【文档说明】江苏省江浦高级中学2021届高三上学期数学检测（十五）（12月）.docx，共(11)页，1.051 MB，由小赞的店铺上传

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江苏省江浦高级中学2020-2021学年第一学期高三数学检测（十五）一、选择题（每小题5分，共8小题40分）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.下列函数中,既是偶函数又是区间上的增函数的是()A.B.C.D.3.数列的一个通项公式是()A.B.C.D.4.已知集合,,则“且”成

立的充要条件是()A.B.C.D.5.双曲线的渐近线方程为()A.B.C.D.6.已知变量和的统计数据如表根据上表可得回归直线方程，据此可以预测，当时，()A.B.C.D.7.在中,,,,则()A.B.C.D.8.已知函数，设，且的零点均在区间内，其中,，，则的最小整数解为（）A.B.C.D.1二

、多选题（每小题5分，共4小题20分）9.若直线过点且与抛物线只有一个公共点,则直线的方程可能为()A.B.C.D.10.已知数列满足,,则下列结论正确的是()A.数列{an}为等差数列B.数列{1an}为等差数列C.an=15D.an=12n-111.如图所示,垂

直于以为直径的圆所在的平面,为圆上异于,的任一点,则下列关系中正确的是()A.B.C.平面D.12.设函数,若存在唯一的满足,则正实数可能的取值为()A.B.C.D.三、填空题（每小题5分，共4小题20分）13.已知,,则函数为增函数的概率为_______.14.已知向量,,若与

共线,则的值为__________.15.若圆上恰有个点到直线的距离等于,则____16.若对任意,恒成立,则的取值范围是__________.四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第2

2题12分，共6小题70分）17.已知函数.（1）求函数的解析式；（2）求的图象的对称中心及的递减区间.18.如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，.（1）求证：平面平面；（2）设是上的动点，求与平面所成最大角的正

切值；（3）求二面角的余弦值.19.在公差不为零的等差数列中,已知,且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为,记,求数列的前项和．20.某班位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:,,,,,.(1)求图中的值;(2)从成绩不低于分的学生中随

机选取人,该人中成绩在分以上(含分)的人数记为,求得数学期望.21.设函数,.(1)当时,求函数的极值;(2)若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.22.如图，已知椭圆经过点，离心率.（1）求椭圆的标准方程；（2）设是经过右焦

点的任一弦（不经过点），直线与直线相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列．江苏省江浦高级中学2020-2021学年第一学期数学检测（十五）一、选择题（每小题5分，共8小题40分）1.已知集合，，则（B）A.B.C.D.解：.

选B2.下列函数中,既是偶函数又是区间上的增函数的是(B)A.B.C.D.解：因为A项是奇函数,故错,C,D两项是偶函数,但在上是减函数,故错,只有B项既满足是偶函数,又满足在区间上是增函数.选B3.数列的一个通

项公式是(C)A.B.C.D.解：因为数列的前几项可写为,则可知其一个通项公式是,也可以通过验证法排除得到选项C.选C4.已知集合,,则“且”成立的充要条件是(D)A.B.C.D.解：由已知条件:若满足,则,若,则,所以.

选D5.双曲线的渐近线方程为(B)A.B.C.D.解：双曲线的渐近线方程为.选B6.已知变量和的统计数据如表根据上表可得回归直线方程，据此可以预测，当时，(B)A.B.C.D.解：由题意可知样本中心,代入线性回归方程,得,得,代入.选B7.在中,,,,则(D)A.B.C.D.解：

由正弦定理(注意).选D8.已知函数，设，且的零点均在区间内，其中,，，则的最小整数解为（C）A.B.C.D.1解：，所以函数在内有零点，且在区间上，，函数递增，故只有唯一零点，左移个单位得到，依题意，函数所有零点都在区间上，所以使得的最小整数为.选C二、多选题（每小题5分，共4小题20分）9.若

直线过点且与抛物线只有一个公共点,则直线的方程可能为(A,B,C)A.B.C.D.解：当直线为或时,显然满足条件;若直线的斜率为时,直线的方程为,由消去可得,,∴,,此时直线的方程为.综上,直线的方程为或或.选A,B,C10.已知数列满足,,则下列结论正确的是(B,D)A.数列{an}为

等差数列B.数列{1an}为等差数列C.an=15D.an=12n-1解：∵。∴,,∴是首项为公差为的等差数列,∴,∴,综上可知B,D正确.选B,D11.如图所示,垂直于以为直径的圆所在的平面,为圆上异

于,的任一点,则下列关系中正确的是(AC)A.B.C.平面D.解：由题意有,平面,∵平面,∴,故A对;而,且,平面,∴平面,故C对;若,因为,可得平面,则,与题目矛盾,故B错;由平面可得,,则为直角三角形,若,则重合,与已知矛盾,故D错;故选AC.12.设函数,若存在唯一的满足,则正实数可

能的取值为(B,C,D)A.B.C.D.解：由可化为或,则由,知,或,又∵,故解,得,故B、C、D满足题意.选B,C,D.三、填空题（每小题5分，共4小题20分）13.已知,,则函数为增函数的概率为_______.35解：函数为增函数,只需,∵,所以只有满足题意,的取值

一共有种情况,符合题意的有种情况,所以所求概率为.14.已知向量,,若与共线,则的值为__________.-3解：∵向量,,∴,因为与共线,∴,解得.故答案为:.15.若圆上恰有个点到直线的距离等于,则____.±5解：依题意得:圆心到直线的距离为,∴,解得.

16.若对任意,恒成立,则的取值范围是__________.[15,+∞)解：因为,所以,所以,所以的取值范围为.四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，

共6小题70分）17.已知函数.（1）求函数的解析式；（2）求的图象的对称中心及的递减区间.解：（1）由图可知，因为，因为，所以，所以，因为，所以，所以.（2）令，得.则的图象的对称中心为.则，令，解得，故的递减区间为[k+13,k+56],k∈Z.18.如图，已知四棱锥的底面为菱形，且

，，.（1）求证：平面平面；（2）设是上的动点，求与平面所成最大角的正切值；（3）求二面角的余弦值.解：（1）证明：取中点，连结，由，，知为等腰直角三角形，∴，，由，，知为等边三角形，∴由得，∴，又，∴平面，又平面，∴平面平面.（2）解：如图，连结

，由（1）知，，∴平面，为与平面所成的角.在中，∵，要使最大，只需最小，而的最小值即点到的距离，这时，，故当最大时，，即与平面所成最大角的正切值为.（3）解：如图建立空间直角坐标系，则，，，∴，，设平面的法向量为，则，取，则

，，即，平面的一个法向量为，设二面角的大小为，易知其为锐角，∴.∴二面角的余弦值为.19.在公差不为零的等差数列中,已知,且成等比数列．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为,记,求数列的前项和．解：（1）设的公差为,依题意得,解得,∴（2）,,,故20.某班位学生期中考试数学成绩

的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:,,,,,.(1)求图中的值;(2)从成绩不低于分的学生中随机选取人,该人中成绩在分以上(含分)的人数记为,求得数学期望.解：(1)图中所在组为,即第五组,∵,∴.

(2)成绩不低于分的学生所占的频率为,所以成绩不低于分的学生有:人,成绩不低于分的学生人数为:,所以为的取值为,,,,,,所以为的分布列为:所以为的数学期望.21.设函数,.(1)当时,求函数的极值;(2)若不等式对任意恒成立,求实数

的取值范围.解：(1)当时,,∴.由得.当变化时,,的变化情况如下表:由表知,当时,函数取得极大值,且极大值为,无极小值.(2)由题意得.①当时,则,∴函数在上单调递增,又,∴对任意,不恒成立.②当时,则当时,,单调递增;当时,,单调递减.∴当时,函数取得极大值,也为最大

值,且.∵不等式对任意恒成立,∴,解得.综上可得实数的取值范围为.22.如图，已知椭圆经过点，离心率.（1）求椭圆的标准方程；（2）设是经过右焦点的任一弦（不经过点），直线与直线相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为，，，求证：，，成等差数列

．解：（1）由点在椭圆上得，①②由①②得，故椭圆的标准方程为（2）椭圆右焦点坐标，显然直线斜率存在，设③代入椭圆方程，整理得设，则有④在方程③中，令得，，从而，又因为共线，则有，即有，所以⑤将④代入⑤得，又，

所以，即成等差数列.