【文档说明】江苏省扬州中学2022-2023学年高二上学期12月月考试题 数学 含解析.docx，共(20)页，1001.821 KB，由envi的店铺上传

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江苏省扬州中学2022-2023学年第一学期12月考高二数学2022.12试卷满分：150分，考试时间：120分钟一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．）

公众号高中僧试题下载1．已知点()3,2A，1(0,)B−，则直线AB的倾斜角为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°2．已知函数()22fxx=+，则该函数在区间1,3上的平均变化率为（）A．4B．3C．2D．13．在等比数列na中，已知3

578aaa=，则19aa=（）A．4B．6C．8D．104．抛物线24yx=的准线方程为（）A．18x=−B．18y=−C．116x=−D．116y=−5．已知圆E：()()()22250xayarr−++=与x轴相切，且截y轴所得的弦长为26，则圆E的面积为（）A．2

54B．1256C．252D．256．已知()0,4A，双曲线22145xy−=的左､右焦点分别为1F，2F，点P是双曲线右支上一点，则1PAPF+的最小值为（）A．5B．7C．9D．117．已知数列na满足211232nnnnnnaaaaaa++++−=，

0na且1231aa==，则7a=（）A．163B．165C．1127D．11298．已知231,3A−，231,3B−，()00,Pxy为椭圆C：22132xy+=上不同的三点，直线l：2x=，直线PA交l于点M，直线PB交l于点N，若

PABPMNSS=，则0x=（）A．0B．54C．53D．3二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．下列说法中，正确的有（）A．直线32yx=−在y轴

上的截距是2B．直线250xy−+=经过第一、二、三象限C．过点()5,0，且倾斜角为90°的直线方程为50x−=D．过点()1,2P且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为30xy+−=10．过点()1,4且与圆()2214xy++=相切的直线的方程为（）A．10x−=B．4

0y−=C．34130xy−+=D．4380xy−+=11．已知1F，2F是双曲线E：()222210,0xyabab−=的左、右焦点，过1F作倾斜角为6的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点P，且1MPMF=，下列判断正

确的是（）A．123FPF=B．E的离心率等于23C．双曲线渐近线的方程为2yx=D．12PFF的内切圆半径是313−12．已知数列na满足2212352222nnnnaaa++++=，设数列nc的前n项和为nS，其中21112nnnncaa++=

，则下列四个结论中，正确的是（）A．1a的值为2B．数列na的通项公式为()312nnan=+C．数列na为递减数列D．1216nnSn=+三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．曲线lnyxx=+在点()1,1处的切线的斜率为．14．已知数列na首项为2，

且()*132Nnnaan+=+，则na=15．已知直线1l：3mxnymn+=+与直线2l：30nxmynm−−+=（m，nR）相交于点M，点N是圆C：()()22334xy+++=上的动点，则MN的取值范围为．16．已知椭圆C：()222210xyabab+=的右焦点

()(),0Fcbc和上顶点B，若斜率为65的直线l交椭圆C于P，Q两点，且满足0FBFPFQ++=，则椭圆的离心率为．四、解答题（本大题共6小题，计70分．）17．已知二次函数()22bfaxxax=+

−，其图象过点()2,4−，且()'13f=−．（1）求a、b的值；（2）设函数()lngxxx=，求曲线()ygx=在1x=处的切线方程．18．已知抛物线C：()220ypxp=上的点()01,Ay到抛物线C的焦点的距离为2．（1）求抛物线C的方程；（2）直线l：yxm=+与

抛物线交于P，Q两个不同的点，若OPOQ⊥，求实数m的值．19．已知数列na前n项和2nSnn=+．（1）求数列na的通项公式；（2）11nnnbaa+=，求数列nb的前n项和nT．20．已知圆C：()(

)222516xy++−=．（1）若直线l过点()1,2A−且被圆C截得的弦长为211，求直线l的方程；（2）若直线l过点()3,4B且与圆C相交于M，N两点，求△CMN的面积的最大值，并求此时直线l的方程．21．已知各项均为正数的数列

na的前n项和为nS，且24a=，21691nnaSn+=++．各项均为正数的等比数列nb满足11ba=，32ba=．（1）求数列na和nb的通项公式；（2）若nnncab=，求数列nc的前n项和nT．2

2．已知椭圆C：()222210xyabab+=的离心率为32，直线1l过椭圆C的两个顶点，且原点O到直线1l的距离为255．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设点()0,1A，过点()2,1−的直线l不经过点A，且与椭圆C交于M，N两点，证明：直线AM的斜率与直线

AN的斜率之和是定值．参考答案：1．B【分析】由两点间的斜率公式可求其斜率k，即可知直线的倾斜角．【详解】由题意可知A，B两点间的斜率()21330k−−==−，设直线AB的倾斜角为α，)0,

则tan3k==，所以60=故选：B2．A【分析】根据平均变化率的定义直接求解．【详解】因为函数()22fxx=+，所以该函数在区间1,3上的平均变化率为()()()223212314312ff+−+−==−，故选：A3．A【分析】用基本量1a，q表示出来可以求

；或者考虑下标和公式．【详解】在等比数列na中，335758aaaa==，解得52a=，则21954aaa==．故选：A．4．D【分析】由抛物线定义，求出p，则可求准线方程．【详解】抛物线的方程可变为214xy=，由11248pp==，则其准线方程为1216py=−=−．故

选：D．5．A【分析】根据圆E与x轴相切，可得5ra=，再结合圆心到y轴的距离、半弦长、半径满足勾股定理，建立方程即可求解．【详解】∵圆E：()()()22250xayarr−++=与x轴相切，截y轴

所得的弦长为26，∴圆心为(),5aa−，半径为5ra=，半弦长为6，圆心到y轴的距离为a，∴()2265aa+=，解得12a=，∴552ra==，即圆E的面积为：2252524r==．故选：A．6．C【分析】根据双曲线的方程，求得焦点坐标，由双曲线的性质，整理

1PAPF+，利用三角形三边关系，可得答案．【详解】由双曲线22145xy−=，则24a=，25b=，即2229cab=+=，且()13,0F−，()23,0F，由题意，作图如下：22122223449PAPFPAaPFAFa+=+++=++=≥，当且仅当A，P，2F共线

时，等号成立．故选：C．7．C【分析】对所给式子化简、变形，构造新数列，通过等比数列的定义求出新数列的通项公式，再用累加法求出11na+，进而得到数列na的通项公式，即可得到答案．【详解】因为211232nnn

nnnaaaaaa++++−=，所以12132nnnnnaaaaa+++=−，则121132132nnnnnnnaaaaaaa++++−==−，有21111112nnnnaaaa+++−=−，所以数列111nnaa+−

是以21112aa−=为首项，2为公比的等比数列，则1111222nnnnaa−+−==，所以11111121111111111222121nnnnnnnnaaaaaaaa−+++−=−

+−++−+=++++=−则11121nna++=−，所以771121127a==−．故选：C．【点睛】利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值。比较复杂的递推公式求通项公式一般需用构造法构造来求，构造法求数列通项

公式一般而言包括：取倒数，取对数，待定系数法等，其中待定系数法较为常见．一、倒数变换法，适用于1nnnAaaBaC+=+（A，B，C为常数）二、取对数运算三、待定系数法1、构造等差数列法2、构造等比数列法①定义构造法。利用等比数列的定义1nnaqa+=通过变换，构造等比数列的方法．②

1nnaAaB+=+（A，B为常数）型递推式可构造为形如()1nnaAa++=+的等比数列．③1nnnaAaBc+=+（A，B，C为常数，下同）型递推式，可构造为形如()11nnnnacAac+++=+的等比数列．四、函数构造法对于某些比较复杂的递推式，通过分析结构

，联想到与该递推式结构相同或相近的公式、函数，再构造“桥函数”来求出所给的递推数列的通项公式的方法．8．B【分析】根据三角形面积公式及APBMPN=或APBMPN+=得PAPBPNPM=，再应用相交弦长公式列方程，即可求0x．【详解】由PABP

MNSS=，则11sinsin22APBPAPBMPNPNPM=由图知：当P位置变化时，APBMPN=或APBMPN+=，故sinsinAPBMPN=，所以PAPBPNPM=，而直线AP、BP斜率存在且不为0（01x），故220

01111APBPPAPBkxkx=+++−，22001212APBPPNPMkxkx=+−+−，所以()220012xx−=−，即22000144xxx−=−+或22000144xxx−=−+，当22000144xxx−=−+，化简得054x

=．当22000144xxx−=−+时，2002430xx−+=，显然16200=−，无解．所以054x=．故选：B．9．BC【分析】根据直线相关概念一一对答案进行核对即可。【详解】对于A：令0x=时，2y=−，故在y轴上的截距是2，A错．对于B：直线的斜率为2，在x、y轴上的截距分别为52

−、5，故直线经过第一、二、三象限，B对．对于C：过点()5,0，倾斜角为90°的直线方程为50x−=，故C对．对于D：当直线的截距不为0时，设直线的方程为：1xyaa+=，把点()1,2P代入直线得3a=，所以直线方程为：30xy+−=，当截距为0时，设直线方程

为：ykx=，把点()1,2P代入直线得2k=，直线方程为：2yx=，故D错．故选：BC10．AC【分析】根据直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解．【详解】设切线为l，圆心到切线的距离为d，圆的半径为2r=若l的斜率不存在，则直线方程为

1x=，圆心到直线的距离()112dr−=−==，满足题意；若l的斜率存在，设直线方程为()41ykx−=−，即40kxyk−+−=，因为直线与圆相切，所以24221kdrk−===+，解得34k=，所以切线方程为34130xy−+=．故选：AC．1

1．ACD【分析】根据已知条件可得出2PFx⊥轴，可判断A项；根据双曲线的定义结合直角三角形的性质，构造齐次方程可求解离心率，故可判断B项；结合222cab=+，得到2ba=，即可求得渐近线方程，可判断C项；利用三角形等面积法得到内切圆半径r的表达式与c有关，可判

断D项正确．【详解】如图所示，因为M，O分别是1PF，12FF的中点，所以12PFF中，2PFMO∥，所以2PFx⊥轴，A选项中，因为直线1PF的倾斜角为6，所以123FPF=，故A正确；B选项中，12RtPFF

中，122FFc=，2233PFc=，1433PFc=，所以122323PFPFac−==，得：3cea==，故B不正确；C选项中，由222cab=+，即223ca=，即2223aba+=，即2ba=，所以双曲线的渐

近线方程为：2byxxa==，故C正确；D选项中，12PFF的周长为()223c+，设内切圆为r，根据三角形的等面积法，有()2322323crcc+=，得：313rc=−，所以D正确故选：ACD．12．ACD【分析】对于A．只需令1n=即可得

出1a的值；对于B．已知数列2nna的前n项和，根据前n项和与数列的关系即可求出2nna的通项公式，继而得到na的通项公式；对于C．已知na的通项公式，利用递减数列定义列式1nnaa+−判断即可；对于D．化简得出数列nc，裂项相消即可

得出nS．【详解】对于A．213151242a+==，即12a=，故A正确；对于B．2212352222nnnnaaa++++=①，()()()221121315122222nnnnaaan−−−+−+++=≥②，①－②得231nnan=+，312nnna+=，当1n

=时1131122a+==，故数列na的通项公式为312nnna+=，B错误．对于C．令()111134623431322222nnnnnnnnnnnaa+++++−+++−+−=−==因为1n≥，所以113202nnnnaa++−+−=，数列na为递减数列，故C正确对于D．()()2

11111113134313433134222nnnncnnnnnn++===−++++++1111111111347710313434341216nnSnnnn=−+−++−=−=++++

故D正确．故选：ACD【点睛】思路点睛：给出nS与na的递推关系，求na，常用思路是：一是利用1nnnaSS−=−转化为na的递推关系，再求其通项公式；二是转化为nS的递推关系，先求出nS与n之间的关

系，再求na．13．2【分析】由导数几何意义即可求．【详解】1'1yx=+，12xy==，∴所求切线斜率为2．故答案为：214．31n−【分析】根据递推关系可得等比数列，求通项公式即可．【详解】由()

*132Nnnaan+=+可得()1131nnaa++=+，所以数列1na+是以3为首项，3为公比的等比数列，所以11333nnna−+==，即31nna=−，故答案为：31n−15．422262MN−+≤≤【分析】根据题设易知1l过定点()3,1A，2

l过定点()1,3B且12ll⊥，则M在以AB为直径的圆上，写出圆的方程，并求出与圆C的圆心距，根据动点分别在两圆上知MN的最大值为两圆心距与两个半径的和，最小值为两圆心距与两个半径的差可得答案．【详解】由题设，1l：()()3

10mxny−+−=（m，nR）恒过定点()3,1A，2l：()()130nxmy−+−=（m，nR）恒过定点()1,3B，因为0mnnm−=，所以12ll⊥，即垂足为M，所以M在以AB为直径的圆上，圆心为()

2,2D，半径为22AB=，故M轨迹方程为D：()()22222xy−+−=，而C：()()22334xy+++=的圆心为()3,3C−−，半径为2，所以两圆圆心的距离为252552+=，而M、N分别在两圆上，故MN的最大值为2252

262++=+，最小值为5222422−−=−，所以422262MN−+≤≤．故答案为：422262MN−+≤≤．16．55【分析】先由0FBFPFQ++=得到F为△APQ的重心，再利用点差法求得a、b、c

之间的关系，进而求得椭圆的离心率【详解】设(),0Fc，()0,Bb，()11,Pxy，()22,Qxy，线段PQ的中点为()00,Mxy，由0FBFPFQ++=，知F为△BPQ的重心，故2BFFM=，即()()00

,2,cbxcy−=−，解得032cx=，02by=−，又M为线段PQ的中点，则123xxc+=，12yyb+=−，又P、Q为椭圆C上两点，则2211221xyab+=，2222221xyab+=，两式相减

得()()()()12121212220xxxxyyyyab+−+−+=，所以221212221212365PQyyxxbbckxxayyab−+==−=−=−+−，化简得225abc=，则222250bcbc+−=解得2bc=或2cb=（∵bc故

舍去）则22225abcc=+=，则离心率55ca=．故答案为：5517．（1）1ab==−（2）10xy−−=【分析】（1）利用导数和已知条件可得出关于实数a、b的方程组，可求得实数a、b的值；（2）求出切点坐标和切线斜率，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程．（1）解

：因为()22fxaxaxb=+−，则()'2fxaxa=+，所以，()()2624'133fabfa=−=−==−，解得11ab=−=−．（2）解：因为()lngxxx=的定义域为()0,+，且()'ln1gxx=+，所以，()'11g=，(

)10g=，故切点坐标为()1,0，所以，函数()gx在1x=处的切线方程为1yx=−．18．（1）24yx=（2）4−【分析】（1）运用抛物线定义即可；（2）联立方程解到韦达定理，再将OP⊥OQ转化为向量垂直，根据数量积为0列方程，化简，求值

即可．【详解】（1）已知抛物线()220ypxp=过点()01,Ay，且2AF=，则122p+=，∴2p=，故抛物线的方程为24yx=．（2）设()11,Pxy，()22,Qxy．联立24yxmyx=+=，消去y整理得

()22240xmxm+−+=∴()222440mm=−−，则1m，则1242xxm+=−，212xxm=．由OP⊥OQ得1212OPOQxxyy=+()()1212xxxmxm=+++()212122xxmxxm=+++()22242

0mmmm=+−+=，∴4m=−或0m=．当0m=时，直线l与抛物线的交点中有一点与原点O重合，不符合题意，综上，实数m的值为4−．19．（1）2nan=，*nN（2）()41nnTn=+【分析】（1）根据已知条件并结合公式11,1,2nnnSnaSSn−==−≥即可计算出数列

na的通项公式；（2）先根据第（1）题结果计算出数列nb的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前n项和nT．【详解】（1）由题意，当1n=时，211112aS==+=，当2n≥时，()()221112nnaSlSnnnnn−=

−=+−−−−=，∵当1n=时，12a=也满足上式，∴2nan=，*nN．（2）由（1），可得11nnnbaa+=()1221nn=+()141nn=+11141nn=−+则12nnTbbb=++1111111114242341nn

=−+−++−+111111142231nn=−+−++−+11141n=−+()41nn=+20．（1）240xy−+=或230xy+−=；（2）最大值为8，70xy+−=或717470xy−+=．【分析

】（1）求出圆C的圆心和半径，再由弦长，弦心距和半径的关系求出圆心C到直线l的距离，然后分直线l的斜率不存在和存在两情况讨论求解即可；（2）设直线l的方程为()143ykx−=−，求出圆心C到直线l的距离1d，而△CMN的面积11

22Sd=21111616ddd−=−，从而可求出△CMN的面积的最大值，再由1d的值可求出1k，进而可求出直线方程．【详解】（1）圆C的圆心坐标为()2,5C−，半径4r=，因为直线l被圆C截得的弦长为211，所以由勾股定理得到圆心C到直线l的距离()224115d=−=

．①当直线l的斜率不存在时，l：1x=−，显然不满足5d=；②当直线l的斜率存在时，设l：()21ykx−=+，即20kxyk−++=，由圆心C到直线l的距离5d=，得2351kk−−=+，即22320kk−−=，解得2k=或12k=−，故直线l的方程

为240xy−+=或230xy+−=．（2）因为直线l过点()3,4B且与圆C相交，所以直线l的斜率一定存在，设直线l的方程为()143ykx−=−，即11430kxyk−+−=，则圆心C到直线l的距离为1121511kdk−−=+，又△CMN的面积()()22222211111111216161

68642Sddddddd=−=−=−=−−+，所以当122d=时，S取最大值8．由112151221kdk−−==+，得211171070kk+−=，解得11k=−或1717k=，所以直线l的方程为70xy+−=或717470xy−+=．21．（1）32nan=−

，12nnb−=（2）()5352nnTn=+−【分析】（1）由21691nnaSn+=++，可得()216911nnaSn−=+−+，两式相减化简可得13nnaa+=+，再求出1a，可得na是首项为1，公差为3的等差数列，从

而可求出na，再由11ba=，32ba=可求出数列nb的公比q，从而可求出nb；（2）由（1）可得()1322nnnncabn−==−，然后利用错位相减法可求得nT．【详解】（1）因为21691nnaSn+=++，当1n=时，22169

1aS=++，解得11a=；当2n≥时，()216911nnaSn−=+−+，两式相减，得22169nnnaaa+−=+，即()2213nnaa+=+，又各项均为正数，所以13nnaa+=+，即()132nnaan+−=≥．因为213aa−=满足上式，所以na是首项为1，公差为3

的等差数列．所以32nan=−．设等比数列nb的公比为q，因为111ba==，34b=，所以22314bbqq===，解得2q=（或2q=−舍去），所以12nnb−=．（2）()1322nnnncabn−==−，所以()1

2114272322nnTn−=++++−，()1232124272322nnTn=++++−，两式相减得：()()1231132222322nnnTn−−=+++++−−()()1213213225(53)221nnnnn−=+−−−=−+−−所以()5352n

nTn=+−．22．（1）2214xy+=（2）证明见解析【分析】（1）根据已知条件求得a，b，从而求得椭圆C的标准方程．（2）设出直线l的方程并与椭圆C的方程联立，化简写出根与系数关系，由此计算出直线AM的斜率与直线AN的斜率之和是定值．【详解】（1

）由题意得22312cbeaa==−=，所以2ab=，不妨设直线1l的方程为1xyab+=，12xybb+=，即220xyb+−=，所以原点O到直线1l的距离为22555bd==，解得1b=，所以2a=，故椭圆C的标准方程

为2214xy+=．（2）由题意得直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为()12ykx+=−，即21ykxk=−−，设()11,Mxy，()22,Nxy，联立222114ykxkxy=−−+=，整理得：()()()22214821421

40kxkkxk+−+++−=，则()()()222264214144214640kkkkk=+−++−=−，解得0k，()12282114kkxxk++=+，()2122421414kxxk+−=+，设直线AM的斜率与

直线AN的斜率分别为1k，2k，则()()()()12211221121212121211222211yxyxkxkxkxkxyykkxxxxxx−+−−−+−−−−+=+==()()()()()()22212122122421482122122114141421414kkkkkkxxkxxkk

xxkk+−+−+−++++===−+−+，故直线AM的斜率与直线AN的斜率之和是定值1−．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com