【文档说明】2022高三统考数学文北师大版一轮教师文档：选修4－4第二节　参数方程含答案【高考】.doc，共(6)页，177.500 KB，由小赞的店铺上传

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-1-第二节参数方程授课提示：对应学生用书第201页[基础梳理]1．曲线的参数方程在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数x＝f（t），y＝g（t），并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫作这条曲线的参

数方程，联系变数x，y的变数t叫作参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程F(x，y)＝0叫普通方程．2．参数方程和普通方程的互化(1)参数方程化普通方程：利用两个方程相加、减、乘、除或者代入法消去参数．(2)普通方程化参数方程：如果x＝

f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，则得曲线的参数方程x＝f（t），y＝g（t）.3．直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程轨迹普通方程参数方程直线y－y0＝tanα(x－x0)(α≠π2，点斜式)x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参

数)圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2x＝a＋rcosθ，y＝b＋rsinθ(θ为参数)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)x＝acosφ，y＝bsinφ(φ为参数)1．参数方程化普通方程(1)常用技巧：代入消元、加减消元、平方

后加减消元等．(2)常用公式：cos2θ＋sin2θ＝1，1＋tan2θ＝1cos2θ.2．直线参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα.若M

1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则(1)|M1M2|＝|t1－t2|.(2)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝t1＋t22，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝t1＋

t22.(3)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.[四基自测]-2-1．(基础点：直线与椭圆的参数方程)直线y＝x与曲线x＝3cosα，y＝3sinα(α为参数)的交点个数为()A．0B．1C．2D．3答案：C2．(基础点：直线的参数方程)若直线的参数方程为

x＝1＋t，y＝2－3t(t为参数)，则直线的斜率为________．答案：－33．(易错点：消参的等价性)曲线C的参数方程为x＝sinθ，y＝cos2θ－1(θ为参数)，则曲线C的普通方程为__

______．答案：y＝－2x2(－1≤x≤1)4．(基础点：椭圆的参数方程)椭圆x＝2cosθ，y＝5sinθ(θ为参数)的离心率为________．答案：215授课提示：对应学生用书第202页考点一参数方程与普通方程的互化[例]已知直线l的参数方程为x＝a－2t，y＝－4t(

t为参数)，圆C的参数方程为x＝4cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)．(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．[解析](1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，圆C的普通方程为x2＋y2＝16.(2)因为直线l与圆C有公共点，故圆C

的圆心到直线l的距离d＝|－2a|5≤4，解得－25≤a≤25.即实数a的取值范围为[－25，25]．[破题技法]将参数方程化为普通方程的方法将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三

角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参(如sin2θ＋cos2θ＝1等)．提醒：将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，防止增解．如图，以过原点的直线的倾斜角θ为参数，求圆x2＋y2－x＝0的参数方程．-3-解析：圆的半径为12，记圆心为C

12，0，连接CP，则∠PCx＝2θ，故xP＝12＋12cos2θ＝cos2θ，yP＝12sin2θ＝sinθcosθ.所以圆的参数方程为x＝cos2θ，y＝sinθcosθ(θ为参数)．考点二参数方程的应用[例](2019·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为

x＝1－t21＋t2，y＝4t1＋t2(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋3ρsinθ＋11＝0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值．[解析](1)因为－1＜

1－t21＋t2≤1，且x2＋y22＝1－t21＋t22＋4t2（1＋t2）2＝1，所以C的直角坐标方程为x2＋y24＝1(x≠－1)，l的直角坐标方程为2x＋3y＋11＝0.(2)由(1)可设C的参数方程为x＝cosα，y＝

2sinα(α为参数，－π＜α＜π)．C上的点到l的距离为|2cosα＋23sinα＋11|7＝4cosα－π3＋117.当α＝－2π3时，4cosα－π3＋11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7.[

破题技法]1.应用直线参数方程的注意点在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值，否则参数不具备该几何含义．2．圆和圆锥曲线参数方程的应用有关圆或圆锥曲线上的动点距离的

最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解，掌握参数方程与普通方程互化的规律是解此类题的关键．-4-(2020·广东揭阳二模)以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ＝a2(a∈R，a为常数)，

过点P(2，1)，倾斜角为30°的直线l的参数方程满足x＝2＋32t(t为参数)．(1)求曲线C的普通方程和直线l的参数方程；(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点(点P在A、B之间)，且|PA|·|PB|＝2，求a和||PA|－|PB||的值．[

解析](1)由ρ2cos2θ＝a2得ρ2(cos2θ－sin2θ)＝a2，又x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得x2－y2＝a2，∴曲线C的普通方程为x2－y2＝a2.∵过点(2，1)，倾斜角为30°的直线l的普通方程为y＝33(x－2)＋1，由x＝2＋32t得y＝1＋12

t，∴直线l的参数方程为x＝2＋32t，y＝1＋t2(t为参数)．(2)将x＝2＋32t，y＝1＋t2代入x2－y2＝a2，得t2＋2(23－1)t＋2(3－a2)＝0①，依题意知Δ＝[2(23－1)]2－8(3－a2

)＞0，则方程①的根t1、t2就是交点A、B对应的参数，t1·t2＝2(3－a2)，由参数t的几何意义知|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|＝|t1·t2|，得|t1·t2|＝2，∵点P在A、B之间，∴t1·t2＜0，∴t1·t2＝－2，即2(3－a2)＝－2，解得a2＝4(满足Δ＞0)，∴a

＝±2.∵||PA|－|PB||＝||t1|－|t2||＝|t1＋t2|，又t1＋t2＝－2(23－1)，∴||PA|－|PB||＝43－2.考点三极坐标方程与参数方程的综合应用[例]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参

数方程为x＝2＋2cosφ，y＝2sinφ(φ为参数)，以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sinθ.(1)求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)已知曲线C3的极坐标方程为θ＝α(0＜α＜π，ρ∈R)，

点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，A，B均异于原点O，且|AB|＝42，求α的值．[解析](1)由x＝2＋2cosφ，y＝2sinφ(φ为参数)消去参数φ可得C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝4.-

5-∵ρ＝4sinθ，∴ρ2＝4ρsinθ，由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－2)2＝4.(2)由(1)得曲线C1的普通方程为(x－2)2＋y2＝4，其极坐标方程为ρ＝4cosθ，由题意设A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，则|AB|＝|ρ1

－ρ2|＝4|sinα－cosα|＝42sinα－π4＝42，∴sinα－π4＝±1，∴α－π4＝π2＋kπ(k∈Z)．∵0＜α＜π，∴α＝3π4.[破题技法]参数方程与极坐标方程综合问题的解题策略(1)涉及参数方程和极坐标方程的

综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题

目的．(2020·湖南郴州二模)已知极坐标系中，点M42，π4，曲线C的极坐标方程为ρ2＝121＋2sin2θ，点N在曲线C上运动，以极点为坐标原点，极轴为x轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，

直线l的参数方程为x＝6＋t，y＝t(t为参数)．(1)求直线l的普通方程与曲线C的参数方程；(2)求线段MN的中点P到直线l的距离的最小值．解析：(1)∵直线l的参数方程为x＝6＋t，y＝t(t为参数)

，∴消去参数t得直线l的普通方程为x－y－6＝0.曲线C的极坐标方程化为ρ2＋2ρ2sin2θ－12＝0，∴曲线C的直角坐标方程为x2＋3y2－12＝0，即x212＋y24＝1.∴曲线C的参数方程为x＝23c

osα，y＝2sinα(α为参数)．(2)设N(23cosα，2sinα)(0≤α＜2π)，点M的极坐标42，π4化成直角坐标为(4，4)，则P(3cosα＋2，sinα＋2)，∴点P到直线l的距离d＝|3cosα

－sinα－6|2＝2cosα＋π6－62≥22，当cosα＋π6＝1时，等号成立．-6-∴点P到l的距离的最小值为22.