【文档说明】湖北省鄂东南省级示范教学改革联盟学校2022-2023学年高一下学期期中联考数学试卷含答案.docx，共(17)页，993.326 KB，由小赞的店铺上传

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2023年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高一数学试卷命题学校：鄂南高中命题教师：张必平吴义方陈佳敏审题教师：徐益平吕骥审题学校：赤壁一中审题教师：李红光考试时间：2023年4月12日下午15：00－17：00试卷满分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共

40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合0,Aa=，2,aBb=，若0,1,2AB=，则b=（）A．0B．1C．0或1D．22．若复数()1aizai−=+R是纯虚数，则z的共轭复数z=（）A．－1B．－iC．iD．13．“2=−”是“函数()s

inyx=+为偶函数”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要4．下列各式中，其值为12的是（）A．22cossin1212−B．21tan22.521tan22.5−C．sin15cos

15D．21cos32+5．牛奶的保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时长t（单位：h）与储藏温度x（单位：℃）之间的关系为22719232xt=，若要使牛奶保鲜时长超过96h，则应储藏在温度低于___℃的环境中．（附

：lg20.301，lg70.845，答案采取四舍五入精确到0.1）（）A．10.0B．10.3C．10.5D．10.76．已知向量()1,2a=，()4,bt=−，则下列说法错误的是（）A．若ab∥，则8t=−B．min5ab−=C．若abab+=−，则2t=D

．若a与b的夹角为钝角，则2t7．将函数2cos3yx=−的图象向右平移()0mm个单位长度后得到()fx的图象．若()fx在5,66上单调递增，则m的取值范围为（）A．,32B．,62C．2,33

D．5,268．已知△ABC满足2ABAC=，4BC=，则△ABC面积的最大值为（）A．1633B．163C．833D．83二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部

选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知复数1z，2z，则下列结论中错误的是（）A．若120zz+=，则12zz=B．若22120zz+=，则120zz==C．若2212zz=，则12zz=D．若12zz=，则2212zz=10．筒车是我国古

代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动．如图2，将筒车抽象为一个半径为R的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时60秒，当0t=，盛

水筒M位于点()03,33P−，经过t秒后运动到点(),Pxy，点P的纵坐标满足()()sinyftRt==+（0t≥，0，2，则下列叙述正确的是（）A．筒车转动的角速度rad/s30=B．当筒车旋转50秒时，盛水筒M对

应的点P的纵坐标为33−C．当筒车旋转50秒时，盛水筒M和初始点0P的水平距离为63D．盛水筒M第一次到达最高点需要的时间是25秒11．已知函数()()22log22fxaxax=−+，下列说法正确的是（）A．若()fx定义域为R，则(

)0,2aB．若()fx值域为R，则2a≥C．若()fx最小值为0，则1a=D．若()fx最大值为2，则2a=−12．已知函数()fx，()gx的定义域均为R，且()()25fxgx+−=，()()47gxfx−−=．若()yg

x=的图象关于直线2x=对称，()24g=，则下列结论正确的是（）A．()36g=B．()11f−=−C．()11f=D．()202312025kfk==−三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知()22log1,011,03xxxfxx+=+

≥，则()()1ff−的值为．14．已知向量()1,2a=，()1,2b=−，则a在b方向上的投影向量坐标是．15．在△ABC中，12sin13A=，3cos5B=，则cosC=．16．在△OAB

中，3OAOC=，2OBOD=，AD，BC的交点为M，过M作动直线l分别交线段OA，OB于E，F两点，若OEOA=，OFOB=（，0），则2+的最小值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写

出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）求值：（Ⅰ）()2131033531743322248−−−++−+；（Ⅱ）2ln3427log9log8lg4lg25e−++．18．（本小题满分12分）已知函数()()3cossinsin

fxxxx=+．（Ⅰ）当22kxk+≤≤，kZ时，将函数解析式化为()()sinfxAxb=++的形式；（Ⅱ）若当22x−≤≤时，()4log0fxa+成立，求实数a的取值范围．19．（本小题满分12分）在△ABC中，已知2AB=

，4AC=，角A的平分线AD与BC交于点D且43AD=．（Ⅰ）求ABAC的值；（Ⅱ）若___，求cosAPB．①0PAPBPC++=，②PAPBPC==，③PAPBPBPCPCPA==，请从这三个条件任选一个，补充到

上面问题的横线中解答．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．20．（本小题满分12分）设函数()32sincos32fxxx=−−，若锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC外接圆的半径为R，coscosaBbAR−=．（Ⅰ）若

()1fA=，求B；（Ⅱ）求Rcb−的取值范围．21．（本小题满分12分）如图，为了测量某条河流两岸两座高塔底部A，B之间的距离，观测者在其中一座高塔的顶部D测得另一座高塔底部B和顶部C的视角为45°（即4

5BDC=），已知两座高塔的高AD为30m，BC为75m，塔底A，B在同一水平面上，且ADAB⊥，BCAB⊥．（Ⅰ）求两座高塔底部A，B之间的距离；（Ⅱ）为庆祝2023年春节的到来，在两座高塔顶部各安装了一个大型彩色灯饰．政府部门为了方便市民观赏这两个彩色灯饰，决定在A，B之间的点P处

（点P在线段AB上）搭建一个水上观景台，为了达到最佳的观赏效果，要求∠DPC最大，问：在距离A点多远处搭建，才能达到最佳的观赏效果？22．（本小题满分12分）已知函数()1ln1xfxxx+=−−．（Ⅰ）求值：()()()111232023232023ffffff+++

+++；（Ⅱ）判断函数()fx的单调性，并证明你的结论：（Ⅲ）求证()fx有且仅有两个零点1x，2x，并求12xx的值．2023年春季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考

高一数学参考答案一、单选题（每题5分，共40分）12345678CCADADDB二、多选题（每题5分，共20分，漏选得2分，有错选的得零分）9101112BDABDBCDABD11．【详解】对于A，若函数()fx定义域为R，则222

0axax−+恒成立，当0a=时，20恒成立，满足题意；当0a时，则有20480aaa=−，解得：02a，综上，实数a的取值范围为：)0,2，故选项A错误；对于B，若函数()fx值域为R，则222axax−+取尽大于零的所有实数，当0a=时，2222a

xax−+=，不满足题意；当0a时，则有20480aaa=−≥，解得：a≥2，所以若()fx值域为R，则a≥2，故选项B正确；对于C，若函数()fx最小值为0，则222yaxax=−+有最小值1，由二次函数的图象和性质可得

：0221aaa−+=，解得：a＝1，故选项C正确；对于D，若函数()fx最大值为2，则222yaxax=−+有最大值4，由二次函数的图象和性质可得：0224aaa−+=，解得：2a=−，故选项D正确；故选

：BCD．12．【详解】由题意知函数()fx，()gx的定义域均为R，∵()ygx=的图象关于直线x＝2对称，则()()22gxgx−=+，∵()()25fxgx+−=，∴()()25fxgx−++=，∴()()fxfx−=，故()fx为偶函数

，由()()47gxfx−−=，得()()227gxfx−=−−+，代入()()25fxgx+−=，得()()22fxfx+−−=−，令1x=−，则()()112ff−+−=−，∴()11f−=−，则()11f=−，故

B正确，C错误；因为()()25fxgx+−=，令1x=−，则()()135fg−+=，即()36g=，A正确；由()()fxfx−=，故()()22fxfx−−=+，故由()()22fxfx+−−=−得()()22fxf

x++=−，∴()()242fxfx+++=−，故()()4fxfx+=．所以()fx是以4为周期的周期函数，由()24g=，()()25fxgx+−=，令0x=，则()()025fg+=，得()01f=，则()

()401ff==，又()()22fxfx++=−，令0x=得()()022ff+=−，得()23f=−，又()()()33411fff=−=−=−，故()()()()()()()()()2023150512341235051311131kfkfffffff==+

+++++=−−−+−−−=2025−，D正确．故选：ABD．三、填空题（每题5分，共20分）13．514．36,55−15．3365或636516．8516．【详解】如图：由A，M，D三点共线，可得存在实数t，使得

()()1112OMtOAtODtOAtOB=+−=+−，由B，M，C三点共线，可得存在实数m，使得()()1113OMmOBmOCmOBmOA=+−=+−，所以()()113112tmtm=−−=，解得2515mt

==，所以2155OMOBOA=+，因为E，M，F三点共线，所以存在实数x，使得()()11OMxOExOFxOAxOB=+−=+−，所以()21515xx=−=，所以12155+=，所以()121414822224255555

+=++=++++=≥，当且仅当45=，25=时，取等号．故答案为：85四、解答题（共70分，第17题10分，其余各12分）17．解：（Ⅰ）()2131033531743322248−−++−+

()()1132533353122224−−=+−+123233122222=+−+12331882+=+−+12=+3=（Ⅱ）原式ln923log3log2lg10091210e=−+=−+=．18．解：（Ⅰ）当22kxk+≤≤，kZ时，sin0x≥．∴()()2

3cossinsin3sincossinfxxxxxxx=+=+31cos21sin2sin22262xxx−=+=−+；（Ⅱ）()()44log0logfxafxa+−恒成立①当02x≤≤时，由（Ⅰ）知()1

sin262fxx=−+∵52666x−−≤≤，∴当262x−=即3x=时，()max32fx=；②当02x−≤时，()113sin216222fxx=−−−−≤．综上可知，()max32fx=．依题意得43log2a−，解得108a，即为所求

．19．解：（Ⅰ）法一：由角平分线定理∵AD平分角A，∴2CDACDBAB==，∴2CDDB=，∴2133ADABAC=+，∴222414999ADABACABAC=++，∴164144169999A

BAC=++，解得4ABAC=−；法二：由ABCABDACDSSS=+即：111sinsinsin22222BACBACABACBACABADACAD=+∴1cos12022BACBAC==∴cos4ABACABAC

BAC==−（Ⅱ）由1cos2ABACAABAC==−及0A，得23A=．如图，建立平面直角坐标系xAy，则()0,0A，()1,3B−，()4,0C．选①，则重心31,3P，31,3PA=−

−，232,3PB=−选②，由外心P在直线2x=上，可设()2,Py，由PAPB=，得()2222233yy+=+−，解得由PAPB=，得()2222233yy+=+−，解得433y

=，∴432,3P，432,3PA=−−，33,3PB=−−所以46113cos141612933PAPBAPBPAPB+===++．选③，由垂心

P在直线1x=−上，可设()1,Py−，则()1,PAy=−，()5,3BC=−，由PABC⊥，得530PABCy=+=，∴533y=−，∴531,3P−−，531,3PA=，830,3PB=所以40573cos142583133PAPBAPBPA

PB===+．20．解：（Ⅰ）由题意()()213332sincossinsincos12sin2222fxxxxxxx=+−=−−13sin2cos2sin2223xxx=−=−()51sin212

33212fAAAA=−=−==．又根据正弦定理2sinsinsinabcRABC===，有2sinaRA=，2sinbRB=，2sincRC=，由coscosaBbAR−=，有2sincos2sincosRABRBAR−=，得()1

sin2AB−=，因为A，0,2B，所以,22AB−−，∴64ABB−==．（Ⅱ）由（1）知，6AB=+，所以()526CABB=−+=−，因为020202ABC，即0620250262BBB

+−，所以,63B，则512sin22sin12sin1cos2sin262sin2sin2sin2si3nBRcRRCCBBbRBBBB−−−−−−−====22sin23sincossin3cos2sin

2sin3BBBBBBB−==−=−，,63B，有,036B−−，所以()2sin1,03B−−，所以Rcb−的取值范围为()1,0−．21．解：（Ⅰ）由题知，AD⊥AB，BC⊥AB，BC＝60，AD＝30，如图，作DE

⊥BC，垂足为E，则四边形ABED为矩形，所以BE＝30，CE＝45．设ABx=，CDE=，45BDE=−，则45tanx=，30tan4x−=24530tantan4tantan11350411ta

ntan4xxBDCx+−+=+−===−−−，解得90x=，所以两座高塔底部A，B之间的距离为90m．（Ⅱ）设AP＝t（0≤t≤60），则90BPt=−．所

以30tanDPAt=，75tan90BPCt=−，所以()()tantantanDPCDPABPCDPABPC=−−=−+23075tantan60904530751tantan902250190DPABPCtttDPABPCtttt+++−=−=−=−

−+−−设60tm+=（60≤m≤150），则60tm=−，所以()()2tan456090602250mDPCmm=−−−+454545211521125021125015022102102210mmmm+===−+−−≤，当且仅当11250mm=即752m=时，等号成立

．又因为在锐角范围内，tanDPC越大，DPC越大，所以当752m=时，DPC取得最大值，此时75260AP=−．所以在距离A处()75260−米处搭建，才能达到最佳的观赏效果．22．解：（Ⅰ）

当0x，且1x时，()1111111lnlnlnln011111xxxxfxfxxxxxxxxx+++++=−+−=−−−=−−−−∴()()()1112320230232023ffffff++++++

=（Ⅱ）函数()fx的定义域为()()0,11,D=+，()2ln11fxxx=−−−在()0,1和()1,+上单调递增，证明如下：设1x，2xD，则()()()()()121121212212222ln1ln1

ln1111xxxfxfxxxxxxxx−−=−−−−−=+−−−−①当1201xx时，112201ln0xxxx，()()()12122011xxxx−−−∴()()120fxfx−，于是()()12fxfx，∴()fx在()0,1上单调

递增；②当121xx时，同理可得()()12fxfx，∴()fx在()1,+上单调递增；（Ⅲ）由于()fx在()0,1上单调递增，且2221301efee−=−，1201fee=−，∴()fx在()0,1上有且仅有一个零点1x；由于()

fx在()1,+上单调递增，且()201fee=−，()222301efee−=−，∴()fx在()1,+上有且仅有一个零点2x．因此()fx有且仅有两个零点1x，2x．由（Ⅰ）知()1110fxfx+=，又∵()10fx=，∴110fx=

，∴11x是()fx在()1,+上的零点，∴212111xxxx==．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com