【文档说明】【精准解析】新疆乌鲁木齐地区2020届高三年级第三次质量监测文科数学试题.doc，共(22)页，1.917 MB，由小赞的店铺上传

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乌鲁木齐地区2020年高三年级第三次质量监测文科数学（问卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一.项是符合题目要求的.1.()21ii+=（）A.22i+B.22i−

+C.22i−D.22i−−【答案】B【解析】【分析】直接按照复数的乘法法则运算即可.【详解】()2122iii+=−+.故选：B【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.2.已知集合()()|220Axxx=−+，2,1,0

,1,2,3B=−−，则AB=()A.B.0,1,2C.1,0,1−D.2,1,0,1,2−−【答案】C【解析】【分析】先解不等式得集合A，再根据交集定义求结果.【详解】()()|220(2,2)Axxx=−+

=−Q,2,1,0,1,2,3B=−−AB=1,0,1−故选：C【点睛】本题考查集合交集以及一元二次不等式解法，考查基本分析求解能力，属基础题.3.设命题p：xR，211x+，则p为（）A.xR，211x+B.xR，211x+C.0xR，2011x+D.0xR

，2011x+【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定是特征命题进行解答即可.【详解】因为命题p：xR，211x+，所以p为：0xR，2011x+.故选：C【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题.4.已知等差数列na满足13518aaa++=，35730aa

a++=，则246aaa++=()A.20B.24C.26D.28【答案】B【解析】【分析】直接根据等差数列的性质求解即可．【详解】解：∵等差数列na满足13518aaa++=，35730aaa++=，∴3535

1748aaaaaa+++=++，即()()()33571548aaaaaa+++=++，∴24622482aaa++=，∴24624aaa++=，故选：B．【点睛】本题主要考查等差数列的性质，属于基础题．5.若角的终边过点()3,4P−，

则sin2的值为()A.1225B.1225−C.2425D.2425−【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的定义求出sin,cos，即可求出结论.【详解】角的终边过点()3,4,||5POP−=，43sin,cos55=−=，24sin22sincos25==

−.故选：D.【点睛】本题考查三角函数定义以及二倍角公式求三角函数值，考查计算求解能力，属于基础题.6.某校有甲、乙两个数学建模兴趣班.其中甲班有40人，乙班有50人.现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的

平均成绩是81分，则这两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩是()A.85B.85.5C.86D.86.5【答案】A【解析】【分析】本题是一个加权平均数的问题，求出甲和乙两个班的总分数，再除以两个班的总人数

，就是这两个班的平均成绩．【详解】解：由题意，这两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩是40905081854050+=+，故选：A．【点睛】本题主要考查加权平均数的求法，属于基础题．7.如图，正方体1111ABCDABC

D−中，AB的中点为M，1DD的中点为N，则异面直线1BM与CN所成角的大小为()A.30°B.45C.60D.90【答案】D【解析】【分析】取CD中点E，连1,CEME，可证11//CEBM，转化为求1,CECN所成的角，利用平面几何关系，证明1

CECN⊥即可.【详解】取CD中点E，连1,CEME，在正方体1111ABCDABCD−中，M为AB中点，1111////MEBCBCMEBCBC==，四边形11BCEM为平行四边形，11//CEBM，

异面直线1BM与CN所成角为直线1,CECN所成的角，在正方形11CCDD中，1RtCCERtCDN△△，1111,90CCEDCNCCECECDCNCEC=+=+=，1,CECN⊥直线1B

M与CN所成角的大小为90.故选：D..【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明异面直线垂直，考查直观想象、逻辑推理能力，属于基础题.8.在RtABC中，1ABAC==，点D满足2BDDC=，则ABAD

=（）A.13B.23C.1D.2【答案】A【解析】【分析】由题意可知A为直角，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，建立平面直角坐标系，设(),Dxy，利用向量共线求出点D，从而再根据向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】在RtABC中，1ABAC==，所以A为直角，以A为原点，AB为x轴，

AC为y轴，建立平面直角坐标系，则()10B,，()0,1C，设(),Dxy，()1,BDxy=−，(),1DCxy=−−，由2BDDC=，可得()1,xy−()2,1xy=−−，即1222xxyy−=−=−，解得13x=，23y

=，所以12,33D，由()1,0AB=，12,33AD=所以12110333ABAD=+=.故选：A【点睛】本题考查了平面向量的线性坐标运算、向量数量积的坐标表示，考查了基本运算能力，属于基础题.9.直线

2yx=−与抛物线()220ypxp=交于A，B两点，若OAOB⊥，则p的值为()A.12B.1C.32D.2【答案】B【解析】【分析】设()11,Axy，()22,Bxy，联立222yxypx=−=并消元得，()22440xpx−++=，得韦达定理结论，由题意得0OAOB=，由此根

据数量积的坐标表示求解即可．【详解】解：设()11,Axy，()22,Bxy，联立222yxypx=−=并消元得，()22440xpx−++=，∴1224xxp+=+，124xx=，又OAOB⊥，∴1212OAOBxxyy=+()()1212

22xxxx=+−−()1212224xxxx=−++()82244p=−++440p=−=，∴1p=，故选：B．【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，属于基础题．10.在四面体ABCD中，2

AB=，1DADBCACB====，则四面体ABCD的外接球的表面积为()A.B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】取AB的中点O，连接OC，OD，由题意可得O为外接球的球心，利用球的表面积公式即可求解.【详解】由2AB=，1DADBCACB====，所以222CACB

AB+=，222ADBDAB+=可得90ACBADB==，所以22OAOBOCOD====，即O为外接球的球心，球的半径22R=所以四面体ABCD的外接球的表面积为：214422SR===故选：B【点睛

】本题考查了多面体的外接球的表面积，需熟记球的表面积公式，属于基础题.11.M是双曲线C：()222210,0xyabab−=上位于第二象限的一点，1F，2F分别是左、右焦点，112MFFF⊥.x轴上

的一点N使得290NMF=，A，B两点满足MAAN=，12MBBF=，且A，B，2F三点共线，则双曲线C的离心率为()A.21+B.31+C.22+D.32+【答案】A【解析】【分析】由题意，先求出2,bMca−，再根据290NMF=，求出4

42,02acNac−−，再求出()22222,42acbAaca−+，再求出2,3bBca−，根据A，B，2F三点共线，利用向量平行，找到,ac的关系即可求解.【详解】解：如图，(

)1,0Fc−，()2,0Fc把xc=−代入()222210,0xyabab−=，得2bya=，2,bMca−设(),0Nn，222+,,2,bbMNncMFcaa=−=−因为290NMF=，所以20MNMF=，所以()422+0b

cnca+=，4422acnac−−=，即442,02acNac−−，因为MAAN=，所以是A线段MN的中点，所以44222,22accbacAa−−−，即()22222,42acbAaca−+，设(),Bxy，则2,b

MBxcya=+−，()1,BFcxy=−−−因为12MBBF=，所以2222xccxbyya+=−−−=−，23xcbya=−=，所以2,3bBca−，222,3bBF

ca=−，()2222442222226,,4242acbacacbAFcacaaca+++=+−=−因为A，B，2F三点共线，所以22//BFAF，所以2442

2226243bacacbcaaca++−=−，442260acac+−=，42610ee−+=，2322e=，因为1e，所以()2232221e=+=+，所以2+1e=，故选：A.【点睛】结合向量考查用解析法求双曲线的离心率，对于学生的运算求解能力是挑战，

计算量大，容易出错；中档题.12.定义在R上的函数()yfx=，当0,2x时，()2144xfx−−=−，且对任意实数122,22(,2)kkxkNk+−−，都有1()122xfxf=−，若()()logagxfxx=−有且仅有

5个零点，则实数a的取值范围是()A.()3310,22B.()3322,100C.()3310,484D.()33100,484【答案】C【解析】【分析】由()()log0agxfxx=−=，可得()logafxx

=，分别作出函数()fx和logayx=的图像，利用数形结合即可得出结果.【详解】当0,2x时，()2144xfx−−=−，当2k=时，2,6x，此时10,22x−，则1()122xfxf=−

211222211444422xx−−−−−=−=−，当3k=时，6,14x，此时12,62x−，则1()122xfxf=−12225224211444422x

x−−−−−=−=−，当4k=时，14,30x，此时16,142x−，则1()122xfxf=−1522114228411444422xx−−−−−=−

=−，由()()log0agxfxx=−=，可得()logafxx=，分别作出函数()fx和logayx=的图像：若01a时，此时两个函数图像只有1个交点，不满足条件；若1a时，当对数函数经过点A时，两个图像有4个交点，经过点时

B有6个交点，则要使两个函数有有且仅有5个零点，则对数函数图像必须在点A以下，在点B以上，()103f=，()3222f=，()10,3A，322,2B，即满足log1033log222a

a，解得3321022aa，即3310484a.故选：C【点睛】本题考查了由函数的零点个数求参数的取值范围，考查了数形结合以及转化与化归的思想，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.将2本不

同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.【答案】23【解析】2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有（数学1，数学2，语文），（数学1，语文，数学2），（数学2，数学1，语文），（数学2，语文，数学1）

，（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共6个，其中2本数学书相邻的有（数学1，数学2，语文），（数学2，数学1，语文），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共4个，故2本数学书相邻的概率42=63．14.已知定义在R上的

奇函数()fx满足：当0x时，()()3log1fxx=−，则()8f=______.【答案】-2【解析】【分析】根据()fx定义在R上的奇函数，则()()88ff=−−，然后再由0x时，()()3log1fxx=−求解.【详解】因为()fx定义在R上的奇函数，且当0x时，()()3lo

g1fxx=−，所以()()233log9lo8g328ff=−−−===−−.故答案为：-2【点睛】本题主要考查函数的奇偶性的应用以及对数运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15.f(x)＝2sinωx(0<ω<1)，在区间0,3

上的最大值是2，则ω＝________.【答案】34【解析】【详解】函数f(x)的周期T＝2，因此f(x)＝2sinωx在0,上是增函数，∵0<ω<1，∴0,3是0,的子集，∴f

(x)在0,3上是增函数，∴3f＝2，即2sin3＝2，∴3ω＝4，∴ω＝34，故答案为34.16.在正项等比数列na中，46524aa+=，12a，312a，2a成等差数列，则数列1nnaa+的前n项之积

的最小值为______.【答案】202−【解析】【分析】设公比为q，由题意0q.根据46524aa+=，12a、312a、2a成等差数列，求出1,aq，写出na.令1nnnbaa+=，可得数列nb的前n项之积nT，即求nT的最小值

.【详解】由题意等比数列na中，0na.设公比为q，则0q.12a，312a，2a成等差数列，3122aaa=+，即2211112,0,20aqaaqaqq=+−−=，解得2q=或1−（舍）.46524aa+=，3511524aq

qa+=，即5111322522,432aaa+==，1161222232nnnnaaq−−−===.65121022222nnnnnaa−−+−==.令1nnnbaa+=，则数

列nb的前n项之积()()22211021210211022102109212981242222222nnnnnnnnnnnTbbb+−++−−−−−−−======，当4n=或5时，()20min2nT−=.故

答案为：202−.【点睛】本题考查等比数列的通项公式、等差数列的前n项和公式，属于中档题.三、解答题：第17~21题每题12分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在ABC中，a，b，c是A，BÐ，C所对的边，7a=，1c=，3sincos0AA+=.（Ⅰ）求

b；（Ⅱ）若D为BC边上一点，且ADAB⊥，求ACD的面积.【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）3320.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意求得150A=，再根据余弦定理即可求出答案；（Ⅱ）根据正弦定理可得21sin14B=，从而求得3tan5B=，则35AD=，

再根据三角形的面积公式即可求出答案．【详解】解：（Ⅰ）由3sincos0AA+=，得3tan3A=−，∴150A=，又∵7a=，1c=，又2222cosabcbcA=+−，即2360bb+−=，解得3b=，(负值舍去)；（Ⅱ）由（Ⅰ）得sinsinabAB=，∴13si21sin1

4n27BabA===，∴21si57co1ns4BB==−，∴3tan5B=，∵ADAB⊥，∴3tan5ADcB==，且60=∠DAC，∴ACD的面积133sin60220ACDSADAC=

=△．【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，考查三角形的面积公式的应用，属于基础题．18.在疫情这一特殊时期，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，全力帮助学生在线学习.复课后进行了摸底考试，某校数学教师为了调查高三学生这

次摸底考试的数学成绩与在线学习数学时长之间的相关关系，对在校高三学生随机抽取45名进行调查.知道其中有25人每天在线学习数学的时长是不超过1小时的，得到了如下的等高条形图：（Ⅰ）将频率视为概率，求学习时长不超过1小时但考试成绩超过120分的概率；（

Ⅱ）是否有99%的把握认为“高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长有关”.()20PKk0.0500.0100.0010k3.8416.63510.828()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++【答案】（Ⅰ）29；（Ⅱ）没有99%的把握认为“高三学

生的这次摸底成绩与其在线学习时长有关”【解析】【分析】（Ⅰ）根据等高条形图求出学习时长不超过1小时但考试成绩超过120分的人数为225105=人，由古典概型的概率计算公式即可求解.（Ⅱ）根据题意列出列联表

，计算出观测值，根据独立性检验的基本思想即可求解.【详解】（Ⅰ）从等高条形图中看出，学习时长不超过1小时，但考试成绩超过120分的人数为225105=人，∴其概率为102459=；（Ⅱ）依题意，得22列联表：数学成绩在线学习时长120分

120分合计1小时1510251小时51520合计202545∵2245(1515510)4415.51256.6352025252080K−===，∴没有99%的把握认为“高三学生的这次摸底成

绩与其在线学习时长有关”.【点睛】本题主要考查了独立性检验的基本思想、古典概型的概率计算公式、列联表，属于基础题.19.如图，将直角边长为2的等腰直角三角形ABC，沿斜边上的高AD翻折，使二面角BADC−−的大小为3，翻折后BC的中点为M.（Ⅰ）

证明BC⊥平面ADM；（Ⅱ）求点D到平面ABC的距离.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）217【解析】【分析】（Ⅰ）证出DMBC⊥，AMBC⊥，然后利用线面垂直的判定定理即可证出.（Ⅱ）设点D到平面ABC的距离为d，利用等体法，由三棱锥的体积公式即可求解.【详解】（Ⅰ）∵折叠前ABAC=，AD

是斜边上的高，∴D是BC的中点，∴BDCD=，又因为折叠后M是BC的中点，∴DMBC⊥，折叠后ABAC=，∴AMBC⊥，AMDMM=，∴BC⊥平面ADM；（Ⅱ）设点D到平面ABC的距离为d，由题意得ABC

DDABCVV−−=，∵13313412ABCDV−==，∴1733412DABCVd−==，∴217d=.【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、等体法求点到面的距离、三棱锥的体积公式，考查了逻辑推理能力，属于基础题.20.已知椭圆C：()222210xyabab+=右焦点

为()2,0F，P为椭圆上异于左右顶点A，B的一点，且PAB△面积的最大值为35.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线AP与直线xa=交于点Q，线段BQ的中点为M，证明直线FM平分PFB.【答案】（Ⅰ）22195xy+=；（Ⅱ）

证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意得222352abab=−=，解出即可；（Ⅱ）设直线AP的方程为3xmy=−，与椭圆方程联立求得点222152730,5959mmPmm−++，求出点63,Qm，

从而得中点33,Mm，利用斜率的计算公式与正切的定义即可证明结论．【详解】解：（Ⅰ）由题意得222352abab=−=，解得2295ab==，∴椭圆C的标准方程为22195xy+=；（Ⅱ）设直线AP的方程为3xmy=−，代入22195xy+=，得()22593

00mymy+−=，解得0y=，或23059mym=+，∴222230152735959Pmmxmm−=−=++，∴222152730,5959mmPmm−++，易知直线AP与3x=的交点63,Qm，∴线段BQ的中点33,Mm，设MFB=，则3

3tan1mm==，∴22326tan2991mmmm==−−，222223030659tan15275459259PFmmmmPFBkmmmm+====−−−−+，∵()20,，()0,PFB，tan2tanPFB=，∴2PFB=，即直线FM平分PFB

．【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于中档题．21.已知()()ln20xfxeaxaa=−+.（Ⅰ）当ae=时，求()fx的单调区间；（Ⅱ）设0x是()fx的极小值点，求()0fx的最大值.【答案】（Ⅰ）(

)fx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增；（Ⅱ）2ee【解析】【分析】（Ⅰ）当ae=时，对函数()fx求导，再对导函数'()fx进行求导，判断导函数'()fx的单调性，最后利用导函数'()fx的单调性进行判断'()fx的正负性，最后确定()fx的单调性；（Ⅱ）对函

数()fx求导，再对导函数'()fx进行求导，判断导函数'()fx的单调性，根据极值的定义，结合构造新函数，对新函数进行求导，结合新函数的单调性进行求解即可.【详解】（Ⅰ）当ae=时，()ln2xfxeexe=−+，()'xefxex=−，显然()'10f=，设()'()

xefxhxex==−，(1)0h=，∵2'()0xehxex=+，∴()'fx在()0,+上是增函数，当01x时，()()''10fxf=，当1x时，()()''10fxf=，∴()fx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增；（Ⅱ）由()'xaefxx=−，设()

()'xmxfxaex==−，则2'()0xmxeax=+，∴()'fx在()0,+上单调递增，∴存在极小值点0x满足()0'0fx=，即00xaex=，∴()000000000ln2ln2xxxxfxeaxa

exexxe=−+=−+()00001ln2xexxx=−+，令()(1ln2)xgxexxx=−+，则()()'1ln21lnxgxexxxx=−++−()1(2ln)xxxe=+−，当2xe时，'()0,()gxgx单调递减，当20xe时

，'()0,()gxgx单调递增，所以当2xe=时，()gx有最大值，即()()22maxegxgee==，所以()0fx的最大值为2ee.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数求函

数的最值问题，考查了数学运算能力.选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.已知曲线1C的参数方程为25cos35sinxtyt=+=+（t为参数），以坐标原点O为

极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2sin=.（Ⅰ）求曲线1C的极坐标方程；（Ⅱ）设1C与2C交点为A，B，求AOB的面积.【答案】（Ⅰ）24cos6sin80−−+=；（

Ⅱ）1.【解析】【分析】（Ⅰ）先根据曲线1C的参数方程，消去参数t化为直角坐标方程，然后将cos,sinxy==代入求解.（Ⅱ）先把曲线2C的极坐标方程化为直角坐标方程，然后与曲线1C的直角坐标方程联立，求得A，B的坐标，再求面积.【

详解】（Ⅰ）因为曲线1C的参数方程为25cos35sinxtyt=+=+（t为参数），消去参数t得：()()22235xy−+−=，即：224680xyxy+−−+=，又因为cos,sinxy==，代入上式得曲

线1C：24cos6sin80−−+=；（Ⅱ）因为曲线2C的极坐标方程为2sin=，所以22sin=，所以2220xyy+−=，联立方程2222468020xyxyxyy+−−+

=+−=，解得02xy==或11xy==，∴()0,2A，()1,1B，∴12112AOBS==.【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化以及曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于

中档题.23.设a，b均为正数，且222ab+=，证明：（Ⅰ）()33()4abab++；（Ⅱ）2ab+.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）利用分析法、作差法即可证明不等式.（Ⅱ）将不等式两边平方，利用分析法即可证明.【详解】（Ⅰ）∵222ab+=，要证()

33()4abab++，只需要证明，()2443322ababbaab++++，也就是要证明4433442220ababbaabab+++−−−，即证()20abab−，∵a，b均为正数，∴()20abab−

，∴()33()4abab++；（Ⅱ）∵a，b均为正数，∴2abab+，∴()22()abab++，∴()222()22ababab+++，又∵222ab+=，∴2ab+.【点睛】本题考考查了分析法、作差法、基本不等式证明不等式，属于基础题.