【文档说明】专题1-6 圆锥曲线中的10个常考二级结论与模型（解析版） .docx，共(49)页，4.223 MB，由小赞的店铺上传

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专题1-6圆锥曲线中的10个常考二级结论与模型导语：每当谈到数学的学习，我们总是避不开这样一个话题，教材上没有、但考试要考，而且是有效的解题利器，那就是——二级结论其实以上想依靠现推来解题的想法不过是在偷懒，很多非常实用的二级结论的推导需要极其巧妙的手法，在高度

紧张的环境中，着实很难想到，不如就先记住并熟练掌握。再者，高考题越来越新、越来越活，很多题放在那里你都不一定知道该用什么结论，更何况你如果不熟练呢？不过话说回来，并不是说记忆就够了，也并不是在抹黑理解与应用，我只想说死记硬背其实是第一步，千万不要忽视.知识点梳理题型一点差法与第三定义（常规篇）

题型二点差法（提高篇）题型三椭圆与双曲线第三定义（提高篇）题型四抛物线焦半径与焦点弦结论题型五焦点弦被焦点分成定比题型六双曲线焦点三角形内切圆模型题型七阿基米德三角形题型八椭圆双曲线焦点弦与焦半径公式题型九椭圆双曲线大题·面积相关问题（韦达化处理与弦长公式）题型十平移+齐次

化解决定点与斜率和积定值问题知识点梳理一、点差法（弦中点）椭圆垂径定理：已知A,B是椭圆()2222=10xyabab+上任意2点，且弦AB不平行x轴，M为线段AB中点，则有222=1ABOMbkkea

=−−证明（点差法）：设11(,)Axy，22(,)Bxy，则1212,22xxyyM++，1212OMyykxx+=+，1212AByykxx−=−，22122212ABOMyykkxx−=−∵A，B在椭圆上，代入A，B

坐标得221122=1xyab+①222222=1xyab+②两式相减得：2222121222=0xxyyab−−+，整理得2221222212=yybxxa−−−∴222=1ABOMbkkea=−−OxyABMABOMkk=？二、椭圆双曲线第三定义那么点差法

是不是只能解决同时与中点和斜率有关的问题呢?其实不然．其实点差法的内核还是“设而不求、整体代换”的思想，建立的是曲线上两点横纵坐标和差之间的联系，这其实也是第三定义的体现.第三定义：平面内与两个定点1(,0)Aa−，2(,0

)Aa的斜率乘积等于常数21e−的点的轨迹叫做椭圆或双曲线(不含两个顶点)．其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时2221bea−=−；当常数大于0时为双曲线，此时2221bea−=．【第三定义推广】：平面内与两个关于原点对

称的点()Amn，，()Bmn−−，的斜率乘积等于常数21e−的点的轨迹叫做椭圆或双曲线．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时2221bea−=−；当常数大于0时为双曲线，此时2221bea−=．【证明】,AB是

椭圆()2222=10xyabab+上的一组对称点，P为椭圆上任意点，则有222=1PAPBbkkea=−−证明（点差法）：设()11,Pxy，22(,)Axy，22(,)Bxy−−，1212PAyykxx−=−，1212PByykxx+=+，22122212PAPBy

ykkxx−=−∵P，A在椭圆上，代入坐标得OxyABPOxyABPOxyABPPAPBkk=？221122=1xyab+①222222=1xyab+②两式相减得：2222121222=0xxyyab−−+，整理得22212

22212=yybxxa−−−∴22221222212=1PAPByybkkexxa−==−−−法二：通过椭圆的垂径定理转换中点弦和第三定义本质上是一样的222=1PAPBOMPBbkkkkea==−−三、抛物线的焦点弦常见结论：设AB是过抛物线

()022=ppxy焦点F的弦，若()11,yxA，()22,yxB，则(1)221212,.4pxxyyp==−OxyABPM(2)焦半径12||1cosAFxpp−+==，22||1cosBFxpp++==(α为弦AB的与x轴夹角)(3)弦长1222||sinpABx

xp=++=(α为弦AB的倾斜角)．(4)以弦AB为直径的圆与准线相切．(5)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长度等于2p，通径是过焦点最短的弦．(6)112AFBFp+=（定值）.(7)以AF或BF为直径的圆与y轴相切.四、焦点弦被焦点分成定比若AB是过焦点的弦，

且(1)AFBF=，则1cos1e−=+（其中θ不是倾斜角，而是AB与焦点所在轴的夹角，抛物线离心率为1）五、阿基米德三角形（1）阿基米德焦点三角形性质（弦AB过焦点F时）性质1：MF⊥AB性质2：MA⊥MB性质3：MN∥x轴性质4：S△ABM最小值为p

²对于点A，B:①抛物线焦点弦与抛物线的交点②由准线上一点向抛物线引两条切线所对应的切点对于点M③过焦点弦的一个端点所作的切线与准线的交点④过焦点弦的两个端点所作两条切线的交点满足以上①③或①④或②③或②④的三个点所组成的三角形即为“底边过焦点的阿基米德三角

形”（2）阿基米德三角形一般性质（弦AB不经过焦点F时）OxyABMPF【性质1】阿基米德三角形底边上的中线PM平行于抛物对称轴．【性质2】若阿基米德三角形的底边即弦AB过定点抛物线内部的定点()00,Cxy，则点P的轨迹为直线00()yypx

x=+记11(,)Axy，22)(,Bxy，()00,Cxy，M为弦AB的中点，点C为抛物线内部的定点半代入得出切线PA，PB的方程，再得出则1212,22PPyyyyxyp+==，则00()yypxx=+，下略【性质3】若P点轨迹为直线0axbyc++=，

且该直线与抛物线没有公共点，则定点,cbpCaa−.设P点坐标，半代入得出切点弦AB的直线方程，进而得出定点C的坐标【性质4】阿基米德三角形的面积的最大值为38ap.【性质5】PFAPFB=，²PFAFBF=六、椭圆，双曲线焦半径与焦点弦夹角公

式焦半径长公式：21cosbPFac=−（长），21cosbQFac=+（短），22222cosabPQac=−已知双曲线()2222=10xyabab−，求出2种情况下的焦半径1AF,1BF以及焦点弦AByxF1F2θPOQ情况1：：AB两点同一支上，

直线AB与x轴夹角为α21cosbAFca=−，21cosbBFca=+，22222cosabABac=−情况2：AB两点不在同一支上，直线AB与x轴夹角为β21cosbAFac=−，21cosbBFac=+

，22222cosabABac=−题型一点差法与第三定义（常规篇）1．（2023上·广东佛山·高二统考期末）过点作斜率为1的直线，交双曲线于A，B两点，点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为（）A．B．

C．D．【答案】B【详解】设点，则有，两式做差后整理得，由已知，，又，，得2．已知双曲线22:184xyC−=的左、右顶点分别为A，B，P是C上任意一点，当点P与A，B两点不重合时，直线PA，PB的斜率之积为

________【答案】12【详解】得()22,0A−，()22,0B，设(),Pxy，则()2241228xyx=−，所以直线PA，PB的斜率之积为222241818822222xyyyxxxx−===−−+−3．已知

椭圆方程为，其右焦点为，过点的直线交椭圆与，两点．若的中点坐标为，则椭圆的方程为（）A．B．C．D．【答案】C【分析】计算，设，，代入椭圆方程相减得到，解得答案.【详解】的中点坐标为，则，设，，则，，()2,1M()222210,0yxabab−=62322

2()()1122,,,AxyBxy22112222222211yxabyxab−=−=2121221212yyyyaxxxxb−+=−+121212121,4,2yyxxyyxx−=+=+=−2224ab=222cab=+22212aca=−3c

a=22221(0)xyabab+=()4,0FFABAB()1,1-2215236xy+=221204xy+=221248xy+=221259xy+=13FMk=()11,Axy()22,Bxy22022FMkab−=AB()1,1M−011413FMk+==−()1

1,Axy()22,Bxy2211221xyab+=2222221xyab+=相减得到：，即，，又，，解得，，椭圆的方程为4．（2022上·广东深圳·高二校考期末）已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个

交点，，线段的中点为，证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值.【详解】解：(1)设直线，，，．∴由得，∴，．∴直线的斜率，即．即直线的斜率与的斜率的乘积为定值．5．已知P是椭圆E：221123xy+=，若A，B是E上两点，且线段AB的中点坐标为82,

55−，求AB的值．【答案】4225【分析】点差法求出直线AB，再联立直线和椭圆方程，利用弦长公式即可求解.【详解】设()11,Axy，()22,Bxy，若A，B是E上两点，则2211222211231123xyxy+=+=，两

式相减得222212120123xxyy−−+=，即()121212124yyxxxxyy−+=−−+．因为线段AB的中点坐标为82,55−，所以()1212121214yyxxxxyy−+=−=−+，所以1AB

k=，则直线AB的方程为2yx=+．联立方程组2221123yxxy=++=，整理得251640xx++=，其中0，则12165xx+=−，1245xx=，()2212124221145ABxxxx=++−=．6．已知椭圆的焦距为6，椭圆上一点与两焦点构

成的三角形周长为16.(1)求椭圆的标准方程；()()()()12121212220xxxxyyyyab+−+−+=22022FMkab−=223ab=4c=222abc=+224a=28b=221248xy+=222:9(0)Cxymm+=lOlCABABMOMl:lykxb=

+(0,0)kb11(,)Axy22(,)Bxy(,)MMMxy2229ykxbxym=++=2222(9)20kxkbxbm+++−=12229Mxxkbxk+==−+299MMbykxbk=+=+OM9MOMMykxk==−9OMkk=−OMl9−

()2222:10xyCabab+=C(2)若直线与交于，两点，且线段的中点坐标为，求直线的方程.【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据椭圆中焦点三角形周长公式，结合焦距的定义进行求解即可；（2）运用点差法，结合中点坐标公式、直线斜率公式进行求解

即可.【详解】（1）设的焦距为，，因为椭圆上的点到两焦点距离之和为，而椭圆上一点与两焦点构成的三角形周长为16.所以，所以，所以，所以的方程为；（2）设，，代入椭圆方程得两式相减可得，即.由点为线段的中点，得，，则的斜率，所以的方程

为，即.题型二点差法（提高篇）7．设A，B为双曲线2219yx−=上两点，下列四个点中，可为线段AB中点的是（）A．()1,1B．()1,2-C．()1,3D．()1,4−−【答案】D【分析】根据点差法分析可得9

ABkk=，对于A、B、D：通过联立方程判断交点个数，逐项分析判断；对于C：结合双曲线的渐近线分析判断.lCABAB11,45l2212516xy+=4520xy+−=C()20cc263cc==2a22165aca+==5,3a

c==22216bac=−=C2212516xy+=()11,Axy()22,Bxy221122221251612516xyxy+=+=()()()()121212122516xxxxyyyy+−+−=

−()()()()121212121625yyyyxxxx+−=−+−11,45AB1212xx+=1225yy+=l12121212161654252545yyxxkxxyy−+==−=−=−−+l141554yx−=−−4520xy+−=【详解】设()()1122,

,,AxyBxy，则AB的中点1212,22xxyyM++，可得1212121212122,2AByyyyyykkxxxxxx+−+===+−+，因为,AB在双曲线上，则221122221919yxyx−=

−=，两式相减得()2222121209yyxx−−−=，所以221222129AByykkxx−==−.对于选项A：可得1,9ABkk==，则:98AByx=−，联立方程229819yxyx=−−=，消去y得272272730xx

−+=，此时()2272472732880=−−=−，所以直线AB与双曲线没有交点，故A错误；对于选项B：可得92,2ABkk=−=−，则95:22AByx=−−，联立方程22952219yxyx=−

−−=，消去y得245245610xx++=，此时()224544561445160=−=−，所以直线AB与双曲线没有交点，故B错误；对于选项C：可得3,3ABkk==，则:3AByx=由双曲

线方程可得1,3ab==，则:3AByx=为双曲线的渐近线，所以直线AB与双曲线没有交点，故C错误；对于选项D：94,4ABkk==，则97:44AByx=−，联立方程22974419yxyx=−−=，消去y得2631

261930xx+−=，此时21264631930=+，故直线AB与双曲线有交两个交点，故D正确8．已知斜率为k的直线l与椭圆22:143xyC+=交于A，B两点，线段AB的中点为(1,)Mm（0m），那么k的取值范围是（）A．12k

−B．1122k−C．12kD．12k−，或12k【答案】A【解析】先设11(,)Axy，22(,)Bxy，再由点差法求出34km=−，再由点(1,)Mm，0m在椭圆内，求出m的范围即可得解.【详解】解：设11(,)Axy，22(,)Bxy，又点A，B在椭圆22:143xyC

+=上，则2211143xy+=，2222143xy+=两式相减可得：12121212()()()()043xxxxyyyy−+−++=，又1212yykxx−=−，12122,2xxyym+=+=则12123344xxkyym+=−=−+，又点(1,)Mm，

0m在椭圆内，则21143m+，则302m，所以12k−题型三椭圆与双曲线第三定义（提高篇）9．椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线,APAQ的斜率之积为14，则C的离

心率为（）A．32B．22C．12D．13【答案】A【分析】设()11,Pxy，则()11,Qxy−，根据斜率公式结合题意可得2122114yxa=−+，再根据2211221xyab+=，将1y用1x表示，整理，再结合离

心率公式即可得解.【详解】[方法一]：设而不求设()11,Pxy，则()11,Qxy−则由14APAQkk=得：21112211114APAQyyykkxaxaxa===+−+−+，由2211221xyab+=，得()2221212baxya−=，所以()2221222114baxaxa

−=−+，即2214ba=，所以椭圆C的离心率22312cbeaa==−=，故选A.[方法二]：第三定义设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知：PBAQkk=−故()14APAQPAPBkkkk=−=−，由椭圆第三定义

得：22PAPBbkka=−，故2214ba=所以椭圆C的离心率22312cbeaa==−=，故选A.10．已知双曲线221:12010xyC−=的左､右顶点分别为,AB，抛物线22:4Cyx=与双曲线1C交于

,CD两点，记直线AC，BD的斜率分别为12,kk，则12kk为.【答案】12−【分析】利用对称性可得ACBDACBCkkkk=−，再设00(,)Cxy结合双曲线的标准方程计算．【详解】由题意(25,0)A−，(25,0)B，由于双曲线与2

2:4Cyx=都关于x轴对称，因此它们的交点,CD关于x轴对称，所以BDBCkk=−，设00(,)Cxy，则220012010xy−=，22001102yx=−，2000200012022525ACBDACBCyyykkkkxxx=−=−=−=−−+−．11．已知A，

B是椭圆22221(0)xyabab+=的左右顶点，P是双曲线22221xyab−=在第一象限上的一点，直线PA，PB分别交椭圆于另外的点M，N．若直线MN过椭圆的右焦点F，且tan3AMN=，则椭圆的离心率为．【答案】23【分析】

由直线斜率公式结合点在曲线上可得MBPBBNkkk=−=−，从而求得MF，进而结合正切的定义即可求解．【详解】由题意可知(),0Aa−，(),0Ba，设00(,)Pxy，可得直线的斜率分别为00PAykxa=+，00PB

ykxa=−，因为点P在双曲线上，则2200221xyab−=，整理得200200yybxaxaa=−+，所以22PAPBbkka=，设点11(,)Mxy，可得直线MA，MB的斜率11MAykxa=+，11MBykxa=−

，因为点11(,)Mxy在椭圆上，则2211221xyab+=，整理得211211yybxaxaa=−−+，所以22MAMBbkka=−，即22PAMBbkka=−，则MBPBBNkkk=−=−，所以直线MB与NB关于x轴对称，又因为椭圆也关于x轴对称，且M，N过焦点F，

则MNx⊥轴，又(c,0)F，则2bMFNFa==，所以222222tantan3acaacaacAMNAMFbbaca+++=====−，整理得22320caca+−=，即()()2323210eeee+−=−+=，解得23e

=，或1e=−（舍去），所以椭圆的离心率为23．12．已知A、B是椭圆()222210xyabab+=与双曲线()222210,0xyabab−=的公共顶点，P是双曲线上一点，PA，PB交椭圆于M，N.若MN过椭圆的焦点F，且tan3AMB=−，则双曲线的

离心率为（）A．2B．3C．2D．233【答案】D【分析】设出点P，M的坐标，借助双曲线、椭圆的方程及斜率坐标公式可得MNx⊥轴，再利用和角的正切公式求出a，b的关系作答.【详解】如图，设00(,)Pxy，点,,P

MA共线，点,,PBN共线，所在直线的斜率分别为,PAPBkk，点P在双曲线上，即2200221xyab−=，有200200yybxaxaa=−+，因此22PAPBbkka=，点11(,)Mxy在椭圆上，即22

11221xyab+=，有211211yybxaxaa=−−+，直线,MAMB的斜率,MAMBkk，有22MAMBbkka=−，即22PAMBbkka=−，于是MBPBBNkkk=−=−，即直线MB与NB关于x轴对称，又椭圆也关于x轴对

称，且,MN过焦点F，则MNx⊥轴，令(c,0)F，由22221xcxyab=+=得2||bya=，显然222tanacaacAMFbba++==，222tanacaacBMFbba−−==，22222222222tantan2tan31tantan1aacaacA

MFBMFabbAMBaacaacAMFBMFbabb+−++====−+−−−−，解得2213ba=，所以双曲线的离心率22221231133abbeaa+==+=+=.13．设椭圆2222:1(0)xyabab+=的右焦点为(

,0)Fc，点(3,0)Ac在椭圆外，P，Q在椭圆上，且P是线段AQ的中点．若直线PQ，PF的斜率之积为12−，则椭圆的离心率为（）A．12B．22C．32D．13【答案】B【分析】利用中点弦问题，结合点差法可得2212ba=，即可求离心率.【详解】如图，取,PQ的中点为

M，连接,OMPF，则由题意可得，2,2PAPMAFFO==，所以,APFAMO△△相似，所以PFMO∥,因为直线PQ，PF的斜率之积为12−，所以12PQOMkk=−,设1122(),(,)PxyQxy，则有2211222222221

1xyabxyab+=+=，两式相减可得()()()()12121212220xxxxyyyyab+−+−+=，即()()()()2121221212yyyybxxxxa+−=−+−，即2212PQOMbkka=−=−，即2212ba=，所以椭圆的离心率为

2222212cbeaa==−=题型四抛物线焦半径与焦点弦结论14．已知抛物线22yx=的焦点为F，过点F的直线与抛物线交于A，B两点，则4AFBF+的最小值是.【答案】92【分析】根据题意对直线斜率存在与否进行分类讨

论，由焦半径公式写出4AFBF+的表达式，并利用基本不等式求出其最小值.【详解】如下图示：易知焦点1,02F，设()()1122,,,AxyBxy，且12,0xx法1：由结论可知1122AFBFp+

==，故()214142152922ABBFAFFAFBFAFFFBFAFB+=+++=+法2常规法：当直线斜率不存在时（如图中虚线所示），可知1AFBF==，此时45AFBF+=；当直线斜率存在时，可设直线方程为12y

kx=−，显然0k，联立直线和抛物线方程2122ykxyx=−=，消去y整理可得()22221204kxkxk−++=，利用韦达定理可知1214xx=，又利用焦半径公式可知1211,22AFxBFx=+=+，所以可得1212

12115594442422222AFBFxxxxxx+=+++=+++=，当且仅当124xx=，即1211,4==xx时，等号成立；综上可得，4AFBF+的最小值是92.15．已知抛物线()22

0ypxp=，过焦点F的弦交抛物线于A，B两点，且有3AFFB=，准线与x轴交于点C，作A到准线的垂线，垂足为1A，则当四边形1CFAA的面积为123时，p的值为．【答案】22【分析】根据抛物线焦半径的性

质，结合向量关系，即可求解直线倾斜角π3=，根据面积公式即可求解.【详解】设直线AB的倾斜角为，过A作ADx⊥轴，则1cosAFAApFDpAF==+=+，所以1cospAF=−，同理可得1cospBF=+，因为3AFFB=，31cos1cospp=−+，则1cos2=，由于)0

,π，所以π3=，同时可得12AFAAp==，1π32sin2332CAppp===，因此四边形1CFAA的面积()1231232Sppp=+=，解得22p=．16．（多选）已知抛物线24yx=的焦点为F，过焦点F

的直线l交抛物线于A，B两点（其中点A在x轴上方），则（）A．111AFBF+=B．弦AB的长度最小值为lC．以AF为直径的圆与y轴相切D．以AB为直径的圆与抛物线的准线相切【答案】ACD【详解】由题，焦点()1,0F，设直线()()1122

12:1,,,,,0,0lxtyAxyBxyyy=+,联立2221440,Δ161604xtyytytyx=+−−==+=，12124,4yytyy+==−，()22222211111||1|

|1AFxytyyyt=−+=+=+，同理可得，22||||1BFyt=+，()()2122121||||11||||||||1||tyyAFBFAFBFAFBFtyy++++==+22121212222()4411414141yyyyyytttt+−−+====+++，故A选项正确；()(

)221212||||||1||||1ABAFBFtyytyy=+=++=+−()()222121214414tyyyyt=++−=+，故弦AB的长度最小值为4，B选项错误；记AF中点111,22xyM+，则点M到y轴

的距离为1111||22xxd++==，由抛物线的性质，11||1,||2AFxdAF=+=，所以以AF为直径的圆与y轴相切，故C选项正确；12||||||2ABAFBFxx=+=++，记AB中点1212,22xxyyN++，则点N

到抛物线的准线的距离12122||1222xxxxABd+++=+==，故以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，D选项正确.17．已知,AB是抛物线2:4Cyx=上两动点，F为抛物线C的焦点，则直线AB过焦点F时，AB最小值为________，直线AB过焦点F且倾斜角为60时（点

A在第一象限），AFBF=________，若AB中点M的横坐标为3，则AB最大值为_______.提示：C选项用ABAFBF+„D选项可不联立，设D点坐标，用AD斜率求D点坐标（斜率公式中消x）【答案】4，44,1cos6

01cos603ppAFBF====−+，【解析】（1）直线AB过焦点F，当AB垂直于x轴时，AB取最小值4，（2）由题可知：44,1cos601cos603ppAFBF====−+，（3）由于AB为两动点，所以28AB

ABAFBFxx+=++=„，当且仅当直线AB过焦点F时等号成立，故C正确【补充】1cos1e−=+18．已知抛物线y2＝16x的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于M，N两点，则11||||MFNF+=__________；||49||NFMF−的最小值为__

________.【答案】1114MFNF+=，13【解析】（1）111cos1cos21||||4MFNFppp+−+=+==（2）由1114414MFNFMFNF+==−，则||4||||11219||9||9||344NFNFNFMFNFNF−=+−−=

19．已知F为抛物线2:4Cyx=的焦点，过F作两条互相垂直的直线12,ll，直线1l与C交A，B两点，直线2l与C交于D，E两点，则|AB|+|DE|的最小值为.【答案】16【详解】思路一：设22sinApB=，则2222cossin2pp

CD==−则2244sincosABDE=++，而441ABDE+=，乘“1”即可思路二：由题意抛物线焦点为(1,0)F，显然直线12,ll的斜率都存在且都不为0，设直线1l方程为(1)ykx=−，1122(,),(,)AxyBxy，由24(1)

yxykx==−，得22222(2)0kxkxk−++=，所以21222(2)kxxk++=，121=xx，222121224(1)1()4kABkxxxxk+=++−=，同理可得2221414(1)1kDEkk+−==+−

．所以2222221114(1)4(1)84()84216ABDEkkkkkk+=+++=+++=，当且仅当1k=时等号成立．题型五焦点弦被焦点分成定比20．已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，过点2F且倾斜角为60的直线l与C交于A，B

两点．若12AFF△的面积是12BFF△面积的2倍，则C的离心率为．【答案】23【分析】由12AFF△的面积是12BFF△面积的2倍，得到222AFBF=，由此设22AFx=，分别在12AFF△和12BFF△中利用余弦定理，即可找出,ac的关系，即可求得答案.【详解】如图，由1

2AFF△的面积是12BFF△面积的2倍，可得222AFBF=，不妨设22AFx=，2BFx=，122FFc=，则122AFax=−，12BFax=−．在12AFF△中，12260FFABFx==,由22221212122cos60AFFFAFAFFF+−=，

得()22244224xcaxcx+−−=，整理得2244840caaxcx−+−=①．在12BFF△中，12120FFB=,由22221212122cos120BFFFBFBFFF+−=，得()222422xcaxcx+−−=−，

整理得2244420caaxcx−++=②，①+②2得22334acxa−=，将该式代入②，整理得()2222302caccaa−−+=，即23ca=，故C的离心率为2321．已知过抛物线2:2(0)Cypxp=的焦点F，斜率为33的直线交抛物线于1(Ax，1)y，2(Bx，2)y两点，且

||16AB=，则p=；若直线(1)ykx=+与抛物线C相交于M，N两点，满足||2||FMFN=，则k=．【解答】解：由已知设直线的方程为：3()32pyx=−，代入抛物线方程可得：224280xpxp−+=，则127xxp+=，所以由12||816ABxxpp=++==，解得2p=，所以抛物线

的方程为：24yx=，设3(Mx，3)y，4(Nx，4)y，因为||2||FMFN=，则由抛物线的定义可得：3412(1)xx+=+，即4321xx=−，342yy=，又2334yx=，2444yx=，所以344xx=，所以解得32x=，322y=，所以33

2213ykx==+，故答案为：2，223．22．已知椭圆C：221(0)95xyab+=的左、右焦点分别为1F，2F，过点2F且倾斜角为120的直线l与C交于A，B两点（A在B点左侧）．若1212AFFBFF△△SS=．【答案】2题型六双曲线焦点三角形内切圆模型23．

双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左，右焦点分别为1F，2F，右支上有一点M，满足1290FMF=，12FMF△的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为．【答案】31+【分析】由圆的切线性质及双曲线定义，可得关系式

12122FMFMFFa+−=，122FMFMa−=，从而解出1FM、2FM，利用勾股定理可解.【详解】内切圆Q分别与1FM，2FM，12FF，y轴切于点S，T，N，P则四边形QSMT、OPQN都为正方形，设内切圆半径为r，由圆的切线性质，则ONMTr==，则221212FMFOFF

==，①又因为12122FMFMFFr+−=，②且双曲线定义得，122FMFMa−=，③由①、②、③得ra=，所以12122FMFMFFa+−=，从而12FMca=+，2FMc=由勾股定理，22222(2)(2)22cacccaac++==+，所以222ee=+，解得31

e=+．24．已知点12,FF分别为双曲线22:145xyC-=的左､右焦点，过点1F的直线l交双曲线C的右支第一象限于点P，若12FPF△的内切圆的半径为1，则直线l的斜率为（）A．513B．512C．1D．3【答案】

B【分析】利用双曲线的焦点三角形的内切圆的性质，圆心在实轴上的射影点就是双曲线对应的顶点，从而构造直角三角形，结合正切的二倍角公式求解.【详解】如图，设12FPF△的内切圆的圆心为G，内切圆与三边相切

于,,EFH，12121212||||PFPFPEEFPFFFEFFFFHFH−=+−−=−=−||(||)2||2cOHcOHOHa=+−−==，所以||OHa=，即12FPF△的内切圆与x轴相切于右顶点，

即双曲线的右顶点为H，设直线的倾斜角为，即1212HPFFGF==，则由内切圆的性质可知GHx⊥轴，所以在1RtHGF△中，11111tan235GHGFHFacH====++，所以121255tantan212115GFH=

==−重庆市巴蜀中学2023届高考适应性月考（七）数学试题25．已知双曲线22221(00)xyabab−=，的左、右焦点分别为12FF，，过2F作直线与双曲线的右支交于PQ，两点，若12PFF内切圆1O与12QFF内切圆2O的半径的乘积为2a，则双

曲线的离心率为（）A．2B．3C．2D．3【答案】A解析：如图：1122PRPSFRFTFSFT===，，，12122PFPFTFTFa−=−=，122TFTFc+=，12TFacTFca=+=−，，同理内切圆2O切点也是T，12OOx⊥轴，122OFOF，都是角平分线，1222OFO

=，由直角三角形射影定理得2122OTOTTF=，22()aca=−，2ca=，2e=，故选A26．（多选）双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左、右焦点分别是12FF，，过2F的直线与双曲线右支交于,AB两点，记

12AFF△和12BFF△的内切圆半径分别为1r和2r，则（）A．12AFF△和12BFF△的内切圆圆心的连线与x轴垂直B．1r2r为定值C．若212rra=，则C的离心率2e=D．若21212rrb=，则C的渐

近线方程为22yx=【答案】ABD【分析】设12AFF△，12BFF△的内切圆圆心分别为12,OO，设圆1O切1212,,AFAFFF分别于点,,MNG，过2F的直线与双曲线的右支交于,AB两点，由切线长定理及双曲线的定义即可求得

12OOx⊥，再根据直角三角形边角关系以及相似三角形的性质求得212()rrca=−，再逐项判断即可得答案.【详解】对于A，设12AFF△，12BFF△的内切圆圆心分别为12,OO，设圆1O切1212,,AFAFFF分别

于点,,MNG，过2F的直线与双曲线的右支交于,AB两点，由切线长定理，可得1122||||,||||,||||AMANFMFGFGFN===，所以21212121||||||(||||)(||||)(||||)AFFFAFANFNFGFGAMFM+−=+++−+222||||2|

|22FNFGFGca=+==−，则2||FGca=−，所以点G的横坐标为a，即点1O的横坐标也为a，同理点2O的横坐标也为a，故12OOx⊥轴，A正确；对于B，在122OOF△中，122122221211()902OFOOFGOFGAFFBFF=+=+

=，122OOFG⊥，所以1222OFGFOG∽，所以2122||||||OGOGFG=，即212()rrca=−，B正确；对于C，由2212()rrcaa=−=解得22cac=，即2ca=，则双曲线C的离

心率2cea==，C错误；对于D，22121()2rrcab=−=，由222bca=−可得22430caca−+=，所以3ca=或ca=（舍），则2222bcaa=−=，则22ba=，所以C的渐近线方程为22yx=，D正确．题型七阿基米德三角形27．（黄冈中学月考）设抛

物线2:6Cyx=的焦点为F,过F的直线交C于A,B两点,分别以A,B为切点作C的切线1l，2l，若1l与2l交于点P，且满足||23PF=，则|AB|=()A.5B.6C.7D.8【答案】D【详解】法一：因为弦AB过焦点，故点P在准

线上，勾股求出P点到x轴距离，进而可知∠PFO=30°，又∵∠PFB=90°，故∠FBP=60°，由焦点弦公式可得22683sin4pAB===.法二：常规解法2336,26,,,0222pyxpF===，设直线AB的

方程为32xmy=+，显然m是存在的，设()()1122,,,AxyBxy，显然120,0yy，求导：()()''2'36,yxyy==，在A点处的切线方程1l为()2111111111113333,,,62xyyyyxxyxyxyxy

yyy−=−=−+==+…①，同理可得在B点处的切线方程2l为：1232yyxy=+；联立方程2632yxxmy==+，解得2690ymy−−=，236360m=+＞，129yy=−，联立方程11223232yyxyyyxy=+=+解得(

)()2112123102xyyyyyy−+−=，1212123,0,62yyyyyyx−==−，即P点在准线32x=−上，设3,2Pt−，222323,3,3PFttt=+===

，考虑抛物线关于x轴对称，不妨取3t=，代入①得：1133322yy=−+，解得133y=或13y=−，由图可知1233,3yy==−，再代入抛物线方程得1291,22xx==，()()2212128ABxxyy=−+−=28．（武汉

市武昌区五月质检）已知抛物线22(0)Cypxp=：的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，C在A处的切线与C的准线交于P点，连接BP．若|PF|＝3，则2214||||AFBF+的最小值为_____【答案】49如图，则有PF

⊥AB，PA⊥PB，2||||||9PFAFBF==所以22214142||||||AFBFAFBF+=44||||9AFBF=当且仅当||2||BFAF=时取等29．已知点()1,0M，从抛物线24xy=的准线l上一点P引抛物线的两条切线PA，PB，且A，B为切点，则点

M到直线AB的距离的最大值是（）A．2B．3C．2D．3【答案】A【分析】设出点,,PAB的坐标，利用导数的几何意义求出切线,PAPB的方程，进而抽象出直线AB的方程，即可推理作答.【详解】抛物线24xy=的准线为1y=−，设点()

()()1122,1,,,,PtAxyBxy−，对函数214yx=，直线PA的方程为1111()2yyxxx−=−，即21111122yyxxx−=−，亦即1112yxxy=−，同理，直线PB的方程为2212yxxy=−，而点P为

直线PA、PB的公共点，则1122220220txytxy−+=−+=，因此点A，B的坐标都满足方程220txy−+=，即直线AB的方程为220txy−+=，从而直线AB恒过定点()0,1，所以点M到直线AB的距离的最大值()

()2210012d=−+−=.30．（成都七中月考）过点()1,Mm−作抛物线()2:2,0Cypxp=的两条切线，切点分别为()11,Axy和()22,Bxy，又直线AB经过抛物线C的焦点F，那么12MAMByy

kk=.【答案】4【分析】方法一：设出过M与抛物线的切线的点斜式方程，联立方程，由切点性质，则0=，可得方程2220kkmp+−=，根据题意，结合韦达定理，可得2MAMBpkk=−，同样的思路，设出过焦点的直线AB，联立方程，结合韦达定理，可得212yyp=

−，故可得第一种所求代数式的表示；方法二：利用导数的几何意义，求切线斜率，可得212MAMBpkkyy=，结合方法一中212yyp=−，可得第二种所求代数式的表示；综上建立方程，求得p的值，进而求得答案.【详解】由题意，显然过点()1,Mm−作抛物线2:2Cypx=的切线的斜率存

在，设该斜率为k，则该切线方程为()1ymkx−=+，即ykxkm=++，联立2=++=2ykxkmypx，消去y可得()2222222220kxkkmpxkkmm++−+++=，由于切线与抛物

线只有唯一交点，则()()22222222420kkmpkkkmm=+−−++=，整理可得2220kkmp+−=，由题意，可知,MAMBkk为方程2220kkmp+−=的两个根，则2MAMBpkk=−，由题意，设直线AB的方程为2pxny=+，联立可得2=+2=

2pxnyypx，消去x可得2220ypnyp−−=，由题意可知12,yy为该方程的两个根，则212yyp=−，故21222MAMByypppkk−==−，由抛物线方程()22,0ypxp=，可得函数2ypx=与函数2ypx

=−，则112222pyppxpx==与112222pyppxpx=−=−不妨设()11,Axy在第一象限，则110,0xy，即112ypx=，且112MAppkypx==，由设()11,Axy在第一象限，则()12,Bxy

在第四象限，即220,0xy，可得222ypx=−，且222MBppkypx=−=，故212MAMBpkkyy=，由212yyp=−，则()212212122212MAMByyyyyyppkkpyy===，综上可得22pp=，解得=2p，故124M

AMByykk=.31．（多选）过抛物线24yx=焦点F的直线交抛物线于A，B两点（A在第一象限），M为线段AB的中点.M在抛物线的准线l上的射影为点N，则下列说法正确的是（）A.AB的最小值为4B.NFAB⊥C.△NAB面积的最小值为6D.若直线AB

的斜率为3，则3AFFB=uuuruur【答案】ABD【解析】【分析】设直线AB方程为1myx=−,1122(,),(,)AxyBxy，根据弦长公式表示出AB，可判断A;求出点N的坐标，根据斜率之间的关系，可判断B;表示出点点N到直线AB的距离，继而求得3221||4(1)

2NABSABdm==+，可判断C;直线AB的斜率为3，结合12124,4yymyy+==−可求得12||3||yAFBFy==，即可判断D.【详解】由题意知(1,0)F,设直线AB方程为1myx=−,1122(

,),(,)AxyBxy，联立214myxyx=−=，可得2440ymy−−=，216(1)0m=+，故12124,4yymyy+==−，则21212221(44(1))AyByyymm=+−=

++，故当0m=时，AB的最小值为4，故A正确；又1222yym+=，即M点纵坐标为2m,故(1,2)Nm−，当0m=时，ABx⊥轴，NF在x轴上，此时NFAB⊥;当0m时,22NFmkm==−−，1

ABkm=，故NFAB⊥，综合可知，NFAB⊥,故B正确；又点N到直线AB的距离为222|1|1mdm+=+，故3221||4(1)2NABSABdm==+，当0m=时，取最小值4，故C错误；若直线AB的斜率

为3，则直线AB方程为1myx=−，即3(1)yx=−，则121243,43yyyy+==−，由于A在第一象限，故解得122323,3yy==−，故12||3||yAFBFy==，由于,AFFB同向，故3AFFB=uuuruur，故D正确

32．（多选）已知抛物线()2:20Cxpyp=的焦点F到准线的距离为4，直线l与C交于P、Q两点，且2PQPR=，()4,6R，若过点P、Q分别作C的两条切线交于点A，则下列各选项正确的是（）A．42AF=B．12PQ=C．PQAF⊥D．以PQ为直径的圆过点A【答案】ACD【简证】第

一步：由性质一可得AR∥y轴，故A点横坐标为4第二步：由性质2可得:A点所在直线为446(4,2)xyA=+−（），故A正确216PQAR==，故B错；而A点在准线上，可得C对，D对附：【性质2】若阿基米德三角形的底边即弦AB过定点抛物线内部的定点()00,Cxy，则点P的轨迹为直线00(

)yypxx=+.若焦点在y轴上的抛物线22xpy=，则轨迹方程为00()xxpyy=+【详解】抛物线C的焦点F到准线的距离为4p=，所以，抛物线C的方程为28xy=，设()11,Pxy、()22,Qxy，由

2PQPR=可知R为PQ的中点，所以，12xx且128xx+=，1212yy+=，由21122288xyxy==可得()()()()22121212121288xxxxxxxxyy−=−+=−=−，所以，直线l

的斜率为12121PQyykxx−==−，则直线l的方程为64yx−=−，可得2yx=+，联立228yxxy=+=可得28160xx−−=，所以，1216xx=−，对函数28xy=求导可得14yx=，所以，切线AP的方程为

()1114xyyxx−=−，即222111111111144848yxxxxxxx==−+−，同理可知，切线BP的方程为2221148yxxx=−，联立21122211481148yxxxyxxx=−=−可得12124228xxxxxy

+====−，即点()4,2A−，易知抛物线C的焦点为()0,2F，所以，()()22402242AF=−+−−=，A对；因为直线:2PQyx=+过点F，所以，12416PQyy=++=，B错；因为20142AFk−−=

=−−，1PQk=，所以，1AFPQkk=−，所以PQAF⊥，故C正确；因为182ARPQ==，且R为PQ的中点，所以，ARPRQR==，因此，以PQ为直径的圆过点A，故D正确.33．（2024届·广东省四校第一次

联考）过(),2Pm−向抛物线24xy=引两条切线,PQPR，切点分别为,RQ,又点()0,4A在直线QR上的射影为H，则焦点F与H连线的斜率取值范围是.【答案】(,3][3,)−−+.【简证】半代入得切点弦QR方程为()22mxy=−，故QR过定点()02B，，所以点H的轨

迹为以AB为直径的圆点FH与圆相切时斜率取到最值【常规法详解】设1122(,),(,)QxyRxy，不妨设120,0xx，由24xy=，可得214yx=，可得12yx=，则111|2xxyx==，可得切线PQ的方程为1111()2yyxxx−=−因为点(),2Pm−在直线

PQ上，可得112(2)mxy=−，同理可得：222(2)mxy=−，所以直线RQ的方程为2(2)mxy=−，可得直线RQ过定点()02B，，又因为()0,4A在直线RQ上的射影为H，可得AB4=且AHBH⊥，所以点H的轨迹为以AB为直径的圆，其方程为22:(3)1Hxy+−=，

当FH与H相切时，由抛物线24xy=，可得(0,1)F，设过点F与圆H相切的直线的斜率为k，可得切线方程为1ykx=+，则22311(1)k−+=+−，解得3k=或3k=−，所以实数k的范围为(,3][3,)−−+.故答案为：(,3][

3,)−−+.34．（2023·深圳市二模）（多选）设抛物线C：2yx=的焦点为F，过抛物线C上不同的两点A，B分别作C的切线，两条切线的交点为P，AB的中点为Q，则（）A．PQx⊥轴B．PFAB⊥C．PFAPFB=D．2AFBFPF+

=【答案】AC【简证】由结论1可得A对，因为AB一定不过焦点F，故B错，由结论5可得C对,由结论5可得2AFBFPF=故D错【详解】对于A选项：设()()()1212112200,,,,,,,22xxyyAxyBxyPxyQ++,2yx=,2yx=,过点A切线为：()

1112yyxxx−=−①,过点B切线为:()2222yyxxx−=−②,①−②得121222,yyxxxx−=−化简可得()2212122,xxxxx−=−1202xxx+=PQx⊥轴,A选项正确.设()()10,0,1,1,0,

,4ABF过A点的切线为0y=,过B点的切线为()121yx−=−,交点为1,0,2PAB的中点为11,22Q，所以1,1,2PFABkk=−=1,PFABkk−PF

不垂直AB,B选项错误；22222213311501,22442242AFBFPF+=+++==+=,所以2AFBFPF+,D选项错误;作抛物线准线的垂线,AABB,连接,,,,,APBPPFAFBF110,,,,22P

AxxppFAxky=−=则11,,FAPAxpkkxp=−=显然1,FAPAkk=−,所以,FAPA⊥又因为由抛物线定义,得AAAF=,故知PA是线段FA的中垂线,得到PAPF=则PAAPFA=

同理可证：PBPF=,PBBPFB=，所以PAPBPF==，即PABPBA=,所以9090?=PAAPABPBAPBB=+=+,即PFAPFB=.题型八椭圆双曲线焦点弦与

焦半径公式35．已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左、右焦点分别为12,FF.若1F关于直线2yx=的对称点P恰好在C上，且直线1PF与C的另一个交点为Q，则12cosFQF=___

_______.【答案】1213【详解】思路一：设1,FP的中点为M，易知OM⊥1FP,故21FPPF⊥，故1455PFc=，2255PFc=，355ac=2125coscos5FFP==∠，221445co52535255s5cbQccFacc===

++，则25422526525QFca=−=，24525PQ=，故122||12cos||13PQFQFQF==思路二：设1(,0)Fc−关于直线2yx=的对称点11(,)Pxy，由111121222yxcyxc=−+−=，得34(

,)55ccP−，可知1455PFc=，2255PFc=，又知122FFc=，所以2221212PFPFFF+=，则12FPF为直角，由题意，点P恰好在C上，根据椭圆定义122PFPFa+=，得355ac=，122QFQFa+=，设1QFm=，则26525QFamcm=−=−，在直

角三角形2QPF△中，222452565()()()555mcccm++=−，解得4525mc=，从而226525QFc=，24525QPc=，所以22112cos13FQPQFFQ==.36．已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左､右焦点分别为12,FF，

离心率为e，点P在椭圆上，连接1PF并延长交C于点Q，连接2QF，若存在点P使2PQQF=成立，则2e的取值范围为.【答案】)8211,1−【分析】设11,QFmPFn==，所以存在点P使2PQQF=等价于()2min0,PQQF−由2112amnb+=可求

222PQQFmna−=+−的最小值，求得22ba的范围，从而得到2e的取值范围.【详解】设11,QFmPFn==，则22QFam=−.显然当P靠近右顶点时，2PQQF，所以存在点P使2PQQF=等价于()22min0,22PQQFPQ

QFmna−−=+−，在12PFF△中由余弦定理得22221121122cosPFPFFFPFFF=+−，即()2222422cosanncnc−=+−，解得2cosbnac=−，同理可得

2cosbmac=+，所以2112amnb+=，所以()()222322112223222bbbnmmnmnamnamna++=++=++，所以22min(21)(22)22bmnaaa++−=−，当且仅当2nm=时等号成立.由

22(21)202baa+−得221282ba−，所以282111e−.故答案为：)8211,1−关键点：求离心率范围关键是建立,,abc的不等式，此时将问题转化为()2min0PQQF−，从而只需求222PQQFmna−=+−的最小值，求最小值的方法是结合焦

半径性质211112aPFQFb+=使用基本不等式求解.37．过双曲线22221(0,0)xyabab−=的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为Q，直线FQ与双曲线的左､右两支分别交于点,MN，若3MQQN=，则双曲线的离心率是___________.【答案】5【分析】设

双曲线的左焦点为1F，连接1MF设QFO=，分别求得22cosbbFMcaba==−−，同理22cosbbFNaba==++，结合3MQQN=，求得12ab=，进而求得离心率.【详解】如图所示，根据点到直线的距离

公式可得点F到直线byxa=的距离为b，设双曲线的左焦点为1F，连接1MF，则12MFFMa=−，设QFO=，则cosbc=，22cosbbFMcaba==−−，22ccosbbFNaba==++，因为()33MQQNFMbQFb=−=−，则有()()()222222233

34222bababbbbbbbababbabababa++−−=−=−=−=−+−，所以12ab=，故离心率为5.2023届·山东省新高考3月联合质量测评38．过双曲线221xy−=的左、右焦点作两条相互平行的弦ABCD，，其中AB，在双曲线的左支

上，AC，在x轴上方，则12AFCF的最小值为．当AB的倾斜角为3时，四边形12AFFC的面积为．（提示：参考焦半径公式与焦点弦公式）【答案】126，解析：方法1：设2ABxky=−：，联立得22(1)2210kyky−−+=．所以12211yyk

=−．所以221211122212(1)()1111kAFCFAFBFkyykk+==+−==−+−+−，当且仅当0k=时等号成立．()1212121π1πsinsin262323SAFCFFFABFF=+==．方法2：121121112cosAFCFAFBF==

−…，（提示：11cosepAFpe=−，是焦准距)()12122122sinsin26212cosSAFCFFF=+==−．2023届·青岛三模T8——2个二级结论39．已知O为坐标原点，双曲线(

)2222:10,0xyCabab−=的左，右焦点分别为12,FF，过C的右焦点2F且倾斜角为3的直线交C于A，B两点，AB中点为W，222FWab=+，则离心率e＝________；1FAB的周长等于12，则a＝________．【答案】2，1（1）易知222223ta

n303OWFbkWacFWFO=+====，又tan603ABk==，则212OWABkkee=−=（2）易知122FAFAa=+，122FFBBa=+，则1FAB的周长为24ABa+由焦点弦长公式可知2322222224cos234abaABaacaa===−−，故

2412121ABaaa+===xy–1–2–3123–1–2–3123ABDCF2F1O题型九椭圆双曲线大题·面积相关问题（韦达化处理与弦长公式）40．已知椭圆C：的离心率为，且椭圆长轴长为．(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点的直线l（不过原点O）与C交于AB

，两点，求面积的最大值．【答案】(1),(2)【分析】（1）根据题意可得出，，再利用的关系求出，进而求解；（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线，,，,，联立直线与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，由弦长公式可得，点到

直线的距离公式可得点到直线的距离，再计算的面积，利用基本不等式，即可得出答案．【详解】（1）因为椭圆的离心率为，且椭圆长轴长为，所以，，则，所以椭圆的标准方程为：.（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线，,，,，联立，得，，所以，即或，则，故，点到直线的距离

，所以的面积，设，则，故，当且仅当时，等号成立，()222210xyabab+=2222()0,2POAB2212xy+=222a=1c=,,abc1b=l:2lykx=+1(Ax1)y2(Bx2)yl12xx+12xx||ABOldAOB22222a=1c=221bac=−=C2212x

y+=l:2lykx=+1(Ax1)y2(Bx2)y22212ykxxy=++=22(21)860kxkx+++=222Δ6424(21)8(23)0kkk=−+=−232k62k62k−12122286,2121kxxxxkk+

=−=++22222122228214611()42121216kkkABkxxkkkk+−=+−=+−−=+++Ol221dk=+AOB221246221kSABdk−==+2460tk=−2

264tk+=22442862282()14tSttt===+++22t=所以面积的最大值为41．已知椭圆C：22221xyab+=（0ab）的焦距为4，且经过点()2,2，过点()0,1P且斜率为k的直线l与x轴相交于点G，与椭圆C相交于A，B两点.(1)求椭圆C的离心率；(2)若A

PGB=，求k的值.【答案】(1)22,(2)22k=【分析】（1）方法一：根据焦距得到2c=，224ab−=，根据过点()2,2得到22421ab+=，然后解方程得到28a=，最后求离心率即可；方法二：

根据焦距得到焦点坐标，然后根据椭圆的定义得到22a=，最后求离心率即可.（2）设l方程得到点G坐标，根据APGB=得到121xxk+=−，121yy+=，联立直线和椭圆方程，利用韦达定理和121xxk+=

−或121yy+=或2121221212yyyybxxxxa+−=−+−列方程，解方程即可得到k.【详解】（1）方法一：∵2c=，∴224ab−=，∵过点()2,2，∴22421ab+=，解得24b=，28a=，∴24c=，∴离心率为22222=.方法二：焦点()12,0F−，()2

2,0F，()()()()222222220222042a=−+−+++−=∴22a=，22cea==.（2）由（1）知椭圆C方程为22184xy+=.设l方程为1ykx=+，则1,0Gk−，设()11,Axy，()22,Bxy，则()11,1APxy=−

−，221,GBxyk=+.AOB22∴121xxk−=+，121yy−=，∴12121,1xxyyk+=−+=.联立22184xy+=与1ykx=+，得()2212460kxkx++−=，∴1224112kxxkk−+==−+，

∴212k=，∴22k=，或：消去x得()2212280kyyk+−−=，∴1222112yyk+==+.∴212k=，22k=.或：2121221212yyyybxxxxa+−=−+−，即48kk−=−，∴212k=，22k=.42．（2023上·福建龙岩·高二统考期末）在平面

直角坐标系xOy中，已知点，点M的轨迹为C．(1)求C的方程；(2)是否存在过点的直线l与曲线C交于不同的两点A、B﹐满足．若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．【答案】(1)(2)或【分析】（1）由轨迹特征可知是椭圆，待定系数法求C的方程；（2）设出直线方程，与椭圆

联立方程组，由结合韦达定理求解.【详解】（1）因为，，所以C是以点为左右焦点的椭圆，于是，，故，因此C的方程为.（2）直线l的斜率明显不为0，设，代入椭圆C的方程化简得，设，则则，，，所以或(舍)，解得，所以直线l的方程为或43．

（2023上·广东惠州·高二统考期末）已知抛物线经过点是抛物线上异()()12121,0,1,0,22FFMFMF−+=1F23OABS=2212xy+=10xy++=10xy−+=23OABS=122FF=121222MFMFFF+=12,FF2a=1c=1b=

2212xy+=:1lxmy=−22(2)210mymy+−−=1122(,),(,)AxyBxy12122221,,22myyyymm−+==++2221212122288()4(2)myyyyyym+−=+−=+2122221

||2myym+−=+211221212||||223OABmSOFyym+=−==+212m+=2112m+=1m=10xy++=10xy−+=2:2Cypx=()2,2,PAB､C于点的不同的两点，其中为原点.(1)

求抛物线的方程；(2)若，求面积的最小值.【答案】(1),(2)4【详解】（1）由抛物线经过点知，解得，则抛物线的方程为；（2）由题知，直线不与轴垂直，设直线，由消去，得，，设，则，因为，所以即，所以解得（舍去）或，所以即，所以直线，所以直线过定点，当且仅

当或时，等号成立，所以面积的最小值为4.【解法二】由题意知直线，直线的斜率均存在，且不为0不妨设直线方程为，代入由可得当且仅当时等号成立所以面积的最小值为4【解法三】当直线斜率不存在时，则为等腰直角三角形，此时，当直线

斜率存在时，设直线，由消去，得，OOCOAOB⊥AOB22yx=2:2Cypx=()2,2P44p=1p=C22yx=ABy:ABxtya=+22xtyayx=+=x2220ytya−−=2Δ480ta=+()()1122,,,AxyBxy12122

,2yytyya+==−OAOB⊥0OAOB=12120xxyy+=22121204yyyy+=120yy=124yy=−24a−=−2a=:2ABxty=+AB()2,022221212121212282АОВS

yyyyyyyy=−=+−=++12284yy+=122,2yy==−122,2yy=−=AOBOAOBOAykx=2yOAOB⊥()22,2Bkk−2221OAkk=+22112OBkk=+2211222AOBSOAOBkk==++2212224kk+=1k=AOB

ABAOB4AOBS=△AB:ABykxb=+22ykxbyx=+=y()222210kxkbxb+−+=()()1122Δ840,,,,,kbAxyBxy=−+设则，因为，所以即，所以解得（舍去）或，所以直线，所以直线过定点，综上：面积的最小值为4.44．已知椭圆：，四点，，，中

恰有三点在椭圆上.(1)求的方程；(2)若斜率存在且不为0的直线经过C的右焦点F，且与C交于A、B两点，设A关于x轴的对称点为D，证明：直线BD过x轴上的定点.【分析】（1）根据对称性得到椭圆上的点，再将点代入椭圆方程求解即可.（2）设直线，，，

则，将直线方程和椭圆方程联立，利用韦达定理计算直线BD与x轴的焦点坐标即可.【详解】（1）根据椭圆对称性，点，必在椭圆上，则不在椭圆上，在椭圆上，，解得所以的方程为（2）由（1）得右焦点，设直线，，，则联立，消去得，则又直线，令得()212122221,kbbxxxxk

k−+=−=OAOB⊥0OAOB=12120xxyy+=()()22121210kbxxkxxb++++=0b=2bk=−():2ABykx=−AB()2,0()()()2212121212122242AOBSyykxkxkxxxx=−=−−−=+−24164

k=+AOBC()222210xyabab+=()11,1P−()20,3P331,2P431,2P−CCl:1lxty=+0t()()1122,,,AxyBxy()11,Dxy−331,2P43

1,2P−()11,1P−()20,3P2219143abb+==23ab==C22143xy+=()1,0F:1lxty=+0t()()1122,,,AxyBxy()11,Dxy−221431xyxty+==+x()223

4690tyty++−=12122269,3434tyyyytt+=−=−++()212221:yyBDyxxyxx+=−+−0y=()()()22122121221122212121yxxyxxyyxyxyxxxyyyyyy−−−−+++=+==+++

又即时，，直线BD过x轴上的定点45．（2023上·湖北·高二校联考期末）已知双曲线C：的左右焦点分别为，，右顶点为，点，，．(1)求双曲线的方程；(2)直线经过点，且与双曲线相交于，两点，若的面积为，求直线的方程．【答案】(1)，(2)或.【分析

】（1）由题意可得：，，，解得，，，即可得出双曲线的方程．（2），设直线的方程为，，，联立直线的方程与双曲线的方程化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系可得，利用的面积，解得，即可得出直线的方程．【详解】（1）解：由题意可得：，，，解得，，，所以双曲线的方程为.（

2）解：由题意可知，直线的斜率不为0，设：，设，，联立，消，得，由，解得，则.所以，所以的面积，由，整理得，解得，，所以直线的方程为或()()2211221121221212129211234114634ty

tyytyyxyxtyyttyyyyyyt−+++++==+=+=+++−+0y=4x=()4,0()222210,0xyabab−=1F2FP()0,Qb21PF=160FPQ=Cl2FCAB1FAB62l2213yx−=20xy+−=20xy−−=

21PFca=−=1tantan603bFPQa===222cab=+cabC2(2,0)Fl2xmy=+()11,Axy()22,Bxyly2121212||()4yyyyyy−=+−1FAB1212622cyy=−=ml21PFca=−=1ta

ntan603bFPQa===222cab=+1a=3b=2c=C2213yx−=lAB2xmy=+()11,Axy()22,Bxy22233xmyxy=+−=x()22311290mymy−++=()222310Δ1443610mmm−=−−213m12212212

31931myymyym+=−−=−()()()()2222121212222236112364313131mmyyyyyymmm+−=+−=−−=−−−1FAB2212122211611214223131mmSFFyy

mm++=−==−−221216231mm+=−429810mm−−=21m=1m=l20xy+−=20xy−−=46．（2023上·福建宁德·高二统考期末）在平面直角坐标系中，焦点在x轴上的椭

圆过点，离心率.(1)求椭圆的方程；(2)设直线与椭圆相交于两点，求的面积最大值.【答案】(1)，(2)1【分析】（1）根据椭圆的离心率及椭圆过一点，列方程求解，即可得椭圆的方程；（2）设，联立直线与椭

圆求解交点坐标关系，即可得相交弦长，再利用点到直线的距离求得点到直线的距离，即可得的表达式，利用函数性质求最值即可.【详解】（1）设椭圆方程为，由椭圆过点，离心率所以，解得，所以椭圆的方程为：（2）设，则，得，，得，所以，所以

，点到直线的距离所以的面积当时，的面积取到最大值1.xOyC31,232e=Cyxm=+C,ABAOB2214xy+=22,abC()()1122,,,AxyBxyABOyxm=+AOB22221,0xyabab+=C31,2

32cea==22222131432abbacca+==−=224,1ab==C2214xy+=()()1122,,,AxyBxy2214yxmxy=++=2258440xmxm++−=()()22845440mm=−−25m1221

285445mxxmxx+=−−=()22212121242511245mABxxxxxx−=+−=+−=Oyxm=+2md=AOB2114252252AOBmmSABdAB−===24255mm=−222255522m=−−+225152

=252m=AOB题型十平移+齐次化解决定点与斜率和积定值问题47．已知椭圆2214xy+=，设直线l不经过2(0,1)P点且与C相交于A，B两点．若直线2PA与直线2PB的斜率的和为1−，证明：l过定点．【平移+齐次

化处理】Step1：平移点P到原点，写出平移后的椭圆方程，设出直线方程，并齐次化处理将椭圆向下平移一个单位，（为了将2(0,1)P平移到原点）椭圆方程化为22:(1)14xCy++=，（左加右减，上减下加为曲线平移）设直线对

应的直线为1mxny+=，椭圆方程化简为221204xyy++=，把一次项化成二次结构，将2y乘上mxny+即可此时椭圆方程变成：()()2222012021244xyymxnxynyyxm+++=+++=Step2：根据斜率之积或斜率之和与韦达定理的关系得到等式，求得m，n之间的关系

由于平移不会改变直线倾斜角，即斜率和仍然为－1，而P2点此时为原点，设平移后的(,),(,)AABBAxyBxy，即00100ABAByyxx−−+=−−−,将椭圆方程两边同除以2x，令ykx=，得()220214knmk++=+，结合两直线斜

率之和为，即122121mkkn+=−=−+，得，，Step3：得出定点，此时别忘了，还要平移回去!直线恒过点，向上平移一个单位进行还原在原坐标系中，直线过点．【手电筒模型·1定+2动】直线ykxm=+与椭圆()2222=10xyabab+交于A，B两点，

00(,)Pxy为椭圆上异于AB的任意一点，若APBPkk=定值或APBPkk+=定值(不为0)，则直线AB会过定点．(因为三条直线形似手电筒，固名曰手电筒模型)．补充：若ykxm=+过定点，则APBPkk=定值，APBPkkk+=定值

.(2,1)Q−ll1−221mn=+21mn−=l(2,2)Q−l(2,1)Q−OxyABP【坐标平移+齐次化处理】（左加右减，上减下加为曲线平移）Step1：平移点P到原点，写出平移后的椭圆方程，设出直线方程，并齐次化处理Step2：根据斜率之积或

斜率之和与韦达定理的关系得到等式，求得m，n之间的关系，Step3：得出定点，此时别忘了，还要平移回去!【补充】椭圆2222:1(0),xyEabab+=00(,)Pxy是椭圆上一点，A，B为随圆E上两个动点，PA与PB的斜率分别

为k1，k2.(1)120kk＋＝，证明AB斜率为定值2020:(xbyya≠0)；(2)12)0(kktt＋＝，证明AB过定点：20002022,yxbxytta−−−；(3)2122bkka=

＝，证明AB的斜率为定值000(0)yxx−；(4)2122()bkka=，证明AB过定点：2222002222,ababxyabab++−−−.以上称为手电筒模型，注意点P不在椭圆上时，上式并不适用，

常数也需要齐次化乘“1²”48．如图，椭圆22:12xEy+=，经过点(1,1)M，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点(0,1)A−，证明:直线AP与AQ的斜率之和为2．【解析】设直线()()1122:(1)1,,,,PQmxnyPxyQxy++=则2

1mn+=．由22(1)112mxnyxy++=+=，得：22[(1)1]12xy++−=．则22(1)2(1)[(1)]02xyymxny++−+++=，故2111(12)202yynmxx++−−+=．所以1212112221yymxxn+++

==−.即1212112APAQyykkxx+++=+=.49．如图，已知抛物线C：22yx=，圆E：()2224xy−+=，直线OA，OB分别交抛物线于A，B两点，且直线OA与直线OB的斜率之积等于2−，则直线AB被圆E所截的弦长最小值为．【答案】23【分析】先由两直线斜率

之积构造齐次化方程，得出直线AB过定点()1,0，再利用直线与圆的位置关系计算弦长确定最值即可.【详解】设()11,Axy，()22,Bxy，设ABl：1mxny+=，又22yx=，∴()22yxmxn

y=+，∴22220ynxymx−−=，∴2220yynmxx−−=．∴121222OAOByykkmxx==−=−，∴1m=，∴直线AB恒过点()1,0Q，由图结合圆的弦长公式可知，当圆心E到动直线AB的

距离最大时，即当直线ABQE⊥时，弦长最短，此时弦JI最小为()22421−−=23．50．已知椭圆：的离心率为，椭圆的短轴长等于4．（1）求椭圆的标准方程；（2）设，，过且斜率为的动直线与椭圆交于，两点，直线，E22221(0

)xyabab+=33EE22164xy+=()0,1A−()0,2BA1klEMNBM分别交：于异于点的点，，设直线的斜率为，直线，的斜率分别为．①求证：为定值；②求证：直线过定点.答案：（2）-2；（3）0,3【小问1详解】由题意解得所以椭圆的标准方程为：；【小

问2详解】①设MN的方程为，与联立得：，设，，则，【法二】平移坐标系+齐次化处理将坐标系中的图像整体向下平移2个单位，平移后的椭圆方程为：()222164yx++=，整理得：2212023yyx++=，设平移后的直线MN的方程为：1m

xny+=，代入点()0,3−得13ymx−=，则有22023312yxyxym+−=+，整理得：220212mxyyx++=−令ykx=，将220212mxyyx++=−两边同除2x，得20212mkk++=−，故342kk=−说明：因为平移后'3'mmykx=，'4'nnykx=

，而式子220212mxyyx++=−中x，y的值对应平移后的m’和n’所以同除2x后得到的就是一个以3k和4k为根一个关于k的一元二次方程．②设PQ的方程为，与联立，BNC()2211xy+−=BPQPQ2kBMBN34kk，3

4kkPQ2222433bcabca==+=262bac===22164xy+=11ykx=−22164xy+=()221132690kxkx+−−=11(,)Mxy22(,)Nxy()1122112

2121163293272210kxxkxxkk+=+=−+=+()()21122121121123412121233223()92kxkxyykxxkxxkkxxxxxx−−−−−++=

===−2ykxt=+()2211xy+−=()()()222212120kxktxtt++−+−=设，则由，即此时，的方程为，故直线恒过定点.33P(,)xy44(,)Qxy()()()234223422222

221121420ktxxkttxxkktt−+=−+−=+=−+()()()()()22232423423434343412222222BPBQkxtkxtkxxktxxtyykkxxxxxx+

−+−+−++−−−===()()()()()()()()()2222222222222222112211222kttkttktktktktttttt−−−−++−−−++−−===−34BPBQkkkk=222,,3ttt−=−=2228409k

=+PQ223ykx=+PQ203，