法；③数形结合法．22.设0a，函数()222lnfxxaxax=−−．（1）当1a=时，求函数()fx的单调区间；（2）若函数()yfx=在区间()0,+上有

唯一零点，试求a的值．【答案】（1）()fx的单调减区间是150,2+，单调增区间是15,2++；（2）12.【解析】【分析】（1）将1a=代入()fx中可得()222lnfxxxx=−−（0x）,令()0fx=,解得152x+=,进而求得单调区间；（

2）令()0fx=,解得21402aaax−+=（舍）,22402aaax++=,可得函数()fx在()20,x上单调递减,在()2,x+上单调递增,则()()2minfxfx=,由于函数()yfx=在区间()0,+上有唯一零点,则()20fx=,整理即为2212ln0xx−−

=,设()2ln1gxxx=+−,可得()2ln1gxxx=+−在()0,+是单调递增的,则()10g=,进而求得a【详解】（1）函数()222lnfxxaxax=−−,当1a=时,()222lnfxxxx=−−（0x）,∴()2222222xxfxxxx−−=−−=,令()

0fx=,即210xx−−=,解得152x+=或152x−=（舍）,∴150,2x+时,()0fx；15,02x+时,()0fx,∴()fx的单调减区间是150,2+

,单调增区间是15,2++（2）()222lnfxxaxax=−−则()2222222axaxafxxaxx−−=−−=,令()0fx=,得20xaxa−−=,∵0a,∴240aa=+,

∴方程的解为21402aaax−+=（舍）,22402aaax++=；∴函数()fx在()20,x上单调递减,在()2,x+上单调递增，∴()()2minfxfx=,若函数()yfx=在区间()0,+上有唯一零点,则()20fx=,而2x满足222xa

xa=+,∴()()222222222ln122ln0fxaxaaxaxaxxx=+−−=+−−=,即2212ln0xx−−=,设()2ln1gxxx=+−,∵()2ln1gxxx=+−在()0,+是单调递增的,∴()gx至多只有一个零点,而()10g=,∴用21x=代入22

2xaxa=+,得10aa−−=,解得12a=【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性,考查函数零点及不等式的应用问题