【文档说明】高考数学培优专题55讲：第04讲 指数函数与对数函数【高考】.doc，共(11)页，1.414 MB，由小赞的店铺上传

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1第四讲指数函数及对数函数A组题1．（2018年全国Ⅲ卷理12）设3.0log2.0=a，3.0log2=b则（）A.0+abbaB.0+baabC.abba+0D.baab+0【答案】B【解析】∵0.2lg0.3log0.3lg

5a==−，2lg0.3log0.3lg2b==，∴5lg0.3lglg0.3lg0.3lg0.3(lg5lg2)2lg2lg5lg2lg5lg2lg5ab−+=−==，310lg0.3lglg0.3lglg0.3

lg0.3103lg2lg5lg2lg5lg2lg5ab==−=−，∵105lglg32，lg0.30lg2lg5，[∴0abab+．故选：B．[2.若1π1log3a=，π3eb=，31logcosπ5c=，则（）A.bcaB.bacC.abcD.cab

【答案】B【解析】()1ππ1loglog30,13a==,π3e1b=,31logcosπ05c=,所以bac选B.3.已知50loglg510dbbabc＞，＝，＝，＝，则下列等式一定成立的是()A．dac=B．acd=C．cad=D．dac=+【答案】B【解析】由5log

5abab==，lg10cbcb==，又510d=得(5)55dccdab===，故acd=，选.B4..(2017年高考天津卷理)已知奇函数在R上是增函数，.若，，，则a，b，c的大小关系为（）A．B．C．D．2【答案】C【解析】因为(

)fx是奇函数且在R上是增函数，所以在0x时，()0fx，从而()()gxxfx=是R上的偶函数，且在[0,)+上是增函数，22(log5.1)(log5.1)agg=−=，0.822，又45.18，则22log5.13，所以即0.8202log5

.13，0.82(2)(log5.1)(3)ggg，所以bac，故选C．5．(2017年高考北京卷文)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080

．则下列各数中与MN最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）（A）1033（B）1053（C）1073（D）1093【答案】D【解析】试题分析：设36180310MxN==，两边取对数，36136180803lglglg3lg103

61lg38093.2810x==−=−=，所以93.2810x=，即MN最接近9310，故选D.6．（2016年全国I高考）若101abc，，则A.ccabB.ccabbaC.loglogbaacbcD.loglogabcc【解析】函数(01cxc）在0+（，）上

递增，故A错；选项B即()cbbaa，01ba，函数()xba在R上递减，故B错；由1,01abc得lglglglgccab即loglogabcc，故D错，C对，选C.7.定义在R上的

函数()fx满足()(),()(4),fxfxfxfx−=−=+且(1,0)x−时，1()2,5xfx=+则2(log20)f=（）A.1B.45C.1−D.45−【解析】()(4)fxfx=+()f

x的周期为4T=，由24log205，22(log20)(log204)ff=−25(log)4f=，由()()fxfx−=−得2255(log)(log)44ff=−−=24log5241(log)(2)1.55f

−=−+=−故选C.38．已知函数()93xxfxm=−，若存在非零实数0x，使得00()()fxfx−=成立，则实数m的取值范围是()A．1[,)2+B．1(0,)2C．(0,2)D．[2,)+【解析】由题，即方程9393xxxxmm−−−=−存在非零根，则3319

933xxxxxxm−−−−==−+，当0x时，可得1(0,)2m，故选.B9．已知定义在R上的函数()21xmfx−=−(m为实数)为偶函数，记0.5(log3)af=,2(log5)bf=，(2)cf

m=，则,,abc的大小关系为()A．abcB．acbC．cabD．cba【解析】()2xmfx−=为偶函数得0m=，则()fx在[0,)+上递增，0.52(log3)(log3)aff==，2(log5)bf=，(0)cf=，由220log3log5得cab，故

选C.10．若42log(34)logabab+=，则ab+的最小值是()A．623+B．723+C．643+D．743+【解析】化简42log(34)logabab+=得340abab+=，即431(,0)abab+=则4334()()77

43ababababba+=++=+++，故选.D11．（2017年高考全国1卷理）设zyx,,为正数，且235xyz==，则（）A．235xyzB．523zxyC．352yzxD．325yxz【答案】

D【解析】令235xyzk===，则2logxk=，3logyk=，5logzk=∴22lglg3lg913lg23lglg8xkyk==，则23xy22lglg5lg2515lg25lglg32xkzk==，则25xz，故选D.12.（

2016年浙江高考）已知1ab，若5loglog2abba+=，baab=，则a=，b=.【解析】由loglog1log5loglog2abaabbabba=+=122=或2baba==或再结合baab=，1ab得44,2.ab==13.已知函数(2)1,1()lo

g,1aaxxfxxx−−=，若()fx在(,)−+上单调递增，则实数a的取值范围为．【解析】()fx在R上递增，需201210aaa−−−解得23.a14.函数3()logfx

x=在区间[,]ab上的值域为[0,1]，则ba−的最小值为.【解析】3()logfxx=的值域为[0,1]，则1[,]ab，若()1fa=得13a=，若()1fb=得3b=，故当13a=，1b=时，ba−的最小值为23.15．已知指数函数()yg

x=满足：(3)8g=，定义域为R的函数()()2()ngxfxmgx−=+是奇函数.（1）确定()ygx=的解析式及,mn的值；（2）若对任意的tR，不等式22(23)()0fttftk−+−恒成立，求实数k的取值范围．【解析】（1）可设()(0,1)xgxaaa=，则3(

3)8,2gaa===，故()2xgx=.2()22xxnfxm−=+为定义在R上奇函数，有1(0)02122(1)(1)014nfmnnffmm−==+−−−+=+=++解得21mn==（2）由（1）11212()(1)212221xxxfx−=

=−−++，可判断()fx在R上恒减，22(23)()0fttftk−+−恒成立即222(23)()()fttftkfkt−−−=−故2223ttkt−−即2220ttk−+对tR恒成立，则480k=−，解得1.2kB组题1.设352log2,log2,l

og3abc===，则（）5A.acbB.bcaC.cbaD.cab【答案】D【解析】因为352211log2,log2log3log5ab====,而222log3log21,log51c==,所以01,01ab,又2

2log5log31,所以2211log5log3,即01ba,所以有cab,选C．2.设123log2,ln2,5abc−===,则()A．abcB．bcaC．cabD．cba【解析】lg2lg2

,lg3lgeab==，lg3lg0,lg20e，故ab，又123311log2log3525ac−====，故cab，故选C.3.如图可能是下列哪个函数的图象()A.y=2x-x2-1B.2sin41xxxy=+C.y=(x2-2x)ex

D.y=xxln【解析】选项D的函数定义域不满足；选项B为奇函数，图像关于原点对称，不满足；选项C的函数满足0x时，函数值为负，不满足；故选C.4．已知函数()()223,1log,1axaxfxxx−+=的值域为R，则实数a的取值范围是()A．()1,2−

B．)1,2−C．(,1−−D．1−【解析】当1x时2log0yx=，所以要使()fx的值域为R，需满足()()23gxaxa=−+在1x时的值域包含所有负数，所以()2010ag−

，解得12a−，故选B.5.已知函数()fx是定义域为R的偶函数，且()()11fxfx+=，若()fx在1,0−上是减函数，记6()()()0.50.52log2,log4,2afbfcf===，则（）A.abcB

．acbC．bcaD．bac【解析】由()()11fxfx+=得：函数的周期为2，因为()fx在1,0−上是减函数，且()fx是定义域为R的偶函数，所以()fx在0,1上是增函数，且图像关于y轴对称.()()0.5log21aff==−，()()()2log420bf

ff===，()()()0.52222cfff===−，由题知：acb，故答案为B.6.设函数()31,1,2,1xxxfxx−=则满足()()()2faffa=的a取值范围是（）A.2,13B.0,1C.2,3+D.)1,+【解析】当1a

时，()=21afa，所以()()()2faffa=，即1a符合题意.当1a时，()31faa=−，若()()()2faffa=，则()1fa，即：311a−，23a，所以213a.综上23a，故选C.7.函数()3sin.fxxx=+数列na的

前n项和为2nSpnqn=+，（,pq为常数，且0p），,22na−，若()100fa则1219()()()fafafa+++取值为()A．恒为正数B．恒为负数C．恒为零D．可正可负【解

析】由数列{}na的前n项和2nSpnqn=+得{}na为等差数列，又可知()fx为奇函数，且'2()cos30fxxx=+，则()fx在(,)22−上递增.因为10()0(0)faf=，所以12100aaa；因为

119102aaa+=，所以119()()0fafa+，同理.218911()()0,,()()0fafafafa++，因此1219()()()fafafa+++恒为负值，故选B.8．已知0a，0b，8ab=，则当a的值为__

______时，22loglog(2)ab取得最大值．【解析】2222222loglog2log2loglog(2)()()422ababab+==，取等号时，满足2ab=，又8ab=，解得4.a=9.已知函数()((,2)(2,)yf

xx=−−+，在其图像上任取一点),(yxP都满足方程2244.xy−=①函数()yfx=一定具有奇偶性；②函数)2,()(−−=在xfy是单调函数；7③0(,2)(2,),2();xxfx−−+使④(,2)(2,),2().xxf

x−−+使以上说法正确的序号是.【解析】函数的图象是双曲线的一部分.易知（1）（2）不成立.（3）（4）可转化为双曲线的渐近线的斜率问题，（3）（4）都是满足条件的.正确答案是（3）（4）.10.【2016山东滨州二模】已知函数

−=)62)(2cos()20(|log|)(2xxxxxf，若存在互不相等的实数4321,,,xxxx满足)()()()(4321xfxfxfxf===，则4321xxxx的取值范围是．【解析】作出函数()()()2

log02cos262xxfxxx=−的图象如下，设txfxfxfxf====)()()()(4321，不妨设4321xxxx，由图可知10t，并且当1t→时，123412,26xxxx→→→，

此时123412xxxx→，当0t→时，1234,135xxxx→→→，此时123415xxxx→，综上4321xxxx的取值范围是)15,12(，故答案填)15,12(．1234567-1-112xyOA(2,1)B(6,1)x1x2x3x411.已知

函数4()log(41),()xfxkxkR=++是偶函数.（1）求k的值；（2）设)342(log)(4aaxgx−=，若函数)(xf与)(xg的图象有且只有一个公共点，求实数a的取值范围.【解析】（1）函数4()log(41),()xfxkxkR=++定义域为R的偶函数，则由

(1)(1)ff−=即445loglog54kk−=+，则445loglog51422k−==−.（2）函数44()log(2)3xgxaa=−与44141()log(41)log22xxxfxx+=+−=的图象有且只有一个公共点，8即方程()()fxgx=，即4412032xxxaa

+−=只有一个根.即414423xxxa+=−，设2xt=，223(1)34tatt+=−，设223(1)4()(0,)343tgttttt+=−'22(21)(2)()6(3-4)ttgttt−+=−可知

：()gt在1(0,)2上递增，在14(,)23和4(,)3+上递减.10(0),g(t),()32ttg→→−=−，44(),()33ttgt→→−，44(),()33ttgt→→+，,g(t)0(g(t)0)

t→+→，则a的取值范围是3a=−或0a.C组题1.已知函数22,0()ln(1),0xxxfxxx−+=+，若()fxax，则a的取值范围是()A．(,0]−B．(,1]−C．[2,1]−

D．[2,0]−【解析】示意()fx图象，可知22xx−+在原点处切线效率为2−，则可确定20a−，故选.D2.设12,xx分别是方程1xxa=和log1axx=的根(其中1a)，则122xx+的取值

范围是()A.()3,+B.)3,+C.()22,+D.22,+【解析】据题意，1x为函数xya=的图像与函数1yx=的图像的交点的横坐标，2x为函数logayx=的图像与函数1yx=的图像的交点的横坐标，据同底的指对函数互为反函数，所以有211xx=，结合1a

的条件，可知101x，所以有121122xxxx+=+，结合对勾函数的单调性，可知该式子的取值范围为()3,+，故选A3.若1201xx，则()A.2121eelnlnxxxx－－B.2121eelnlnxxxx

－－C．1221eexxxxD.1221eexxxx【解析】构造函数()lnxfxex=−，由'1()xfxex=−可知()fx在(0,1)上先减后增，故选项A,B不确定；对选项C,D通过取对数后，构造函数g()lnxxx=−，易知()gx在(0,1)x上单调递减，则12()()gxgx

，即1122lnlnxxxx−−，即1212xxeexx，故选C.94.已知函数)0(21)(2−+=xxexfx与2()ln()gxxxa=++图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A.1(,)e−B.(,)e−C.1(,)ee−D.1(,)e

e−【解析】由题可得存在()0,0x−满足()()00fxgx=−()()0220001ln2xxexxa+−=−+−+()001ln2xexa−−+−0=,令()()1ln2xhxexa=−−+−,因为函数xye=和()lnyxa=−−

+在定义域内都是单调递增的,所以函数()()1ln2xhxexa=−−+−在定义域内是单调递增的,又因为x趋近于−时,函数()hx0且()0hx=在(),0−上有解(即函数()hx有零点),所以()()010ln002hea=−+−lnlnaeae,故选B.

5.函数()fx定义域为D，若满足①()fx在D上是单调函数，②存在[,]mnD，使()fx在[,]mn上的值域为11[,]22mn，那么就称()fx为“好函数”.现有函数()log()(0,1)xafxakaa=+是好函数，则实数k的取值范围是（）A.

1(0,)4B.1(,)4−C.(0,)+D.1(0,]4【解析】可判断()log()xafxak=+是单调函数，则()fx是“好函数”只需方程1log()2xaakx+=恰有两个根，即12xxaka+=，设120xat=，则20tt

k−+=在(0,)+上恰有俩解需要140100kk=−解得选项A.6.已知函数()()21,ln2xfxegxx==+，对()+,0,bRa，使得()()bgaf=，则ab−的最小值为（）A.22ln

1+B．22ln1−C．12−eD．1−e【解析】由()()fagb=可得：21ln2aeb=+，令2ate=，则ln2ta=，12tbe−=，所以12ln()2ttfte−=−，(0)t所以1'21()2tft

et−=−，令'()0ft=，得12t=，所以当1(0,)2t时为减函数，当1(,)2t+时为增函数，所以ba−的最小值为ln212+.7.函数()xxafxee=+在[0,1]x上单调递减，则实数a的取值范围是.10【解析】设xte=

，则依题意，函数att+在[1,]te上单调递减，当0a时，需要ae，得2ae；当0a=时，排除；当0a时，ae−，得2ae−.综上：2ae或2.ae−8.【2016年高考北京理数】设函数33,()2,xxxafxxxa−=−.

①若0a=，则()fx的最大值为______________；②若()fx无最大值，则实数a的取值范围是________.【解析】如图作出函数3()3gxxx=−与直线2yx=−的图象，它们的交点是(1,2)A−，(0,0)O，(1,2)B−，由'2()33gxx

=−知1−=x是函数()gx的极大值点.①当0a=时，易知max()(1)2fxf=−=；②当1a−时，()fx有最大值(1)2f−=；只有当1a−时，由332aaa−−，知()fx无最大值，综上：空填2，

1.a−9.设函数()log(3)(0,1)afxxaaa=−，当点(,y)Px是函数()yfx=图象上的点时，点(2,)Qxay−−是函数()ygx=图象上的点．（Ⅰ）写出函数()ygx=的解析式；（Ⅱ）若当[2,3]xaa++时，恒有()()1fxgx−，

试确定a的取值范围；【解析】（1）设''2xxayy=−=−有''2xxayy=+=−代入()log(3)afxxa=−得''log(23)ayxaa−=+−，点''(,)xy在(

)gx图象上，有()log()agxxa=−−.（2）设)()()(xgxfxh−=22log(xa)(x3a)log(43)aaxaxa=−−=−+，(3,)xa+依题1()1hx−在[+2,3]xaa+恒成立.应有23aa+，即01a则可判断()hx在[2,3]a

a++上递减，故minmax()(3)log3(32)1()(2)log2(22)1aahxhaahxhaa=+=−−=+=−解得：957012a−.1110.已知函数2()(,)fxxaxbab

R=++，记(,)Mab是|()|fx在区间[1,1]−上的最大值.（1）证明：当||2a时，(,)2Mab；（2）当a，b满足(,)2Mab，求||||ab+的最大值.【解析】（1）由22()()24aafxxb=++−，得对称轴为直线2ax=−，由2a，得12a−

，故()fx在[1,1]−上单调，所以(,)max{|f(1)|,|f(1)|}Mab=−，当2a时，(1)(1)1124ffbabaa−+=+−+++−，所以(,)2Mab（2）由(,)2Mab得，12ab−+且12ab++，得

3ab由abab+=3，可知当2,1ab==−时，3ab+=，且()fx221xx=+−在[1,1]−上的最大值为2，即(2,1)2M−=，故ab+的最大值为3.