【文档说明】第6章反比例函数 题型解读4 反比例函数与面积题型-北师大版九年级数学上册.docx，共(10)页，796.646 KB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-66b1e53ddde9cd4bdad0203bdb77ffa0.html

以下为本文档部分文字说明：

《反比例函数》题型全解4反比例函数与面积题型一.基础图形【知识梳理】1.系数K的几何意义与面积的关系设P为双曲线y=kx上任意一点，过点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足分别为M、N，则两垂线段与坐标轴所围成的的矩形PMON的面积

为S=|PM|×|PN|=|y|×|x|=|xy|=|k|1.基础图形(1)过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积S为值|k|(2)在直角三角形ABO中，面积S=|k|2(3)在直角三角形ACB中，面积为S=2|k|(4)在三角形AMB中，面积为S=|k|【典型例题】例

1.如图，已知A点是反比例函数的图象上一点，AB⊥y轴于B，且△ABO的面积为3，则k的值为．解析：𝑆∆𝐴𝐵𝑂=|k|2=3,∴k=6PBAOPBAO2例2.如图，在AOBRt中，点A是直线mxy+=与双曲线xmy=在第一象限的交点，且2=

AOBS，则m的值是_____.4解析：𝑆∆𝐴𝑂𝐵=|k|2=2,∴k=4例3.如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=的图象交于A（﹣2，m），B（4，﹣2）两点，与x轴交于C点，过A作AD⊥x轴于D．（1）求这两个函数的

解析式：（2）求△ADC的面积．解：（1）∵反比例函数y=的图象过B（4，﹣2）点，∴k=4×（﹣2）=﹣8，∴反比例函数的解析式为y=﹣；∵反比例函数y=的图象过点A（﹣2，m），∴m=﹣=4，即A（﹣2，4）．∵一次函数y=ax+b的图象过A（﹣2，4），B（4，﹣2）

两点，∴，解得∴y=﹣x+2；（2）∵直线AB：y=﹣x+2交x轴于点C，∴C（2，0）．∵AD⊥x轴于D，A（﹣2，4），∴CD=2﹣（﹣2）=4，AD=4，∴S△ADC=•CD•AD=×4×4=8．二.典型图形3【知识梳理】①如图，S∆

AOB=S梯形ACDB=12×|xA−xB|×|yA+yB|证明：S梯形ACDB=S四边形AOBD−S∆AOC，S∆AOB=S四边形AOBD−S∆BOD，∵S∆AOC=S∆BOD=|k|2，∴S∆AOB=S梯形ACDB例4.如图，点E，F在函数y=

kx（x＞0）的图象上，直线EF分别与x轴、y轴交于点A，B，且BE：BF=1：4．过点E作EP⊥y轴于P，已知△OEP的面积为1，则k值是，△OEF的面积是解析：∵△OEP的面积为1，∴k=2，∴反比例函数解析式为y=2x，过点F做FH⊥y轴于点

H，∵PE//FH，∴PEFH=BEBF=14，即FH=4P，设E点坐标为（m，2m），则F点的坐标为（4m，12m），∵S△OEF+S△OFD=S△OEC+S梯形ECDF，而S△OFD=S△OEC=1，∴S∆OEF=S梯形E

PHF=12(m+4m)∙(2m−12m)=154②如下图，结论：4(Ⅰ).S∆AMO=S∆BNO=|K|2;(Ⅱ).S∆OMP=S∆ONP(∵S∆APO=S∆BPO)(Ⅲ).S四边形OMPN=S矩形APBO−S∆AMO−S∆OBN=S矩形A

PBO−|K|(Ⅳ).NBPN=AMPM（∵高相等，∴NBPN=S∆OBNS∆OPN=S∆AMOS∆OPM=AMPM）(Ⅴ).MN//AB（∵NBPN=AMPM）(Ⅵ).如果M（或N）是中点，则N（或M）也是中点.（∵四个小三角形的面积对应相等）(Ⅶ).四边形AEFM、BFEN为

平行四边形，△AEN≌△MFB，AN=BM例5：如图，已知点P（6，3），过点P作PM⊥x轴于点M，PN⊥y轴于点N，反比例函数y=kx的图象交PM于点A，交PN于点B．若四边形OAPB的面积为12，则k=．解析：利用上面结论(Ⅲ)S四边形OMPN=S矩形APBO−|K|

可得：12=16-K，K=4例6：如图，反比例函数y=kx（k＞0）的图象与矩形ABCO的两边相交于E，F两点，若E是AB的中点，S△BEF=2，则k的值为．解析：E是中点，则F也是中点，过E、F分别作

垂线，则把矩形分成四块面积相等的小矩形S△BEF=2，则每块小矩形的面积=4，K=S矩形AOGE=85③如图：BCBA=OD2OA2例7.已知D为OA的中点，S∆AOC=12，则k=________④.三垂直模型例8.如图，在函数y1=k1x(x<0)和y2

=k2x(x>0)和的图像上，分别有A、B两点，若AB//x轴，交y轴于点C，且OA⊥OB，S∆AOC=12,S∆BOC=92,则线段AB=____(9m,m9)(m,m9)NMxyAOBCCBOAyx6解析：如图解答，设由S∆AOC=

12可得y1=1x，由S∆BOC=92可得y2=9x，设B(m,9m)，由AB//x轴可得A坐标为（-9m，𝑚9）,分别作AM、BN垂直x轴，则△AMO∽△ONB,可得AM:OM=ON:BN，𝑚9:9m=𝑚:𝑚9,解得m=9√3，则A(−√33,√3),B(3√3

,√3),则AB=10√33三.反比例函数与面积问题三种解题方法（一）.利用基础图形与面积关系解题例9．如图所示，反比例函数y=kx（k≠0，x＞0）的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D．若矩形OABC的面积为8，则k的值为．解：连接O

B，过D作DE⊥OA于E，∵OABC是矩形，由矩形性质易得：S∆ODE=18S矩形OABC=1，∵S∆ODE=k2，∴k=2.例10.如图，已知双曲线y=kx（k＞0）经过Rt△OAB斜边OB的中点D

，与直角边AB交于点C，若S∆OBC=3，则k=____.解析：△OBC是基础图形，过点D作DE⊥x轴于点E，则△ODE也是基础图形，∵D是中点，DE//AB，∴S∆ODES∆OAB=(OBOA)2=14，∵S∆ODE=k2，∴S∆OAB=2k，

∵S∆OCA=k2，∴S∆OAB=S∆OBC+S∆OCA=3+k2=2k，∴k=2.（二）.利用典型图形与面积关系解题例11.如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=6x（x＞0）的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为_____7解析：题目图形是反

比例函数面积问题典型图形中的“三垂直模型”，∴过点B作BC⊥x轴于点C，过点A作AD⊥x轴于点D，可得S∆OAD=62=3，S∆OAD=k2，且易证△BCO∽△ODA，∴S∆OADS∆OCB=(OAOB)2，∵∠OAB=30°,根据特殊三角形的边角关系，OAOB=

√3，∴S∆OADS∆OCB=3，∴S∆OAD=1=k2，∴k=2，∵经过B点的反比例函数图像在第二象限，∴反比例函数解析式为：y=﹣2x.8例12.如图，A，B是反比例函数y=4x在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是

___________解析：题目图形属于反比例函数面积问题中的典型图形。S∆ODE=S梯形ACDB=12(BD+AC)∙CD=12(yB+yA)∙(xB−xA)，由题易知A(2,2)，B(4,1)，S∆ODE=S梯形ACDB=12(BD+AC)∙CD=12(yB+yA

)∙(xB−xA)=12×(2+1)×(4−2)=3（三）利用参数法巧解面积问题1.特殊值法-------适用“已知反比例函数解析式的填选题”例13.如图，反比例函数y=2x的图像经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的面积为_________解析：

∵D在反比例函数图像上，假设D的坐标为（1，2），又∵D是AB的中点，∴B的坐标为（1，4），∴矩形OABC的面积为4.2.特殊位置法---适用“反比例函数中的动点问题”例14.如图,点A是双曲线xy6−=在第二象限分支上的一个动点,连接AO

并延长交另一分支于点B,以AB为底作等腰ΔABC,且∠ACB=120°,点C在第一象限,随着点A的运动点C的位置也不断变化,但点C始终在双曲线xky=上运动,则k的值为__________.9解析：考查反比例函数几何综合，中等难度题，可用特殊值法解题。由于点C的位置也不断变化，但点C始终在双曲线

y=kx上运动，可以取AB正好运动到y=−x与y=−3x交点时，则A（−√3，√3），∴OA=√6。连接OC，∵△ACB是以AB作底的等腰三角形，且∠ACB=120°，∴OC⊥AB，且C在y=x上，∠CAO=30°，∴OC=OA√3

=√2，∴C（1，1），∴K=1.例15.如图，直线y=-x+b与双曲线y=1x(x>0)交于A、B两点，与X轴、y轴分别交于点E、F两点，转接OA、OB，若S∆AOB=S∆OBF+S∆OAE，则b=____________解析：假设M、B、A正好是中心

，此时面积关系符合题目条件要求，利用中点坐标公式解答比较简单。E(b,0),F(0,b),M(𝑏2,𝑏2),B(𝑏4,3𝑏4),𝑏4×3𝑏4=1,解得b=43√3．2.字母参数法例16.如图，四边形ABCD为正方形．点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，﹣3），反比例函数y=kx的

图象经过点C，一次函数y=ax+b的图象经过点C，一次函数y=ax+b的图象经过点A，（1）求反比例函数与一次函数的解析式；（2）求点P是反比例函数图象上的一点，△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，求P点的坐标．10解：（1）∵点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（0，﹣3），∴A

B=5，∵四边形ABCD为正方形，∴点C的坐标为（5，﹣3）．∵反比例函数y=kx的图象经过点C，∴−3=k5，解得k=﹣15，∴反比例函数的解析式为y=−15x；∵一次函数y=ax+b的图象经过点A，C，∴{b=25a+b=−3，解得{a=−1b=2，∴一次函数的解析式为y=﹣x+2；（2）设P

点的坐标为（x，y）．∵△OAP的面积恰好等于正方形ABCD的面积，∴12×OA•|x|=52，∴12×2|x|=25，解得x=±25．当x=25时，y=−1525=−35；当x=﹣25时，y=15−25=35，∴P点的坐标为（25，﹣3

5）或（﹣25，35）．