【文档说明】【精准解析】山东省济宁市嘉祥县第一中学2020届高三下学期第四模拟考试(考前训练二)数学试题.doc,共(26)页,2.716 MB,由小赞的店铺上传
转载请保留链接:https://www.doc5u.com/view-66b0f4e02acdb21548be59f04b5e1b6b.html
以下为本文档部分文字说明:
嘉祥一中2017级高三下学期第4次模拟考试数学试题一、单选题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.四个选项中只有一项符合题目要求.)1.已知集合()ln1Axyx==−,220Bxxx=−−,
则AB=()A.1xx−B.12xxC.12xxD.2xx【答案】B【解析】【分析】分别求出集合,AB,根据交集定义即可得出结果.【详解】{|1}Axx=,{|12}Bxx=−,{|12}ABxx=.故选:B.【点睛】本题考查集合的交集运算,属于基
础题.2.在复平面内,复数z=i对应的点为Z,将向量OZ绕原点O按逆时针方向旋转6,所得向量对应的复数是()A.1322i−+B.3122i−+C.1322i−−D.3122i−−【答案】A【解析】【分析】由复数z求得点Z的坐标,得到向量OZ的坐
标,逆时针旋转6,得到向量OB的坐标,则对应的复数可求.【详解】解:∵复数z=i(i为虚数单位)在复平面中对应点Z(0,1),∴OZ=(0,1),将OZ绕原点O逆时针旋转6得到OB,设OB=(a,b)
,0,0ab,则3cos62OZOBbOZOB===,即32b=,又221ab+=,解得:13,22ab=−=,∴13,22OB=−,对应复数为1322i−+.故选:A.【点睛】本题考查复数的代数表示法及其几何意义,是基础题.3
.已知向量a是单位向量,()3,4b=,且//abrr,则2ab−=()A.11B.9C.11或9D.121或81【答案】C【解析】【分析】根据题意,由//abrr,可知两向量的夹角为0或π,利用向量数量积求模长,计算可求解.【详解】由题意,因为//abrr,则两向量的夹角为0或π,则有5
b=,cos5abab==则()()22221454511abab−=−=−+=或9.故选:C.【点睛】本题主要考查向量数量积以及向量模长的运算,属于基础题.4.“仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”,孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“
仁义礼智信”排成一排,“仁”排在第一-位,且“智信”相邻的概率为()A.110B.15C.310D.25【答案】A【解析】【分析】利用特殊元素及捆绑法得“仁”排在第一位,且“智信”相邻的排法有2323AA种排法,利用古典概型求解即可【详解】“仁义
礼智信”排成一排,任意排有55A种排法,其中“仁”排在第一位,且“智信”相邻的排法有2323AA种排法,故概率232355110AAPA==故选:A【点睛】本题考查排列问题及古典概型,特殊元素优先考虑,捆绑插空是常见方法,是基础题5.已知直线,ab与平
面,,且//,abb⊥,则⊥是//a的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分必要条件的定义说明两个命题的真假.【详解】在//,abb⊥时,则a⊥,若⊥,则
有//a或a,不充分,若//a,设过a作一平面与相交于直线c,则//ac,从而c⊥,所以⊥,必要性成立,因此就在是必要不充分条件.故选:B.【点睛】本题考查充分必要条件的判断,考查线面平行与面面垂直的关系,掌握线面间的位置关系和面面垂直
的判定定理是解题关键.6.若函数13()sincos22fxxx=+在2,上单调递增,则的最大值为()A.3B.52C.73D.136【答案】D【解析】【分析】由三角恒等变换化简函数解析式,求出正弦函数的单调增区间,即可得出的最大值.【详解】由题意可得()si
n3fxx=+,令22,232kxkkZ−++得52266kxkkZ−+,,令1k=,得71366x,所以的最大值为136.故选:D【点睛】本题主要考查了利用正弦型函数的单调性求参数的范围,属于中档题.7.已知O为等腰直角三角
形POD的直角顶点,以OP为旋转轴旋转一周得到几何体,CD是底面圆O上的弦,COD△为等边三角形,则异面直线OC与PD所成角的余弦值为()A.14B.24C.34D.22【答案】B【解析】【分析】设OPr=,过点D作OC的平行线,与CD平行的半径交于点E,找出异面直线OC
与PD所成角,然后通过解三角形可得出所求角的余弦值.【详解】设OPr=,过点D作OC的平行线,与CD平行的半径交于点E,则OEOCCDODr====,2PCPDr==,所以PDE为异面直线OC与PD所成的角,在三角形PDE中
,2PEPDr==,DEr=,所以22cos42rPDEr==.故选:B.【点睛】本题考查异面直线所成角余弦值的计算,一般通过平移直线的方法找到异面直线所成的角,考查计算能力,属于中等题.8.已知函数()gx,()hx分别是定义在R上的偶函数和奇函数,
且()()sinxgxhexxx++=−,若函数()()20202320202xfgxx−=−−−有唯一零点,则实数的值为()A.1−或12B.1或12−C.1−或2D.2−或1【答案】A【解析】【分析】根据题意,利用函
数的奇偶性,求出()2xxeegx−+=,结合函数的对称性得出20203x−和()2020gx−都关于2020x=对称,由()fx有唯一零点,可知()20200f=,即可求.【详解】解:已知()()si
nxgxhexxx++=−,①且()gx,()hx分别是R上的偶函数和奇函数,则()()()sinxxgxexxh−+−−−=++,得:()()sinxexxgxhx−−=−+,②①+②得:()2xxeegx−+=,由于2020x−关于2020x=对
称,则20203x−关于2020x=对称,()gx为偶函数,关于y轴对称,则()2020gx−关于2020x=对称,由于()()20202320202xfgxx−=−−−有唯一零点,则必有()20200f=,()01g=,即:()()0223021202020fg
=−−=−−=,解得:1=−或12.故选:A.【点睛】本题考查函数基本性质的应用,涉及函数的奇偶函数,对称性和零点,考查函数思想和分析能力.二、多选题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求的,全选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得
0分.)9.随着2022年北京冬奥会的临近,中国冰雪产业快速发展,冰雪运动人数快速上升,冰雪运动市场需求得到释放.如图是2012-2018年中国雪场滑雪人数(单位:万人)与同比增长情况统计图则下面结论中正确的是
().A.2012-2018年,中国雪场滑雪人数逐年增加;B.2013-2015年,中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加;C.中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人,因此这两年的同比增长率均有提高;D.2016-2018年,中国雪场滑雪人
数的增长率约为23.4%.【答案】AB【解析】【分析】根据条形图判断人数增减性,即可判断A;根据折线图判断同比增长率增减性,即可判断B;根据折线图判断同比增长率,即可判断C;计算2016-2018年滑雪人数的增长率可判断D.【详解】根据条形图知,20
12-2018年,中国雪场滑雪人数逐年增加,所以A正确;根据条形图知,2013-2015年,中国雪场滑雪人数逐年增加,根据折线图知,2013-2015年,中国雪场滑雪人数同比增长率逐年增加,所以B正确;根据条形图知,中国雪场2015年比2014年
增加的滑雪人数为12501030220−=万人,2018年比2017年增加的滑雪人数为19701750220−=万人,根据折线图知,2015年比2014年同比增长率上升,但2018年比2017年同比增长率有下降,故C错误;2016-20
18年,中国雪场滑雪人数的增长率约为1970151030.5%1510−,故D错误;故选:AB【点睛】本题考查条形图与折线图、增长率,考查数据分析能力,属基础题.10.将函数()2sin26fxx=+的图象向右平移12个单位
长度,再向上平移1个单位长度,得到()gx的图象,若()()129gxgx=,且12,[2,2]xx−,则()12sinxx+的可能取值为()A.12B.1−C.1D.0【答案】BC【解析】【分析】由三角函数图象变换得出()gx的解析式,然后由正弦函数性质求出12,xx的可能值,再判断各
选项.【详解】由题意()2sin21gxx=+,()gx的最大值为3,最小值为-1,因此12()()9gxgx=,则12()()3gxgx==,由()2sin213gxx=+=得222xk=+,4xk=+,kZ
,又12,[2,2]xx−,所以12735,{,,,}4444xx−−,设1122,44xkxk=+=+,12,kkZ,则1212()2xxkk+=++,则当12kk+偶数(例如112235
1,,1,)44kxkx=−=−==)时,()12sinxx+=1,当12kk+奇数(例如112250,,1,)44kxkx====)时,()12sinxx+=-1,故选:BC.【点睛】本题考查三角函数的图象变换,考查正弦函数的性质.解题
关键是利用正弦函数性质得出12,xx的所有可能取值.11.设双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左,右焦点分别为12,FF,过1F的直线l分别与双曲线左右两支交于,MN两点,以MN为直径的圆过2F,且2212MFMNMN=,则以下结
论正确的是()A.12120FMF=;B.双曲线C的离心率为3;C.双曲线C的渐近线方程为2yx=;D.直线l的斜率为1.【答案】BC【解析】【分析】由2212MFMNMN=推导出22FMFN=,
然后根据双曲线的定义推理判断各选项.【详解】如图,作2FDMN⊥于D,则2222211cos22MFMNMFMNFMNMNMDMNMN====,所以12MDMN=,所以D是MN中点,从而22FMFN=,根据双曲线定义21122,2MFMFaNFNF
a−=−=,所以124NFNFMNa−==,又以MN为直径的圆过2F,所以22MFNF⊥,2245MNFNMF==,于是12135FMF=,A错;又得2222MFNFa==,1(222)NFa=+,由余弦定理2221212122cos45FFNFNFNFNF=+−得22222
4(22)(222)222(222)2caaaa=++−+,化简得223ca=,所以3==cea,B正确;由222223cabaa+==得222ba=,即2ba=,所以渐近线方程为2yx=,C正确;易知12245NFFNMF=,所以12tan1MNkNF
F=,D错.故选:BC.【点睛】本题考查直线与双曲线相交问题,考查双曲线的离心率、渐近线方程,考查平面向量的数量积,解题关键是由数量积的关系得出等腰三角形,由双曲线的定义得出各线段长(用a表示).本题属于中档题.12.如图,在边长为4的正三角形ABC中,E为边AB的中点,过E作EDAC⊥于D.
把ADE沿DE翻折至1ADE△的位置,连结1AC.翻折过程中,其中正确的结论是()A.1DEAC⊥;B.存在某个位置,使1AEBE⊥;C.若12CFFA=,则BF的长是定值;D.若12CFFA=,则四面体CEFB−的体积最大值为439【答案】AC
D【解析】【分析】根据线面垂直的性质判断A,B;取AC中点M,可证明FMBM⊥,从而可计算出BF,判断C;折叠过程中,BCE不动,当F到平面ABC的距离最大时,四面体CEFB−的体积最大,从而计算出最大体积后判断D.【
详解】由DEDC⊥,1DEAD⊥,1DCADD=得DE⊥平面1ADC,又1AC平面1ADC,所以1DEAC⊥,A正确;若存在某个位置,使1AEBE⊥,如图,连接11,AAAB,因为BEAE=,所以1A
EAB⊥,连接CE,正ABC中,CEAB⊥,1CEAEE=,所以AB⊥平面1ACE,而1AC平面1ACE,所以1ABAC⊥,由选项A的判断有1DEAC⊥,且DEABE=,DE平面ABC,ABÌ平面ABC,所以1AC⊥
平面ABC,又DC平面ABC,所以1ACDC⊥,则1ADCD,这是不可能的,事实上11111cos602443ADADAEAEABACCD======,B错;设M是AC中点,连接,FMBM,则BMAC⊥,所以//BMDE,从而1BMAD⊥,D
是AM中点,所以2CMAMMD==,若12CFFA=,即12CFFA=,所以1//FMAD,所以BMFM⊥,且由1//FMAD得1CFMCAD△△,所以123FMCMADCD==,ABC边长为4,则11AD=,22133FM==,23BM=,()222
22472333BFBMFM=+=+=为定值,C正确;折叠过程中,1AD不变,BCE不动,当F到平面ABC的距离最大时,四面体CEFB−的体积最大,由选项C的判断知当1AD⊥平面ABC时,F到平面ABC的距离最大且为12233AD=,又21342324BC
ES==△,所以此最大值为124323339CEFBFBCEVV−−===,D正确.故选:ACD.【点睛】本题考查折叠过程中的线面间的位置关系,考查线面垂直的判定与性质,考查棱锥的体积计算,本题考查学生的分析问题解决问题的能力,考查空间想象能
力,属于中档题.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.已知随机变量服从正态分布2(2,)N,且(4)0.8P=,则()02=.【答案】0.3【解析】试题分析:正态分布均值为2=,()240.80.50.3Px=−=,故()020.3Px
=.考点:正态分布.14.若多项式()()()10112110110112111xxaaxaxax+=+++++++,则10a=______.【答案】22−【解析】【分析】由二项式定理及其展开式通项公式得111122[(1)1]xx=+−展开式的通项为111112(1)
(1)rrrrTCx−+=+−,令1110r−=,解得1r=,则110112(1)22aC=−=−,得解.【详解】由111122[(1)1]xx=+−展开式的通项为111112(1)(1)rrrrTCx−+=+−,令1110r−=,解得1r=,则110112(1)22
aC=−=−,故答案为:22−.【点睛】本题考查了二项式定理及其展开式通项公式,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.15.ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc,若cos2cos0aBbA+=,则tantanAB=_
______,tanC的最大值是________.【答案】(1).2−(2).24【解析】【分析】(1)由cos2cos0aBbA+=可得tanA与tanB的关系,即可求得tantanAB的值;(2)利用诱导公式将tanC用tanA
、tanB表示,再利用基本不等式,即可得答案;【详解】cos2cos0aBbA+=,sincos2sincos0sincos2sincostan2tanABBAABBAAB+==−=−,tan2tanA
B=−;tantan1tant1tantnan(n)12atatanABBCABABB++=+=−−=−由于求tanC的最大值,只需考虑tan0B的情况,所以41ttantnan112a222BBC==+,等号成立当且仅当n21tantaBB=.故答案为:2−;24.【点
睛】本题考查正弦定理、诱导公式、基本不等式求最值,考查函数与方程思想、转化与化归思想,考查逻辑推理能力、运算求解能力,求解时注意利用基本不等式求最值,要考虑等号成立的条件.16.已知函数()fx的导函数为()fx,且对任意的实数x都
有23()()xxfxfxe+=−(e是自然对数的底数),且(0)1f=,若关于x的不等式()0fxm−的解集中恰有两个整数,则实数m的取值范围是_________.【答案】(,0]e−【解析】【分析】由'23()()xxfxfxe+=−得()()'23xfxfxe
x+=+,即()'23xfxex=+.设()23xfxexxc=++,由(0)1f=得1c=,从而()()'21()xxxfxe+−=−.判断函数()fx的单调性,数形结合求实数m的取值范围.【详解】()()''23()(),23xxxfxfxfxfxexe+=−
+=+,即()'23xfxex=+.设()()2233,xxxxcfxexxcfxe++=++=.()231(0)1,1,xxxfcfxe++===,()()2'212()xxxxxxfxee+−−−+==−.由'()0fx,得21x−;由'
()0fx,得1x或2x−,函数()fx在()2,1−上单调递增,在(),2−−和()1,+上单调递减,如图所示当2x=−时,()2minfxe=−.又()()31,3fefe−=−−=,且0x时,()0fx,由图象可知,要使不等式()fxm的解集中恰有两个整数,需满足(1)
0fm−,即0em−.所以实数m的取值范围为(,0e−.故答案为:(,0e−.【点睛】本题考查利用导数求参数的取值范围,考查数形结合的数学思想方法,属于难题.四.解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.)17.已知
ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,2a=.设F为线段AC上一点,2CFBF=,有下列条件:①2c=;②23b=;③2223ababc+−=.请从以上三个条件中任选两个,求CBF的大小和ABF的面积.【答案】4CBF=;ABF的面积为1【解析】【分析】若选①②,则2ac==,
23b=,根据余弦定理即可求出23ABC=,结合等腰三角形的性质和三角形的内角和得出6AC==,再根据正弦定理求出4CBF=,通过三角形内角和关系求得ABFAFB=,则2AFAB==,最后利用三角形面积公式即可
求出ABF的面积;若选②③,2a=,23b=,2223ababc+−=,可求得2c=,根据余弦定理即可求出6C=,三角形的内角和得出6AC==,再根据正弦定理求出4CBF=,通过三角形内角和关系求得ABFAFB=,则2AFAB==,最后利用三角形面积公式即可求出
ABF的面积;若选①③,则2ac==,2223ababc+−=,由余弦定理可求出6C=,由ac=,结合等腰三角形的性质和三角形的内角和得出6AC==,由三角形内角和关系得出23ABCAC=−−=,再根据正弦定理求出4CBF=,通过
三角形内角和关系求得ABFAFB=,则2AFAB==,最后利用三角形面积公式即可求出ABF的面积.【详解】(解法一)选①②,则2ac==,23b=,由余弦定理可得:2221cos22acbABCac+−==−,又()0,ABC,∴23ABC=,
∴6AC==,在BCF中,由正弦定理可得sinsinCFBFCBFC=,∵2CFBF=,∴2sin2CBF=,又23CBFABC=,∴4CBF=,∴253412ABF=−=,5512612AFB=−−=,则在ABF中,ABFAFB=,∴2AFAB
==,∴122sin126ABFS==△.(解法二)选②③,∵2a=,23b=,2223ababc+−=,∴2c=,由余弦定理可得:2223cos22abcCab+−==,又()0,C,∴6C=,∴6AC==,∴23
ABCAC=−−=,在BCF中,由正弦定理可得sinsinCFBFCBFC=,∵2CFBF=,∴2sin2CBF=.又23CBFCBA=,∴4CBF=,∴253412ABF=−=,5512612AFB=−−=,则在ABF中
,ABFAFB=,∴2AFAB==,∴122sin126ABFS==△.(解法三)选①③,则2ac==,2223ababc+−=,则:2223abcab+−=,由余弦定理可得:2223cos22abcCab+−==,又()0,C,∴6C=,∵ac=,∴6AC==,∴23ABC
AC=−−=,在BCF中,由正弦定理可得sinsinCFBFCBFC=,∵2CFBF=,∴2sin2CBF=,又23CBFCBA=,∴4CBF=,∴253412ABF=−
=,5512612AFB=−−=,则在ABF中,ABFAFB=,∴2AFAB==,∴122sin126ABFS==△.【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形和三角形的面积公式,还涉及三角形的内角和以及等腰三角形的性质,考查运算能力.18.已知数列na为
正项等比数列,数列nb为等差数列,312b=,520b=,且32ab=,58ab=.(1)求数列na和数列nb的通项公式;(2)将数列na中的第3项,第6项,第9项,,第3n项,删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列
nc,求数列nc的前2021项和.【答案】(1)2nna=;4nbn=(2)101020867−【解析】【分析】(1)运用等差等比数列的基本知识运算即可.(2)将数列na中的第3项、第6项、第9项删去后构成的新数列nc中的奇数项与偶数项仍成等比数列,然后利用分
组求和法求出答案即可.【详解】(1)设数列na首项为1a,公比为q,数列nb首项为1b,公差为d.因为351220bb==,所以11212420,bdbd+=+=解得144bd==,所以4
nbn=.因为328ab==,5832ab==,所以12a=,公比2q=,所以2nna=.(2)由题意知,将数列na中的第3项、第6项、第9项删去后构成的新数列nc中的奇数项与偶数项仍成等比
数列,首项分别是12a=,24a=,公比均是8.()()202113520212462020Tcccccccc=+++++++++()()101110101010218418208618187−−
−=+=−−.【点睛】常见数列的求和方法:公式法(等差等比数列)、分组求和法、裂项相消法、错位相减法.19.在四棱锥PABCD−中,23BCBDDC===,2ADABPDPB====.(1)若点E为PC的中点,求证://BE平
面PAD;(2)当平面PBD⊥平面ABCD时,求二面角CPDB−−的余弦值.【答案】(1)见解析;(2)1313.【解析】【分析】(I)结合平面与平面平行判定,得到平面BEM平行平面PAD,结合平面与平面性质,证明结论.(II)建立空间坐标系,分别计算平面PCD和平面P
DB的法向量,结合向量数量积公式,计算余弦值,即可.【详解】(Ⅰ)取CD的中点为M,连结EM,BM.由已知得,BCD为等边三角形,BMCD⊥.∵2ADAB==,23BD=,∴30ADBABD==,∴90ADC=,∴//BMAD.又∵BM平面
PAD,AD平面PAD,∴BM∥平面PAD.∵E为PC的中点,M为CD的中点,∴EM∥PD.又∵EM平面PAD,PD平面PAD,∴EM∥平面PAD.∵EMBMM=,∴平面BEM∥平面PAD.∵BE平面BEM,∴BE∥平
面PAD.(Ⅱ)连结AC,交BD于点O,连结PO,由对称性知,O为BD的中点,且ACBD⊥,POBD⊥.∵平面PBD⊥平面ABCD,POBD⊥,∴PO⊥平面ABCD,1POAO==,3CO=.以O为坐标原点,OC的方
向为x轴正方向,建立空间直角坐标系Oxyz−.则D(0,3−,0),C(3,0,0),P(0,0,1).易知平面PBD的一个法向量为()1100n=,,.设平面PCD的法向量为()2nxyz=,,,则2nDC⊥,2nDP⊥,∴2200nDCnDP=
=,∵()330DC=,,,()031DP=,,,∴33030xyyz+=+=.令3y=,得13xz=−=−,,∴()2133n,,=−−,∴121212113cos1313nnnnnn−===−,.设二面角CPDB−−的大小为,则13cos13=.【点睛】本
道题考查了平面与平面平行判定和性质,考查了空间向量数量积公式,关键建立空间坐标系,难度偏难.20.发展“会员”、提供优惠,成为不少实体店在网购冲击下吸引客流的重要方式.某连锁店为了吸引会员,在2019年春节
期间推出一系列优惠促销活动.抽奖返现便是针对“白金卡会员”、“金卡会员”、“银卡会员”、“基本会员”不同级别的会员享受不同的优惠的一项活动:“白金卡会员”、“金卡会员”、“银卡会员”、“基本会员”分别有4次、3次、2次、1次抽奖机会.抽奖机如图:抽奖者第一次按下
抽奖键,在正四面体的顶点O出现一个小球,再次按下抽奖键,小球以相等的可能移向邻近的顶点之一,再次按下抽奖键,小球又以相等的可能移向邻近的顶点之一……每一个顶点上均有一个发光器,小球在某点时,该点等可能发红光或蓝光,若出现红光则获得2个单位现金,若出现蓝光则获
得3个单位现金.(1)求“银卡会员”获得奖金的分布列;(2)()1,2,3,4,iPi=L表示第i次按下抽奖键,小球出现在O点处的概率.①求1P,2P,3P,4P的值;②写出1nP+与nP关系式,并说明理由.【答案】(1)详见解析;(2)①11P=,20P=,313P=,429P=
;②11133nnPP+=−,理由详见解析.【解析】【分析】(1)设“银卡会员”获得奖金为个单位现金,得出的取值以及相应的概率,最后列出分布列;(2)①第一次按下抽奖键小球一定出现在正四面体的顶点O,
得出11P=,第二次按下时,小球移向其它相邻点,则20P=,第三次按下时,由于小球不在点O,则313P=,第四次按下时,可分两种情况进行讨论,得出429P=;②分两种情况进行讨论,第一种:第n次按下抽奖键小球出现在O点
处,第二种:第n按下抽奖键小球不在O点处,根据独立事件的性质,即可得出1nP+与nP关系式.【详解】(1)设“银卡会员”获得奖金为个单位现金,则可取4,5,6()1114224P===;()111
52222P===;()1116224P===的分布列:456P141214(2)①第一次按下抽奖键小球一定出现在正四面体的顶点O,得出11P=第二次按下时,小球移向其它相邻点,则20P=第三次按下时,由
于小球不在点O,则313P=第四次按下抽奖键时若第三次结束小球在点O,则第四次按下抽奖键时小球出现在点O的概率为0若第三次结束小球不在点O,则第四次按下抽奖键时小球出现在点O的概率为1121339−=422099P=+=.②由题意知:若第n次按下抽奖键小球出现在
O点处,则第1n+次小球出现在O点处的概率为0;若第n按下抽奖键小球不在O点处,则第1n+次小球出现在O点处的概率为13.∴()111101333nnnnPPPP+=+−=−.【点睛】本题主要考查了求离散型随机变量
的分布列以及独立事件的实际应用,属于中档题.21.如图,已知抛物线E:22xpy=(0p)与圆O:225xy+=相交于A,B两点,且AB4=.过劣弧AB上的动点()00,Pxy作圆O的切线交抛物线E于C,D两点,分别以C,D为切点作抛物线E的
切线1l,2l,相交于点M.(1)求抛物线E的方程;(2)求点M到直线CD距离的最大值.【答案】(1)24xy=;(2)1855.【解析】【分析】(1)利用AB4=求得圆心O到弦AB的距离为1,即可求得点B的坐标为()2,1,将
()2,1B代入抛物线方程可得2p=,问题得解(2)设2111,4Cxx,2221,4Dxx,分别求得1l与2l的方程,即可求得点M的横、纵坐标为()1212xxx=+,1214yxx=,联立直线CD的方程和抛物线方程可得:01204xxx
y+=−,12020xxy=−,即可得点M的横、纵坐标为002xxy=−,05yy=−,再由点到直线距离公式可得点M到直线00:5CDxxyy+=的距离为:00102105yyd−+=,01,5y
,利用其单调性可得:max1855d=,问题得解【详解】(1)AB4=,且B在圆上,所以圆心O到弦AB的距离2521d=−=由抛物线和圆的对称性可得()2,1B,代入抛物线可得42p=,解得2p=,∴抛物线E的方程为24xy=;(2)设2111,4Cxx,2221,4
Dxx,由24xy=,可得214yx=,∴12yx=,则1l的方程为:()21111142yxxxx−=−,即2111124yxxx=−——①,同理2l的方程为:2221124yxxx=−——②,联立①②解得()1212xxx=+,1214yxx=,又直线CD与圆22
5xy+=切于点()00,Pxy,易得CD方程为005xxyy+=,其中0x,0y满足22005xy+=,01,5y,联立20045xyxxyy=+=,化简得2004200yxxx+−=,∴01204xx
xy+=−,12020xxy=−,设(),Mxy,则()0120212xxxxy=+=−,120154yxxy==−,∴点M到直线00:5CDxxyy+=的距离为:200002200210552105xyyydxy−−−−+==+,01,5y易知d关于0y单调
递减,max1021018555d−+==,即点M到直线CD距离的最大值为1855.【点睛】本题主要考查了圆的弦长公式及圆上的点的切线知识、点到直线距离公式,还考查了韦达定理及转化能力、计算能力,属于难题22.已知函数(R).(1)当14a=时,求函数()yfx=的单调区间;
(2)若对任意实数(1,2)b,当(1,]xb−时,函数()fx的最大值为()fb,求a的取值范围.【答案】(Ⅰ)函数()fx的单调递增区间为(1,0)−和(1,)+,单调递减区间为(0,1);(Ⅱ)[1ln2,)−+【解析】试题分析:(1)求函数的单调区间,实质上就是解不等式'
()0fx得增区间,解不等式'()0fx得减区间;(2)函数的最大值一般与函数的单调性联系在一起,本题中[2(12)]'()(1)(1)xaxafxxx−−=−+,其单调性要对a进行分类,0a时,函数()fx在(1,0)−上单调递增,在(0,)+上单调递减,不合题意,故有0a,按极
值点112a−与0的大小分类研究单调性有最大值.试题解析:(1)当14a=时,21()ln(1)4fxxxx=++−,则11(1)()1(1)122(1)xxfxxxxx−=+−=−++,令()0fx,得10x−
或1x;令()0fx,得01x,∴函数()fx的单调递增区间为(1,0)−和(1,)+,单调递减区间为(0,1).(2)由题意[2(12)]()(1)(1)xaxafxxx−−−+=,(1)当
0a时,函数()fx在(1,0)−上单调递增,在(0,)+上单调递减,此时,不存在实数(1,2)b,使得当(1,]xb−时,函数()fx的最大值为()fb.(2)当0a时,令()0fx=,有
10x=,2112xa=−,①当12a=时,函数()fx在(1,)−+上单调递增,显然符合题意.②当1102a−即102a时,函数()fx在(1,0)−和1(1,)2a−+上单调递增,在1(0,1)2a−上单调递减,()fx在0x=处取得极
大值,且(0)0f=,要使对任意实数(1,2)b,当(1,]xb−时,函数()fx的最大值为()fb,只需(1)0f,解得1ln2a−,又102a,所以此时实数a的取值范围是11ln22a−.③当1102a−即12a时,函数()fx在1(1,1)2a−−和(0
,)+上单调递增,在1(1,0)2a−上单调递减,要存在实数(1,2)b,使得当(1,]xb−时,函数()fx的最大值为()fb,需1(1)(1)2ffa−,代入化简得1ln2ln2104aa++−,①令11()ln2ln21()42gaaaa=++−,因为11()(
1)04gaaa=−恒成立,故恒有11()()ln2022gag=−,所以12a时,①式恒成立,综上,实数a的取值范围是[1ln2,)−+.考点:函数的单调性与最值.【名题点晴】本题实质考查导数的应用,主要围绕利
用导数研究函数的单调性、极值(最值)展开,这类问题一般是设计求函数的单调区间、极值、最值,已知单调区间求参数或者参数范围等,在考查导数研究函数性质的同时考查分类与整合思想、转化与化归思想等数学思想方法.要注意分类讨论时分类标准的确定,函数的最值与函数极值的区别与联系.