【文档说明】上海市嘉定区第一中学2021届高三下学期3月月考数学试题 含答案.docx，共(19)页，1.017 MB，由小赞的店铺上传

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2020-2021年上海市嘉定一中高三下3月月考数学卷一.填空题（本大题满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．不等式0111log2x的解集为___________．2.已知，，则__________．3．22lim__________(

1)nnnCn−→=+.4．设nS为等比数列{}na的前n项和，若110,2naa=，2nS，则{}na的公比的取值范围是______．5．如图是等轴双曲线形拱桥，现拱顶离水面5m，水面宽30mAB=.若水面下降5m，则水面宽是_________

_．（结果精确到0.1m）6．已知函数32,(),xxafxxxa=„，若函数()fx的值域为R，则实数a的取值范围为__________．7．已知正数a，b满足1ab=，则11abba+++的最小值为．8.某长方体的长、宽、高分

别为2cm，2cm，4cm，则该长方体的体积与其外接球的体积之比为________.9．已知F是双曲线221412xy−=的左焦点，()1,4A，P是双曲线右支上的动点，则PFPA+的最小值为________．10.从0,1,2,,9这10个整

数中任意取3个不同的数作为二次函数()2fxaxbxc=++的系数，则使得()1Z2f的概率为．11.设常数aR，*nN，对于二项式(1)nax+的展开式，下列结论中所有正确命题序号的_____①

若1an，则各项系数随着项数增加而减小；,02x−tan2x=BA②若各项系数随着项数增加而增大，则an;③若2a=−，10n=，则第7项的系数最大；④若2a=−，7n=，则所有奇数项系数和为23

9.12.设函数()fx和()gx的定义域为D，若存在非零实数cD，使得()()0fcgc+=，则称函数()fx和()gx在D上具有性质P.现有三组函数：①()fxx=，2()gxx=②()2xfx−=，()exg

x=−③2()fxx=−，()2xgx=其中具有性质P的是__________．二.填空题（本大题每题5分，满分20分）13.下列说法中正确的是()（A）0ABBA+=；（B）若a、b非零向量且||||abab+=−，则ab

⊥；（C）若||||ab=且//ab，则ab=；（D）若//ab，则有且只有一个实数，使得ba=.14.已知函数()sin2,[,]fxxxab=，则“2ba−≥”是“()fx的值域为[1,1]−”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件15.为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒．出于对顾客身体健康的考虑，相关部门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度

y(毫克/立方米)与时间t(分钟)之间的函数关系为100.1,010,1(),102tattyt−=≤≤(a为常数)，函数图象如图所示.如果商场规定10:00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是

（）（A）9:40（B）9:30（C）9:20（D）9:1016．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．下图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形

，其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线():2lyax=−．给出以下命题：①当0a=时，若直线l截黑色阴影区域所得两部分面积记为12,ss()12ss,则12:3:1ss=；②当4

3a=−时，直线l与黑色阴影区域有1个公共点；③当(0,1a时，直线l与黑色阴影区域有2个公共点．其中所有正确命题的序号是（）（A）①②（B）①③（C）②③（D）①②③三.解答题（本大题满分76题）17.（本题满分14分，其中第（1）小题6分

，第（2）小题8分）如果一个正四棱柱与一个圆柱的体积相等，那么我们称它们是一对“等积四棱圆柱”.将“等积四棱圆柱”的正四棱柱、圆柱的表面积与高分别记为1S、2S与1h、2h.（1）若121==hh,1=30S,求2S的值;（2）若21hh=，求证：21SS；18

.（本题满分14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）已知函数()243sincos4sin1fxxxx=−+．（1）求函数()fx的最大值及此时x的值；（2）在ABC中，a，b，c分别为内角A，

B，C的对边，且对()fx定义域中的任意的x都有()()fxfA，若2a=，求ABAC的最大值．xAB北Oy19.（本题满分14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）为了监测某海域的船舶航行情况，海事部门在该海域，设立了如图所示东西

走向，相距20海里的A，B两个观测站，观测范围是到A，B两观测站距离之和不超过40海里的区域.（1）、以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，求观测区域边界曲线的方程；（2）、某日上午7时，观测站B发现在其正东10海里的C处，有一艘

轮船正以每小时8海里的速度向北偏西45°方向航行，问该轮船大约在什么时间离开观测区域？（精确到1小时）.20.（本题满分16分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）已知()cbxaxxf++=2.（1）当1==

ca时，讨论函数()()xxfxg=的奇偶性；（2）当0,1==cb，102a，1,22x时，2(log)fx的最大值为54，求()fx的零点；（3）当0,1==cb时，对于任意的11,88x−，总有

13()1fx，试求a的取值范围.21.（本题满分18分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）对于数列{}na，定义111,,1,.nnnnnaabaa++=−≥设{}nb的前n项和为nT.（1）设2nnna=，写出1234,,,bbbb；（

2）证明：“对任意*nN，有11nnTaa+=−”的充要条件是“对任意*nN，有1||1nnaa+−=”；（3）已知首项为0，项数为1(2)mm+≥的数列{}na满足：①对任意1nm≤≤且*nN，有1{1,0,1}nnaa+−−；②mmTa=.求所有满足条

件的数列{}na的个数.2020-2021年上海市嘉定一中高三下3月月考数学卷解析一.填空题（本大题满分54分，其中1-6题每题4分，7-12题每题5分）1．不等式0111log2x的解集为___________．【答案】()1,2【解析】由2

11log01x得，011x−，所以不等式解集为()1,22.已知，，则__________．【答案】247【解析】3cos,,052xx=−4sin5x=−4tan3x=−22422tan243tan2.

1tan7413xxx−===−−−故答案为：2473．22lim__________(1)nnnCn−→=+.【答案】12【解析】222(1)12limlim2(1(1))nnnnnCn

nn→→−−=++=3cos5x=,02x−tan2x=故答案为:124．设nS为等比数列{}na的前n项和，若110,2naa=，2nS，则{}na的公比的取值范围是______．【答案】3(0,]4【解析】设等比数列{}n

a的公比为q，则1q．110,2naa=，2nS，1102nq−，1(1)221nqq−−，10q．144q−，解得34q．得{}na的公比的取值范围是3(0,]4．5．如图是等轴双曲线形拱桥，

现拱顶离水面5m，水面宽30mAB=.若水面下降5m，则水面宽是__________．（结果精确到0.1m）【答案】44.8m【解析】建系，设双曲线解析式为222yxa−=,顶点为(0,),ya−(15,5)Aa−−−，代入双曲线，222(5)15aa+−=，解得

20,a=水面下降5米后，即1030,ya=−−=−代入双曲线，222,3020x−=解得105x=宽度为|2|20544.8xm=6．已知函数32,(),xxafxxxa=，若函数()fx的值域为R，则实数a的取值

范围为__________．【答案】0,1【解析】由函数3yx=单调递增，①当0a时，若xa，有330xa，而20x，此时函数()fx的值域不是R；②当0a时，若xa，有33xa，而22xa，BA若函数()fx的值域为R

，必有23aa，可得01a．则实数a的取值范围为0,1．7．已知正数,ab满足1ab=，则11abba+++的最小值为．【答案】4【解析】正数,ab满足1ab=，所以2ab+，当且仅当1ab==时取等号，令tab

=+，则2t，则22211()()2abababababba+++=+++=+++−2222224tt=+−+−=，则11abba+++的最小值为4．8.某长方体的长、宽、高分别为2cm，2cm，4cm，则该长方体的体积与其外接球的体积之比为________.【答案】6:3

【解析】因为长方体的长、宽、高分别为2cm，2cm，4cm，所以其体积为3224=16Vcm=长方体。其外接球直径为222222426R=++=，故6R=；所以其外接球体积为334=863VRcm=球，因此，该长方体的体积与其外接球的体积之比为166386=.9．已知F

是双曲线221412xy−=的左焦点，()1,4A，P是双曲线右支上的动点，则PFPA+的最小值为________．【答案】9【解析】对于双曲线221412xy−=，则2a=，23b=，4c=，如图所示：设双曲线的

右焦点为M，则()4,0M，由双曲线的定义可得4PFPM−=，则4PFPM=+，所以，()()2244144049PFPAPMPAAM+=+++=−+−+=，当且仅当A、P、M三点共线时，等号成立.因此，PFPA+的最小值为9.10.从0,1,2,,9这10个整

数中任意取3个不同的数作为二次函数()2fxaxbxc=++的系数，则使得()1Z2f的概率为．【答案】4181【解析】首先从0,1,2,,9这10个整数中任意取3个不同的数分别为,,abc，取法数为998，使(1)2fZ，即使abc++(

0)a为偶数（两偶一奇数或三偶数）的取法有12322325535254()()328CCCPPPP−+−=，所概率为3284164881=．11.设常数aR，*nN，对于二项式(1)nax+的展开式，下列结论中所有

正确命题序号的_____①若1an，则各项系数随着项数增加而减小；②若各项系数随着项数增加而增大，则an;③若2a=−，10n=，则第7项的系数最大；④若2a=−，7n=，则所有奇数项系数和为239.【答案】②③④【解析】二项式(

1)nax+的展开式的通项为21rrrrnTaCx+=，对于①：若0a，则各项系数一正一负交替出现，故①不对，对于②11rrrrnnCaca++对于任意的0r=，1，2，，1n−，都成立，所以0a

，且1ranr+−对任意的r都成立，an，故②正确；当2a=−，10n=，则展开式中奇数项的系数为正值，偶数项的系数为负值，所以，只需比较0010(2)C−，2210(2)C−，，6610(2)C−，8810(2)C−，101010(2)

C−即可，可得，6610(2)C−最大，即展开式中第7项的系数最大，故③正确；当2a=−，7n=，则奇数项系数和为：002244667777(2)(2)(2)(2)239CCCC−+−+−+−=，故④正确；故选：②③④12.设函数()fx和()gx的定义域为D

，若存在非零实数cD，使得()()0fcgc+=，则称函数()fx和()gx在D上具有性质P.现有三组函数：①()fxx=，2()gxx=②()2xfx−=，()exgx=−③2()fxx=−，()2xgx=其中具有性质P的是__________．【

答案】①③【解析】对①②③中分别判断方程()()0fxgx+=是否有非零实数解，可得出结论.对于①，2()()fxgxxx+=+，则(1)(1)110fg−+−=−+=，合乎题意；对于②,()()20xxfxgxe−+=−=

，可得102xxe−=，即(2)1xe=，解得0x=，不合乎题意；对于③,2()()2xfxgxx+=−+，则22(2)(2)220,fg+=−+=合乎题意.因此，具有性质P的是①③.二.填空题（本大题每题5分，满分20分）13.下列说法中正确的是()

（A）0ABBA+=；（B）若a、b非零向量且||||abab+=−，则ab⊥；（C）若||||ab=且//ab，则ab=；（D）若//ab，则有且只有一个实数，使得ba=.【答案】B【解析】由a

、b非零向量且||||abab+=−，两边平方可得222222aabbaabb++=−+，即0ab=，所以ab⊥，故B正确；由||||ab=且//ab，可得ab=或ab=−，故C错误；若//ab且0a

，则有且只有一个实数，使得ba=，故D错误．故选：B．14.已知函数()sin2,[,]fxxxab=，则“2ba−≥”是“()fx的值域为[1,1]−”的（）（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件【答案】B【解析】充分性：取0

,,2ab==则2ba−成立，此时0,,2x则2[0,],x可得()sin2[0,1],fxx=充分性不成立;必要性:函数()sin2fxx=的最小正周期为22T==,因为函数()fx在,ab上的值域为[

1,1]−，()fx在,ab上单调时，ba−取得最小值，且有22Tba−=，必要性成立.因此，"2ba−"是"()fx"的值域为[1,1]−的必要而不充分条件.故选：B.15.为了预防某种病毒，某商场需要通过喷洒药物对内部空间进行全面消毒．出于对顾客身体健康的考虑，相关部

门规定空气中这种药物的浓度不超过0.25毫克/立方米时，顾客方可进入商场．已知从喷洒药物开始，商场内部的药物浓度y(毫克/立方米)与时间t(分钟)之间的函数关系为100.1,010,1(),102tattyt−=(a为常数

)，函数图象如图所示.如果商场规定10:00顾客可以进入商场，那么开始喷洒药物的时间最迟是（）（A）9:40（B）9:30（C）9:20（D）9:10【答案】B【解析】由图象可知，当10t=时，1y=，101

0112a−=，解得1a=，100.1,0101,102tattyt−=令11010.252t−，得：1210t−，解得30t，所以开始喷酒药物的时间最迟是9点30分，故选：B.16．众所周

知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．下图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆，已知直线():2lyax=−．

给出以下命题：①当0a=时，若直线l截黑色阴影区域所得两部分面积记为12,ss()12ss,则12:3:1ss=；②当43a=−时，直线l与黑色阴影区域有1个公共点；③当(0,1a时，直线l与黑色阴影区域有2个

公共点．其中所有正确命题的序号是（）（A）①②（B）①③（C）②③（D）①②③【答案】A【解析】如图所示，大圆的半径为2，小圆的半径为1，大圆面积为4,小圆面积为,所以大圆的四分之一面积为,小圆的一半面积为2,对①:当0a=时，直线:

(2)lyax=−方程为0y=,即直线l为x轴，直线l截阴影部分的面积分为两部分，123,,222SS=+==所以12:3:1SS=，故正确.对②：根据题意,半圆在第一象限的方程为22(1)1,(0)xyx+−=若当43a=−时，直线(2)ya

x=−方程为4(2)3yx=−−，即4380xy+−=，与小圆圆心(0,1)的距离228143d−==+∣，等于小圆半径，所以直线与该半圆弧相切，如图所示，直线与阴影区域只有一个公共点，故②正确；对③:当[0,1)a时,如图所示：直线(2)yax=−与黑色阴影部分的公共部分为一条线段，有无数个

公共点，故错误；综上所述，①②正确.故选：A.三.解答题（本大题满分76题）17.（本题满分14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）如果一个正四棱柱与一个圆柱的体积相等，那么我们称它们是一对“等积四棱圆柱”.将“

等积四棱圆柱”的正四棱柱、圆柱的表面积与高分别记为1S、2S与1h、2h.（1）若121==hh,1=30S,求2S的值;（2）若21hh=，求证：21SS；【解析】设正四棱柱的底面边长为a，圆柱的底面半径为r.则2212πhrh

a=，12142ahaS+=，222π2π2rhrS+=.（1）301422=+aa，得01522=−+aa，又0a，所以3=a.所以131π22=r，得π9=r，1π9π2π9π22+=Sπ618+=.（2）

12hh=，则22πra=，122142ahaSS+=−)π2π2(22rhr+−124π2ahr+=12π2π2rhr−−14ah=1π2rh−)π4π(21−=rh0.得证.18.（本题满分14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分）已知函数()243sincos4sin1fxxxx=

−+．xAB北Oy（1）求函数()fx的最大值及此时x的值；（2）在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且对()fx定义域中的任意的x都有()()fxfA，若2a=，求ABAC的最大值．【解析】（1）()243sincos4sin123sin22cos21

4sin216fxxxxxxx=−+=+−=+−故当22,62xkkZ+=+，即,6xkkZ=+时，最大值为3（2）()()fxfA，则,6AkkZ=+，故6A=根据余弦定理：2222cosabcbcA=+−即2244323,84323bcbcbc

bcbc=+−−=+−当26bc==+时等号成立()3cos8436432ABACbcA=+=+uuuruuur，故ABACuuuruuur的最大值为643+19.（本题满分14分，其中第（1）小题6分，第（2

）小题8分）为了监测某海域的船舶航行情况，海事部门在该海域，设立了如图所示东西走向，相距20海里的A，B两个观测站，观测范围是到A，B两观测站距离之和不超过40海里的区域.（1）、以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，求观测区域边界曲线的

方程；（2）、某日上午7时，观测站B发现在其正东10海里的C处，有一艘轮船正以每小时8海里的速度向北偏西45°方向航行，问该轮船大约在什么时间离开观测区域？（精确到1小时）.【解析】（1）依题意可知：观测区域边界曲线是以A,B为焦点的

椭圆，设椭圆方程为：22221(0)xyabab+=，则222240220acabc===+解得20,103ab==∴观测区域边界曲线的方程为：221400300xy+=.（2）设轮船在观测区域内航行的时间为t小时，航线与区域边界的交点为C、D，∵(2

0,0)C，tan1351CDk==−，∴直线CD方程：20.yx=−+联立方程22201400300yxxy=−++=，整理得：271604000xx−+=，解得122020,7xx==∴2012022022477CD=−=∴2438t==（小时

）.∴轮船大约在当日上午10时离开观测区域.20.（本题满分16分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题6分）已知()cbxaxxf++=2.（1）当1==ca时，讨论函数()()xxfxg=的奇偶性；（2）当0,1==cb，102a，1,22x时

，2(log)fx的最大值为54，求()fx的零点；（3）当0,1==cb时，对于任意的11,88x−，总有13()1fx，试求a的取值范围.AB北OyCDxy【解析】（1）当1==ca时，函数()bxxxg++=1，函数定义域为0x。当0=b时，()()xg

xxxg−=−−=−1；所以()xxxg1+=为奇函数；当0b时，()21111−=+−−=−bbg；()21+=bg；所以()()11gg−，()()11gg−−所以()bxxxg++=1为非奇非偶函数。（2）由102a知112a−−，故当1

2x=时2(log)fx取得最大值54，即5(1)14fa=+=，所以14a=，所以2211()(2)144fxxxx=+=+−，所以()fx的零点为0，或-4.（3）任意的11,88x−，总有13()1fx，令

1311[,]22tx=−，则命题转化为：任给11[,]22t−，不等式()1ft，当0t=时，()0ft=满足()1ft；当0t时，有2211111()24attt−=−−对于任意的11[,0)(0,]22t−恒成立；由11[,0)(0,]22t−得1(,2][2,)t−−+

，所以2111()224t−−，所以要使2211111()24attt−=−−恒成立，则有2a.21.（本题满分18分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分）对于数列{}na，定义111,,1,.nnnnnaabaa++

=−≥设{}nb的前n项和为nT.（1）设2nnna=，写出1234,,,bbbb；（2）证明：“对任意*nN，有11nnTaa+=−”的充要条件是“对任意*nN，有1|1nnaa+−=”；（3）已知首项为0，项数为1(2)mm+≥的数列{}na

满足：①对任意1nm≤≤且*nN，有1{1,0,1}nnaa+−−；②mmTa=.求所有满足条件的数列{}na的个数.解：（1）因为112a=，212a=，338a=，414a=，5532a=，根据题意可得11b=，21b=−，31b=−，41b=−.（2）必要性：对1n=，有

121Taa=−，因此2111||||||1aaTb−===.对任意*nN且2n≥，有11nnTaa+=−，11nnTaa−=−，两式作差，得11nnnnTTaa−+−=−，即1nnnbaa+=−，因此1||||1nnnaab+−==.

综上，对任意*nN，有1||1nnaa+−=.充分性：若对任意*nN，有1||1nnaa+−=，则1nnnbaa+=−，所以122132111()()()nnnnnTbbbaaaaaaaa++=+++=−+−++−=−.综上

，“对任意*nN，11nnTaa+=−”的充要条件是“对任意*nN，1||1nnaa+−=”.（3）【法一】已知mmTa=，即121,,mmaaaa+中，不妨假设()11,1,iiaaimiN+−−中，有a

项1−，b项0，c项1则1101mmmmmmmabcmaaccabbTbcabbaa+++=−=−+=−=−=+−+=+−1bm=且,12bNbacm=+=−所以1m−项中1组110iaa+−=，且

满足2acm+=−111nbmaam−=−+−=−所以可知1ma+与ma固定,aNcN且1m−项中有一项为0所以共有2(1)2mm−−个【法二】构造数列nc：10c=，1111,11,0.nnnnnnnnaaaaccaa++

++−−=−=−=则对任意1nm≤≤且，有nncb=，1=1nncc+−.结合（2）可知：1212111mmmmmTbbbcccccc++=+++=+++=−=.又mmTa=，因此1mmca+=.设中有项为，则()()()1121321mmmaaaaaa

aa++=+−+−++−=()()()1213211mmmmccccccckckak+++−+−++−−=−=−.即.因为1{1,0,1}mmaa+−−，所以0k=或1.若0k=，则10mmaa+−=，与21321,,,mmaaaaaa+−

−−中有0项为0，即0k=矛盾，不符题意.若1k=，则11mmaa+−=−.所以，当11mmaa+−=−，21321,,,mmaaaaaa−−−−中有一项为0，其余2m−项为1时，数列{}na满足条件.21

321,,,mmaaaaaa−−−−中有一项为0，共1m−种取法；其余项每项有或两种取法，所以，满足条件的数列{}na的个数为2(1)2mm−−.*nN21321,,,mmaaaaaa+−−−k01mmaak+−=

−2m−11−