【文档说明】【精准解析】高中数学人教A版必修2一课三测：2.3.3-4直线与平面垂直的性质平面与平面垂直的性质含解析【高考】.docx，共(13)页，446.302 KB，由小赞的店铺上传

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以下为本文档部分文字说明：

2.3.3直线与平面垂直的性质2．3.4平面与平面垂直的性质填一填1.直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言a⊥αb⊥α⇒a∥b图形语言2.平面与平面垂直的性质定

理文字语言两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直符号语言α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β图形语言判一判1.直线与平面垂直的性质定理的实质是平行与垂直的转化．(√)2．如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则它的另一条也垂直于这个平面．(√)3．若一条直线垂直于两个平

行平面中的一个，则该直线也垂直于另一个平面．(√)4．两个平面垂直，其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直．(×)5．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β.(√)6．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α

∩β＝l，那么l⊥平面γ.(√)7．若直线m⊥平面α，直线n⊥平面β，m⊥n，则α⊥β.(√)8．α，β，γ表示平面，若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m⊥n.(×)想一想1.垂直于同一平面的两条垂线一定共面吗？提示：共面．由线面垂直的性质定理可知这两条直线是平行的，故能确定一个

平面．2．过一点有几条直线与已知平面垂直？提示：有且仅有一条．假设过一点有两条直线与已知平面垂直，由直线与平面垂直的性质定理可得这两条直线平行，即无公共点，这与过同一点相矛盾，故只有一条直线．3．证明线线平行常用的方法有哪些？提示：(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点．(2)利用三线

平行公理：证两线同时平行于第三条直线．(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行．(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直．(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行

．4．证明或判定线面垂直的常用方法有哪些？提示：(1)线面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性质定理；(3)若a∥b，a⊥α，则b⊥α(a，b为直线，α为平面)；(4)若a⊥α，α∥β，则a⊥β(a为直线，α，β为平面)；思

考感悟：练一练1.若直线l⊥平面α，m⊂α，则()A．l⊥mB．l可能与m平行C．l与m相交D．l与m不相交答案：A2．下列命题：①垂直于同一直线的两条直线平行；②垂直于同一直线的两个平面平行；③垂直于同一平面的两条直线平行；④垂直于同一平面的两平面平行．其中正确的个数

是()A．1B．2C．3D．4答案：B3．平面α⊥平面β，α∩β＝l，m⊂α，m⊥l，则()A．m∥βB．m⊂βC．m⊥βD．m与β相交但不一定垂直答案：C4．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则E

F与平面A1B1C1D1的关系是()A．平行B．EF⊂平面A1B1C1D1C．相交但不垂直D．相交且垂直答案：D5．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则()A．α∥γB．α⊥γC．α与γ相交但不垂直D．以上都有可能答案：D知识点一线面垂直、面面

垂直性质定理的理解1.如图所示，对于面面垂直的性质定理的符号叙述正确的是()A．α⊥β，α∩β＝l，b⊥l⇒b⊥βB．α⊥β，α∩β＝l，b⊂α⇒b⊥βC．α⊥β，b⊂α，b⊥l⇒b⊥βD．α⊥β，α∩β＝l，b⊂α，b⊥l

⇒b⊥β解析：根据面面垂直的性质定理知，D正确．答案：D2．已知两条直线m，n，两个平面α，β，给出下面四个命题：①m∥n，m⊥α⇒n⊥α②α∥β，m⊂α，n⊂β⇒m∥n③m∥n，m∥α⇒n∥α④α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β其中正确命题的序号是()A．①③

B．②④C．①④D．②③解析：由线面垂直的性质定理可知①正确；对于②，当α∥β，m⊂α，n⊂β时，m与n可能平行也可能异面，故②不正确；对于③，当m∥n，m∥α时，n∥α或n⊂α，故③不正确；对于④，由m∥n，m⊥α，得n⊥α，又α∥β，所以n⊥β

，故④正确．故选C.答案：C知识点二线面垂直、面面垂直性质定理的应用3.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上的一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．证明：(1)因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，

所以AD1⊥A1D.又因为CD⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1，所以CD⊥AD1.因为A1D∩CD＝D，所以AD1⊥平面A1DC.又因为MN⊥平面A1DC，所以MN∥AD1.(2)设AD1∩A1D＝O，连接ON，在

△A1DC中，A1O＝OD，A1N＝NC.所以ON綊12CD綊12AB，即ON∥AM.又因为MN∥OA，所以四边形AMNO为平行四边形，所以ON＝AM.因为ON＝12AB，所以AM＝12AB，即M是AB的中点．4．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面AB

CD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明：(1)在四棱锥P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面AB

CD，∴PA⊥CD.又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.由

(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD.而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB.又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD.又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.综合知识线

面、面面垂直的综合问题5.如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC＝4，AB＝6，BC＝3.(1)证明：BC∥平面PDA；(2)证明：BC⊥PD；(3)求点C到平面PDA的距离．解析：(1)证明：因为长方形ABCD中，BC∥AD

，又BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，所以BC∥平面PDA.(2)证明：取CD的中点H，连接PH，因为PD＝PC，所以PH⊥CD.又因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，所以PH⊥平面ABCD.又因为B

C⊂平面ABCD，所以PH⊥BC.又因为长方形ABCD中，BC⊥CD，PH∩CD＝H，所以BC⊥平面PDC.又因为PD⊂平面PDC，所以BC⊥PD.(3)连接AC.由(2)知PH为三棱锥P－ADC的高．因为PH＝PD

2－12CD2＝42－32＝7，S△ADC＝12·AD·CD＝12×3×6＝9，所以VP－ADC＝13·S△ADC·PH＝13×9×7＝37.由(2)知BC⊥PD，又因为AD∥BC，所以AD⊥PD，所以S△PDA＝12

·PD·AD＝12×4×3＝6.设点C到平面PDA的距离为h.因为VC－PDA＝VP－ADC，所以13·S△PDA·h＝37，所以h＝3713·S△PDA＝3713×6＝372.6．如图，在矩形ABCD中，AB＝2BC，P，Q分别为线段AC，CD的中点，EP⊥平面

ABCD.(1)求证：AQ∥平面CEP；(2)求证：平面AEQ⊥平面DEP.证明：(1)在矩形ABCD中，因为AP＝PB，DQ＝QC，所以AP綊CQ.所以AQCP为平行四边形．所以CP∥AQ.因为CP⊂平面CEP，AQ⊄平面CEP，所以AQ

∥平面CEP.(2)因为EP⊥平面ABCD，AQ⊂平面ABCD，所以AQ⊥EP.因为AB＝2BC，P为AB的中点，所以AP＝AD.连接PQ，则四边形ADQP为正方形．所以AQ⊥DP.又EP∩DP＝P，所以AQ⊥平面DEP.因为

AQ⊂平面AEQ，所以平面AEQ⊥平面DEP.基础达标一、选择题1．已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，要使n⊥β，则应增加的条件是()A．m∥nB．n⊥mC．n∥αD．n⊥α解析：由面

面垂直的性质定理知，答案为B.答案：B2．已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是()A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β解析：A

项中缺少了条件l⊂α，故A错误．B项中缺少了条件α⊥β，故B错误．C项中缺少了条件α∩β＝m，l⊥m，故C错误．D项具备了面面垂直的性质定理中的全部条件，故D正确．答案：D3．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且m∥α，n⊂β，则下列叙述正确

的是()A．若α∥β，则m∥nB．若m∥n，则α∥βC．若n⊥α，则m⊥βD．若m⊥β，则α⊥β解析：由m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，且m∥α，n⊂β.知：若α∥β，则m与n平行或异面，故A错误．若m∥n，则α与β相交或平行，故B错误

．若n⊥α，则m与β相交、平行或m⊂β.故C错误；若m⊥β，则由平面与平面垂直的性质得α⊥β，故D正确．答案：D4．已知两个平面垂直，下列说法：①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线③

一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面．其中正确说法个数是()A．3B．2C．1D．0解析：如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对于①AD1⊂平面AA1D1D，B

D⊂平面ABCD，AD1与BD是异面直线，成角60°，①错误；②正确．对于③，AD1⊂平面AA1D1D，AD1不垂直于平面ABCD；对于④，如果这点为交线上的点，可得到与交线垂直的直线与两平面都不垂直，④错误．故选C.答案

：C5．如果直线l，m与平面α，β，γ之间满足：l＝β∩γ，l∥α，m⊂α和m⊥γ，那么()A．α⊥γ且l⊥mB．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥mD．α∥β且α⊥γ解析：由m⊂α，m⊥γ得α⊥γ，由l＝β∩

γ，得l⊂γ，所以m⊥l.故选A.答案：A6．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论，①BD⊥AC；②BAC是等边三角形；③三棱锥D－ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是()A．①

②④B．①②③C．②③④D．①③④解析：设等腰直角△ABC的腰长为a，则斜边BC＝2a，①因为D为BC的中点，所以AD⊥BC，又平面ABD⊥平面ACD，平面ABD∩平面ACD＝AD，BD⊥AD，BD⊂平面ABD，所以BD⊥平

面ADC，又AC⊂平面ADC，所以BD⊥AC，故①正确；②由A知，BD⊥平面ADC，CD⊂平面ADC，所以BD⊥CD，又BD＝CD＝22a，所以由勾股定理得BC＝2·22a＝a，又AB＝AC＝a，所以△ABC是等边三角形，故②正确；③因为△ABC是等边三角形，DA＝DB

＝DC，所以三棱锥D－ABC是正三棱锥，故③正确．④因为△ADC为等腰直角三角形，取斜边AC的中点F，则DF⊥AC，又△ABC为等边三角形，连接BF，则BF⊥AC，所以∠BFD为平面ADC与平面ABC

的二面角的平面角，由BD⊥平面ADC可知，∠BDF为直角，∠BFD不是直角，故平面ADC与平面ABC不垂直，故④错误．综上所述，正确的结论是①②③.故选B.答案：B7．如图，点P为四边形ABCD外一点，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，

E为AD的中点，则下列结论不一定成立的是()A．PE⊥ACB．PE⊥BCC．平面PBE⊥平面ABCDD．平面PBE⊥平面PAD解析：因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面

PAD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A，B成立．又PE⊂平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C成立．若平面PBE⊥平面PAD，则AD⊥平面PBE，必

有AD⊥BE，此关系不一定成立，故选D.答案：D二、填空题8．设α，β是空间两个不同的平面，m，n是平面α及β外的两条不同直线．从“①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α”中选取三个作为条件，余下一个作为结论，写出你认为正

确的一个命题：________(用序号表示)．解析：共有四个命题：①②③⇒④，①②④⇒③，①③④⇒②，②③④⇒①；对于①②③⇒④，若m⊥n，α⊥β，n⊥β，则m与α可平行或相交，故命题错误；对于①②④⇒③，若m⊥n，α⊥β，m⊥α，则n与β可平行或相交，故命题错误；对于①③④⇒②，因为m⊥n，n⊥

β，则m⊂β或m∥β，又因为m⊥α，则α⊥β.故命题正确．对于②③④⇒①，因为m⊥α，α⊥β，则m⊂β或m∥β，又因为m⊥α，则m⊥n.命题正确．故答案为：①③④⇒②(或②③④⇒①)．答案：①③④⇒②(或②③④⇒①)9．下列命题：①α⊥β，l⊥α，m⊂β，则l∥m；②α⊥β，l⊂α，则l⊥β；

③α⊥β，l∥α，则l与β相交，或l∥β，或l⊂β.其中正确的是________．解析：根据面面垂直与线面平行的性质判断命题的对错．答案：③10．如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α上，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面

PBC，P，A，B是定点，则动点C运动形成的图形是________．解析：因为平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，AC⊂平面PAC，平面PAC∩平面PBC＝PC.所以AC⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，所以AC⊥BC，所以∠ACB＝90°.所以动点C运动形成的图形是以AB

为直径的圆(除A，B两点)．答案：以AB为直径的圆(除去A，B两点)11．设α，β是两个不同的平面，l是一条直线，给出四个命题：①若l⊥α，α⊥β，则l⊂β；②若l∥α，α∥β，则l⊂β；③若l⊥α，α∥β，则

l⊥β；④若l∥α，α⊥β，则l⊥β.则正确命题的个数为________．解析：①错，可能有l∥β；②错，可能有l∥β；③正确；④错，也可能有l∥β，或l⊂β或l与β相交．答案：112．设m，n为空间的两条直线，α，β为空间的两个平面，给出下列命题：①若m∥α

，m∥β，则α∥β；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若m⊥α，n⊥α，则m∥n.上述命题中，其中假命题的序号是________．解析：①若m∥α，m∥β，则α与β相交或平行都可能，故①不正确；②若m⊥α，m⊥β，则α∥β，故②正确；③若m∥α，

n∥α，则m与n相交、平行或异面，故③不正确；④若m⊥α，n⊥α，由线面垂直的性质定理知m∥n，故④正确．答案：①③三、解答题13．如图，在棱长均为2的直三棱柱ABC－A1B1C1中，E为AA1的中点．求证：平面B

1EC⊥平面BCC1B1.证明：如图，取BC，B1C的中点分别为F，G，连接AF，EG，FG，由E，F，G分别为AA1，BC，B1C的中点．知FG綊12BB1綊AE，所以AEGF为平行四边形，所以AF∥EG.在直三棱柱中，由平面B

CC1B1⊥平面ABC，且AF⊥BC，知AF⊥平面BCC1B1，所以EG⊥平面BCC1B1.又EG⊂平面B1EC，所以平面B1EC⊥平面BCC1B1.14．如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，EF∥

AC，AB＝2，CE＝EF＝1.求证：(1)AF∥平面BDE；(2)CF⊥平面BDE.证明：(1)设AC与BD交于点G.因为EF∥AG，且EF＝1，AG＝12AC＝1.所以四边形AGEF为平行四边形，所以AF∥EG.因为EG⊂平面BDE，AF⊄平面BDE，所以AF∥平面BDE.(2)如图，连

接FG.因为EF∥CG，EF＝CG＝1，且CE＝1.所以四边形CEFG是菱形．所以CF⊥EG.因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC.又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G

，所以CF⊥平面BDE.能力提升15.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知平面AA1C1C⊥平面ABCD，且AB＝BC＝CA＝3，AD＝CD＝1.(1)求证：BD⊥AA1；(2)若E为棱BC的

中点，求证：AE∥平面DCC1D1.证明：(1)在四边形ABCD中，因为AB＝BC，AD＝DC，所以BD⊥AC，又平面AA1C1C⊥平面ABCD，且平面AA1C1C∩平面ABCD＝AC，BD⊂平面ABCD，所以BD⊥平面AA1C1C，又因为AA1⊂平面AA1C1C，所以BD⊥AA1.(2)在

三角形ABC中，因为AB＝AC，且E为棱BC的中点，所以AE⊥BC，又因为在四边形ABCD中，AB＝BC＝CA＝3，AD＝CD＝1.所以∠ACB＝60°，∠ACD＝30°，所以DC⊥BC，所以AE∥CD.因为CD⊂平面DCC1D1，AE⊄

平面DCC1D1，故得AE∥平面DCC1D1.16．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为等边三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：AD⊥PB；(2)若E为BC

的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并说明你的结论．解析：(1)证明：设G为AD的中点，连接PG，BG.因为△PAD为等边三角形，所以PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD.又BG∩PG＝G，所以AD⊥平面PGB.因为PB⊂平面

PGB.所以AD⊥PB.(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.证明：取PC的中点F，连接DE，EF，DF.则EF∥PB，所以可得EF∥平面PGB.在菱形ABCD中，GB∥DE，所以可得DE∥平面PGB.而EF⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，所

以平面DEF∥平面PGB.由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100

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