【文档说明】天津市耀华中学2021届高三上学期期中考试数学试卷【精准解析】.doc，共(18)页，1.305 MB，由小赞的店铺上传

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天津市耀华中学2021届高三第一学期期中质量调查数学试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页.祝各位考生考试顺利！第I卷注意事项：1.答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上；2.每小题选出

答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；3.本卷共9小题，每小题5分，共45分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集为7UxNx=.集合A

={1，3，6}，集合B={2，3，4，5}．则集合UAB=Ið（）．A.3B.1,3,6C.2,4,5D.1,6【答案】D【解析】【分析】求出全集U，再由集合的运算法则计算．【详解】由题意{0,1,2,3,4,5,6

}U=，所以{0,1,6}UB=ð，{1,6}UAB=ð．故选：D．【点睛】本题考查集合的运算，掌握集合运算法则是解题关键．2.设x∈R.则“3x”是“230xx−”的（）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必要条件【答案】B【解

析】【分析】根据充分必要条件的定义判断．【详解】3x时，例如1x=−，则2340xx−=，不是充分的，230033xxxx−，必要性成立．因此应是必要不充分条件．故选：B．【点睛】本题考查充分必要条件的判断，解题方法是用充分必要条件的定义进行．本题也可从集合

的包含角度求解．3.函数()()311xxefxxe+=−（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先根据函数的奇偶性排除A、C,再由x→+时,()fx的趋向性判断选项即可【详解】

由题,()fx的定义域为|0xx,因为()()()()331111xxxxeefxfxxexe−−++−===−−−,所以()fx是偶函数,图象关于y轴对称,故排除A、C；又因为()()()33311211xxxefx

xxexe+==+−−,则当x→+时,3x→+,1xe−→+,所以()0fx→,故选：D【点睛】本题考查函数奇偶性的应用,考查函数图象4.设0.22113loglg332abc−===，，.则a.b.c的大小关系是（）．A.a＞c＞bB.b＞c＞aC.c＞a＞bD.c＞b＞a【答

案】A【解析】【分析】容易得出0.22log0,0113131g,l23−，从而可得出a，b，c的大小关系．【详解】221loglog103=，30lg1lglg1012==，0.20.2033113−==；acb．故选：A．【点睛】本题主要

考查比较三个数的大小，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用，属于基础题.5.已知函数()()()sin0,0fxAx=+−的部分图象如图所示.则()fx的解析式为（）．A.()2sin12fxx=−B.()2s

in23fxx=−C.()2sin26fxx=−D.()32sin34fxx=−【答案】B【解析】【分析】根据函数图象得到3532,41234TA==

−−=，进而求得2,2TT===，然后由函数图象过点5,212求解.【详解】由函数图象知：3532,41234TA==−−=，所以2,2TT===，又函数图象过点5,212，所以

522,122kkZ+=+，解得2,3kkZ=−，又因为0−，所以3=−，所以()fx的解析式为：()2sin23fxx=−.故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的图象和性质，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.6.设数列na的前n项

和21nSn=+.则8a的值为（）．A65B.16C.15D.14【答案】C【解析】【分析】利用()12nnnaSSn−=−得出数列na的通项公差，然后求解8a.【详解】由21nSn=+得，12a=，()2111nSn−=−+，所以()221121nnnaSSnn

n−=−=−−=−，所以2,121,2nnann==−，故828115a=−=.故选：C.【点睛】本题考查数列的通项公式求解，较简单，利用()12nnnaSSn−=−求解即可.7.已知函数()fx是定义在R上的奇函数，且当0x时，()()

2f21xlogx=+−，则()6f−=（）A.2B.4C.-2D.-4【答案】C【解析】【分析】先求出()6f的值，再由函数()yfx=的奇偶性得出()()66ff−=−可得出结果．【详解】由题意可

得()()26log6212f=+−=，由于函数()yfx=是定义在R上的奇函数，所以，()()662ff−=−=−，故选C.【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求值，求函数值时要结合自变量的取值选择合适的解析式来计算

，考查计算能力，属于基础题．8.若将函数()()()sin20fxx=+的图象向左平移3个单位长度后.得到的函数图象关于,02对称.则函数()()cosgxx=+在,26−上的最小值是（）．A.1−B.32−C.12−D.0【答案】D【

解析】【分析】写出平移后图象的函数解析式，由对称性求得，再由余弦函数性质得最小值．【详解】将函数()()()sin20fxx=+的图象向左平移3个单位长度后.得到图象解析式为2()sin2sin233hxxx=++=++

，它的图象关于点,02对称，则22,23kkZ++=，又0，所以3=，所以()cos3gxx=+，,26x−时，,362x+−，所以()cos3gxx=+最小值为0

，此时6x=．故选：D．【点睛】本题考查三角函数图象平移变换，考查正弦函数的对称性，余弦函数的最值．掌握正弦函数与余弦函数性质是解题关键．9.已知函数()21+log4010axa,x>fxxx+=−.，,≤在R上单调递增.且关于x的方程()3fxx=+恰有两个

不相等的实数解.则实数a的取值范围是（）．A.1313,4416∪B.1313,4416∪C.113,416D.3130,416

∪【答案】A【解析】【分析】由题意首先求得a的取值范围，然后结合函数的解析式将原问题转化为两函数图像存在两个交点的问题，数形结合即可确定a的取值范围.【详解】由函数的解析式可知函数在区间()0,+上单调递增，当0x时，函数1yx=−单调递减，由复合函数的单调性法则可知：01a

，且函数在0x=处满足：2041log01aa++−，解得：14a，故114a，方程()3fxx=+恰有两个不相等的实数解，则函数()fx与函数3yx=+的图像有且仅有两个不同的交点，绘制函数()fx的图像

如图中虚线所示，令1log10ax+−=可得：11xa=，由114a可知111a+，113a−−，则直线3yx=+与函数()fx的图像在区间(,0−上存在唯一的交点，原问题转化为函数3yx=+与二次函数24114ayxa=+在区间()0,+上存在唯一的

交点，很明显当43a，即34a时满足题意，当直线与二次函数相切时，设切点坐标为()200,xxa+，亦即()00,3xx+，由函数的解析式可得：当0x时，2yx=，故：00121,2xx==，则0732x+=

，切点坐标为17,22，从而：20742xa+=，即17134,4216aa+==.据此可得：a的取值范围是1313,4416.故选:A.【点睛】本题主要考查分段函数的单调性，数形结合的数学思想，导函数研究函数的切线方程，分类讨论的数学思想等知识

，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.第Ⅱ卷注意事项：1.用黑色墨水的钢笔或签字笔答题；2.本卷共12小题，共105分.二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分.10.设i是虚数单位.复数()231i=−_______．【答案】3i2【解析】【分析】先将分母展开，再利用复数的除

法运算即可求解.【详解】()22233333122221iiiiiii====+−−−−，故答案为：3i2【点睛】本题主要考查了复数的除法运算，属于基础题.11.220xaxax+−R，都成立.则a的取值范围是_________

_．【答案】(8,0−【解析】【分析】分类讨论，0a=，0a时结合二次函数性质得解．【详解】0a=时，不等式为20−，恒成立，0a时，则2080aaa=+，解得80a−，综上有80a−．

故答案为：(8,0]−．【点睛】本题考查二次不等式性成立问题，解题时需对最高次项系数分类讨论，否则易出错．12.在ABC中.7260ACBCB===，，.则ABC的面积等于________．【答案】332【解析】【分析】由余弦定理求得AB，然后由三角形面积得结论，【详解】由余弦定理得22

22cosACABBCABBCABC=+−，即2744cos60ABAB=+−，解得3AB=（1AB=−舍去），所以1133sin32sin60222ABCSABBCABC===△．故答案为：332．【点睛】本题考查余弦定理，三角形面积公式，解三角形问题中要

根据条件选择恰当的公式运算，本题也可先用正弦定理求BAC，然后求出sinC，再得结论．13.已知na为等差数列，nS为其前n项和.nN.若3201180aS==−，．则10S的值为_________．【答案】60【解析】【分析】由等差数列的通项公式和前n项和公式求得首项和公差

，然后再求和．【详解】设数列{}na的公差为d，则31201211201920802aadSad=+==+=−，解得1152ad==−，所以10110910101559(2)602Sad=+=+−=．故答案为：60．【点睛】本题考查求等差数列的前n项，

解题方法是等差数列的基本量法．即求出首项和公差，然后由等差数列的前n项和公式得结论．14.已知xy，均为正实数.1xy+=.则1yxy+的最小值为________．【答案】3【解析】【分析】xy，均为正实数，1xy+=，可得10xy=−，所以01y，()11111yfyxyyy+=+−

=−再利用导数研究单调性极值与最值即可求解.【详解】因为1xy+=，所以1xy=−，所以()11111111111yyyxyyyyyyy−−++=+=+=+−−−−，令()1111fyyy=+−−，则()()()222211211yfyyyyy−=−+=−−令()

0fy，即210y−，解得112y，此时()fy单调递增，令()0fy，即210y−，解得102y，此时()fy单调递减，所以12y=时，()min11131122fy=+−=，所以12xy==时

1yxy+的最小值为3，故答案为：3【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.15.若函数()()2log4afxax=−在()0,1上为减函数.则实数a的取值范围是________．【答案】(1,4【解析】

【分析】由题意可得0a，24tax=−在()0,1单调递减，且0,1ta，即4101aa−，即可求解.【详解】()()2log4afxax=−是由24tax=−，logayt=复合而

成，因为0a，24tax=−开口向下，对称轴为0x=，所以24tax=−在()0,1上为减函数，因为函数()()2log4afxax=−在()0,1上为减函数，所以logayt=为增函数，所以1a，又

因为240tax=−对于()0,1恒成立了，所以()min1410tta=−，解得：4a，综上所述：实数a的取值范围是(1,4，故答案为：(1,4【点睛】本题主要考查了复合函数的单调性，对数函数，二次函数的性质，属于中档题.三、解答题：本大题共5

题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.已知函数()fx为二次函数.()fx的图象过点()0,2.对称轴为1x=−.函数()fx在R上的最小值为1−.（Ⅰ）求()fx的解析式；（Ⅱ）当2,xaaa−R，时.求函数()fx的最小值（用a表示）.

【答案】（Ⅰ）()2362fxxx=++；（Ⅱ）当1a−时.()fx的最小值为2362aa++；当11a−时.函数()fx的最小值为1−；当1a时.()fx的最小值为2362aa−+．【解析】【分析】

(Ⅰ)设二次函数()2fxaxbxc=++,根据题意可得()021212fbabfa=−=−−=−，，，，解出可得答案.（Ⅱ）由()2362fxxx=++，则其对称轴方程为1x=−，分对称轴与区间

2,aa−的相对位置关系进行讨论可得答案.【详解】（Ⅰ）解：设二次函数()fx的解析式为()2fxaxbxc=++.其中0a．由题意可知.()021212fbabfa=−=−−=−，，，解得362abc===，，．

所以()fx的解析式为()2362fxxx=++．（Ⅱ）由()2362fxxx=++，则其对称轴方程为1x=−.当1a−≤时.函数()fx在2,aa−上单调递减.此时()fx的最小值为()2362faaa=++

；当21aa−−.即11a−时.函数()fx在2,1a−−上单调递减.在1,a−上单调递增.此时()fx的最小值为()11f−=−；当21a−−≥.即1a≥时.函数()fx在2,aa−上单调递增.此时()fx的最小值为()

22362faaa−=−+．综上所述.当1a−≤时.()fx的最小值为2362aa++；当11a−时.函数()fx的最小值为1−；当1a≥时.()fx的最小值为2362aa−+．【点睛】本题考查根

据条件求二次函数的解析式，求二次函数在闭区间上的最值，考查分类讨论思想的应用，属于中档题.17.在ABC中，内角,,ABC所对的边分别为,,.abc已知sinsin3aCcA=+.（Ⅰ）求角A的大小；

（Ⅱ）设6b=，4c=.求a和()cos2AC−的值.【答案】（Ⅰ）π3A=；（Ⅱ）27a=．()13cos214AC−=.【解析】【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，利用三角恒等变换公式求解即可；（2）先利用余弦定理得出a，再利用正弦定理得出sinC,得出cosC，然后将()cos2A

C−展开求值.【详解】解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得πsinsinsinsin3ACCA=+．因为()0,πC.所以sin0C.故πsinsin3AA=+.即ππsinsincosc

ossin33AAA=+．整理得sin3cosAA=.所以tan3A=．因为()0,πA.所以π3A=．（Ⅱ）根据余弦定理.2222cosabcbcA=+−，将6b=，4c=，1cos2A=代入解得：228a=．因为0a，所以27a=．根据正弦定理有：sinsina

cAC=，解得21sin7C=．又因为ca，所以π3C，则227cos1sin7CC=−=，可求得：43sin22sincos7CCC==，221cos2cossin7CCC=−=．则()13cos2coscos2sinsin214ACACAC−=+=．【

点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的综合运用，考查三角函数和差角公式、二倍角公式的运用，难度一般.18.已知函数()()1cossincos2fxxxx=+−．（Ⅰ）若0,2且1sin3=.求()f

；（Ⅱ）求函数()fx的最小正周期及单调递增区间.【答案】（Ⅰ）42718+；（Ⅱ）最小正周期为π．3ππππ88kk−+，.kZ.【解析】【分析】（Ⅰ）根据1sin3=以及的范围，得到c

os，代入到()f中，得到答案；（Ⅱ）对()fx进行整理化简，得到()2πsin224fxx=+，根据正弦型函数的图像和性质，求出其周期和单调减区间.【详解】（Ⅰ）解：因为π02.且1sin3=.所以222cos1s

in3=−=．故()()1427cossincos218f+=+−=．（Ⅱ）解：因为()21sincoscos2fxxxx=+−11cos21sin2222xx+=+−112πsin2cos2sin22224xxx

=+=+.所以函数()fx的最小正周期为π．设π24tx=+.由2sin2yt=的单调递增区间是ππ2π2π22kk−+，.kZ.令πππ2π22π242kxk−++≤≤.解得3ππππ88kxk−+≤

≤.kZ．故函数()fx的单调递增区间为3ππππ88kk−+，.kZ．【点睛】本题考查同角三角函数关系，利用二倍角公式、降幂公式、辅助角公式对三角函数进行化简，求正弦型函数的周期和单调区间，属于基础题.19.已知函数2()()xfxexaxa=+−，其中a是常数.(

Ⅰ)当1a=时，求曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程；（Ⅱ）若存在实数k，使得关于x的方程()fxk=在[0,)+上有两个不相等的实数根，求k的取值范围.【答案】（Ⅰ）43yexe=−（Ⅱ）24(,]eaaa++−【解析】【分析】（Ⅰ）

当a＝1时，f（1）＝e，f′（1）＝4e，由点斜式可求得y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）令f′（x）＝ex[x2+（a+2）x）]＝0，可解得x＝﹣（a+2）或x＝0，对﹣（a+2）与0的大小关系分类讨论，可求得关于

x的方程f（x）＝k在[0，+∞）上有两个不相等的实数根的k的取值范围．【详解】解：(Ⅰ)由2()()xfxexaxa=+−可得2'()e[(2)]xfxxax=++.当1a=时,(1)fe=,'(1)4fe=.所以曲线()yfx=在点(1,(1))f处的切线方程为()41yeex−=−，即43y

exe=−（Ⅱ）令2'()((2))0xfxexax=++=，解得(2)xa=−+或0x=当(2)0a−+，即2a−时，在区间[0,)+上，'()0fx，所以()fx是[0,)+上的增函数.所以方程()fxk=在[0,)+上不可能有两

个不相等的实数根.当(2)0a−+，即2a−时，()'(),fxfx随x的变化情况如下表x0(0,(2))a−+(2)a−+((2),)a−++'()fx0−0+()fxa−↘24aae++↗由上表可知函数()fx在[0,)+上

的最小值为24((2))aafae++−+=.因为函数()fx是(0,(2))a−+上的减函数，是((2),)a−++上的增函数，且当xa−时，有()fx()aeaa−−−.所以要使方程()fxk=在[0,)+上有两个不相等的实数根，k的

取值范围必须是24(,]eaaa++−.【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查利用导数研究函数的极值，突出考查分类讨论思想与转化思想的应用，考查综合分析与综合运算的能力，属于难题．20.已知数列na的前n项和22n

nnS+=，数列nb满足：122bb==，()112nnnbbnN++=.（Ⅰ）求数列na，nb的通项公式；（Ⅱ）求()*21121niiiiabnNb−=−．【答案】（Ⅰ）nan=；12222nn

nnbn+=，为奇数；，为偶数（Ⅱ）()12122nnnn++−+．【解析】【分析】（Ⅰ）直接根据前n项和与通项的关系求出数列na的通项公式，再根据递推关系式求出数列nb的通项公式；（Ⅱ）先根据2121

22iiiiiiabib−−=−，然后利用错位相减求和，整理即可求得出结果．【详解】解：（Ⅰ）当2n时，()221(1)122nnnnnnnaSSn−−−−+=−=−=，当1n=时，111a

S==，适合上式，所以：nan=；∵122bb==，()112nnnbbnN++=，∴()122nnnbbn−=，∴()112,2nnbbn+−=，∴数列nb的奇数项和偶数项都是首项为2，公比为2的等比数列，∴12222nnnn

bn+=，为奇数；，为偶数（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，iai=，且21122122iiib−+−==，22222iiib==，212122iiiiiiabib−−=−，设()()2311231,0,1nnMxxxnxnxx−=++++−+，①∴()2341

1231nnxMxxxnxnx+=++++−+，②①﹣②得()()2311111nnnnxxxMxxxxnxnxx++−−=++++−=−−，∴()()1211nxnxnxMx++−−=−，∴()()112122122

122(12)nnininnin++=+−−==−+−，12111122222122(1)2nnininnin+=+−−+==−−，∴()1211212122nniiniinabnb+−=+−=−+．【点睛】本题考查由na和nS的关系求数列通项公式，由

数列递推公式证明等比数列，以及错位相减求和的应用，计算量较大．