【文档说明】上海市虹口区2021-2022学年高三二模数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.160 MB，由小赞的店铺上传

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高中数学一、填空题（1~6题每小题4分，7~12题每小题5分，本大题满分54分）1.不等式11x−的解集是______________.【答案】(0,2)【解析】【详解】由11102xx−−.2.函

数9()(0)=+fxxxx的值域为_________.【答案】)6,+【解析】【分析】根据基本不等式即可解出．【详解】因为0x，所以9()296fxxx=+=，当且仅当3x=时取等号．故答案为：)6,+．3.函数sincosyxx=+的最小正周期为_____

______．【答案】2.【解析】【详解】试题分析：因为函数22sincos2sincos2sin224yxxxxx=+=+=+，1=，所以其最小正周期为2T=.故答案为2.考点：三角函数基本关系式

；函数()sinyAx=+的性质.4.若na为()1nx+的二项展开式中2x项的系数，则2limnnan→+=_________.【答案】12##0.5【解析】【分析】先根据二项展开式的通项公式求出na，即可利

用极限知识求出．的【详解】()1nx+的二项展开式的通项公式为1CrrrnTx+=，0,1,2,,rn=，所以()21C2nnnna−==，即有2111122limlimnnnnan→+→+−=

=．故答案为：12．5.在所有由1，2，3，4，5这五个数字组成的无重复数字的五位数中，任取一个数，则取出的数是奇数的概率为_________.【答案】35##0.6【解析】【分析】根据古典概型的概率

公式即可解出．【详解】任意一个数，共有5种可能，而这个数是奇数的可能有3种，所以任取一个数，则取出的数是奇数的概率为35P=．故答案为：35．6.若实数x、y满足430xyyxy+，则23xy+的取值范围是_________.【答案】0,11【解析】【分析】作出不

等式组所表示的可行域，利用线性规划思想求出23xy+的最大值和最小值，即可得解.【详解】设23zxy=+，作出不等式组430xyyxy+所表示的可行域如下图所示：联立34yxxy=+=，可

得13xy==，即点()1,3A，平移直线23zxy=+，当该直线经过可行域的顶点A时，直线23zxy=+在x轴上的截距最大，此时z取最大值，即max213311z=+=，当直线23zxy=+经过原点时，该直线在x轴上的截距最小，此时z取最小值，即min0z=，因此，23x

y+的取值范围是0,11.故答案为：0,11.7.已知向量a，b满足2a=，1b=，3ab+=rr，则ab−=_________.【答案】7【解析】【分析】根据向量模的计算公式即可解出．【详解】由3ab+=rr可得，2223aabb+

+=，即4213ab++=，解得：1ab=−，所以2242217aababb−=+++−==．故答案为：7．8.已知椭圆C：2221(0)9xybb+=的左、右两个焦点分别为1F、2F，过2F的直线交椭圆C于,AB两点.若1FAB是等边三角形

，则b的值等于_________.【答案】6【解析】【分析】因为1FAB是等边三角形，可得AB⊥x轴，再根据椭圆的定义可得22AF=，进而求得c，再根据椭圆中,,abc的关系求解b即可【详解】因为1FAB是等边三角形，故11FAFB=，

故,AB关于x轴对称，故AB⊥x轴.故1290FFA=o，1260FAF=，故122AFAF=，又12296AFAF+==，故22AF=，故1223FF=，即3c=，所以293b−=，6b=故答案为：69.已知等比数列na的前n项和为nS，公比1q，且21a+为

1a与3a的等差中项，314S=.若数列nb满足2lognnba=，其前n项和为nT，则nT=_________.【答案】(1)2nn+【解析】【分析】先根据等比数列na的前n项和的基本量的计算求出na，即可得到数列nb的通项公式，再根据等差数列的前n项和公式即可解

出．【详解】由题可得，()211121112114aqaaqaaqaq+=+++=，而1q，解得：122aq==，所以2nna=，即2lognnban==，所以()12nnnT+=．故答案为：(1)2nn+．10.已知A，

B，C是ABC的内角，若13(sinicos)(sinicos)i22AABB++=+，其中i为虚数单位，则C等于_________.【答案】3##60【解析】【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简，再根据复数相等，得到方程组，再根据两角和的正弦、

余弦公式计算可得；【详解】解：因为13(sinicos)(sinicos)i22AABB++=+即()()13sinsincoscossincoscossinii22ABABABAB−++=+，所以1sinsincoscos23sincosco

ssin2ABABABAB−=+=，即()1cos2AB+=−，()3sin2AB+=，因为()0,AB+，所以23AB+=，所以()3CAB=−+=；故答案为：311.设Ra，Rk，三条直线1l：250axya−

−+=，2l：340xaya+−−=，3l：ykx=，则1l与2l的交点M到3l的距离的最大值为_________.【答案】52+##25+【解析】【分析】根据直线12,ll的方程易知12ll⊥，而直线12,l

l分别过定点,AB，所以1l与2l的交点M在以AB为直径的圆上，直线3l过定点()0,0，即可利用圆心到()0,0的距离加半径解出．【详解】因为()110aa+−=，所以12ll⊥，而直线1l：250axya−−+=即()250axy−−+=过

定点()2,5A，2l：340xaya+−−=即()430xay−+−=过定点()4,3B，所以1l与2l的交点M在以AB为直径的圆上，圆方程为()()()()24530xxyy−−+−−=，即()()22342xy−+−=，所以M到3l的距离的最大值为()()223040252−

+−+=+．故答案为：52+．12.已知()fx是定义域为R的奇函数，且图像关于直线1x=对称，当0,2x时，()()2fxxx=−，对于闭区间I，用IM表示()yfx=在I上的最大值.若正数k满足0,,2

2kkkMM=，则k的值可以是_________.（写出一个即可）.【答案】222+或1024−【解析】【分析】首先可得()fx是以4为周期的周期函数，根据0,2x的解析式，得到()fx的图象，再对k在不同区间进行讨论，得出符合条件的k值．【详解】解：因为(

)fx是定义域为R奇函数，所以()()fxfx−=−，又函数图像关于直线1x=对称，所以()()2fxfx−=，所以()()()()222fxfxfxfx+=−+=−=−，所以()()()42fxfxf

x+=−+=，即()fx是以4为周期的周期函数，又当0,2x时，()()2fxxx=−，令)2,0x−，则(0,2x−，所以()()()2fxxxfx−=−+=−，所以()()2fxxx=+，所以当

(2,4x时()()()42fxxx=−−，4,6x时()()()46fxxx=−−，所以()fx的部分图象如下所示：若102k，则021k，()fx在0,1上单调递增，所以()0,2kMkk=−，(),2222kkMkk=−，显然不满足

0,,22kkkMM=，的若112k，则122k，()fx0,1上单调递增，在1,2上单调递减，所以()0,2kMkk=−，,22kkM=，显然不满足0,,22kkkMM

=，若12k，则224k，所以0,1kM=，(),22kkMkk=−，由0,,22kkkMM=，即()122kk=−，解得222k+=或222k−=（舍去）；若23k，则426k，

所以0,1kM=，()(),246kkMkk=−−或,21kkM=，由0,,22kkkMM=，即()()122462kk=−−，解得1024k−=或1024k+=（舍去）；当)3,k+时，)26,k+，所以0,1kM=，,21kkM=，显然不满足

0,,22kkkMM=，故舍去；故答案为：222+或1024−二、选择题（每小题5分，满分20分）13.已知1l，2l是平面内两条直线，l是空间的一条直线，则“l⊥”是“1ll⊥且2ll⊥”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C

.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据线面垂直的判定定理以及定义即可判断．【详解】当l⊥时，12,ll，所以1ll⊥且2ll⊥；当1ll⊥且2ll⊥，12,ll，但1l，2l是否相交无法判断，所以l⊥可能成立，

也可能不成立．综上，“l⊥”是“1ll⊥且2ll⊥”的充分不必要条件．故选：A．14.已知双曲线C的参数方程为11xttytt=+=−（t为参数），则此双曲线的焦距等于（）A.2B.4C.22D.42在的【答案】D【解析】【分析】将双曲线的参数方程化为普通方程，即可求出焦距．【

详解】由11xttytt=+=−可得，22144xy−=，所以222448cab=+=+=，即22c=，所以双曲线焦距为242c=．故选：D．15.函数()yfx=是定义域为R的奇函数，且对于任

意的12xx，都有()()12121fxfxxx−−成立.如果()fmm，则实数m的取值集合是（）A.0B.0mmC.0mmD.R【答案】C【解析】【分析】依题意可得()()gxfxx=−在定义域R上单调递减，由()00g=，则()fmm等价于(

)()0gmg，根据函数的单调性即可得解；【详解】解：因为对于任意的12xx，都有()()12121fxfxxx−−，当12xx时()()1212fxfxxx−−，即()()1122fxxfxx−−，当12xx时()(

)1212fxfxxx−−，即()()1122fxxfxx−−，即()()gxfxx=−在定义域R上单调递减，又()yfx=是定义域为R的奇函数，所以()00f=，所以()()0000gf=−=，则()fmm，即()0fmm−，即()()0gmg，所以0m

，即不等式()fmm的解集为0mm；故选：C的16.在数列na中，12a=，2aa=，()11*211,N,nnnnnnnnnaaaaanaaaa+++++=.对于命题：①存在)2,a+，对于任

意的正整数n，都有3nnaa+=.②对于任意)2,a+和任意的正整数n，都有naa.下列判断正确的是（）A.①是真命题，②也是真命题B.①是真命题，②是假命题C.①是假命题，②是真命题D.①是假命题，②也

是假命题【答案】A【解析】【分析】对①，直接令2a=判断即可；对②，利用反证法，先设数列中第一项满足naa的项为ka，再推导21,kkaa−−的大小推出矛盾即可；【详解】对①，当2a=时，易得12a=，22a=，31a=，42a=，5

2a=，61a=…故数列na为2，2，1循环.所以对于任意的正整数n，都有3nnaa+=成立，故①正确；对②，对于任意)2,a+，有12a=，2aa=，32aa=，42a=，设数列中第一项满足naa的项为ka，则4k，此时易得21,kkaaa−−，又()11*211,N,

nnnnnnnnnaaaaanaaaa+++++=，且由题意，0na恒成立，故21na+，即数列na中所有项都满足1na，故211,kkaaa−−，因为2112max,1,kkkkkaaaaaa−−−−=，与kaa矛盾，故对于

任意)2,a+和任意的正整数n，都有naa.故选：A三、解答题（本大题满分76分）17.如图，四棱锥PABCD−的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，M为BC的中点，1PDDC==，直线PB与平面ABCD所成的角为6.

（1）求四棱锥PABCD−的体积；（2）求异面直线AM与PC所成的角的大小.【答案】（1）23；（2）3arccos3．【解析】【分析】（1）根据直线PB与平面ABCD所成的角可求出BD，从而得出AD，再根据四棱

锥的体积公式即可解出；（2）取AD中点N，连接CN，PCN（或其补角）即为异面直线AM与PC所成的角，解三角形即可求出．【小问1详解】因为PD⊥底面ABCD，所以直线PB与平面ABCD所成的角为PBD，在RtPDB中，π6PBD=，1PD=，所

以3BD=，而1DC=，所以2AD=，因此四棱锥PABCD−的体积1211233V==．【小问2详解】如图所示：取AD中点N，连接CN，因为//,CMANCMAN=，所以四边形NAMC为平行四边形，

即有//AMNC，所以PCN（或其补角）即为异面直线AM与PC所成的角．在PCN△中，2PC=，226122PNCN==+=，所以232cos362PCN==，0πPCN，所以3arccos3PCN=，即异面直线AM与PC所成的角为3a

rccos3．18.已知函数()331xxbfx+=+是定义域为R的奇函数.（1）求实数b的值，并证明()fx在R上单调递增；（2）已知0a且1a，若对于任意的1x、21,3x，都有()22132

xfxa−+恒成立，求实数a的取值范围.【答案】（1）1b=−，证明见解析（2）(1,11,22【解析】【分析】（1）由奇函数的性质可得出()00f=，求出1b=−，利用函数奇偶性的定义可验证函数()fx为奇函数，再利用函数单调性的

定义可证得结论成立；（2）由题意可得()2231122xaf−−=，可得出222xa−，求得221,1x−−，分01a、1a，根据已知条件可得出关于a的不等式，综合可得出实数a的取值范围.【小问1详解】解：因为函数()331xxbfx+=+是定义域为R的奇函数，则()1002bf+

==，解得1b=−，此时()31213131xxxfx−==−++，对任意的xR，310x+，即函数()fx的定义域为R，()()()()33131133113331xxxxxxxxfxfx−−−−−−−−

====−+++，即函数()fx为奇函数，合乎题意，任取1t、2tR且12tt，则12033tt，所以，()()()()()121212122332211031313131ttttttftft−−=−−−=++++，则

()()12ftft，所以，函数()fx在R上单调递增.【小问2详解】解：由（1）可知，函数()fx在1,3上为增函数，对于任意的1x、21,3x，都有()22132xfxa−+，则()2231122xaf−−=，222xa−，因为21,3x，则221,1x−−.

当01a时，则有12a−，解得112a；当1a时，则有2a，此时12a.综上所述，实数a的取值范围是(1,11,22.19.如图，某公园拟划出形如平行四边形ABCD的区域进行绿化，在此绿化区域中，分别以DCB和DAB为圆心角的两个扇形区域

种植花卉，且这两个扇形的圆弧均与BD相切.（1）若437AD=，337AB=，37BD=（长度单位：米），求种植花卉区域的面积；（2）若扇形的半径为10米，圆心角为135，则BDA多大时，平行四边形绿地ABCD占地面积最小？【答案】（1）

72π（2）22.5【解析】【分析】（1）根据余弦定理可得A的大小，再根据正弦定理可得sinABD，进而求得扇形的半径，从而得到种植花卉区域的面积（2）设BDA=，根据直角三角形中的关系可得,ADAB关于的表达式，从而得到

平行四边形的面积表达式()2002sin2451+−o，从而根据三角函数的最值求解即可【小问1详解】由余弦定理，22222243733737169371cos22422437337ADABBDAADAB+−+−

+−====−，故120A=o，又由正弦定理有sin120sinBDADABD=，故23sinsin12037ADABDBD==o，所以扇形的半径23sin3376337rABABD===，故种植花卉区域的面积()2122637223S==【小问2详解】设BD

A=，则18013545ABD=−−=−ooo，故10sinAD=，()10sin45AB=−o，故平行四边形绿地ABCD占地面积()()21101010021002sin1352sin2sincoss

insin452sincossin2S===−−−oo()200200sin2cos212sin2451==+−+−o，因为()0,45oo，故要ABCD面积最小，则当()sin2451+=o，即24590+=oo，22.

5=o时ABCD面积取得最小值，即22.5BDA=o多大时，平行四边形绿地ABCD占地面积最小20.已知抛物线C：()220ypxp=的焦点为F，准线为l，记准线l与x轴的交点为A，过A作直线交抛物线C于()11,Mxy，()22,N

xy（21xx）两点.（1）若122xxp+=，求MFNF+的值；（2）若M是线段AN的中点，求直线MN的方程；（3）若P，Q是准线l上关于x轴对称的两点，问直线PM与QN的交点是否在一条定直线上？请说明理由.【答案】（1）

3p；（2）43220xyp−+=；（3）在定直线2px=上，理由见解析．【解析】【分析】（1）根据焦半径公式即可求出；（2）设直线MN的方程2pxmy=−，与抛物线联立即可利用M是线段AN的中点求出m

，从而解出；（3）设0,2pPy−，0,2pQy−−，即可求出直线PM与QN的方程，联立即可解出交点，从而可以判断交点在定直线上．【小问1详解】因为准线为:2plx=−，所以12322ppMFNFxxp+=+++=．【小问2详

解】设直线MN的方程2pxmy=−，联立()220ypxp=可得，2220ympyp−+=，所以22440mp=−，122yymp+=，212yyp=，而M是线段AN的中点，所以212yy=，解得：122,22pyyp==，即2222ppmp+=，解得：324m=，所以直

线MN的方程为3242pxy=−，即43220xyp−+=．【小问3详解】直线MN的方程2pxmy=−，设0,2pPy−，0,2pQy−−，00y，则10100011:222yyyyppPMyxyx

ypmyx−−=++=+++，20200022:222yyyyppQNyxyxypmyx++=+−=+−+，联立可得：121122pxmyy++=

，由122yymp+=，212yyp=，代入解得：21212222222myypmpppxyymp=−=−=+，所以直线PM与QN的交点在定直线2px=上．21.对于项数为m的数列na，若满足

：121maaa，且对任意1ijm，ijaa与jiaa中至少有一个是na中的项，则称na具有性质P.（1）分别判断数列1，3，9和数列2，4，8是否具有性质P，并说明理由；（2）如果数列1a，2a，3a，4a具有性质P，求证：11

a=，423aaa=；（3）如果数列na具有性质P，且项数为大于等于5的奇数.判断na是否为等比数列？并说明理由.【答案】（1）数列1，3，9具有性质P；数列2，4，8不具有性质P（2）见解析（3）见解析【解析】【分析】（1）根据性质P的定义验证即可；（2）根据性质P的定义，易得11

a=，4423,aaaa是数列中的项，再根据121maaa，可得432aaa=，即可得证；（3）根据性质P的定义，易得11a=，21kiaa+()221,Niki+是数列中的项，从而可得()2122121,Nkpkpaapkpa++

−=+，同理有12ppaaa+=()12,Npkp，即可得出结论.【小问1详解】解：因为399111,1,1,133,199,3393======均是数列1，3，9中的项，所以数列1，3，9

具有性质P，因为81,88648==不是数列2，4，8中的项，所以数列2，4，8不具有性质P；【小问2详解】证明：因为44441,aaaa，所以44aa不是数列中的项，所以441aa=一定是数列中的项，所以11

a=，又因为424434,aaaaaa，所以4243,aaaa不是数列中的项，所以4423,aaaa是数列中的项，因为12341aaaa，所以444321aaaaa，所以43

2aaa=，所以423aaa=；【小问3详解】解：当数列na的项数()21,N,2mkkk=+时，因为212121211,kkkkaaaa++++，所以2121kkaa++不是数列中的项

，所以21211kkaa++=一定是数列中的项，所以11a=，因为对于满足221ik+的正整数i，都有2121kikaaa++，所以21kiaa+()221,Niki+不是数列中的项，从而21kiaa+是数列中的项，又2121212121212122

1211kkkkkkkkkaaaaaaaaaaa+++++++−==，所以()2122121,Nkpkpaapkpa++−=+，从而有()2122121121,Nkpkppkpaaaaapkp++−++−==+，所以221

21kppkppaaaa+−++−=，从而有21233212221212211,,,,kkkkkkkkkkkkaaaaaaaaaaaaaaaaa++++−+−+=====，因为对于满足32ik的正整数i，均有22221kikkaaaaa+=，所以21221,,,kkiaaaaa+，

又22222212122122122331kkkkkkkkkkkkpaaaaaaaaaaaaaaa+−+−−==，所以()221122,Nkpkpaapkpa+−=−，从而有()22112121,Nkpkppkpaaaaapkp+

−+−==−，所以2112kppkppaaaa+−+−=，从而有2213312222112222211,,,,kkkkkkkkkkkkaaaaaaaaaaaaaaaaa−+−+−−+−+−=====，从而有12ppaaa+=()12,Npkp，所以对于

项数为大于等于5的奇数且具有性质P的数列na，是以1为首项，2a为公比的等比数列.【点睛】本题考查了数列的新定义，考查了等比数列的定义，考查了学生的逻辑推理能力及数据分析能力，属于难题.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue

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