【文档说明】湖南省邵阳市第二中学2022-2023学年高三上学期第三次月考数学试题（解析版）.docx，共(26)页，1.506 MB，由envi的店铺上传

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邵阳市二中2020级高三第三次月考数学试卷2022年9月一､单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合223,N,18400A

xxnnBxxx==+=−−∣∣，则AB中的元素个数为（）A.8B.9C.10D.11【答案】B【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合B，再根据已知列出不等式，求解判断作答.【详解】解不等式218400xx−−得：

220x−，即{|220}Bxx=−，而23,NAxxnn==+∣，由22320n−+解得：51722n−，又Nn，显然满足51722n−的自然数有9个，所以AB中的元素个数为9.故选：B2.已知角的终边在直线340xy−=上，则2

cos2sin2+=（）A.6425B.4825C.1D.1625【答案】A【解析】【分析】由题意可得3tan4=，然后化简变形2222cos4sincoscos2sin2sincos++=+，再给分子分母同除以2cos，化为正切，再代值计算即可.【详解】因为角的

终边在直线340xy−=上，所以当0x时，在直线上取一点(4,3)，则3tan4=，当0x时，在直线上取一点(4,3)−−，则3tan4=，综上3tan4=，所以2222cos4sincoscos2sin2sinco

s++=+231414tan6449tan125116++===++，故选：A.3.已知30.20.40.2,log2,abc===，则（）A.abcB.acbC.bcaD.bac【答案】

D【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的性质判断．【详解】由指数函数、对数函数的性质知：300.21，0.4log20，0.21，所以bac．故选：D．4.已知()exfx=，若0a，0b，且()()22efa

fb=，则12ab+的最小值为（）A.2B.4C.92D.5【答案】C【解析】【分析】利用1代换和基本不等式即可得到12ab+的最小值.【详解】由()()22efafb=，得22eeeab=，所以22ab+=，()12112122122925522222babaababa

babab+=++=+++=，当且仅当22baab=，即ab=时取等号，所以12ab+的最小值为92.故选：C.5.下列有关命题的说法正确的是（）的A.若集合2440Axkxx=++=中只有两个子集，则1k=B.()()2lg2

3fxxx=−++的增区间为(),1−C.若终边上有一点()3,4P−，则9sincos2225++=−D.函数1cos2yx=+是周期函数，最小正周期是2【答案】D【解析】【分析】对于A，对方程2440

kxx++=中的k是否为0分类讨论.对于B，先求此复合函数的定义域，再根据同增异减原则求增区间.对于C，根据点P坐标，求出sin,cos，再利用诱导公式求解.对于D，画出函数图像即可判断.【详解】若集

合2440Axkxx=++=只有两个子集，则集合A只有一个元素，若0k=，方程440x+=，得1x=−，满足一个元素的要求.若0k，即判别式16160k=−=，解得1k=，所以0k=或1，A错误.由2230

xx−++得13x-<<，所以函数()()2lg23fxxx=−++的定义域为()1,3−，2yx2x3=−++在(1,1)−上递增，根据复合函数同增异减原则，增区间为()1,1−，B错误.43sin,cos55=−=，所以12sincoscos(s

in)2225++=−=，C错误.1cos2yx=+的图像如下图所示：最小正周期T=2π，D正确.故选：D6.已知函数()()221exfxxax=++，则“2a=”是“

函数()fx在1x=−处取得极小值”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】【分析】对()fx求导，分a＝0和a≠0讨论()fx的单调性，即可求出a≠0时，()fx在x＝－1处取得极小值，再结合充分条件和必要条件的定义即可

得出答案.【详解】2222()(2)1e(1)(1)exxfxxaxaxxa=++++=+++.①当a＝0时，2()(1)e0xfxx=+，故()fx在R上单调递增，()fx无最小值.②当a

≠0时，令()0fx=，得x＝－1或21xa=−−.又211a−−−，故当21xa−−时，()0fx，()fx单调递增；当211ax−−−时，()0fx，()fx单调递减；当1x−时，()0fx，()fx单调递增.故()fx在x＝－1处

取得极小值.综上，函数()fx在x＝－1处取得极小值0a.所以“2a=”是“函数()fx在x＝－1处取得极小值”的充分不必要条件.故选：A.7.已知定义在R上的函数()fx满足：()fx为奇函数，()1fx+为偶函数，当

01x时，()21xfx=−，则()2log2023f=（）A.9991024−B.252048−C.10242023−D.512999−【答案】A【解析】【分析】由()fx为奇函数，()1fx+为偶函数可知()fx为以4位周期的周期函数，且关于(2,0)Zkk点对称，关于12

,Zxkk=+轴对称，利用周期性与对称性可化简()222023log2023log1024ff=−代入()21xfx=−即可得出答案.【详解】因为()1fx+为偶函数，所以()(1)1fxfx−+=+，所以()(2)fxfx−=+，又()fx为奇函数，即()()fx

fx−=−所以()()()()()242fxfxfxfxfx−=++=−+=，所以()fx的周期为4，()()22222202340964096log2023log202312loglog2log409620

232023fffff=−==−=−−22023log1024220232023999log211102410241024f=−=−−=−−=−.

故选：A.【点睛】本题综合考查了函数的周期性与对称性，属于难题.解本类题型一般可借助正弦曲线与余弦曲线帮助我们理解其对称性与周期性.8.设函数()fx定义域为R，且()1fx−是奇函数，当02x时，()241fxxx=−+；

当2x时，()421xfx−=+．当k变化时，方程()10fxkx−−=的所有根从小到大记为12,,,nxxx，则()()()12nfxfxfx+++取值的集合为（）A.1,3B.

1,3,5C.1,3,5,7D.1,3,5,7,9【答案】C【解析】【分析】将方程()10fxkx−−=的根转化为()fx与直线1ykx=+的交点，并可知()fx与1ykx=+均关于()0,1对称，作出()fx的图像，通过数形结合的方式可确定k不同取值时交

点的个数，结合对称性可求得结果.【详解】()1fx−为奇函数，()fx图像关于点()0,1对称，由()10fxkx−−=得：()1fxkx=+，则方程的根即为()fx与直线1ykx=+的交点，作出()fx图像如图所示，的①当5120k−−，即2k时，如图中11ykx=+所示时，()fx与直线

1ykx=+有5个交点125,,,xxx，()fx与1ykx=+均关于()0,1对称，()()()()125505fxfxfxf+++==；②当31512020k−−−−，即12k

时，如图中21ykx=+所示时，()fx与直线1ykx=+有7个交点127,,,xxx，()fx与1ykx=+均关于()0,1对称，()()()()127707fxfxfxf+++==；③当213140

20k−−−−，即114k时，如图中31ykx=+所示时，()fx与直线1ykx=+有5个交点125,,,xxx，()fx与1ykx=+均关于()0,1对称，()()()()125505fxfxf

xf+++==；④当211404k−==−时，如图中41ykx=+所示时，()fx与直线1ykx=+有3个交点123,,xxx，()fx与1ykx=+均关于()0,1对称，()()()()123303fxfxfxf++==；⑤当2140k−−，即14k时，如图中51ykx=+和61y

kx=+所示时，()fx与直线1ykx=+有且仅有一个交点()0,1，()11fx=.综上所述：()()()12nfxfxfx+++取值的集合为1,3,5,7.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考

查利用函数对称性、函数图像求解方程根的个数问题；解题关键是能够将方程根的个数问题转化为两个函数图像的交点个数问题，进而通过数形结合的方式确定交点个数.二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5

分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.下列计算中正确的是（）A.132sin15cos15222−=−B.3sin20cos10cos160sin102−=C.sin3cos21212−=−D.62sin1054+=【答案】ACD【解析】【分析

】结合诱导公式及正余弦的和差角公式分别进行化简，即可求解；【详解】解：对于A，13sin15cos15sin15cos60sin60cos1522−=−()sin1560=−()2sin452=−=−，故A正确；对于B，si

n20cos10−cos160sin10sin20cos10cos20sin10=+1sin(2010)sin302===+，故B错误；对于C，sin3cos2sincossincos121

2123312−=−2sin2sin21234=−=−=−，故C正确；对于D，()sin105sin6045=+cos45cossi41n3452262sin60602222+=+=+=

，故D正确.故选：ACD10.（多选题）已知函数()23cossincos222xxxfx=−，则下列选项正确的是（）A.函数()fx最小正周期为2B.点23,32−是函数()fx图象的一个对称中心C.将函数()fx

图象向左平移56个单位长度，所得到的函数为奇函数D.函数()fx在区间,06−上单调递增【答案】AB【解析】【分析】先将()23cossincos222xxxfx=−化简为()3cos()62fxx=++，再结合余弦函数的性质判断4个选项即可求解.【详解】解：对A：(

)21cossin31333cossincos3cossincos()2222222262xxxxxfxxxx+=−=−=−+=++，所以最小正周期为2，故选项A正确；对B：2233()cos()33622f−=−++=，所以点2π3,32−是函数()fx图象的一个对

称中心，故选项B正确；对C：函数()fx图象向左平移56个单位长度得到函数()533cos()cos6622gxxx=+++=−+为偶函数，故选项C错误；对D：,0,0,666xx−+，所以()fx在,06−上单调递减，故

选项D错误.故选：AB.11.已知()()e211xxfxx−=−，则下列结论正确的是（）的A.不等式()0fx的解集为1,12B.函数()fx在()0,1单调递减，在3,2+单调递增C.函数()fx在定义域上有且仅有两个零点D.若关

于x的方程()fxm=有解，则实数m的取值范围是(3,1,2−+【答案】AB【解析】【分析】对于A，不等式转化为e(21)(1)0xxx−−，从而可求出其解集，对于B，对函数求导后，利用导数可求

出函数的单调区间，对于C，令()0fx=直接求解零点，对于D，由选项B可求出函数的值域，从而可求出实数m的取值范围.【详解】对于A，由()()e2101xxfxx−=−，得e(21)(1)0xxx−−，因为e0x，所以(21)(1)0xx−−，解得112x

，所以不等式()0fx的解集为1,12，所以A正确，对于B，()fx的定义域为0xx，由()()e211xxfxx−=−，得22212(1)(21)(23)()eee1(1)(1)xxxxxxxxfxxxx−−−−−=+=−−−，令()0fx，得0x或32x

，令()0fx，得01x或312x，所以()fx在(,0)−和3,2+上递增，在(0,1)和31,2上递减，所以B正确，对于C，令()()e2101xxfxx−==−，得12x=，所以()fx在定义域内有

且只有一个零点，所以C错误，对于D，由选项B可知()fx在(,0)−和3,2+上递增，在(0,1)和31,2上递减，因数(0)1f=，3234e2f=，且当x从1的左侧趋近于1时，()fx→−，当x从1的右侧趋

近于1时，()fx→+，所以()fx的值域为32(,1]4e,−+，所以若关于x的方程()fxm=有解，则实数m的取值范围是32(,1]4e,−+，所以D错误，故选：AB12.已知函数()exxfx=，过点(,)ab作曲线()fx的切线，下列说

法正确的是（）A.当00ab==，时，有且仅有一条切线B.当0a=时，可作三条切线，则240ebC.当2a=，0b时，可作两条切线D.当02a时，可作两条切线，则b的取值范围为24ea−或eaa【答案】ABD【解析】【分析】分点()0,0为切点、不为切点两种情况，求出

切线方程可判断A；设切点坐标为()00,xy，利用导数求出切线方程为()000001ee−−=−xxxxyxx，当0a=时，020exxb=，设()2e=xxgx，利用导数求出()gx单调性，结合图象可判断B

；当2a=时，求出020022e−+=xxxb，设()222e−+=xxxhx，利用导数求出()hx单调性，结合图象可判断C；当02a时，由切线方程为()000001ee−−=−xxxxyxx得则()02001e+−=xxxab，设()()21e+−=xxxatx，利用导数判断出()tx单调性

，结合图象可判断D.【详解】对于A，当00ab==，时，点()0,0在函数()exxfx=的图象上，1()exxfx−=，若点()0,0为切点，则切线斜率为(0)1kf==，所以切线方程为yx=，若点()0,0不为切点，设切

点坐标为()00,xy，所以000e=xxy，切线斜率为00001e−=xyxx，所以00x=，00y=，即切点为原点，所以00ab==，时，有且仅有一条切线，故A正确；对于B，设切点坐标为()00,xy，所以000e=xxy，1()exxfx−=，则切线的斜率为001exxk−=，切

线方程为()000001ee−−=−xxxxyxx，当0a=时，()000001ee−−=−xxxxbx，则020exxb=，设()2e=xxgx，则()()222ee−−==xxxxxxgx，当(),0−x时，()0gx，()gx单调递

减，当()2,x+时，()0gx，()gx单调递减，当()0,2x时，()0gx，()gx单调递增，所以0x=时()gx有极小值，为()00g=，2x=时()gx有极大值，为()242e=g，0x时()0exx

fx=，画出()exxfx=的图象，当0a=时，若做三条切线，则yb=与()exxfx=的图象有3个交点，由图可得240eb，故B正确；对于C，当2a=时，由切线方程得()0000012ee−−=−xxxxbx，则020

022e−+=xxxb，设()222e−+=xxxhx，则()()222440ee−−−+−==xxxxxhx，所以()hx单调递减，且()()2110e−+=xxhx，如图，所以当2a=，0b时，yb=与()222e−+=xxxhx的图象有且只有一个交点，所

以只能作一条切线，故C错误；当02a时，由切线方程为()000001ee−−=−xxxxyxx得()000001ee−−=−xxxxbax，则()02001e+−=xxxab，设()()21e+−=xxxatx，则()()()()2222ee+−−−−==xxaxxaxaxtx，因为

02a，所以当(),2xa时()0tx，()tx单调递增，所以当(),−xa时()0tx，()tx单调递减，所以当()2,x+时()0tx，()tx单调递减，xa=时，()tx有极小值为()()210ee+−==aaaaaata，2x

=时，()tx有极大值为()()22412420ee+−−==aat，()tx的图象为若作两条切线，则b的取值为24ea−或eaa，故D正确.故选：ABD.【点睛】方法点睛：利用导数研究含参函数零点问题主要有两中方法：（1

）利用导数研究函数()fx的最（极）值，转化为函数()fx图象与x轴的交点问题，主要是应用分类讨论思想，其本质就是在含参函数单调性的基础上再判断函数零点个数问题；（2）分离参变量，即由()0fx=分离参变量，得()agx=，

研究ya=与()ygx=图象交点问题。三､填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知函数()fx同时具有下列性质：①定义域为R；②()()πfxfx+=−；③()()fxfx=−，请写出一个符合条件的函数()fx的解析式______

.【答案】()cosfxx=（答案不唯一）【解析】【分析】根据已知可以确定函数的性质，然后写出满足条件的函数即可.【详解】由()()πfxfx+=−，知()()()2ππfxfxfx+=−+=，则函数()fx的一个周期为2π；因为()fx是以2π为周

期的函数，定义域为R，且()()fxfx=−，所以()fx的解析式可以为()cosfxx=.故答案为：()cosfxx=.14.已知11tan,tan2223−=−=−，则tan()+的值为__________

．【答案】724【解析】【分析】利用凑角、二倍角公式计算可得答案.【详解】因为tantan222+=−+−=11123117123+−=−−，所以21277tan()

24117+==−．故答案为：724.15.若曲线()2ln0yaxxa=+的切线的倾斜角的取值范围是ππ,32，则=a______.【答案】38##0.375【解析】【分析】求导，利用基本不等式得到导函数的最小

值，结合切线倾斜角的取值范围得到斜率的最小值，列出方程，求出38a=.【详解】因为()2ln0yaxxa=+定义域为()0,+，所以222ayxax=+，当且仅当2axx=，即22ax=时，等号成立，因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是ππ,32

，所以斜率3k，因此322a=，所以38a=.故答案为：3816.已知函数2()2lnfxxaxx=−+（其中a为常数）有两个极值点1212,()xxxx，若12()fxmx恒成立，则实数m的取值范围是_____

_.【答案】(,3−−【解析】【分析】对函数求导后，由题意可得1x，2x是关于x的方程2220xax−+=的两个不等的正实根，则得1222axx+=，121=xx，则()131111222lnfxxxxxx=−−+，令()322lnhttttt=−−+

，然后利用导数求出其最小值即可.【详解】()()2220xaxfxxx−+=.若()fx有两个极值点为1212,()xxxx，则1x，2x是关于x的方程2220xax−+=的两个不等的正实根.由2160a=−，及方程根的情况，得4a

，则1222axx+=，121=xx.又12xx，所以1201xx，要使()12fxmx恒成立，只需()12fxmx恒成立.又()2221311111111112212ln222ln22ln1fxxaxxxxxxxxxxxx−+−−+===−−+，令()322lnhtttt

t=−−+，则()232lnhttt=−+，当01t时，()0ht，()ht为减函数，所以当01t时，()()13hth=−.由题意，要使()12fxmx恒成立，只需满足3m−.故答案为：(,3−−【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查利用导

数解决函数极值问题，考查利用导数求函数最值，解题的关键是根据题意将问题转化为()2221311111111112212ln222ln22ln1fxxaxxxxxxxxxmxxx−+−−+===−−+恒成立，然后构造函数，利用导数求出函数的最小值，考查数学转化思想

，属较难题.四､解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）17.已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且()()()sinsin3sin0abABcaC+−+−=.（1）求角B的大小；（2）若BC边上的高为bc−，求sinA.【

答案】（1）6（2）3226+【解析】【分析】（1）先根据式子形式采取角化边，然后利用余弦定理的推论即可解出；（2）先根据锐角三角函数的定义可知，πsin6bcc−=，得出,bc关系，再根据sinbcCb−=可求出sinC，然后根据

三角形内角和定理，诱导公式，两角和的正弦公式化简sinsinπsin66ACC=−+=+，即可解出．【小问1详解】由()()()sinsin3sin0abABcaC+−+−=，得()()()30ababcac+−+−=，即2223acb

ac+−=，∴2223cos22acbBac+−==，∵0πB，∴π6B=.【小问2详解】∵π6B=，且BC边上的高为bc−，∴πsin6bcc−=，∴23cb=，∴1sin3bcCb−==.∵cb，∴C为锐角，∴22cos3C=，∴ππ322sinsinπsinsincos

cossin66666ACCCC+=−+=+=+=.18.若数列na满足1231111231nnaaanan++++=+．（1）求数列na的通项公式．（2）从①2nnnaab=，②11nnnba

a+=，③()1nnnba=−这三个条件中任选一个填在横线上，并回答问题．问题：若______，求数列nb的前n项和nT．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）1nan=+；（2）答案见解析.【解析】【分析】（1）由题得123111

1231nnaaanan++++=+，当2n时，()123111111231nnaaanan−−++++=−，两式相减化简即得解；（2）选条件①，利用错位相减法求和得解；选条件②，利用裂项相消法求和得解；选条件③，利用分类讨论并项求和得解.【小问1详解】解：因为1231111231nnaaana

n++++=+，所以当2n时，()123111111231nnaaanan−−++++=−，两式相减得()11111nnnnannnn−=−=++，所以1nan=+，当1n=时，12a=满足1nan=+，所以数列na通项公式为1nan=+．【小问2详解】解：选条

件①．因为1122nnnananb++==，所以234123412222nnnT++=++++L，所以34521234122222nnnT++=++++L，两式相减得1231221111211111821222222212nnnnnnnT−+++−++

=+++−=+−−，所以122131133242242nnnnnnT+++++=−−=−所以13322nnnT++=−．选条件②．因为()()111111212nnnbaannnn+===−++++，所以1

111111111233445122224nnTnnnn=−+−+−++−=−=++++．选条件③．因为()1nnnba=−，所以当21,Nnkk=−时，()132345111222nnnTnn−=−+−+−−+=−−=−−；当2,Nnkk=时，()2341122n

nnTn=−+−+++==．的所以3,21,22N,2.2nnnkTknnk−−=−==19.某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x（单位：元/件）及相应月销量y（单位：万件）．对近5个月的月销售单价ix和月销售量()1,

2,3,4,5iyi=的数据进行了统计，得到如下表数据：月销售单价ix（元/件）9951010.511月销售量iy（万件）151412109（1）建立y关于x的经验回归方程；（2）该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为8元/件时，其月销售量达到18万件，

若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过0.5万件．则认为所得到的经验回归方程是理想的，试问：（1）中得到的经验回归方程是否理想？（3）根据（1）的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价x为何值时（销售单价不超过12元/件），

公司月利润z的预测值最大？附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式：()()()121ˆniiiniixxyybxx==−−=−，ˆˆaybx=−【答案】（1）3.244ˆyx=−+；（2）（1）中得到的经验回归方程理想；（3）月销售单价758x=

时，月利润z的预测值最大，最大值为2454.【解析】【分析】（1）由表格数据计算可得,xy，51iiixy=，521iix=，利用最小二乘法可计算求得回归直线；（2）将8x=代入回归直线可得预估值，由此判断回归方程是否理想；(

3)由(1)确定公司月利润z的预测值与月销售单价x的关系，并求出月利润z的预测值的最大值.【小问1详解】设月销售量y的预测值为ˆy，.由已知可得()199.51010.511105x=++++=，()1151412109125y=++++=.5222222199.51010.5115

02.5iix==++++=，519159.514101210.510119592iiixy==++++=2592510123.2502.5510ˆb−==−−，()ˆ123.210

44a=−−=，y关于x的经验回归直线方程为：3.244ˆyx=−+；【小问2详解】当8x=时，ˆ3.284418.4y=−+=，18.4180.40.5−=，可以认为所得到的经验回归直线方程是理想的.【小问3详解】设公司月利润z的预测值为ˆz，

由(1)可得ˆˆ(5)(5)(3.244)zxyxx=−=−−+，所以2275245ˆ3.2602203.284zxxx=−+−=−−+，其中512x，所以当758x=时，ˆz取最大值，最大值为2454，故当月销售单价为758时，月利润z的预测值的最大

，最大值为2454.20.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，ED⊥平面ABCD，平面FBC⊥平面ABCD，BFCF⊥，2DEAD==.（1）求多面体ABCDEF体积的最大值；（2）当多面体ABCDEF体积取最大值时，

求直线DF与平面EBC所成角.【答案】（1）103（2）3【解析】【分析】（1）利用割补法求几何体体积，再结合基本不等式求最值；（2）利用坐标法求线面夹角.【小问1详解】四边形ABCD是正方形，ED⊥平面ABCD，四棱锥EABCD−的体积

11822233V==，过点F作FHBC⊥，交BC于点H，如图所示，平面FBC⊥平面ABCD，平面FBC平面ABCDBC=，且FHBC⊥，FH平面FBC，FH⊥平面ABCD，//EDFH，又FH平面F

BC，ED平面FBC，//ED平面FBC，又DCBC⊥，DCFH⊥，BCFHH=，FH，BC平面FBC，DC⊥平面FBC，1133EBCFDBCFBCFVVSDCBFCF−−===，在RtBCF中，22242BFCFBCBFCF+==≥，

当且仅当BFCF=时，BFCF有最大值为2，EBCFV−有最大值为23，多面体ABCDEF体积由最大值103.【小问2详解】以D为原点，DA，DC，DE所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Dxyz−，如图所示，可知()0,0,0D，()0,0,2E，()2,2,

0B，()0,2,0C，当BFCF=时，()1,2,1F，设平面EBC的法向量为(),,nxyz=r，()2,2,2EB=−，()2,0,0CB=，()1,2,1DF=，则202220nCBxnEBxyz===+−=，令1z=，

则()0,1,1n=，设直线DF与平面EBC的夹角为，222222213sincos,=212+10+1+1nDFnDFnDF+===+，故直线DF与平面EBC所成角为3.21.已知(22,0),(22,0)AB−，直线,PAPB的斜率之积为34−，记动点P的轨迹为曲线C.（

1）求C的方程;（2）直线l与曲线C交于,MN两点，O为坐标原点，若直线,OMON的斜率之积为34−，证明:MON△的面积为定值.【答案】（1）221(22)86xyx+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设(,)Pxy，求出直线PA的斜率、直线PB的斜率，相乘化简可得

答案；（2）直线l的斜率存在时，可设其方程为ykxm=+，直线方程与椭圆方程联立，设()()1122,,,MxyNxy，利用韦达定理代入()()12121212++==OMONkxmkxmyykkxxxx化简化简得

2243mk=+求出||MN，再求出O到MN的距离d，可得1||2OMNSMNd=△为定值；当直线l的斜率不存在时，可设()()0000,,,MxyNxy−，利用34=−CMONkk、2200186xy+=，解得2200,xy，可得OMNS△.【小问1详解】设(,)Pxy，则

直线PA的斜率(22)22PAykxx=−+，直线PB的斜率(22)22PBykxx=−，由题意223842222PAPByyykkxxx===−−+−，化简得221(22)86xyx+=；【小问2详解】直线l的斜率存在时，可

设其方程为ykxm=+，联立22,1,86ykxmxy=++=化简得()2223484240+++−=kxkmxm，设()()1122,,,MxyNxy，则()()()22222(8)43442448860kmkmkm=−+−=+−，212122

28424,3434−+=−=++kmmxxxxkk，所以()()()2212121212121212+++++===OMONkxmkxmkxxkmxxmyykkxxxxxx2222222222242483

43442434−−+++=−+mkkkmmkmkmk22224334244kmm−+==−−化简得2243mk=+则()222212214886||134++−=+−==+kkmMNkxxk2222

2431434314334+++==++kkkkk，又O到MN的距离222||4311mkdkk+==++，所以22221143134||2322341OMNkkSMNdkk++===++，为定值.当直线l的斜率不存在

时，可设()()0000,,,MxyNxy−，则202034CMONykkx=−=−，且2200186xy+=，解得22004,3xy==，此时0012232OMNSxy==，综上，OMN的面积为

定值23.22.已知函数()()2122exfxxaxa−=+−+−，aR．（1）讨论函数()fx单调性；（2）当0a=时，若函数()()()11gxfxmx=−−−在)0,+有两个不同零点，求实数m的取值范围

．【答案】（1）答案见解析（2）112em−−且1m【解析】【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，对参数a分0a、0a=、0a三种情况讨论，分别求出函数的单调区间；（2）首先求出()gx解析式，求出导函数()gx，再构造函数利用导数说明(

)gx的单调性，从而对m分四种情况讨论，利用导数说明函数的单调性，即可求出满足函数在)0,+有两个不同零点的条件，从而求出参数的取值范围.【小问1详解】解：因为()()2122exfxxaxa−=+−

+−定义域为R，所以()()()211eexxfxxaxxxa−−=+=+，当0a时，令()0fx，解得0x或xa−，令()0fx，解得0ax−，所以()fx在(),0a−上单调递减，在(),a−−和()0,+上单调递增，当0a=时()21e0xfxx−=恒成立，

所以()fx在R上单调递增，当0a时，令()0fx，解得xa−或0x，令()0fx，解得0xa−，所以()fx在()0,a−上单调递减，在(),0−和(),a−+上单调递增，综上可得，当0a时，()fx在(),0a−上单调递减，在(),a−−和(

)0,+上单调递增；当0a=时，()fx在R上单调递增；当0a时，()fx在()0,a−上单调递减，在(),0−和(),a−+上单调递增；【小问2详解】解：当0a=时，()()()()()211122e11xgxfxmxxxmx−=−−−=

−+−−−，所以()21exgxxm−=−，令()()21exPxgxxm−==−，则()()212e0xPxxx−=+，所以()21exgxxm−=−在)0,+上单调递增，所以()()0gxgm=−

，①当0m−，即0m时()()00gxgm=−，所以()gx在)0,+上单调递增，又()10g=，所以函数()gx只有一个零点，不符合题意，舍去；②当0m−，即0m时()()00g

xgm=−，又()()211e0mgmmm+=+−，所以存在唯一的()00,1xm+，使得()00gx=，当()00,xx时，'()0gx，当()0,xx+时，'()0gx所以()gx在()00,x上单调递减，在()0,x+上单调递增，又()11gm=−

，当1m=时()10g=，此时01x=，所以()()10gxg=，函数()gx只有一个零点，不符合题意，舍去；当1m时()110gm=−，01x，此时有两个零点时，应满足()()0000ggx，即()()()011

200002e1022e110xmgxxxmx−−+−=−+−−−，其中()()()()()0001112220000000022e1122ee11xxxgxxxmxxxxx−−−=−+−−−=−+−−−()01

32000222e1xxxx−=−+−+−，设()()321222e1xhxxxx−=−+−+−，()0,1xm+，则()()()121exhxxxx−=+−，令()()()121e0xhxxxx−=+−=，解得1x=，所以当01x时()0hx，

当11xm+时()0hx，所以()hx在()0,1上单调递增，在()1,1m+上单调递减，所以()()10hxh=，即()()()012000022e110xgxxxmx−=−+−−−恒成立，所以112em−−且1

m.【方法点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．获得更多

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