【文档说明】【精准解析】新疆乌鲁木齐地区2020届高三年级第三次质量监测文科数学试题.doc，共(22)页，1.917 MB，由管理员店铺上传

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乌鲁木齐地区2020年高三年级第三次质量监测文科数学（问卷）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中只有一.项是符合题目要求的.1.()21ii+=（）A.22i+B.22i−+C.22i−D.22i−−

【答案】B【解析】【分析】直接按照复数的乘法法则运算即可.【详解】()2122iii+=−+.故选：B【点睛】本题考查复数的运算，属于基础题.2.已知集合()()|220Axxx=−+，2,1,0,1,2,3B=−−，则AB=()A.B.0,1,2C.1,0,1

−D.2,1,0,1,2−−【答案】C【解析】【分析】先解不等式得集合A，再根据交集定义求结果.【详解】()()|220(2,2)Axxx=−+=−Q,2,1,0,1,2,3B=−−AB=1,0,1−故选：C【点睛】本题考查集合交集以及一元

二次不等式解法，考查基本分析求解能力，属基础题.3.设命题p：xR，211x+，则p为（）A.xR，211x+B.xR，211x+C.0xR，2011x+D.0xR，2011x+【答案】C【解析】【分析】根据

全称命题的否定是特征命题进行解答即可.【详解】因为命题p：xR，211x+，所以p为：0xR，2011x+.故选：C【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题.4.已知等差数列na满足13518a

aa++=，35730aaa++=，则246aaa++=()A.20B.24C.26D.28【答案】B【解析】【分析】直接根据等差数列的性质求解即可．【详解】解：∵等差数列na满足13518aaa++

=，35730aaa++=，∴35351748aaaaaa+++=++，即()()()33571548aaaaaa+++=++，∴24622482aaa++=，∴24624aaa++=，故选：B．【点睛】本题主要考查

等差数列的性质，属于基础题．5.若角的终边过点()3,4P−，则sin2的值为()A.1225B.1225−C.2425D.2425−【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的定义求出sin,cos，即可求出结论.【详解】角的终边过点()3,4,||

5POP−=，43sin,cos55=−=，24sin22sincos25==−.故选：D.【点睛】本题考查三角函数定义以及二倍角公式求三角函数值，考查计算求解能力，属于基础题.6.某校有甲、乙两个数学建模兴趣班.其中甲班有40人，乙班有5

0人.现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则这两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩是()A.85B.85.5C.86D.86.5【答案】A【解析】【分析】本题是一个加权平均数的问题，求出甲和乙两个班

的总分数，再除以两个班的总人数，就是这两个班的平均成绩．【详解】解：由题意，这两个数学建模兴趣班所有同学的平均成绩是40905081854050+=+，故选：A．【点睛】本题主要考查加权平均数的求法，属于

基础题．7.如图，正方体1111ABCDABCD−中，AB的中点为M，1DD的中点为N，则异面直线1BM与CN所成角的大小为()A.30°B.45C.60D.90【答案】D【解析】【分析】取CD中点E，连1,CEME，可证11//CEBM，

转化为求1,CECN所成的角，利用平面几何关系，证明1CECN⊥即可.【详解】取CD中点E，连1,CEME，在正方体1111ABCDABCD−中，M为AB中点，1111////MEBCBCMEBCBC==，四边形11BCEM为平行四边形，11//CEBM，异面直线1BM与CN所成角为

直线1,CECN所成的角，在正方形11CCDD中，1RtCCERtCDN△△，1111,90CCEDCNCCECECDCNCEC=+=+=，1,CECN⊥直线1BM与CN所成角的大小为90.故选：D..【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明异面直线垂直，考查直

观想象、逻辑推理能力，属于基础题.8.在RtABC中，1ABAC==，点D满足2BDDC=，则ABAD=（）A.13B.23C.1D.2【答案】A【解析】【分析】由题意可知A为直角，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，建立平面直角坐标系，设(),Dxy，利用向量共线

求出点D，从而再根据向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】在RtABC中，1ABAC==，所以A为直角，以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，建立平面直角坐标系，则()10B,，()0,1C，设(),Dxy，()1,BDxy=−，(),1DCxy=−−，由2BDDC=，可得()1,xy

−()2,1xy=−−，即1222xxyy−=−=−，解得13x=，23y=，所以12,33D，由()1,0AB=，12,33AD=所以12110333ABAD=+=.故选：A【点睛】本题考查了平面向量的

线性坐标运算、向量数量积的坐标表示，考查了基本运算能力，属于基础题.9.直线2yx=−与抛物线()220ypxp=交于A，B两点，若OAOB⊥，则p的值为()A.12B.1C.32D.2【答案】B【解析】【分析】设()11,Axy，()2

2,Bxy，联立222yxypx=−=并消元得，()22440xpx−++=，得韦达定理结论，由题意得0OAOB=，由此根据数量积的坐标表示求解即可．【详解】解：设()11,Axy，()22,Bxy，联立222yxy

px=−=并消元得，()22440xpx−++=，∴1224xxp+=+，124xx=，又OAOB⊥，∴1212OAOBxxyy=+()()121222xxxx=+−−()1212224xxxx=−++()82244p=−++440p=−=，∴1

p=，故选：B．【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，属于基础题．10.在四面体ABCD中，2AB=，1DADBCACB====，则四面体ABCD的外接球的表面积为()A.B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】取AB的中点O，连接OC，OD，由题

意可得O为外接球的球心，利用球的表面积公式即可求解.【详解】由2AB=，1DADBCACB====，所以222CACBAB+=，222ADBDAB+=可得90ACBADB==，所以22OAOBOCOD====，即O为外接球的球心

，球的半径22R=所以四面体ABCD的外接球的表面积为：214422SR===故选：B【点睛】本题考查了多面体的外接球的表面积，需熟记球的表面积公式，属于基础题.11.M是双曲线C：()222210,0xyabab−=上位于第二象限

的一点，1F，2F分别是左、右焦点，112MFFF⊥.x轴上的一点N使得290NMF=，A，B两点满足MAAN=，12MBBF=，且A，B，2F三点共线，则双曲线C的离心率为()A.21+B.31+C

.22+D.32+【答案】A【解析】【分析】由题意，先求出2,bMca−，再根据290NMF=，求出442,02acNac−−，再求出()22222,42acbAaca−+，再求出

2,3bBca−，根据A，B，2F三点共线，利用向量平行，找到,ac的关系即可求解.【详解】解：如图，()1,0Fc−，()2,0Fc把xc=−代入()222210,0xyabab−=

，得2bya=，2,bMca−设(),0Nn，222+,,2,bbMNncMFcaa=−=−因为290NMF=，所以20MNMF=，所以()422+0bcnca+=，4422acnac−−=，即442,02acNac

−−，因为MAAN=，所以是A线段MN的中点，所以44222,22accbacAa−−−，即()22222,42acbAaca−+，设(),Bxy，则2

,bMBxcya=+−，()1,BFcxy=−−−因为12MBBF=，所以2222xccxbyya+=−−−=−，23xcbya=−=，所以2,3bBca−，222,3bBFca=−，()2

222442222226,,4242acbacacbAFcacaaca+++=+−=−因为A，B，2F三点共线，所以22//BFAF，所以24422226243bacacbcaaca++−=−

，442260acac+−=，42610ee−+=，2322e=，因为1e，所以()2232221e=+=+，所以2+1e=，故选：A.【点睛】结合向量考查用解析法求双曲线的离心率，对于学生的运算求解能力是挑战，计算量大，容易出错；中档题.12.定义在R上的函数()

yfx=，当0,2x时，()2144xfx−−=−，且对任意实数122,22(,2)kkxkNk+−−，都有1()122xfxf=−，若()()logagxfxx=−有且仅有5个零点，则实数a的取值范围是()A.()3310,22B.

()3322,100C.()3310,484D.()33100,484【答案】C【解析】【分析】由()()log0agxfxx=−=，可得()logafxx=，分别作出函数()fx和logayx=的图像，利用数形结合即可得出结果.【详解】当0,2x时，()2144xf

x−−=−，当2k=时，2,6x，此时10,22x−，则1()122xfxf=−211222211444422xx−−−−−=−=−，当3k=时，6,14x，此时12,62x−，则1()122xfxf

=−12225224211444422xx−−−−−=−=−，当4k=时，14,30x，此时16,142x−，则1()122xfxf=−15221142284114444

22xx−−−−−=−=−，由()()log0agxfxx=−=，可得()logafxx=，分别作出函数()fx和logayx=的图像：若01a时，此时两个函数图像只有1个交点，不满足条件；若1a时，当对数函数经过点A时，两个图

像有4个交点，经过点时B有6个交点，则要使两个函数有有且仅有5个零点，则对数函数图像必须在点A以下，在点B以上，()103f=，()3222f=，()10,3A，322,2B，即满足log1033log222aa，解得33

21022aa，即3310484a.故选：C【点睛】本题考查了由函数的零点个数求参数的取值范围，考查了数形结合以及转化与化归的思想，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.1

3.将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.【答案】23【解析】2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，所有的基本事件有（数学1，数学2，语文）

，（数学1，语文，数学2），（数学2，数学1，语文），（数学2，语文，数学1），（语文，数学1，数学2），（语文，数学2，数学1）共6个，其中2本数学书相邻的有（数学1，数学2，语文），（数学2，数学1，语文），（语文，数学1，数学2），（语文，

数学2，数学1）共4个，故2本数学书相邻的概率42=63．14.已知定义在R上的奇函数()fx满足：当0x时，()()3log1fxx=−，则()8f=______.【答案】-2【解析】【分析】根据()fx定义在R上的奇函数，则()()88ff

=−−，然后再由0x时，()()3log1fxx=−求解.【详解】因为()fx定义在R上的奇函数，且当0x时，()()3log1fxx=−，所以()()233log9lo8g328ff=−−−===−−.故答案为：-2【点睛】

本题主要考查函数的奇偶性的应用以及对数运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15.f(x)＝2sinωx(0<ω<1)，在区间0,3上的最大值是2，则ω＝________.【答案】34【解析】【详解】函数f(x)的周期T＝2，因此

f(x)＝2sinωx在0,上是增函数，∵0<ω<1，∴0,3是0,的子集，∴f(x)在0,3上是增函数，∴3f＝2，即2sin3＝2，∴3ω＝4，

∴ω＝34，故答案为34.16.在正项等比数列na中，46524aa+=，12a，312a，2a成等差数列，则数列1nnaa+的前n项之积的最小值为______.【答案】202−【解析】【分析】设公比为q，由题意0q.根据46524aa+

=，12a、312a、2a成等差数列，求出1,aq，写出na.令1nnnbaa+=，可得数列nb的前n项之积nT，即求nT的最小值.【详解】由题意等比数列na中，0na.设公比为q，则0q.12a，312a，2

a成等差数列，3122aaa=+，即2211112,0,20aqaaqaqq=+−−=，解得2q=或1−（舍）.46524aa+=，3511524aqqa+=，即5111322522,432aaa+==，1161222232nnnnaaq−−

−===.65121022222nnnnnaa−−+−==.令1nnnbaa+=，则数列nb的前n项之积()()22211021210211022102109212981242222222nnnnnnnnn

nnTbbb+−++−−−−−−−======，当4n=或5时，()20min2nT−=.故答案为：202−.【点睛】本题考查等比数列的通项公式、等差数列的前n项和公式，属于中档题.三、解答题：第17~21题每题12

分，解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.在ABC中，a，b，c是A，BÐ，C所对的边，7a=，1c=，3sincos0AA+=.（Ⅰ）求b；（Ⅱ）若D为BC边上一点，且ADAB⊥，求ACD的面

积.【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）3320.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意求得150A=，再根据余弦定理即可求出答案；（Ⅱ）根据正弦定理可得21sin14B=，从而求得3tan5B=，则35AD=，再根据三角形的

面积公式即可求出答案．【详解】解：（Ⅰ）由3sincos0AA+=，得3tan3A=−，∴150A=，又∵7a=，1c=，又2222cosabcbcA=+−，即2360bb+−=，解得3b=，(负值舍去)；（Ⅱ）由（Ⅰ）得

sinsinabAB=，∴13si21sin14n27BabA===，∴21si57co1ns4BB==−，∴3tan5B=，∵ADAB⊥，∴3tan5ADcB==，且60=∠DAC，∴ACD的面积133sin60220ACDSADAC==△．【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的

应用，考查三角形的面积公式的应用，属于基础题．18.在疫情这一特殊时期，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，全力帮助学生在线学习.复课后进行了摸底考试，某校数学教师为了调查高三学生这次摸底考试的数学成绩与在线学习数学时长之间

的相关关系，对在校高三学生随机抽取45名进行调查.知道其中有25人每天在线学习数学的时长是不超过1小时的，得到了如下的等高条形图：（Ⅰ）将频率视为概率，求学习时长不超过1小时但考试成绩超过120分的概率；（Ⅱ）是否有99%的把握认为“高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长有关

”.()20PKk0.0500.0100.0010k3.8416.63510.828()()()()()22nadbcKabcdacbd−=++++【答案】（Ⅰ）29；（Ⅱ）没有99%的把握认为“高三学生的这次摸底成绩与其在线学习时长有关”【解析】【分析】（Ⅰ）根据等高条形图求出学习时长不超

过1小时但考试成绩超过120分的人数为225105=人，由古典概型的概率计算公式即可求解.（Ⅱ）根据题意列出列联表，计算出观测值，根据独立性检验的基本思想即可求解.【详解】（Ⅰ）从等高条形图中看出，学习时长不超过1小时，但考试成绩超过120分的人数为225105=

人，∴其概率为102459=；（Ⅱ）依题意，得22列联表：数学成绩在线学习时长120分120分合计1小时1510251小时51520合计202545∵2245(1515510)4415.51256.6352025252080K−===，∴没有99%的把握认

为“高三学生的这次摸底成绩与其在线学习时长有关”.【点睛】本题主要考查了独立性检验的基本思想、古典概型的概率计算公式、列联表，属于基础题.19.如图，将直角边长为2的等腰直角三角形ABC，沿斜边上的高AD翻折，使二面角BADC−−的大小为3，

翻折后BC的中点为M.（Ⅰ）证明BC⊥平面ADM；（Ⅱ）求点D到平面ABC的距离.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）217【解析】【分析】（Ⅰ）证出DMBC⊥，AMBC⊥，然后利用线面垂直的判定定理即可证出.（Ⅱ）设点D到平面ABC的距离为d，利用等体法，由三棱锥的体积

公式即可求解.【详解】（Ⅰ）∵折叠前ABAC=，AD是斜边上的高，∴D是BC的中点，∴BDCD=，又因为折叠后M是BC的中点，∴DMBC⊥，折叠后ABAC=，∴AMBC⊥，AMDMM=，∴BC⊥平面ADM；（Ⅱ）设点D到平面ABC的距离为d，由题意得AB

CDDABCVV−−=，∵13313412ABCDV−==，∴1733412DABCVd−==，∴217d=.【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理、等体法求点到面的距离、三棱锥的体积公式，考查了逻辑推理能力，属于基础题.20.已知椭圆C：()222210xyabab+=右焦

点为()2,0F，P为椭圆上异于左右顶点A，B的一点，且PAB△面积的最大值为35.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线AP与直线xa=交于点Q，线段BQ的中点为M，证明直线FM平分PFB.【答案】（Ⅰ）22195xy+=

；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意得222352abab=−=，解出即可；（Ⅱ）设直线AP的方程为3xmy=−，与椭圆方程联立求得点222152730,5959mmPmm−++，求出点63,Qm，从而得中点33,Mm

，利用斜率的计算公式与正切的定义即可证明结论．【详解】解：（Ⅰ）由题意得222352abab=−=，解得2295ab==，∴椭圆C的标准方程为22195xy+=；（Ⅱ）设直线AP的方程为3xmy=−，代入22195xy+=，得()2259300mym

y+−=，解得0y=，或23059mym=+，∴222230152735959Pmmxmm−=−=++，∴222152730,5959mmPmm−++，易知直线AP与3x=的交点63,Qm，∴线段BQ的中点33,Mm，设MFB=，则33tan1

mm==，∴22326tan2991mmmm==−−，222223030659tan15275459259PFmmmmPFBkmmmm+====−−−−+，∵()20,，()0,PFB，tan2tanPFB=，∴2PFB=，即

直线FM平分PFB．【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于中档题．21.已知()()ln20xfxeaxaa=−+.（Ⅰ）当ae=时，求()fx的单调区间；（Ⅱ）设0x是()fx的极小值点，求()0fx的最大值.【答案】（Ⅰ）

()fx在()0,1上单调递减，在()1,+上单调递增；（Ⅱ）2ee【解析】【分析】（Ⅰ）当ae=时，对函数()fx求导，再对导函数'()fx进行求导，判断导函数'()fx的单调性，最后利用导函数'()fx的单调性进行判断'()fx的正负性，最后确定()fx的单调性；（Ⅱ）对函数()fx求

导，再对导函数'()fx进行求导，判断导函数'()fx的单调性，根据极值的定义，结合构造新函数，对新函数进行求导，结合新函数的单调性进行求解即可.【详解】（Ⅰ）当ae=时，()ln2xfxeexe=−+，()'xefxex=−，显然()'10f=，设()'()xefxhxe

x==−，(1)0h=，∵2'()0xehxex=+，∴()'fx在()0,+上是增函数，当01x时，()()''10fxf=，当1x时，()()''10fxf=，∴()fx在()0,1上单调递减，在()1

,+上单调递增；（Ⅱ）由()'xaefxx=−，设()()'xmxfxaex==−，则2'()0xmxeax=+，∴()'fx在()0,+上单调递增，∴存在极小值点0x满足()0'0fx=，即00xaex=

，∴()000000000ln2ln2xxxxfxeaxaexexxe=−+=−+()00001ln2xexxx=−+，令()(1ln2)xgxexxx=−+，则()()'1ln21lnxgxexxxx=−++−()1(2ln)xxxe=+−，当2xe时，'(

)0,()gxgx单调递减，当20xe时，'()0,()gxgx单调递增，所以当2xe=时，()gx有最大值，即()()22maxegxgee==，所以()0fx的最大值为2ee.【点睛】本题考查了利用导数求函数的单调区间，考查了利用导数

求函数的最值问题，考查了数学运算能力.选考题：共10分，请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.已知曲线1C的参数方程

为25cos35sinxtyt=+=+（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为2sin=.（Ⅰ）求曲线1C的极坐标方程；（Ⅱ）设1C与2C

交点为A，B，求AOB的面积.【答案】（Ⅰ）24cos6sin80−−+=；（Ⅱ）1.【解析】【分析】（Ⅰ）先根据曲线1C的参数方程，消去参数t化为直角坐标方程，然后将cos,sinxy==代入求解.（Ⅱ）先把曲线2C的极坐标方程化为直

角坐标方程，然后与曲线1C的直角坐标方程联立，求得A，B的坐标，再求面积.【详解】（Ⅰ）因为曲线1C的参数方程为25cos35sinxtyt=+=+（t为参数），消去参数t得：()()22235xy−+−=，即：224680xyxy+−−+=，又因为cos,sinxy=

=，代入上式得曲线1C：24cos6sin80−−+=；（Ⅱ）因为曲线2C的极坐标方程为2sin=，所以22sin=，所以2220xyy+−=，联立方程2222468020xyxyxyy+−−+=+−=，解得02

xy==或11xy==，∴()0,2A，()1,1B，∴12112AOBS==.【点睛】本题主要考查参数方程，极坐标方程，直角坐标方程的转化以及曲线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.23.设a，b均为正数，且222ab+=，证明：（Ⅰ

）()33()4abab++；（Ⅱ）2ab+.【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）利用分析法、作差法即可证明不等式.（Ⅱ）将不等式两边平方，利用分析法即可证明.【详解】（Ⅰ）∵222ab+=，要证()33()4abab++，只需要证明，()

2443322ababbaab++++，也就是要证明4433442220ababbaabab+++−−−，即证()20abab−，∵a，b均为正数，∴()20abab−，∴()33()4abab++；（Ⅱ）∵a，b均为正数，∴2abab+，∴()2

2()abab++，∴()222()22ababab+++，又∵222ab+=，∴2ab+.【点睛】本题考考查了分析法、作差法、基本不等式证明不等式，属于基础题.