【文档说明】陕西省西安市八校2021届高三上学期第一次联考理科数学试卷 含解析.doc，共(19)页，1.884 MB，由小赞的店铺上传

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2021年陕西省西安市八校高考数学联考试卷（理科）（一）一、选择题（共12小题）.1.已知集合A，全集{1,2,1,2,3,4}U=−−，若1,3,4UA=ð，则集合A是（）A.{1,2,0,2}−−B.{1,2,2}−−C.{1,2}−−D.

{0}————B分析：根据补集的定义即可求得集合A.解答：解；因为全集1,2,1,2,3,4U=−−，若UAð={1,3,4}，由补集的定义可得，1,2,2A=−−．故选：B．2.已知()fx为奇函数，当0x时，()ln1fxx=+，则()fe−=（）A.2B.0C.2−D.1——

——C分析：由题意先计算()fe，再根据奇函数的性质，得()()fefe−=−，即可得答案.解答：根据题意，当0x时，()ln1fxx=+，则()ln12fee=+=，又由()fx为奇函数，则()()2fefe−=−=−.故选：C.3.若,02a−

，且sincos0+=，则sin3=（）A.22−B.22C.32−D.12————A分析：先求出4a=−，直接带入求出sin3解答：解：因为sinα+cosα=0，且,02a−，所以sintan1cos

==−，所以4a=−，则sin3α=332sin()sin442−=−=−．故选：A．4.在1到100的整数中，除去所有可以表示为2()nnN+的整数，则其余整数的和是（）A.3928B.4024C.4920D.4924————D分析：当2[1,100]n时，结合等比数列求和，求得126

222126+++=，再由等差数列的求和公式，求得1231005050++++=，进而求得其余的整数的和．解答：当2[1,100]n时，可得1,2,3,4,5,6n=所以61234562(12)22222212612−+++++==−，又由10010112310050502++++==，所

以在1到100的整数中，除去所有可以表示为2()nnN+的整数，其余的整数的和为50501264924−=．故选：D.5.已知双曲线22:18xySmm−=+的离心率为2，则双曲线S的两条渐近线的夹角为（）A.6B.

3C.6或3D.3或23————B分析：利用双曲线的离心率求出m的值，可得出双曲线的渐近线方程，由此可得出结果.解答：由于方程2218xymm−=+表示的曲线为双曲线，则()80mm+，解得8m−或0m.则22222213bcaeaa−==−=.①当0m时，则2am=，28bm

=+，则2283bmam+==，解得4m=，所以双曲线的渐近线方程为3yx=，此时，该双曲线的两条渐近线的倾斜角分别为3、23，则双曲线S的两条渐近线的夹角为3；②当8m−时，则()28am=−

+，2bm=−，则()22388bmmamm−===−++，解得12=−m.所以双曲线S的渐近线方程为33yx=，此时双曲线S的两条渐近线的倾斜角分别为6、56，则双曲线S的两条渐近线的夹角为3．综上所述，双曲线S的两条渐近

线的夹角为3.故选：B．点拨：方法点睛：求双曲线的渐近线方程的方法：（1）定义法：直接利用a、b求得比值，则焦点在x轴上时，渐近线方程为byxa=，焦点在y轴上时，渐近线方程为ayxb=；（2）构造齐次式：利用已知条件结合222abc=+，构建ba的关系式

（或先构建ca的关系式），再根据焦点位置写出渐近线方程即可.6.已知||1,||2ab==，且a与b的夹角为6，则3ab−=（）A.7B.22C.10D.19————A分析：先求ab，再利用22bb=求出3ab−.解答：解：1,2,ab==且a与b的夹角为6，31232ab=

=222232331233327abaabb−=−+=−+=故37ab−=故选：A．点拨：向量的模运算的常用方法：（1）定义法；（2）坐标法；（3）用22bb=求模.7.已知点P在圆()()22:211Cxy−++=上，直线:3412lxy+=与两坐标轴的交

点分别为,MN，则PMN的面积的最大值是（）A.152B.8C.172D.9————A分析：根据题意得圆心到直线的距离，然后根据dr+计算点P到直线l的距离的最大值，再计算MN，利用1()2SMNdr=+计算PMN面积最大值.解答：如图，当点P

距离直线:3412lxy+=的距离最大时，PMN的面积最大.已知，圆C的圆心(2,1)−到直线:3412lxy+=的距离22|6412|234d−−==+，则圆C上的点P到直线l的距离的最大值为213dr+=+=，又直线:3412lxy+=与两坐标轴

交点分别为(4,0),(0,3)MN，所以5MN=．∴PMN面积的最大值为1155322S==．故选：A.8.已知命题p：,10lgxRxx−，命题q：1,2xxRe，则（）A.“pq”是假命题B.“pq”是真命题C.“pq”是假命题D.“p∧￢q”是

真命题————D分析：先命题p为真命题，命题q为假命题，再根据复合命题的真假判定，结合选项，即可求解.解答：由题意，命题p：,10lgxRxx−，当100x=时，不等式成立，所以p为真命题；命题q：1,2xxRe，当

1x=−时，不等式不成立，所以q为假命题，根据复合命题的真假判定，可得命题pq为真命题，pq为假命题；pq为真命题，pq为真命题.故选：D.9.已知()213sincossin0,22fxxxxx=+−，则()fx的值域是（

）A.11,22−B.11,2−C.1,12−D.[1,1]−————C分析：首先利用降幂公式化简函数()sin26fxx=−，再求26x−的范围，再求函数的值域.解答：()31c

os2x131sin2sin2cos2sin2222226fxxxxx−=+−=−=−，510,,2,,sin2,1,266662xxx−−−−()fx的值域为1,1.2−故选：C．10.

如图，已知底面边长为a的正四棱锥PABCD−的侧棱长为2,a若截面PAC的面积为87,则正四棱锥PABCD−的体积等于（）A.1214B.32143C.3278D.1083————B分析：连接BD，交AC于O，连接PO，根据截面PAC的面积

为87可解得4a=，即可求出体积.解答：解：连接BD，交AC于O，连接PO，则PO⊥底面ABCD且O是AC中点，222ACaaa=+=，()22222142222ACPOPCaaa=−=−=

，截面PAC的面积为87，11428722PACSaa=＝，解得4a=，正四棱锥PABCD-的体积为：13PABCDABCDVSPO−正方形＝211432aa=3146a=31446=32143=.故选：B．11.5212xx

+−的展开式的常数项是（）A.32﹣B.88﹣C.88D.152————C分析：分两种情形求出常数值，即可得出常数项.解答：解：5212xx+−表式5个因式212xx+−

的乘积，要得到常数项，有2种情形：（1）5个因式中每一个因式都取2−，可得到常数项，它的值为()5232−=−；（2）5个因式中，有2个因式取1x，一个因式取2x，其余的因式都取2−，则()221532120CC−=，综上可得，常数项的值为32120

88−+＝.故选：C．12.“4a<-”是“函数()22xafxx+=−在区间()2,+上单调递增”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.不充分也不必要条件————A分析：化简可得()()4242afxxx+=−++−，易判断充分性

成立，举特例4a=−可判断必要性.解答：解：()()()()2242442422xxaafxxxx−+−+++==−++−−，当40a+时，即4a<-时，函数()fx在()2,+为增函数，即充分性成立，若函数()22xaf

xx+=−在区间()2,+上单调递增，如当40a+=，即4a=−时，()2fxx=+满足题意，故必要性不成立.即“4a<-”是“函数()22xafxx+=−在区间()2,+上单调递增”的充分不必要条件.

故选：A．二、填空题（共4小题）.13.准线方程为2y=的抛物线的标准方程是___________.————28xy=-分析：由抛物线的准线方程可知，抛物线是焦点在y轴负半轴上的抛物线，并求得p值，则答案可求．解答：解：由抛物线的准线方程为2y=，可知抛物线

是焦点在y轴负半轴上的抛物线，设其方程为22(0)xpyp=−，则其准线方程为22py==，得4p=．该抛物线的标准方程是28xy=-．故答案为：28xy=-．点拨：本题考查抛物线的标准方程，属于基础题．14.若a∈R，i为虚数单位，24ai

+=，则a=______________________．————23分析：根据复数的运算，化简得到|2|4ai−=，列出方程，即可求解.解答：根据复数的运算，可得222|2|4aaiaiii+=+

=−=可得222()4a+−=，解得23a=．故答案为：23．15.将摆放在编号为1,2,3,4,5五个位置上的5件不同商品重新摆放，则恰有一件商品的位置不变的摆放方法数为_________．（用

数字作答）————45分析：先选出1件，放回原来的位置，有5种，再将剩下的四件都不在原来位置.解答：根据题意，分2步进行分析：（1）将5件不同商品中选出1件，放回原来的位置，有155C＝种情况，假设编号为5的位置不变，（2）剩下四件都不在原来位置，即编

号为1,2,3,4的四件商品都不在原来位置，编号为1的商品有3种放法，假设其放在了2号商品原来的位置，则2号商品有3种放法，剩下编号为3，4的两件商品只有1种放法，则其余四件商品的放法有339＝种，故恰有一件商品的位置不变的摆放方法有5945＝种，故答案为：45．16.已知函数()2fxx

axb=++有两个零点12,xx、且12102xx−，则直线()230axby−+−＝的斜率的取值范围是_________．————3,2+分析：由零点存在性定理得出关于,ab的不等式组，画出不等式组表示

的平面区域，数形结合即可求出.解答：二次函数()2fxxaxb++＝有两个零点12,xx，且12102xx−则()()()110002240fabfbfab−=−++==++，画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，由图可知，

()()1,02,0AB−,，联立24010abab++=−++=，解得()1,2C−−．直线()230axby−+−＝的斜率为212abba−=−，其几何意义为可行域内动点(),ab与定点()2,0连线斜率的倒数，

由图可知，0,PAk=202123PCk−−==−−，直线()230axby−+−＝的斜率的取值范围是3,2+.故答案为：3,2+．点拨：方法点睛：线性规划常见类型，（1）ybzxa−=−可看作是可行域内的点到点(),ab的斜率；（2）zaxby=+，可看作直线

azyxbb=−+的截距问题；（3）()()22zxayb=−+−可看作可行域内的点到点(),ab的距离的平方.三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题.第22、23题为选考题，考生根据要求作

答.）17.已知{an}为等差数列，各项都为正数的等比数列{bn}的前n项和为Sn，且13b=，339S=，127ab=−，4041ab=−．（1）求{}na､{}nb的通项公式；（2）求和1231222nnaaaaa++++++．————（1）an=2n；bn=3n，n∈N*；（2）2

n2+4n．分析：（1）根据等差等比数列的通项公式及求和公式列出方程组求解即可；（2）变形后根据等差数列的求和公式求和即可.解答：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，q>0，由b1=3，S3=39，a1=b2﹣

7，a40=b4﹣1，可得3+3q+3q2=39，a1=3q﹣7，a1+39d=3q3﹣1，解得q=3，d=2，a1=2，则an=2+2(n﹣1)=2n；bn=3•3n﹣1=3n，n∈N*；（2）a1+2a2+2a3+……+2an+an+1=2(a

1+a2+a3+……+an+an+1)﹣a1﹣an+1=2•12(n+1)(2+2n+2)﹣2﹣2(n+1)=2n2+4n．18.已知正四面体,ABCDMN、分别在棱ADAB、上，且11,,23AMMDANABP＝＝为棱AC上任意一点（不P与A重合

）．（Ⅰ）求证：直线//MN平面BDP；（Ⅱ）求直线DN与平面DBC所成角的正弦值．————（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）24221.分析：（Ⅰ）根据等比例关系可得//MNBD，即可证明；（Ⅱ）取AC的中点,O以O为原点，建立如图所示的

空间直角坐标系，利用向量关系即可求出.解答：（Ⅰ）证明：1,2AMMD＝1,3AMAD=1,3ANAB=//,MNBD又MN平面,BDPBD平面,BDP//MN平面BDP．（Ⅱ）解：取AC的中点,O连接

,OB以O为原点，,OBOC所在直线分别为,xy轴，作Oz⊥平面,ABC建立如图所示的空间直角坐标系，设正四面体ABCD的棱长为3,则正四面体的高为6，330,,02B，333,0,0,0,,6,1,,0222CDN−()1,

0,6DN=−−，()333,,0,0,3,622BCBD=−=−设平面DBC的法向量为(),,nxyz=，则00nBCnBD==，即333022360xyyz−=−+=，

令2y=，则6x=，1z=，()6,2,1n=，设直线DN与平面DBC所成角为，则66242sincos,2137nDNnDNnDN−−===＝，故直线DN与平面DBC所成角的正弦值为24221.点拨

：思路点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.19.已知椭圆2222:

1(0)xyCabab+=，F1､F2分别为椭圆C的左､右焦点，P为椭圆C上的任一点，且|PF2|的最大值和最小值分别为3和1，过F2的直线为l．（1）求椭圆C的方程；（2）设直线l与椭圆C交于A､B两点，求△ABF1的面积的最大值．——

——（1）22143xy+=；（2）3．分析：（1）根据|PF2|的最大值a+c和最小值a-c,结合已知条件得到方程组，求得a,c的值，进而结合a,b,c的平方关系求得椭圆的标准方程.（2）先判定直线的斜率不为零，进而设其方程为x=my+1，与椭圆方程联立，消去x得到关于y的一元二次方程，

利用韦达定理求得12yy−关于m的函数表达式，适当变形，利用基本不等式求得其最大值，进而根据11212||2ABFScyy=−得到所求三角形的面积的最大值.解答：解：（1）由椭圆的性质可知，31acac+=−=，解得a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3，

所以椭圆方程为22143xy+=，（2）由题意分析可知直线l的斜率不能为零，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，l的方程为x=my+1，联立方程221143xmyxy=++=，得(3m2+4)y2+6my﹣9=0，△=36m2+

36(3m2+4)>0，∴122634myym+=+，122934yym−=+，∴2212121222636||()4()3434myyyyyymm−=+−+++()()222221112121349161mmmm+==+++++所以当且

仅当m=0时|y1﹣y2|取到最大值3，11212||2ABFScyy=−≤3，即三角形ABF1面积的最大值为3．点拨：本题主要考查椭圆的几何性质和椭圆中的面积最值问题，熟练掌握椭圆上的点到焦点的距离的最大值和最

小值，灵活变形使用基本不等式求最值是关键步骤.掌握面积的求法11212||2ABFScyy=−是十分重要的.20.西安市某街道办为了绿植街道两边的绿化带，购进了1000株树苗，这批树苗最矮2米，最高2.5米，桉树苗高度绘制成如图所示频率分布

直方图．（Ⅰ）试估计这批树苗高度的中位数；（Ⅱ）用频率代替概率，从这批树苗中任取3株树苗，用X表示取出的3株树苗中高度不低于2.3米的株数，求X的分布列和期望．————（Ⅰ）2.22；（Ⅱ）分布列见解析，0.9.

分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图求出频率，先判断出中位数的范围，再列式即可求出；（Ⅱ）可得取出的3株树苗中高度不低于2.3米的株数()3,0.3XB～，由此求出概率，即可得出分布列，求出期望.解答：解：（I）区间2.0,2[.10）的频率0.11.00.10,==区间)2.10,2.20的

频率0.13.50.35,==区间)2.20,2.30的频率0.12.50.25,==区间)2.30,2.40的频率0.12.00.20,==区间)2.40,2.5的频率0.11.00.10==．由0.100.350.450.5

,0.100.350.250.70.5,+=++=可设这批树苗高度的中位数为,x则()0.452.202.50.5,x+−=解得2.22,x=这批树苗高度的中位数为2.22．（II）区间)2.30,2.40的频率0.20，区间)2.40,2.5的频率0.

10．0.200.100.30,+＝取出的3株树苗中高度不低于2.3米的株数()3,0.3XB～，()330.30.7,0,1,2,3kkkPXkCk=﹣＝＝．可得X分布列为：X0123P0.3430.4410.1890.027()30.30.9EX=＝．21.已知函数()

2lnln2fxxx=．（Ⅰ）求()fx的极值；（Ⅱ）设()()ln,hxfxx=−求证：()hx在)1,+上有两个零点．————（Ⅰ）极大值34ln227，极小值0；（Ⅱ）证明见解析.分析：（Ⅰ）求出()fx的导数，令()0,fx

=求解然后判断导数正负得出单调区间，即可求出极值；（Ⅱ）令ln,0txt=，可得()2ln21yttt=−+，分0t=和()2ln210tt+−=讨论零点个数.解答：解：（Ⅰ）()()2223lnln2lnln

2lnln2lnlnfxxxxxxx==+=+，()()211ln2ln2ln3lnln43lnxfxxxxxxx+=+＝，令()0,fx=得31211,4xx==，所以在310,4，()1,+上，()()0,

fxfx单调递增，在31,14上，()()0,fxfx单调递减，所以()111233333144ln4ln24ln2427fxff−−−===极大值＝()()10fxf==极小值．（Ⅱ）()())23lnln2ln

lnln,1,hxfxxxxxx=−=+−+，令ln,0txt=，所以()()232ln2ln21ytttttt=+=−−+，当0t=时，()0yt=，所以ln0x=，即1x=是函数()hx

的一个零点，对于()2ln21tyt=+−，()2ln240=+，则()2ln21tyt=+−有两个零点，设为12,tt，则1210tt=−，故12,tt一正一负，又0t，则()2ln21tyt=+−在()0,t+仅有1个零点，即()hx在()1,x+

仅有1个零点，综上，()hx在)1,+上有两个零点.点拨：关键点睛：本题考查函数零点个数的判断，解题的关键是令ln,0txt=，将函数转化为()2ln21yttt=−+讨论.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修

4-4：坐标系与参数方程]22.已知曲线S的参数方程为3sin13cosxy=+=(为参数，02)．点133,22P−−在曲线S上，直线l过点P，且倾斜角为3．（1）求点P在曲线S上对应的参数θ的值；（

2）求直线l被曲线S截得的线段的长度．————（1）76=；（2）6．分析：（1）由题知1sin23cos2=−=，再结合02得76=；（2）根据题意得直线l的方程330xy−−=，再把曲线S化为普通方程得()2219xy−+=，进而得直线l过圆心

，进而得答案.解答：解：（1）曲线S的参数方程为3sin13cosxy=+=(为参数，02)．点133,22P−−在曲线S上，所以1sin2{3cos2=−=−，由于02，所以76=．（2）曲线S的参数

方程为3sin13cosxy=+=(为参数，02)转换为直角坐标方程为()2219xy−+=，直线l过点133,22P−−，且倾斜角为3，所以直线的方程为330xy−−=，由于圆心()1,0

在直线上，故直线l被曲线S截得的线段成为圆的直径6．点拨：本题考查参数方程与普通方程的互化，考查直线与圆相交的弦长问题，考查运算求解能力，本题解题的关键在于写出直线l的方程，曲线S的普通方程得直线l过圆心，进而得答案.[选修4-5：不等式选

讲]23.已知()34fxxx=−−．（1）解不等式()0fx；（2）设()()fxgxx=(3x，且0x)，求()gx的值域．————（1）(,4]−；（2）(,1][7,)−−+．分析：（1

）由()0fx，可得340xx−−，分类讨论，即可求解.（2）化简得到4()3gxxx=−+，分03x和0x两种情况，结合基本不等式，即可求解.解答：（1）由题意，函数()34fxxx=−−，因为()0fx，可得340xx−−，可得3(3)40xxx−−或3

(3)40xxx−−，解得34x或3x，即4x，所以不等式()0fx的解集为(,4]−．（2）当3x，且0x时，()44()33fxgxxxxxx==−−=−+，当03x时，可得4424xxx

x+=，当且仅当2x=时等号成立，所以44xx−+−，可得431xx−+−，即()1gx−；当0x时，40,0xx−−，所以442()()4xxxx−−−−=，当且仅当2x=−时等号成

立，所以437xx−+，即()7gx，所以()gx的值域为(,1][7,)−−+．点拨：利用基本不等式求最值时，要注意其满足的三个条件：“一正、二定、三相等”：（1）“一正”：就是各项必须为正数；（2）“二定”：就是要求和的最小值，

必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”：利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.