【文档说明】河南省郑州市九师联盟2023届高三下学期考前押题卷（老教材）数学（文）含解析.docx，共(14)页，723.843 KB，由小赞的店铺上传

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高三文科数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非

选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4.本试卷主要命题范围：高考范围。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共

60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知复数z满足𝑧=21−𝑖+𝑖,则|z|=A.1𝐵.√2C.√3D.√52.已知集合A={x|x²+2x-3≤0},B={y|y=x²+4x+3,x∈A},则A∩B=A.[-1,1]B.(-1,1)C.[-1,

1)D.(-1,1]3.已知𝑝:𝑥=𝜋2+𝑘𝜋(𝑘∈𝑍),𝑞:sin𝑥=1,则p是q的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知tanθ=2,则sin𝜃sin(3𝜋2+𝜃)

=A.35𝐵.12𝐶.−12𝐷.−255.水雾喷头布置的基本原则是：保护对象的水雾喷头数量应根据设计喷雾强度、保护面积和水雾喷头特性，按水雾喷头流量q(单位：L/min)计算公式为𝑞=𝐾√10𝑃和保护对象的水雾喷头数量N计算公式为𝑁=𝑆⋅𝑊𝑞计算确定，其中P为水雾喷头的工作

压力(单位：MPa)，K为水雾喷头的流量系数(其值由喷头制造商提供)，S为保护对象的保护面积，W为保护对象的设计喷雾强度(单位：L/min·m²).水雾喷头的布置应使水雾直接喷射和完全覆盖保护对象，如不能满足要求时应增加水雾喷头的数量.当水雾喷头的工作压力P为0.35MPa，水雾

喷头的流量系数K为24.96，保护对象的保护面积S为14m²，保护对象的设计喷雾强度W为20L/min·m²时，保护对象的水雾喷头的数量N约为(参考数据:√3.5≈1.87)A.4个B.5个C.6个D.7个6.执行如图所示的程序框图

，若输入的a，b，c分别为3，6，9，则输出的结果为A.3,6,9B.6,9,3C.9,6,3D.9,9,97.如图，某景区为方便游客，计划在两个山头M，N间架设一条索道.为测量M，N间的距离，施工单位测得以下数据：两个山头的海拔高度𝑀𝐶=100√3𝑚,𝑁𝐵=50√

2𝑚,，在BC同一水平面上选一点A，测得M点的仰角为60°，N点的人仰角为30°,以及∠MAN=45°,则M，N间的距离为𝐴.100√2𝑚B.120m𝐶.100√3𝑚D.200m8.已知抛物线E:𝑥²=4𝑦,圆C:𝑥²+(𝑦−3)²=1,P为E上一

点，Q为C上一点，则|PQ|的最小值为A.2𝐵.2√2−1C.2√2D.39.如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面边长和侧棱长均相等，∠BAA₁=∠CAA₁=60°,则异面直线AB₁与BC₁所成角的余弦值为𝐴.√66B.13𝐶.√24𝐷.√3210.已知F₁,F₂分别

为双曲线E:𝑥2𝑎2−𝑦2𝑏2=1(𝑎>0,𝑏>0)的左、右焦点，过𝐹₁的直线𝑙与𝐸的左、右两支分别交于𝐴，𝐵两点.若△𝐴𝐵𝐹₂是等边三角形，则双曲线E的离心率为A.2√3B.3C.√7D.√511.已知函数𝑓(𝑥)=sin

𝑥+cos𝑥sin𝑥cos𝑥+1,将𝑓(𝑥)的图象向右平移𝜋4个单位长度，得到𝑔(𝑥)的图象，则A.𝜋为𝑓(𝑥)的一个周期B.𝑓(𝑥)的值域为[-1,1]C.𝑔(𝑥)的图象关于直线𝑥=0对称D.曲线𝑦=𝑓(𝑥)在点(−𝜋4,𝑓(−𝜋

4))处的切线斜率为√2212.设𝑎=2ln2,𝑏=𝑒24−ln4,𝑐=2√𝑒,则A.𝑎>𝑏>𝑐B.𝑐>𝑏>𝑎C.𝑎>𝑐>𝑏D.𝑐>𝑎>𝑏二、填空题：本题共4小题，每

小题5分，共20分。13.已知实数𝑥,𝑦满足{𝑥+2𝑦≥1,𝑥−𝑦≤1,𝑦−2≤0,则𝑧=𝑥−2𝑦的最大值为.14.已知平面向量𝑎，𝑏满足|𝑎|=√10,|𝑏|=2,且(2𝑎

+𝑏)·(𝑎−𝑏)=14,则|𝑎+𝑏|=.15.已知圆C:(𝑥−1)²+𝑦²=1与圆E:𝑥2+(𝑦−√3)2=1,写出圆C和圆E的一条公切线的方程.16.如图,在正四棱锥P-ABCD框架内放一个球O,球O与侧棱PA,PB,PC,PD均相切.若∠APB=𝜋3,且OP=2,则球O

的表面积为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。(一)必考题:共60分。17.(本小题满分12分)无论是国际形势还是国内消费状况，2023年都是充满挑战的一年，为应对复杂的

经济形势，各地均出台了促进经济发展的各项政策，积极应对当前的经济形势，取得了较好的效果.某市零售行业为促进消费，开展了新一轮的让利促销的活动，活动之初，利用各种媒体进行大量的广告宣传.为了解大众传媒对本次促销活动的影响，在

本市内随机抽取了6个大型零售卖场，得到其宣传费用x(单位：万元)和销售额y(单位：万元)的数据如下：卖场123456宣传费用2356812销售额303440455060(1)求y关于x的线性回归方程，

并预测当宣传费用至少多少万元时(结果取整数)，销售额能突破100万元;(2)经济活动中，人们往往关注投入和产出比，在这次促销活动中，设销售额与投入的宣传费用的比为λ，若λ≥9，则称这次宣传策划是高效的，否则为非高效的.从这6家卖场中随机抽取3家，求这3家

卖场中至少有1家宣传策划高效的概率.附：参考数据∑𝑥𝑖𝑦𝑖=1752𝑛𝑖=1,回归直线方程𝑦̂=â+𝑏̂𝑥中𝑏̂和â的最小二乘法的估计公式分别为：b=∑𝑥𝑖𝑦𝑖−𝑛𝑥⃗⋅𝑦⃗⃗𝑛𝑖=1∑𝑥𝑖2−𝑛𝑥⃗2𝑛𝑖=1,â=𝑦⃗−𝑏̂𝑥⃗.1

8.(本小题满分12分)已知等比数列{𝑎𝑛}的公比𝑞>1，若𝑎₂+𝑎₃+𝑎₄=14,且𝑎₂,𝑎₃+1,𝑎₄分别是等差数列{𝑏𝑛}的第1，3，5项.(1)求数列{𝑎𝑛}和{𝑏𝑛}的通项公式;(2)若𝑐𝑛=2𝑎𝑛(𝑎𝑛+1−1)(𝑎𝑛+

2−1)+𝑏𝑛𝑎𝑛,求数列{𝑐𝑛}的前n项和𝑆𝑛.19.(本小题满分12分)如图,在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中,E为CC₁上一点,AB=CE=2,AA₁=3,D为BB₁上一点,三棱锥D-A

₁B₁C₁的体积为2√33.(1)求证:平面A₁DE⊥平面ABB₁A₁;(2)求点E到平面A₁C₁D的距离.20.(本小题满分12分)已知椭圆𝐸:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)的离心率为√22,直线𝑙:𝑦=𝑘₁𝑥(𝑘₁≠0)与E交于A，B两

点，当𝑙为双曲线𝑥2𝑎2−𝑦2=1的一条渐近线时，A到y轴的距离为2√63.(1)求E的方程;(2)若过B作x轴的垂线，垂足为H，OH的中点为N(O为坐标原点)，连接AN并延长交E于点P，直线PB的斜率为k₂，求|𝑘₁−𝑘₂|的最小值.21.(本小题满分12分)已知函数𝑓(𝑥)=

2ln𝑥+𝑎𝑥(𝑎∈𝑅).(1)若𝑓(𝑥)有两个不同的零点，求𝑎的取值范围；(2)若函数𝑔(𝑥)=𝑥2𝑓(𝑥)−𝑎𝑥2−𝑥有两个不同的极值点𝑥₁,𝑥₂(𝑥₁<𝑥₂)证明：𝑙𝑛𝑥₁+2𝑙𝑛𝑥₂>3.(二)选考题：共10分

。请考生在第22、23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，直线𝑙的参数方程为{𝑥=1+12𝑡,𝑦=√32𝑡(𝑡为参数)，以𝑂为极点，x轴的正半轴

为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为𝜌sin2𝜃2=1.(1)求𝐶的直角坐标方程以及𝐶与𝑦轴交点的极坐标；(2)若直线𝑙与𝐶交于点𝐴，𝐵，与𝑥轴交于点𝑃，求1|𝑃𝐴|+1|𝑃𝐵|的值.23.(本小题满分10

分)选修4-5：不等式选讲已知关于𝑥的不等式|𝑥²+𝑎𝑥+𝑏|≤2|𝑥−4|·|𝑥+2|对任意实数𝑥恒成立.(1)求满足条件的实数𝑎，𝑏的所有值；(2)若𝑥²+𝑎𝑥+𝑏≥(𝑚+2)𝑥−𝑚−15对𝑥>1恒成立,求实数𝑚的取值范围.高三文科数学综合参考答案

、提示及评分细则1.D𝑧=21−𝑖+𝑖=2(1+𝑖)(1−𝑖)(1+𝑖)+𝑖=1+𝑖+𝑖=1+2𝑖所以|𝑧|=√12+22=√5.故选D.2.A由𝑥²+2𝑥−3≤0,得−3≤𝑥≤1,所以A=[-3,1],因为𝑦

=(𝑥+2)²−1,且𝑥∈[-3,1],所以-1≤𝑦≤8,所以B=[-1,8],所以A∩B=[-1,1].故选A.3.B若𝑥=𝜋2+𝑘𝜋(𝑘∈𝑍)则sin𝑥=1,或sin𝑥=-1,故由p得不到q;若si

n𝑥=1,则𝑥=𝜋2+2𝑘𝜋(𝑘∈𝑍),所以由q可以推出p，故p是q的必要不充分条件.故选B.4.Dsin𝜃sin(3𝜋2+𝜃)=−sin𝜃cos𝜃=−sin𝜃cos𝜃sin2𝜃+cos2𝜃=−t

an𝜃tan2𝜃+1=−25故选D.5.C由题意知，保护对象的水雾喷头的数量约为𝑁=𝑆𝑊𝑞=𝑆𝑊𝐾√10𝑃=14×2024.96×√10×0.35≈28024.96×1.87≈5.

9989≈6.故选C.6.C该程序框图的功能是将输入的3个数字按从大到小的顺序排序.故选C.7.A由题意知∠MAC=60°,∠NAB=30°,MC=100√3m,NB=50√2m,∠MAN=45°,∠MCA=∠NBA=90°

,所以AM=200m,AN=100√2m,在△AMN中，由余弦定理得MN²=AM²+AN²-2AM·ANcos∠MAN=20000,所以𝑀𝑁=100√2𝑚.故选A.8.B由题意知C(0,3),设P(x₀,y₀),则𝑥02=4𝑦0,|𝑃𝐶|=

√𝑥02+(𝑦0−3)2=√𝑦02−2𝑦0+9=√(𝑦0−1)2+8所以当y₀=1时,|𝑃𝐶|min=2√2,所以|𝑃𝑄|min=2√2−1.故选B.9.A将三棱柱ABC-A₁B₁C₁补成一个四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁(如图所示),则∠B₁AD₁即为所求的角或其补角.设三棱

柱底面边长和侧棱长均为1.在△AB₁D₁中,𝐴𝐵1=√3,𝐵1𝐷1=√3,𝐴𝐷1=√2,cos∠𝐵1𝐴𝐷1=𝐴𝐵12+𝐴𝐷12−𝐵1𝐷122𝐴𝐵1⋅𝐴𝐷1=3+2−32×√3×

√2=√66.故选A.10.C由双曲线的定义,得|AF₂|-|AF₁|=2a,|BF₁|-|BF₂|=2a,又|AF₂|=|AB|=|BF₂|,所以|AF₁|=2a,|BF₁|=6a,|BF₂|=4a,在△BF₁F₂中,|𝐹1𝐹2|2=|𝐵𝐹1|2+

|𝐵𝐹2|2−2|𝐵𝐹1|⋅|𝐵𝐹2|cos𝜋3,即4c²=36a²+16𝑎2−2×6𝑎×4𝑎×12=28𝑎2,所以𝑐2𝑎2=7,即e²=7,所以𝑒=√7.故选C.11.B对于A𝑓(𝑥+𝜋)=−sin𝑥−cos𝑥sin𝑥cos𝑥+1=−𝑓(𝑥)故π不是

f(x)的周期,故A错误;对于B,令t=sinx+cosx,则t=√2sin(𝑥+𝜋4)∈[−√2,√2],且sin𝑥cos𝑥=𝑡2−12,所以原函数变为𝑦=2𝑡𝑡2+1,当t=0时,y=0,当t≠0时,1𝑦=12(𝑡+1�

�),又|𝑡+1𝑡|≥2,所以1𝑦≤−1,或1𝑦≥1,所以-1≤y<0,或0为[-1,1],故B正确;对于𝑔(𝑥)=sin(𝑥−𝜋4)+cos(𝑥−𝜋4)sin(𝑥−𝜋4)cos(𝑥−𝜋4)+1=√2sin𝑥1−12cos2𝑥易得g(-x)=-g(

x),g(-x)-g(x)=-2g(x)≠0,故g(x)为奇函数,不是偶函数,所以g(x)的图象关于直线x=0不对称,故C错误;对于D,𝑓′(𝑥)=sin𝑥cos𝑥(sin𝑥−cos𝑥)(sin𝑥cos𝑥+1)2,所以𝑓′(−𝜋4)=2√2,故D错误.故选

B.12.D设𝑓(𝑥)=𝑥ln𝑥(𝑥⟩1),则𝑓′(𝑥)=ln𝑥−1(ln𝑥)2,令f'(x)<0,得1(1，e)上单调递减；在区间(e，+∞)上单调递增，又=𝑓(2)=2ln2=4ln4=𝑓(4),𝑏=𝑒24−ln4=𝑒22ln�

�22=𝑓(2),𝑐=2√𝑒=√𝑒ln√𝑒=𝑓(√𝑒),且1<√𝑒<2<𝑒<𝑒22<4,所以𝑓(√𝑒)>𝑓(2)=𝑓(4)>𝑓(𝑒22),即c>a>b.故选D.13.1画出可行域(如图所示阴影部分)，

移动直线x-2y-z=0，当直线经过点A时，z最大，易求点A的坐标为(1，0)，故𝑧𝑚𝑎𝑥=1.14.3√2由(2a+b)·(a-b)=2a²-a·b-b²=20-a·b-4=14,得a·b=2,所以|𝑎+𝑏|=√(𝑎+�

�)2=√𝑎2+2𝑎⋅𝑏+𝑏2=√10+4+4=3√2.15.𝑥−√3𝑦+1=0,或√3𝑥+𝑦−√3+2=0,或√3𝑥+𝑦−√3−2=0写出一个即可得分)由题意，得圆C与圆E相外切，且C(1,0),E(0,√3),则𝑘𝐶𝐸=−√3,过CE中点且与CE垂直的直

线是两圆的内公切线，其方程为𝑦−√32=√33(𝑥−12),即内公切线方程为𝑥−√3𝑦+1=0;又圆C与圆E半径相等，故外公切线与CE平行，所以圆C与圆E的外公切线的方程可设为𝑦=−√3𝑥+𝑏,即√3𝑥+𝑦−𝑏=0,则|√

3×1+0−𝑏|2=1,所以𝑏=√3+2或𝑏=√3−2,所以两条外公切线的方程为√3𝑥+𝑦−√3+2=0,或√3𝑥+𝑦−√3−2=0.16.8π连接AC,BD,由题意得PA=PB=PC=PD=AB=BC=CD=DA,又𝐴𝐶=𝐵𝐷=√2𝐴𝐵,所以∠�

�𝑃𝐶=𝜋2,设球O与PA,PC的切点分别为E,F,连接OE,OF,因为OE=OF,所以∠𝑂𝑃𝐸=∠𝑂𝑃𝐹=𝜋4所以𝑂𝐸=𝑂𝑃sin𝜋4=2×√22=√2.即球O的半径𝑅=√2,所以球O的表面积𝑆=4𝜋𝑅2=4𝜋×(√2)2

=8𝜋.17.解:(1)𝑥=2+3+5+6+8+126=6,𝑦=30+34+40+45+50+606=2596,…………………………2分∑⬚𝑖=16𝑥𝑖2=22+32+52+62+82+12

2=282,……………………………………3分所以𝑏̂=∑⬚𝑖=16𝑥𝑖𝑦𝑖−6𝑥⋅𝑦∑⬚𝑖=16𝑥𝑖2−6𝑥⃗2=1752−6×6×2596282−6×62=19866=3,â=𝑦̅−𝑏̂𝑥̅=2596−3×6

=1516,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分所以𝑦̂=3𝑥+1516.……………………………………………………………6分令3𝑥+1516=100,解得𝑥=44918=24.94(万元).故当宣传费用至少为25万元时,销售额能突破1

00万元……………………………………………7分(2)由题意知宣传策划是高效的仅有2家，记作a，b，余下的记作A，B，C，D.所以从中取出3家,基本事件有:abA,abB,abC,abD,aAB,aAC,aAD,aBC,aBD,aCD,bAB,bAC,bAD,bBC,bBD,bCD,AB

C,ABD,ACD,BCD,共20个,……………………………………………9分其中至少含有1家宣传策划是高效的有:abA,abB,abC,abD,aAB,aAC,aAD,aBC,aBD,aCD,bAB,bAC,bAD,bBC,bBD,bCD,共16个,……………

………………………………………………………………………………………11分故所求概率𝑃=1620=45.…………………………………………………………………………………12分18.解:(1)因为a₂,a₃+1,a₄分别是等差数列{bn}的第1,3,5项,所以2(

a₃+1)=a₂+a₄,……………………………………………………………………………………1分又a₂+a₃+a₄=14,所以a₃=4,且a₂+a₄=10,即a₁q²=4,a₁q(1+q²)=10,……………………………………………

……………………………2分所以可（舍），所以𝑎ₙ=2ⁿ⁻¹.………………………………………………………………3分{𝑞=2,𝑎1=1{𝑞=12𝑎1=16又b₁=a₂=2,b₃=a₃+1=5,故{𝑏𝑛}的公差𝑑=𝑏3−�

�13−1=32,所以𝑏𝑛=2+32(𝑛−1)=3𝑛+12.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分(2)由(1)知𝑐𝑛=2𝑛(2𝑛−1)(2𝑛+1−1)+3𝑛+12𝑛,令𝑑𝑛=2𝑛(2𝑛−1)(2

𝑛+1−1),𝑒𝑛=3𝑛+12𝑛,设数列{𝑑𝑛}的前n项和为𝐴𝑛,数列{𝑒𝑛}的前n项和为𝐵𝑛,则𝑆ₙ=𝐴ₙ+𝐵ₙ,……………………………………………………………………………………………5分因为𝑑𝑛

=2𝑛(2𝑛−1)(2𝑛+1−1)=12𝑛−1−12𝑛+1−1,……………………………………………………………6分所以𝐴𝑛=(12−1−122−1)+(122−1−123−1)+⋯+(12𝑛−1−12𝑛+1−1)=1−12𝑛+1−1……………………………

……………………………………………………8分因为𝐵𝑛=421+722+1023+⋯+3𝑛−22𝑛−1+3𝑛+12𝑛,所以12𝐵𝑛=422+723+1024+⋯+3𝑛−22𝑛+3𝑛+12𝑛+1,两式相减，得

12𝐵𝑛=2+322+323+⋯+32𝑛−1+32𝑛−3𝑛+12𝑛+1=2+3×122[1−(12)𝑛−1]1−12−3𝑛+12𝑛+1=72−3𝑛+72𝑛+1,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分所以𝐵𝑛=7−3𝑛+72𝑛,……………………………

………………………………………………………11分所以𝑆𝑛=1−12𝑛+1−1+7−3𝑛+72𝑛=8−12𝑛+1−1−3𝑛+72𝑛.…………………………………………12分19.(1)证明:分别取AB,A₁D的中点

O,F,连接CO,FO,EF,则CO⊥AB,CO⊥AA₁,OF∥AA₁∥BD,且𝑂𝐹=𝐴𝐴1+𝐵𝐷2,……………………………………………………2分因为三棱锥D-A₁B₁C₁的体积为2√33,所以13𝑆𝐴1𝐵1𝐶1⋅𝐵1�

�=2√33,即13×12×2×2×sin𝜋3⋅𝐵1𝐷=2√33,解得B₁D=2,所以BD=1……………………………………………………3分所以OF=2,又OF∥AA₁∥CE,CE=2,所以OF∥CE,且OF=CE,所以

四边形CEFO为平行四边形,所以EF∥CO,所以EF⊥AB,EF⊥AA₁,……………………………………………………………4分又AA₁∩AB=A,AA₁,AB⊂平面ABB₁A₁,所以EF⊥平面ABB₁A₁,因为EF⊂平面A₁

DE,所以平面A₁DE⊥平面ABB₁A₁…………………………………………………………………6分(2)解：由题意得𝐷𝐴1=𝐷𝐶1=2√2,点D到平面A₁C₁E的距离为√3…………………7分所以𝑉菱形�

�1𝐶1𝐸=13×12×2×1×√3=√33,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分又A₁C₁=2,所以𝑆𝐷𝐴1𝐶1=12×2×√(2√2)2−1=√7,…………………………9分设点E到平面A₁C₁D的距离为d则𝑉三棱锥𝐸𝐴1𝐶1𝐷=13

×√7𝑑=√73𝑑,…………10分所以√73𝑑=√33,所以𝑑=√217,即点E到平面A₁C₁D的距离为√217.⋯⋯⋯⋯12分20.解:(1)设E的半焦距为c,则𝑐𝑎=√22,所以𝑎2−𝑏2𝑎2=12,所以𝑎=√2𝑏.)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

⋯⋯⋯⋯1分不妨设𝑙:𝑦=1𝑎𝑥,与𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1联立，得|𝑥|=𝑎𝑏√𝑏2+1.由题意得|𝑥|=𝑎𝑏√𝑏2+1=2√63②……………………………………………………3分①②联立并解得b²=2,a²=4,故E的方程为𝑥24+𝑦22=1.……………………

………5分(2)设A(x₁,y₁),P(x₂,y₂),则𝐵(−𝑥1,−𝑦1),𝐻(−𝑥1,0),𝑁(−𝑥12,0),所以直线AP的斜率𝑘=𝑦1−0𝑥1−(−𝑥12)=2𝑦13𝑥1=23𝑘1,⋯⋯⋯⋯⋯⋯

⋯⋯⋯⋯⋯6分1)𝑥2+直线AP的方程为𝑦=𝑘(𝑥+𝑥12),代入𝑥24+𝑦22=1,得(2𝑘2+2𝑘2𝑥1𝑥+12𝑘2𝑥12−4=0.所以𝑥1+𝑥2=−2𝑘2𝑥12𝑘2+1,………………………………………………………………………………

………8分𝑦1+𝑦2=𝑘(𝑥1+𝑥12)+𝑘(𝑥2+𝑥12)=𝑘(𝑥1+𝑥2+𝑥1)=𝑘𝑥12𝑘2+1,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9分所以𝑘2=𝑦2+𝑦1𝑥2+𝑥1=𝑘𝑥12𝑘2+1−2𝑘2𝑥12𝑘2

+1=−12𝑘=−12×23𝑘1=−34𝑘1,……………………………………………………10分所以|𝑘1−𝑘2|=|𝑘1+34𝑘1|=|𝑘1|+34|𝑘1|≥2√|𝑘1|×34|𝑘1|=√3,当且仅当|𝑘1|=34|𝑘1|,即𝑘1=±√

32时等号成立，所以当𝑘1=±√32时,|k₁-k₂|取得最小值,且最小值为√3………………………………………12分21.(1)解:f(x)的定义域为(0,+∞),且𝑓′(𝑥)=2𝑥−𝑎𝑥2=2𝑥−𝑎𝑥2.⋯

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯1分当𝑎≤0时,𝑓′(𝑥)>0,所以𝑓(𝑥)在(0,+∞)上单调递增,f(x)最多有一个零点,不合题意,舍去;……………2分当𝑎>0时,当0<𝑥<𝑎2时,𝑓′(𝑥)<0,当𝑥>𝑎2时,𝑓′(𝑥)

>0,所以𝑓(𝑥)在(0,𝑎2)上单调递减，在(𝑎2,+∞)上单调递增…………………………………………………………………………………………3分因为f(x)有两个不同的零点，则𝑓(𝑥)min=𝑓(𝑎2)=

2ln𝑎2+2<0解得0<𝑎<2𝑒.………………4分当0<𝑎<2𝑒时,𝑓(𝑎2)<0,𝑓(𝑒)=2+𝑎𝑒>0,所以𝑓(𝑥)在(𝑎2,𝑒)上存在唯一零点；当0<𝑎<2𝑒时，取正整数𝑛>2，则0<𝑎𝑛<𝑎2

,𝑓(𝑥)=2𝑥ln𝑥+𝑎𝑥>0𝑥ln𝑥>−𝑎2,而𝑎𝑛>−𝑎2ln𝑎𝑛>−𝑛2𝑎𝑛>−𝑎2>𝑛2𝑒𝑛2当𝑥>1时易证𝑒ˣ>𝑥²,又𝑛2>1,所以𝑒𝑛2>(𝑛2)2,于是𝑛

2𝑒𝑛2<𝑛2(𝑛2)2=2𝑛,要使𝑎2>𝑛2𝑒𝑛2,只需𝑎2>2𝑛,即𝑛>4𝑎.这样，当0<𝑎<2𝑒时，只需取正整数𝑛>4𝑎,则𝑓(𝑎𝑛)>0.又𝑓(𝑎2

)<0,所以f(x)在(0,𝑎2)内存在唯一零点.综上，实数a的取值范围为(0,2𝑒).……………………………………………6分(2)证明:𝑔(𝑥)=𝑥2𝑓(𝑥)−𝑎𝑥2−𝑥=𝑥ln𝑥−𝑎𝑥2−𝑥+𝑎2.则𝑔′(𝑥)=𝑙𝑛𝑥−2𝑎𝑥,因为�

�(𝑥)有两个不同的极值点𝑥₁,𝑥₂(𝑥₁<𝑥₂)则𝑙𝑛𝑥₁=2𝑎𝑥₁,𝑙𝑛𝑥₂=2𝑎𝑥₂,要证𝑙𝑛𝑥₁+2𝑙𝑛𝑥₂>3,只要证3<2𝑎𝑥₁+4𝑎𝑥₂=2𝑎(𝑥₁+2𝑥₂),因为

0<𝑥₁<𝑥₂所以只要证2𝑎>3𝑥1+2𝑥2.…………………………………………………8分又由lnx₁=2ax₁,lnx₂=2ax₂,作差得ln𝑥1𝑥2=2𝑎(𝑥1−𝑥2),所以2𝑎=ln𝑥1𝑥2𝑥1−𝑥2,所以原不等式等价于ln�

�1𝑥2𝑥1−𝑥2>3𝑥1+2𝑥2,即ln𝑥1𝑥2<3(𝑥1−𝑥2)𝑥1+2𝑥2=3(𝑥1𝑥2−1)𝑥1𝑥2+2.令𝑡=𝑥1𝑥2,𝑡∈(0,1),只需证明ln𝑡<3(𝑡−1)𝑡+2.………………………………………10分令ℎ(𝑡)=ln𝑡−3(

𝑡−1)𝑡+2,𝑡∈(0,1),则ℎ′(𝑡)=1𝑡−9(𝑡+2)2=𝑡2−5𝑡+4𝑡(𝑡+2)2=(𝑡−1)(𝑡−4)𝑡(𝑡+2)2>0,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11分所以ℎ(𝑡)在(0,1)上单调递增,ℎ(𝑡)<ℎ

(𝑙)即ln𝑡<3(𝑡−1)𝑡+2.所以𝑙𝑛𝑥₁+2𝑙𝑛𝑥₂>3…………………………………………………………………………………12分22.解:(1)由𝜌sin2𝜃2=1,得𝜌⋅1−cos𝜃2=1,即

𝜌−𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃=2.(…………………………………………1分又𝜌=√𝑥2+𝑦2,𝑥=𝜌cos𝜃,所以√𝑥2+𝑦2−𝑥=2,………………………………………………2分化简，得y²=4x+4,即C的直角坐标方程为y²=4x+4.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

3分其与y轴交点的直角坐标为(0,2)和(0,-2),……………………………………………………………4分对应的极坐标分别为(2,𝜋2),(2,3𝜋2).(答案不唯一,符合即可得分)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯

⋯5分(2)易知点P的直角坐标为(1，0)，将直线𝑙的参数方程代入C的直角坐标方程，得3t²-8t-32=0,6分显然Δ=(-8)²-4×3×(-32)=448>0,…………………………………………………………………7分设点A，B对应的参

数分别为t₁，t₂，则𝑡1+𝑡2=83,𝑡1𝑡2=−323,显然𝑡₁,𝑡₂一正一负,………………………………………………………………………………………8分所以1|𝑃𝐴|+1|𝑃𝐵|=1|𝑡1|+1|𝑡2|=|𝑡1|+|𝑡2||𝑡1𝑡2|=|𝑡

1−𝑡2||𝑡1𝑡2|=√(𝑡1+𝑡2)2−4𝑡1𝑡2|𝑡1𝑡2|=√(83)2−4×(−323)323=√74.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分23.解:(1)当𝑥=4时,不等式化为|16+4𝑎+𝑏|≤0,而|16

+4𝑎+𝑏|≥0,所以|16+4𝑎+𝑏|=0,①………………………………………………………………………………………2分当𝑥=-2时,同理可得|4−2𝑎+𝑏|=0,②……………………………………………………………………3分联立①和②,解得𝑎=−2,𝑏=−8………………………………

……………………………………………4分而𝑎=−2,𝑏=−8时,原不等式为|𝑥²−2𝑥−8|≤2|𝑥²−2𝑥−8|,显然恒成立,所以𝑎=−2,𝑏=−8………………………………………………………………………5分(2)由(1)知𝑥

²−2𝑥−8≥(𝑚+2)𝑥−𝑚−15,所以(𝑥−1)𝑚≤𝑥2−4𝑥+7,…………………………………………………6分因为𝑥>1,所以𝑥−1>0,所以𝑚≤𝑥2−4𝑥+7𝑥−1在(1,+∞)

上恒成立.令𝑦=𝑥2−4𝑥+7𝑥−1（𝑥>1),则:𝑚≤𝑦𝑚𝑖𝑛………………………………………………………7分因为𝑦=𝑥2−4𝑥+7𝑥−1=𝑥−1+4𝑥−1−2≥2√(𝑥−1

)⋅4𝑥−1−2=2,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分当且仅当𝑥−1=4𝑥−1,即𝑥=3时等号成立，所以𝑦ₘᵢₙ=2,……………………………………………9分所以𝑚≤2,即实数𝑚的取值范围为(-∞,2].…………………………………………………………10分获得更

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