【文档说明】湖南省邵阳市邵东市第一中学2022-2023学年高一下学期4月期中考试数学试题 含答案.docx，共(22)页，1.195 MB，由小赞的店铺上传

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邵东一中2023年高一下学期期中考试（数学）一、单选题（每小题5分）1．已知集合16,{Z36}MxxNxx==∣∣，则MN=（）A．3,4B．4C．4,5,6D．4,52．()32iiz+=，则z的虚部为（）A．2i5B

．2i5−C．25D．25−3．如图所示，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若ABmAM=，(,0)ACnANmn=，则14mn+的最小值为（）A．2B．3C．92

D．54．在ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若ABC的面积是()22234bca+−，则A=（）A．π3B．2π3C．π6D．5π65．若0a，0b，且()()111ab−−=，28ab+的最小值为

（）A．12B．14C．16D．186．已知1tan2a=，则()()sinπcosππ3πcossin22aaaa++−=−+−（）A．13−B．13C．3−D．37．“阿基米德多面体”这称为半正多面体（semi-regul

arsolid），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知322AB=，则该半

正多面体外接球的表面积为（）A．18πB．16πC．14πD．12π8．已知函数()()22log2,2021,0xxfxxxx+−=−+，若函数2()[(())](1)(())gxffxaffxa=−++

(R)a恰有8个不同零点，则实数a的取值范围是（）A．(0,1)B．[0,1)C．1(0,)4D．(0,2)二、多选题（每小题5分）9．下列正确的是（）A．sin158cos48cos22sin481+=

B．sin20cos110cos160sin701+=C．1tan1531tan15+=−D．3sin14cos74cos14sin742−=−oooo10．已知正数x，y满足2xy+=，则下列说法错误的是（）

A．xy的最大值为1B．22xy+的最大值为2C．xy+的最小值为2D．211xy+的最大值为111．如图，在直三棱柱111ABCABC-中，12AA=，1ABBC==，120ABC=，侧面11AACC的对角线交点O，

点E是侧棱1BB上的一个动点，下列结论正确的是（）A．直三棱柱的侧面积是423+B．直三棱柱的外接球表面积是8C．三棱锥1EAAO−的体积与点E的位置有关D．1AEEC+的最小值为2212．已知定义在R上的函数()fx不恒等于零，()0fπ=，且对任意的,xy

∈R，有(2)(2)()()fxfyfxyfxy+=+−，则（）A．(0)2f=B．()fx是偶函数C．()fx的图象关于点(π,0)中心对称D．2π是()fx的一个周期三、填空题（每小题5分，16题第一问2分，第二问3分）13．

已知Cz，且i3z+=，i为虚数单位，则33iz−−的最大值是__．14．在ABC中，cmax=，2cmb=，45B=，若用正弦定理解此三角形时有两个解，则x的取值范围是__．15．如图，在OAB中，P为线段AB上一点

，则OPxOAyOB=+，若3APPB=，||4OA=，||2OB=uuur，且OA与OB的夹角为60，则OPAB的值为_______.16．已知函数()()sinfxx=+（0，R）在区间75,126ππ

上单调，且满足74π12π3ff=−.（1）若()56πfxfx−=，则函数()fx的最小正周期为______.（2）若函数()fx在区间213,36ππ上恰有5个零点，则的取值

范围为______.四、解答题（17题10分，18-22每题12分）17．函数()ππsin0,0,32fxAxA−=+的部分图象如图所示．(1)求函数()fx的解析式；(2)若函数()223gxfxa=−在区间π7π,21

2−上恰有3个零点，求a的取值范围．18．已知a，b，c是同一平面内的三个不同向量，其中()1,2a=r.(1)若25c=r，且ac∥，求c；(2)若2b=，且()20kabakbk−=

+，求ab的最小值，并求出此时a与b夹角的余弦值.19.已知圆锥的底面半径6R=，高8h=（1）求圆锥的表面积和体积（2）如图若圆柱OO内接于该圆锥，试求圆柱侧面积的最大值20．记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2112sin22Cabc

−−=.(1)求B；(2)若6b=，求ABC周长的取值范围.21．某手机企业计划将某项新技术应用到手机生产中去，为了研究市场的反应，该企业计划用一年时间进行试产、试销．通过市场分析发现，生产此款手机全年需投入固定成本280万元，每生产x千部手机，需另投入成本()Cx万元

，且()210200,050,?100008019450,50.xxxCxxxx+=+−假设每部手机售价定为0.8万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．(1)求出全年的利润()Wx（万元）关于年产量x（千部）

的函数关系式（利润＝销售额－成本）；(2)当全年产量为多少千部时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？22．定义在R上的函数()fx满足：对任意给定的非零实数1x，存在唯一的非零实数()212xxx，()()12fxfx=成立，则称函数()

fx是“v型函数”．已知函数()22()22fxxaax=−+++，2()||gxaxaa=++，aR．(1)若()fx在区间0,2上是单调函数，求实数a的取值范围；(2)设函数()()(),0,,0,fxxhxgxx=是“v型函数”，若方程()()30hxtxt=+存在两

个不相等的实数()1212,xxxx，求()121211xxxx+−的取值范围．参考答案：1．D【分析】根据整数集的性质，结合集合交集的运算定义进行求解即可.【详解】因为4,5,16NMxx==∣，所以4,5MN=.故选：D2．D【分析】使用复数的除法运算解决

。【详解】()()()3i2iii12i2i2i2i2i55z−−−====−−+++−，虚部为-25，故选：D3．C【分析】根据向量基本定理及向量共线定理的推论得到122mn+=，再利用基本不等式求出最小值.【

详解】若,,CDE三点共线，FCFDFE=+，则1+=，理由如下：因为,,CDE三点共线，则有CDxDE=，即()FDFCxFEFD−=−，即()1FCxFDxFE=+−，故1,xx=+=−，故1+=，其中1()2AOABAC=+22mnAMAN=+，M、O、N三点共线，1

22mn+=，14145259()()2222222mnnmmnmnmn+=++=+++=，当且仅当22nmmn=，即423nm==时，等号成立．故选：C．4．A【分析】根据正余弦定理及面积公式化简计算即可.【详解】由余弦定理可得：()2222cos,0,πbcabcAA+−=由条件及正弦定

理可得：()222313sincos242bcaSbcAbcA+−===，所以tan3A=，则π3A=．故选：A5．D【分析】由()()111ab−−=，可得111ab+=，后由基本不等式可得答案.【详解】()()111ab−−=，111

11ababab−−+=+=，于是()11828228281010218babaababababab+=++=++=+，当且仅当82baab=，即33,2ab==时取等号.故选：D6．D【分析】对所求式子利用诱导公式进行化简，再利用

弦化切即可求解.【详解】1tan,cos02=，则()()11sinπcosπsincostan1231π3πsincos1tan1cossin222+++−−−+====−−−−+−

，故选：D.7．A【分析】根据正方体的对称性可知：该半正多面体外接球的球心为正方体的中心O，进而可求球的半径和表面积.【详解】如图，在正方体1111FEFGEGHH−中，取正方体、正方形1111EFGH的中心O、1O，连接1111,,,EGOOOAOA，∵,AB分别为1111,EH

HG的中点，则11232EGAB==，∴正方体的边长为3EF=，故1132OOOA==，可得2211322OAOOOA=+=，根据对称性可知：点O到该半正多面体的顶点的距离相等，则该半正多面体外接球的球心为O，半径322ROA==，故该半正多面体外接球的表面积为22324π

4π18π2SR===.故选：A.8．A【分析】利用十字相乘法进行因式分解，然后利用换元法()tfx=，作出()fx的图象，利用数形结合判断根的个数即可.【详解】由2()(())(1)(())0gxffxaffxa=−++=，得()()()()10ffxffxa−−

=，解得()()1ffx=或()()ffxa=，作出()fx的图象如图，则若()1fx=，则0x=或2x=，设()tfx=，由()()1ffx=得()1ft=，此时0=t或2t=，当0=t时，()0fxt==，有两根，当2t=时，()2fxt==，有一个根，则必须有()()ffxa=，1a

有5个根，设()tfx=，由()()ffxa=得()fta=，若0a=，由()0fta==，得1t=−或1t=，()1fx=−有一个根，()1fx=有两个根，此时有3个根，不满足题意；若1a，由()fta=，得2t，()fxt=有一个根，不满足条件.若a<0，由()fta

=，得21t−−，()fxt=有一个根，不满足条件；若01a，由()fta=，得110t−或201t或312t，当110t−，()1fxt=有一个根，当201t时，()2fxt=有3个根，当312t时，()3fxt=有一个根，此

时共有5个根，满足题意.所以实数a的取值范围为()0,1.故选：A.【点睛】方法点睛：已知函数零点(方程根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数

形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数()(),ygxyhx==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为(),yaygx==的交点个数的图象的交点个数问题．9．CD【分析】利用三角函数的

诱导公式及两角和与差的三角函数公式的逆应用，逐一计算四个选项是否正确即得结果.【详解】对于A，因为sin158cos48cos22sin48sin22cos48cos22sin48+=+所以()sin1

58cos48cos22sin48sin2248sin701+=+=，故A错误；对于B，()()sin20cos110cos160sin70sin20cos70cos20sin70+=−+−，()sin20cos110cos160sin70sin20701+=−+=

−，故B错误；对于C，()1tan15tan45tan15tan4515tan6031tan151tan45tan15++==+==−−，故C正确；对于D，()3sin14cos74cos14sin74sin1474sin602−=−=−

=−ooooooo故D正确.故选：CD.10．BC【分析】根据基本不等式逐一分析判断即可得解.【详解】因为0,0,2xyxy+=，所以22xyxy=+，故1xy，当且仅当xy=时，取得等号，所以xy的最大值为1，故A正确；当1

3,22xy==时，221952442xy+=+=，故B错误；因为()2222224xyxyxyxy+=++=++=，所以2xy+，当且仅当xy=时，取得等号，即xy+有最大值为2，故C错误；因为222

1112xyxyxyxyxy+===++，当且仅当xy=时，取得等号，所以211xy+有最大值为1，故D正确；故选：BC．11．ABD【分析】由题意画出图形，计算直三棱柱的侧面积即可判断A；讲直棱柱放在圆柱中，求出直棱柱底面外接圆半径，进而求出外接球半径，利用球的表面积公式

即可判断B；由棱锥底面积与高为定值判断C；将侧面展开即可求出最小值判断D．【详解】在直三棱柱111ABCABC-中，12AA=，1ABBC==，120ABC=,则3AC=，底面ABC和111ABC是等腰三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2+32423=+，故A正确；设底面外接圆半径

为r，即32sin120r=，即1r=，所以直棱柱的外接球半径22112R=+=，直三棱柱的外接球表面积为248SR==，故B正确；由BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱1BB上的一个动点，三棱锥1EAAO−的高为定值12，114AAOS=×3×2＝3

2，1EAAOV−=13×32×12＝312，故C错误；把侧面11AACC和侧面11CCBB展开在一个平面上，当E为1BB的中点时，1AEEC+取最小值，()()22min121122AEEC=++=+，故D正确．故选：ABD．12．ABC【分析】分别给,xy取适当值代入条件，通过代数表

达式判断函数性质.【详解】对于A，令yx=得(2)(2)(2)(0)fxfxfxf+=，又函数()fx不恒等于零，所以(0)2f=，选项A正确；对于B，令yx=−得(2)(2)(0)(2)2(2)fxfxffxfx+−==，所以(2)(2)fxfx−=，故函数()fx是偶函数，选项B正确；对于C

,D，令π2tx+=，π2ty−=得(π)(π)()(π)0ftftftf++−==，即(π)(π)ftft+=−−，()()()4π2πftftft+=−+=，所以函数()fx是周期函数，且周期为4π，选项D错误；又()fx是偶函数，即(π)(π)

ftft−=−，所以(π)(π)(π)(π)0ftftftft++−=++−=，即(π)(π)ftft+=−−，所以()fx的图象关于点(π,0)对称，选项C正确.13．8【分析】z表示以(0,1)−为圆心，3

为半径的圆，进而根据复数减法的几何意义求解即可.【详解】解：因为Cz且i3z+=，所以，根据复数模的几何意义，z表示以(0,1)−为圆心，3为半径的圆，所以，33iz−−表示圆上的点和点(3,3)的距离

，因为圆心(0,1)−到点(3,3)的距离为()()2203135−+−−=，max35833iz=−+−=，故答案为：814．(2,22)【分析】利用正弦定理可得22sinxA=，再确定sinA的范围即可作答.【详解】在ABC中，由正弦定理sinsi

nabAB=得：sin45sin222xxA==，因ABC有两解，即给定x值，由sinA求出的角A有两个，它们互补，当ab时，045AB=，角A唯一确定，ABC只有一解，则ab，即有45135BA=，而当90A=时，ABC是直角三角形，只有一解，ABC有两解，则必有2sin12

A，即222sin22A，有222x，所以x的取值范围是(2,22).故答案为：(2,22)15．-3【分析】利用向量线性运算及平面向量基本定理，用,OBOA表示OP与AB，然后利用数量积的

运算律求解即可【详解】因为3APPB=，所以33()44APABOBOA==−，所以13()()()()44OPABOAAPOBOAOAOBOBOA=+−=+−2213113116442cos603442442OAOBOAOB=−+−=−+−

=−，即3OPAB=−，故答案为：-316．π833【分析】（1）由题可得()fx对称中心，根据三角函数的性质结合条件判断的大概取值范围，再结合条件可得函数的对称轴即可得到的值从而得出最小正周期；（2）根据函数的对称中心及的大概取值范围，结合三角函数的图象可得2π

13π2π523632TT++，从而解出.【详解】因为函数()()sinfxx=+在区间75,126ππ上单调，且满足74π12π3ff=−，∴()fx对称中心为2π,03，代入可得12ππ3k+=，

1kZ，①∵()fx在区间75,126ππ上单调，且()fx对称中心为2π,03，又∵5π2ππ636−=，2πππ7π36212−=，∴()fx在区间π5π,26上单调，∴5πππ2623T

−=，23T，即2π2π3，∴03.（1）∵()56πfxfx−=，∴()fx关于5π12x=对称，代入可得2π5ππ122k+=+，2kZ，②①－②可得πππ42k=−+，Zk，即24

k=−+，Zk，又03，∴2=，2ππT==；（2）∵()fx对称中心为2π,03，∴20π3f=，∵()fx在区间213,36ππ上恰有5个零点，∵()fx相邻两个零点之

间的距离为2T，五个零点之间即2T，六个零点之间即52T，∴只需2π13π2π523632TT++即可，所以81033，又∵03，∴833.故答案为：π；833.17．(1)()π2sin33fxx=−−(2)23,2−−【分析】（1）令

()()πsin3hxfxAx=−=+，结合图象可求得()hx的解析式，则由()π3fxhx=+可求得()fx；（2）由（1）可得()gx，令π23tx=−，将问题转化为()4sinmtt=−在4π5π,36t−上与ya=

恰有3个交点，采用数形结合的方式可求得结果.【详解】（1）令()()πsin3hxfxAx=−=+，由图象可知：2A=，最小正周期5ππ2π41893T=−=，2π3T==，5π5π2sin2186h=+=

，则()5ππ2π62kk+=+Z，解得：()π2π3kk=−+Z，又π2，π3=−，()π2sin33hxx=−，()πππππ2sin32sinπ32sin333333fxhx

xxx=+=+−=+−=−−.（2）由（1）得：()π4sin23gxxa=−−−，当π7π,212x−时，π4π5π2,336x−−，令π23tx=−，则()4sinmtt=−在4π5π,36

t−上与ya=恰有3个交点，作出()mt与ya=的图象如下图所示，由图象可知：当232a−−时，()4sinmtt=−与ya=恰有3个交点，即若()gx在π7π,212−上恰有3个零点，则a的取值范围为23,2−−.18．(1)()2,4c=r

或()2,4c=−−r(2)()min2ab=，此时10cos10=【分析】（1）先设(),2ca==,根据坐标求模公式，即可求解.(2)根据题意，条件可化简为2636kabk=+，再根据基本不等式，即可

求解.【详解】（1）因为()1,2a=r，且ac∥，所以设(),2ca==，所以()22225c=+=，解得2=，所以()2,4c=r或()2,4c=−−r.（2）由2+=−kabakb，得()()222kabakb+=−，所以(

)222222222kakabbakabkb++=−+，因为5a=r，2b=，可得2636kabk=+，因为0k，所以112222kkabkk=+=，当且仅当12kk=，2k=时取等号.所以()min2ab=.设a与b夹角为，则此时10

cos10=.19.已知圆锥的底面半径6R=，高8h=（1）求圆锥的表面积和体积（2）如图若圆柱OO内接于该圆锥，试求圆柱侧面积的最大值【答案】（1）96,96;（2）24.【解析】【分析】（1）由已知求得圆锥的母线长,再由圆锥的侧面积与体积公式

求解;（2）作出圆柱与圆锥的截面图，把圆柱的侧面积用h表示,然后结合二次函数求最值.【小问1详解】∵圆锥的底面半径R=6，高H=8，圆锥的母线长2210LHR=+=，则表面积26036π96πSRLR=+=+=，体积

21963VRH==.【小问2详解】作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示,其中8,6,(08)SOOAOBOKhh====，设圆柱底面半径为r，则868rh−=，即3(8)4rh=−.设圆柱的侧面积为23322(8)(8)42rhhhhhS==−=−+.当4h=时，S有最

大值为24.20．(1)π3B=(2)(12,18【分析】（1）已知等式结合倍角公式和余弦定理，化简得1cos2B=，可求B；（2）结合正弦定理表示出a和c，进而将周长表示为关于角A的正弦函数，利用正弦函数性质以及A的范围即可求得答案．【详解】（1）2112sin2

2Cabc−−=，由倍角公式得1cos2abCc−=，由余弦定理，222122abcabcab+−−=，化简得222acbac+−=，则2221cos22acbBac+−==，由()0,πB，得π3

B=.（2）由正弦定理得︰643πsinsinsinsin3acbACB====，∴43sinaA=，43sincC=，2ππ3ACB+=−=，2π43(sinsin)43sinsin3acACAA+=+=+−3331π43sincos12sincos12sin2

2226AAAAA=+=+=+，由2π03A，ππ5π666A+，∴π612sin126A+，即612bc+（当且仅当π3A=时，等号成立），从而周长的取值

范围是(12,1821．(1)()210600280,050,100009170,50.?xxxWxxxx−+−=−++(2)当全年产量为100千部时，该企业所获利润最大，最大利润是897

0万元．【分析】（1）读懂题意，根据已知条件求解.（2）分类讨论，利用二次函数、基本不等式进行求解.（1）当050x时，()()228001020028010600280Wxxxxxx=−+−=−+−，当50x时，()100001000080080194502809170Wxx

xxxx=−+−−=−++，所以()210600280,050,100009170,50.?xxxWxxxx−+−=−++（2）若050x，则()()210308720Wxx=−−+，当

30x=时，()max8720Wx=；若50x，则()10000100009170291708970Wxxxxx=−++−+=，当且仅当10000xx=，即100x=时，等号成立，此时()

max8970Wx=．因为89708720，所以当全年产量为100千部时，该企业所获利润最大，最大利润是8970万元．22．(1)()21−−+，，(2)()4,+【分析】（1）根据二次函数的单调性列出不等式即可得解；（

2）当0x时，设函数()fx的值域为A，当0x时，设函数()gx的值域为B，由“v型函数”，分析可得AB=，再分0a=，0a和0a三种情况讨论，求出a，再根据方程()()30hxtxt=+存在两个不相等的实数()1212,xxxx，

求得t的范围，再将所求用t表示，从而可得出答案.【详解】（1）解：因为()fx在区间0,2上具有单调性，所以2202aa++或2222aa++，解得2a−或1a，即实数a的取值范围是()21−−+，，；（2）解：因为函数()fx的对称轴2202++=aax，所以函数()f

x在(),0−上递减，当0x时，设函数()fx的值域为A，则()2,A=+，当0x时，设函数()gx的值域为B，因为函数()hx是“v型函数”，由“v型函数”的定义知：①若10x，则存在唯一20x，使12()()hxhx=，所以()g

x在(0,)+上单调且AB，②若1>0x，则存在唯一20x，使12()()hxhx=，所以()gx在(0,)+上单调且BA，所以函数()hx在y轴两侧的图象必须“等高”且单调，即AB=且()g

x在(0,)+上单调，当0a=时，()0gx=，不合题意；当0a时，()gx在(0,)a−上单调递增，在(,)a−+上单调递减，(2,Ba=−，不合题意；当0a时，()gx在(0,)+

上单调递增，()2,2Ba=+，所以222a=，则1(1aa==−舍去），综上1a=，则()242,011,0xxxhxxx−+=++，由方程()()30hxtxt=+，当0x时，方程为()2410xtx−+−=，因为()2440t=++，所以方程(

)2410xtx−+−=有两个实数根，设为,mn，则()400,10mnttmn+=+=−，所以方程()2410xtx−+−=有两个异号实数根，故当0x时，方程()2410xtx−+−=有且仅有一个实数根，当0x时，方程为()110tx−+=，又因方程()()30

hxtxt=+存在两个不相等的实数()1212,xxxx，所以120xx，即当0x时，方程()110tx−+=一定有一个实数根，即2101xt=−，所以01t，由2111423xxtx−+=+，得1114txx=−−，则1114xtx−=+，由()

2110tx−+=，得211xt=−，则()121212121111xxxxxxxx+−=−+−()1411ttt=++−−−1231tt=++−，因为函数12,1ytyt==−在()0,1上都

是增函数，所以函数1231ytt=++−在()0,1上是增函数，当0x=时，12341tt++=−，当1t→时，1231tt++→+−，所以()()1212114,xxxx+−+.【点睛】本题考查了根据函数的单调性求参数的范围及函数新

定义的问题，考查了根据方程的根求参数的范围问题，解决第二问的关键在于把所求用t表示，属于难题.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com