【文档说明】专题6.3平面向量的基本定理及坐标表示(精练）-2021-2022学年高一数学金典同步精讲精练（人教A版2019必修第二册）（解析版）.docx，共(30)页，2.612 MB，由管理员店铺上传

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1.（2021秋•小店区校级期中）平行四边形ABCD中，F为AD边上的中点，连接BF交AC于点Q，若𝐴𝑄→=λ𝐴𝐵→+μ𝐴𝐷→，则λμ＝（）A．1B．56C．13D．19【分析】先判断△AFQ∽△CBQ，求出相似比，得到AQ=13AC，再利用平面向量的线

性运算即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC，∵F为AD边上的中点，∴AF=12AD，∵AD∥BC，∴△AFQ∽△CBQ，∴𝐴𝑄𝐶𝑄=𝐴𝐹𝐵𝐶=12，∴AQ=12CQ=13AC，∴𝐴𝑄→=1

3𝐴𝐶→=13（𝐴𝐵→+𝐴𝐷→）=13𝐴𝐵→+13𝐴𝐷→，∵𝐴𝑄→=λ𝐴𝐵→+μ𝐴𝐷→，∴λ＝μ=13，∴λμ=19．故选：D．【点评】本题主要考查平面向量的基本定理，向量的数乘和线性运算，考查运算求解能力，属于基础题．2.（2021秋•朝阳区期中）下列

各组向量中，可以作为基底的是（）A．𝑒1→=（0，0），𝑒2→=（1，2）B．𝑒1→=（3，4），𝑒2→=（1，2）C．𝑒1→=（3，4），𝑒2→=（6，8）D．𝑒1→=（3，﹣4），𝑒2→=（1，−43）【分析】利

用做基底的条件进行判断即可．【解答】解：对于A，因为𝑒1→=（0，0），0→与任何一个向量均为共线向量，不能做基底，故A错误；对于C，因为𝑒1→=12𝑒2→，两向量共线，不能做基底，故C错误；平面向量基本定理对于D，因为𝑒1→=−3𝑒2→，两向量共线，不能做基底，故D错误；故选：B

．【点评】本题考查了平面向量的基底，属于基础题．3.（2021•蕉岭县校级开学）在等边△ABC中，点E在中线CD上，且CE＝6ED，则𝐴𝐸→=（）A．17𝐴𝐶→+37𝐴𝐵→B．137𝐴𝐶→−37𝐴𝐵→C．37

𝐴𝐶→+17𝐴𝐵→D．37𝐴𝐶→−137𝐴𝐵→【分析】根据向量的加减运算即可求出结果．【解答】解：∵D为AB中点，CE＝6ED，∴𝐴𝐷→=12𝐴𝐵→，𝐶𝐸→=67𝐶𝐷→，∴�

�𝐸→=𝐴𝐶→+𝐶𝐸→=𝐴𝐶→+67𝐶𝐷→=𝐴𝐶→+67(𝐶𝐴→+𝐴𝐷→)=𝐴𝐶→−67𝐴𝐶→+67×12𝐴𝐵→=17𝐴𝐶→+37𝐴𝐵→．故选：A．【点评】本题主要考查了平面向量的加减运算，属于基础题．4.（2021春•

慈溪市期中）在△ABC中，点D在BC边上，且𝐵𝐷→=2𝐷𝐶→，设𝐴𝐵→=𝑎→，𝐴𝐶→=𝑏→，则𝐴𝐷→可用基底𝑎→，𝑏→表示为（）A．12(𝑎→+𝑏→)B．23𝑎→+13𝑏→C．13𝑎→+23𝑏→D．13(𝑎→+𝑏→)【分

析】根据图形得𝐴𝐷→=𝐴𝐵→+𝐵𝐷→，结合且𝐵𝐷→=2𝐷𝐶→即可解决此题．【解答】解：𝐴𝐷→=𝐴𝐵→+𝐵𝐷→=𝑎→+23𝐵𝐶→=𝑎→+23（𝐴𝐶→−𝐴𝐵→）=𝑎→+23（�

�→−𝑎→）=13𝑎→+23𝑏→．故选：C．【点评】本题考查平面向量基本定理，考查数学运算能力，属于基础题．5.（2021春•临汾月考）在任意四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，设𝐴𝐵→=𝑎→，𝐶𝐷→=𝑏→，下列式子正确的是（）A．�

�→+𝑏→=2𝐸𝐹→B．𝑎→−𝑏→=2𝐸𝐹→C．𝑎→+𝑏→=𝐸𝐹→D．𝑎→−𝑏→=𝐸𝐹→【分析】根据题意，由向量的加法可得𝐸𝐹→=𝐸𝐴→+𝐴𝐵→+𝐵𝐹→和𝐸𝐹→=𝐸𝐷→+𝐷𝐶→+𝐶𝐹→，两个式子相加，变形可得

答案．【解答】解：根据题意，如图四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，设𝐴𝐵→=𝑎→，𝐶𝐷→=𝑏→，则𝐸𝐹→=𝐸𝐴→+𝐴𝐵→+𝐵𝐹→，同时有𝐸𝐹→=𝐸𝐷→+𝐷𝐶→+𝐶𝐹→，则有2𝐸𝐹→=𝐸𝐴→+𝐸�

�→+𝐴𝐵→+𝐷𝐶→+𝐵𝐹→+𝐶𝐹→，E，F分别为AD，BC的中点，则𝐸𝐴→+𝐸𝐷→=0→，𝐵𝐹→+𝐶𝐹→=0→，则有𝑎→−𝑏→=2𝐸𝐹→，故选：B．【点评】本题考查平面向量基本定理，涉及向

量的线性运算，是基础题．6.（2021春•九江期末）平行四边形ABCD的对角线相交于点O，设𝐴𝐵→=𝑎→，𝐵𝐶→=𝑏→，则向量𝐷𝑂→=（）A．−12𝑎→+12𝑏→B．12𝑎→−12𝑏→C．23𝑎→−13𝑏→D．13𝑎→−23𝑏→【分析】根据向量的运算性质计算即可

．【解答】解：结合题意𝐷𝑂→=12𝐷𝐵→=12（𝑎→−𝑏→）=12𝑎→−12𝑏→，故选：B．【点评】本题考查了向量的运算性质，考查转化思想，是基础题．7.（2021春•铜梁区校级期末）在△ABC中，已知D为AC上一点，若

𝐴𝐷→=2𝐷𝐶→，则𝐵𝐷→=（）A．−13𝐵𝐶→−23𝐵𝐴→B．13𝐵𝐶→+23𝐵𝐴→C．−23𝐵𝐶→−13𝐵𝐴→D．23𝐵𝐶→+13𝐵𝐴→【分析】作图，根据向量三角形法则进行表示即可【解答】解：如图，𝐵𝐷→=𝐶𝐷→−

𝐶𝐵→=13𝐶𝐴→+𝐵𝐶→=13（𝐵𝐴→−𝐵𝐶→）+𝐵𝐶→=23𝐵𝐶→+13𝐵𝐴→，故选：D．【点评】本题考查平面向量基本定理，涉及向量三角形法则的应用，属于基础题．8.（2021春•福州期中）在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F

为DE的中点，若𝐴𝐹→=𝑥𝐴𝐵→+𝑦𝐴𝐷→，则xy＝（）A．38B．29C．916D．13【分析】利用三角形法则求出向量𝐷𝐸→，再利用三角形法则求出向量𝐴𝐹→，进而可以求解．【解答】解：由已知可得𝐷𝐸→=𝐷𝐴→+𝐴𝐵→+𝐵𝐸→=−𝐴𝐷→+𝐴𝐵→+1

2𝐵𝐶→=𝐴𝐵→−12𝐴𝐷→，则𝐴𝐹→=𝐴𝐷→+𝐷𝐹→=12（𝐴𝐵→−12𝐴𝐷→)+𝐴𝐷→+𝐴𝐷→=12𝐴𝐵→+34𝐴𝐷→=x𝐴𝐵→+𝑦𝐴𝐷→，所以x=12，y=34，则xy=38，故选：A．

【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用，涉及到三角形法则，考查了学生的运算能力，属于基础题．9.（2021春•汕尾期末）如图所示，F为平行四边形ABCD对角线BD上一点，𝐵𝐹→=13𝐹𝐷→，若𝐴𝐹→=x𝐴𝐵→+y𝐵𝐶→，则xy＝（）A．−516B．−316C．316D．51

6【分析】根据条件表示出𝐴𝐹→=34𝐴𝐵→+14𝐴𝐷→，对应得到x，y的值即可求出xy．【解答】解：∵𝐵𝐹→=13𝐹𝐷→，∴𝐵𝐹→=14𝐵𝐷→由图可得：𝐴𝐹→=𝐴𝐵→+𝐵𝐹→=𝐴�

�→+14𝐵𝐷→=𝐴𝐵→+14（𝐴𝐷→−𝐴𝐵→）=34𝐴𝐵→+14𝐴𝐷→，则x=34，y=14，所以xy=316，故选：C．【点评】本题考查平面向量的基本定理，属于基础题．10.（2021春•绵阳期末）在△ABC中，D为AB边上一点，𝐴𝐷=23�

�𝐵，E是CD的中点，设𝐴𝐵→=𝑎→，𝐴𝐶→=𝑏→，则𝐴𝐸→=（）A．13𝑎→+12𝑏→B．34𝑎→+12𝑏→C．12𝑎→+13𝑏→D．12𝑎→+34𝑏→【分析】因为AD=23𝐴𝐵，则𝐴𝐷→=23𝐴𝐵→，然后利用三角形法则化简即可求解．【解

答】解：因为AD=23𝐴𝐵，则𝐴𝐷→=23𝐴𝐵→，所以𝐴𝐸→=𝐴𝐷→+𝐷𝐸→=𝐴𝐷→+12𝐷𝐶→=𝐴𝐷→+12(𝐴𝐶→−𝐴𝐷→)=12𝐴𝐷→+12𝐴𝐶→=12×23𝐴𝐵→+12𝐴𝐶→=13𝐴𝐵→+12𝐴𝐶→=13𝑎→+1

2𝑏→，故选：A．【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．11.（2021春•建邺区校级期末）如图，已知𝐴𝐵→=3𝐵𝑃→，用𝑂𝐴→，𝑂𝑃→表示𝑂𝐵→，则𝑂𝐵→等于（）A．32𝑂𝐴→−12𝑂𝑃→

B．34𝑂𝐴→+14𝑂𝑃→C．−34𝑂𝐴→+14𝑂𝑃→D．14𝑂𝐴→+34𝑂𝑃→【分析】由已知可得𝐴𝐵→=34𝐴𝑃→，然后利用三角形法则化简即可求解．【解答】解：由已知可得𝐴𝐵→=34𝐴�

�→，则𝑂𝐵→=𝑂𝐴→+𝐴𝐵→=𝑂𝐴→+34𝐴𝑃→=𝑂𝐴→+34(𝑂𝑃→−𝑂𝐴→)=14𝑂𝐴→+34𝑂𝑃→，故选：D．【点评】本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了学生的运算转化能力，属于基础题．1.（2021秋•南

江县校级期末）若(2,6),(4,2)OAOB=−=−，则(AB=)A．(6,8)−B．(6,8)−−C．(6,8)D．(6,8)−【分析】利用平面向量减法的坐标运算求解即可．【解答】解：(2,6),(4,2)OAOB=−=−，(

6,8)ABOBOA=−=−，故选：A．【点评】本题考查了平面向量减法的坐标运算，是基础题．2.（2021秋•平罗县校级期中）设m，nR，向量(1,2)a=−，(,1)bmn=−．若2aba+=，则m，n的值分别是()A．

1，1−B．1，3−C．1，2−D．1，2【分析】利用向量坐标运算法则、向量相等的性质直接求解．【解答】解：m，nR，向量(1,2)a=−，(,1)bmn=−，2aba+=，(1m+，3)(2n−=，4)−，1234mn+=−=−，解得1m=，1n=−．

故选：A．【点评】本题考查向量的运算，考查向量坐标运算法则、向量相等的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.（2021春•太原期中）已知四边形ABCD为平行四边形，点A，B，D的坐标分别是(1,2)，(3,5)，(0,4)，则点C的坐标是()A．(1,9)−B．(3,8)C．(

2,7)D．(2,1)−【分析】设(,)Cxy，由题意可知ADBC=，再利用平面向量的坐标运算即可求出x，y的值，从而得到点C的坐标，【解答】解：设(,)Cxy，平面向量的坐标表示及运算四边形ABCD为平行四边形，ADBC=，(1−，2)(3x=−，5)y−，2x=，7y=，(2,7

)C，故选：C．【点评】本题主要考查了平面向量的坐标运算，是基础题．4.（2021春•三明期中）已知(2,3)A，(3,1)B，则AB的坐标是()A．(2,1)−B．(1,2)−C．(2,1)−D．(1,2)−【分析】由向量的坐标运算

求解即可．【解答】解：因为(2,3)A，(3,1)B，所以(3AB=，1)(2−，3)(1=，2)−．故选：D．【点评】本题主要考查平面向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．5.（2021春•湖州期中）已知点(0,1)A，(3

,2)B，则向量(AB=)A．(3,1)B．(3,1)−−C．(3,1)−D．(3,1)−【分析】由A，B的坐标知(3,2)(0,1)(3,1)AB=−=．【解答】解：(3,2)(0,1)(3,1)AB=−=．故选：A．【点评】本题

考查平面向量的坐标表示，属于基础题．6.（2021春•大渡口区校级期中）已知(2,0)OA=，(1,1)OB=，则(AB=)A．(1,1)−B．(1,1)−C．(1,1)−−D．(3,1)【分析】根据(2,0)OA=，(1,1)OB=，由ABOB

OA=−，直接求出AB即可．【解答】解：根据(2,0)OA=，(1,1)OB=，可得(1,1)ABOBOA=−=−，故选：A．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，属于基础题．7.（2021春•电白区期中）若(2,8)AC=，(3,4)AB=−，则(BC=)A．(4,5)−

−B．(5,4)−−C．(4,5)D．(5,4)【分析】利用向量坐标运算法则直接求解．【解答】解：(2,8)AC=，(3,4)AB=−，(2BCACAB=−=，8)(3−−，4)(5=，4)．故选：D．【点评】本题考查向量的求法，考查向量减法、向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础

题．8.（2021•江苏模拟）已知向量(2,4)AB=，(0,2)AC=，则(BC=)A．(2,2)−−B．(2,2)C．(1,1)D．(1,1)−−【分析】根据平面向量的线性表示与坐标运算，计算即可．【解答】解：向量(2,4)AB=，(0,2)AC=，所以(02BCACAB

=−=−，24)(2−=−，2)−．故选：A．【点评】本题考查了平面向量的线性表示与坐标运算问题，基础题．9.（多选）已知(1,3)a=，(2,1)b=−，下列计算正确的是()A．(1,4)ab+=−B．(3,2)ab−=

C．(1,2)ba−=D．(1,2)ab−−=【分析】进行向量坐标的加法、减法和数乘运算即可．【解答】解：(1,3),(2,1)ab==−，(1,4)ab+=−，(3,2)ab−=，(3,2)ba−=−−，()

(1,4)abab−−=−+=−．故选：AB．【点评】本题考查了向量坐标的加法、减法和数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．10.（2013春•大祥区校级期中）已知点(2,4)A−，(6,2)B−，则AB的坐标为(8,6)−．【分

析】用向量B的坐标与A的坐标对应相减，即可得到AB的坐标．由此结合题中的数据加以计算，即可得到答案．【解答】解：(2,4)A−，(6,2)B−，(62AB=−−，2(4))(8−−=−，6)故答案为：(8,6)−【点评】本题给出点A、B的坐标，求向量AB的坐标．着重

考查了平面向量的减法法则的坐标运算的知识，属于基础题．．11.（2008秋•上海月考）已知向量(3,4)AB=−，A点的坐标是(1,2)−，则B点的坐标是(2,2)−．【分析】由已知中向量(3,4)AB=−，A点的坐标是(1,2)−，我们设出B点的坐标，根据向

量的坐标等于终点坐标减起点坐标，我们可以建立一个关于x，y方程组，解方程组即可得到B点的坐标．【解答】解：设B点坐标为(,)xyA点的坐标是(1,2)−，(3,4)(1,2)ABxy=−=+−即13x+=，24y−=−解得：

2x=，2y=−故B点的坐标(2,2)−故答案为：(2,2)−【点评】本题考查的知识点是平面向量的坐标，其中向量的坐标等于终点坐标减起点坐标，是解答此类问题的关键．12.（2008•怀柔区模拟）若A、B两点的坐标分别为(1

,2)−和(2,5)，则AB=(3,3)．【分析】根据题意可得两个点的坐标，进而利用终点坐标减去始点坐标即可得到向量的坐标．【解答】解：由题意可得：A、B两点的坐标分别为(1,2)−和(2,5)，所以(3,3)AB=．故答案为(3,3)．【点评】此题主要考查向量的坐标表示，即利用终

点坐标减去始点坐标即可得到向量的坐标．13.（2021春•泉山区校级期中）已知两点(4,1)A，(7,3)B−，则与AB同向的单位向量是3(5，4)5−．【分析】求出AB，再求与AB同向的单位向量||ABAB即可．【解答】解：(74AB=−，31)(3−−=，4)−，

与AB同向的单位向量是221(3||3(4)ABAB=+−，34)(5−=，4)5−．故答案为：3(5，4)5−．【点评】本题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据单位向量的定义进行解答，是基础题．平面向量数量

积、模、夹角的坐标表示1.（2022•乐山模拟）已知向量(1,3)m=，(1,1)n=−，则||(mn−=)A．6B．22C．4D．8【分析】利用向量的线性坐标运算，求模公式求解即可．【解答】解：(1,3)m=

，(1,1)n=−，(2,2)mn−=，||4422mn−=+=，故选：B．【点评】本题考查了向量的线性坐标运算，求模公式，属于基础题．2.（2021秋•江西月考）已知向量(2,)a=，(1,2)b=−，若ab⊥，则||(ab+=)A．3B．10C．

22D．23【分析】利用向量坐标运算法则、向量的模直接求解．【解答】解：向量(2,)a=，(1,2)b=−，ab⊥，220ab=−+=，解得1=，(1,3)ab+=，||1910ab+=+=．故选：B．【点评】本题考查向量的模的求法，考查向量坐标运算法则、向量的模等基础知识

，考查运算求解能力，是基础题．3.（2021秋•河南月考）已知向量(2,)am=，(2,4)b=，若||||abab+=−，则实数(m=)A．1B．1−C．5D．5【分析】由||||abab+=−，两边平方可得0ab=，然后结合平面向量数量积的坐标运算即可求出

结果．【解答】解：因为||||abab+=−，所以22()()abab+=−，即222222aabbaabb++=−+，整理得0ab=，又因为(2,)am=，(2,4)b=，所以440m+=，解

得1m=−．故选：B．【点评】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题．4.（2021春•长清区校级期中）已知单位向量,ab满足||1ab−=，则|2|(ab+=)A．7B．

3C．5D．2【分析】由单位向量,ab满足||1ab−=，解得12ab=，从而222|2|(2)44abababab+=+=++，由此能求出结果．【解答】解：单位向量,ab满足||1ab−=，222()21ababab−=+−=，解得12ab

=，222|2|(2)444127abababab+=+=++=++=．故选：A．【点评】本题考查向量的模的求法，考查向量数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.（2021秋•上高县校级月考）已知向量(3,1)a=，(2,)()b

R=，若ab⊥，则||(ab+=)A．5B．52C．53D．10【分析】利用向量垂直的性质列方程，求出6=−，利用向量坐标运算法则求出(5,5)ab+=−，由此能求出||ab+．【解答】解：向量(3,1)a=，(2,)()bR=，ab⊥，3

210ab=+=，解得6=−，(5,5)ab+=−，则||252552ab+=+=．故选：B．【点评】本题考查向量的模的求法，考查向量垂直的性质、向量坐标运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.（2021春•滁州

期中）若(2,1)a=−，(1,1)b=−，则|2|(ab−=)A．2B．3C．5D．5【分析】根据向量的坐标运算和向量的模即可求出．【解答】解：(2,1)a=−，(1,1)b=−，2(2ab−=−，1)2(1

−，1)(2−=−，1)(2−，2)(4−=−，3)，则|2|5ab−=，故选：D．【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量的模，属于基础题．7.（2021春•凉山州期末）已知向量(1,2),(1,1)ab==，则|2|(ab−=)A．(1,0)−B．(1,0)C．1D．2

【分析】根据已知条件，结合向量的加减法法则和向量模公式，即可求解．【解答】解：(1,2),(1,1)ab==，2(1,0)ab−=−，22|2|(1)01ab−=−+=．故选：C．【点评】本题主要考查向量的加减法法则和向量模公式

，属于基础题．8.（2021•重庆模拟）已知向量(2,5)a=，(1,2)b=，则||(ab−=)A．22B．3C．10D．23【分析】可求出向量ab−的坐标，进而可求出||ab−的值．【解答】解：(1,3)ab−=，||10ab−=．故选：C．【点评】本题考查了向

量坐标的减法运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．9.（2021•天心区校级模拟）已知向量a，b的夹角为23，||2a=，||1b=，则|2|(ab−=)A．23B．3C．3D．12【分析】根据条件可求出1ab=−，然后根据2|2|(2)

abab−=−进行数量积的运算，即可求出|2|ab−的值．【解答】解：2,,||2,||13abab===，21||||cos21()132abab==−=−，222|2|(2)4444423ababaabb−=−=−+=++=．故选：A．【点评】本

题考查了向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．10.（2021•湖南模拟）已知向量a，b满足||1a=，||2b=，且a与b的夹角为60，则||(ab+=)A．7B．3C．5D．22【分析】根据条件进行数量

积的运算即可求出2()ab+的值，进而得出||ab+的值．【解答】解：||1,||2,,60abab===，21()1421272ab+=++=，||7ab+=．故选：A．【点评】本题考查了向量数量积的运算及计算公式，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．11.（2021春

•城关区校级期末）设向量a，b满足(1,3)ab+=，1ab=，则||(ab−=)A．2B．6C．22D．10【分析】由已知利用平面向量的坐标运算可求228ab+=，进而即可求解2||()abab−=−的值．【解答】解：因为向量a，b满足(1,3)ab+=，1

ab=，所以222222()||2210ababaabbab+=+=++=++=，可得228ab+=，所以222||()2826ababaabb−=−=−+=−=．故选：B．【点评】本题主要考查了平面向量的坐标运算和

向量的模的运算，属于基础题．12.（2021•山东模拟）已知向量(1,)at=，(2,1)b=−，且()abb−⊥，则(t=)A．3−B．12−C．1D．3【分析】根据题意，求出向量()ab−的坐标，进而由向量垂直的判断方法可得()2(1)0abbt−

=−−+=，解可得t的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，向量(1,)at=，(2,1)b=−，则()(1ab−=−，1)t+，若()abb−⊥，则()2(1)0abbt−=−−+=，解可得：3t=−；故选：A．【点评】本题考查向量数量积的坐标计算，涉及向量垂直的判断，属于基础题

．13.（2021•重庆模拟）向量(1,)ax=，(2,1)b=−，若ab⊥，则|2|(ab+=)A．5B．5C．3D．2【分析】利用非零向量ab⊥0ab=，即可求出x的值，再利用向量的模的定义即可计算

出答案．【解答】解：ab⊥，20abx=−+=，解得2x=．2(0,5)ab+=，2|2|055ab+=+=．故选：B．【点评】熟练掌握非零向量的垂直与数量积的关系及向量模的计算方法是解题的关键．14.（2021•定远县校级模拟）

已知向量(1,2)a=，5ab=，||25ab−=，则||b等于()A．5B．25C．5D．25【分析】由题意可得2222()2510||20abaabbb−=−+=−+=，求出2||25b=，可得||5b=．【解答】解：(1,2)a=，5ab=，||25ab−=2222()2510

||20abaabbb−=−+=−+=，2||25b=，||5b=，故选：C．【点评】本题考查两个向量的数量积公式，向量的模的定义，求向量的模的方法，得到222()2abaabb−=−+，是解题的关键．

15.（2020秋•工农区校级期中）已知平面向量(2,)am=，(1,2)b=−，且|2||2|abab−=+，则(m=)A．1B．2C．2D．4【分析】由题意，先求出两向量2ab−与2ab+的坐标，再由模的坐标表示建立方程，即可解

得m的值．【解答】解：(2,)am=，(1,2)b=−，2(3,22)abm−=+，2(5,22)abm+=−，又|2||2|abab−=+，可得22223(22)5(22)mm++=+−，解得2m=．

故选：C．【点评】本题考查向量加法的坐标表示，模的坐标表示，熟练掌握向量的运算是解答本题的关键．16.（2020秋•让胡路区校级期中）已知(2,1)a=−，(,4)bx=，且ab⊥，则||(ab+=)A．1B．3C．5D．5【分析】利用向量的垂直，求出x，然后求解向量的模．【解

答】解：(2,1)a=−，(,4)bx=，且ab⊥，可得240x−=，解得2x=，所以(4,3)ab+=，则22||435ab+=+=．故选：D．【点评】本题考查向量的垂直关系的应用，向量的模的求法，是基本知识的考查．17.（2020秋•让胡路区校级期中）已知向量(1,1)a=−，(1,)b

m=，若ab⊥，则||(b=)A．1B．2C．3D．2【分析】通过向量垂直求出m，然后求解向量的模．【解答】解：向量(1,1)a=−，(1,)bm=，ab⊥，可得10m−+=，所以1m=，所以22||112b=+=．故选：B．【点评】本题考查向量的垂直以及向量的模的求法，是基本知识的考查

．18.（2020秋•朝阳区校级期中）已知平面向量a与b的夹角为23，若(3a=，1)−，|2|23ab−=，则||(b=)A．1B．2C．2D．3【分析】可求出||2a=，再根据2,3ab=对|2|

23ab−=两边平方，进行数量积的运算得出2||||20bb+−=，从而根据||0b…解出||b即可．【解答】解：2,,||23aba==，|2|23ab−=，22(2)4||4||412abbb−

=++=，且||0b…，解得||1b=．故选：A．【点评】本题考查了向量数量积的计算公式和向量数量积的运算，根据向量的坐标求向量的长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．19.（2020秋•罗湖区校级月考）已知向量a与b的夹角为3，且||1a=，|

2|7ab+=，则||b等于()A．3B．2C．1D．32【分析】利用模长平方与向量的平方相等，将已知|2|7ab+=，两边平方展开，得到关于||b的方程解之即可得解．【解答】解：因为向量a与b的夹角为3，且||1a=，|2|7ab+=，所以：2|2

|7ab+=，即22447aabb++=，所以：242||||7bb++=，解得||1b=．故选：C．【点评】本题考查了数量积公式的运用，考查了转化思想，属于基础题．20.（2020•德阳模拟）设向量(2,1)a=−，(

,3)abm+=−，(3,1)c=，若()abc+⊥，设a、b的夹角为，则cos(=)A．35−B．35C．55D．255−【分析】由已知利用平面向量垂直的坐标表示可求m的值，根据平面向量数量积的坐标表示、模、夹角即可求解．【解答】解：(,3)abm+=−，(3,1)c=，(

)abc+⊥，330m−=，可得1m=，可得(1,3)ab+=−，(2,1)a=−，(3,4)b=−，6410ab=−−=−，可得||5a=，||5b=，1025cos5||||55abab−===−．故选：D．【点评】本题主要考查了平面向量数量积

的坐标表示、模、夹角，考查了转化思想，属于基础题．21.（2021秋•辽阳期末）若向量(3,1)a=−，(2,4)b=，(25,10)c=，则|32|abc−+=13．【分析】利用向量的坐标运算，求解所求模的向量，然后求解向量的模即可．【解答】解：向量(3,1)a=−，(2,

4)b=，(25,10)c=，则32(9abc−+=−，3)(4−，8)(25+，10)(12=，5)22|32|12513abc−+=+=．故答案为：13．【点评】本题考查向量的坐标运算，向量的模的求法，是

基础题．22.（2021秋•延平区校级期中）已知(1a=，0，1)，(bx=，1，2)，且3ab=，则向量a与b的夹角为6．【分析】由已知结合向量数量积的坐标表示先求出x，然后结合向量夹角公式可求．【解答】解；因为23abx=+=，所以1x=，设向量的夹角

为，所以33cos2||||26abab===，因为[0，]，所以6=．故答案为：6．【点评】本题主要考查了向量数量积的坐标表示，属于基础题．23.（2021•太原模拟）设a，b为单位向量，且||3ab+=，则||ab−=1．【分析】根据条件对||3ab+=两边平方即可求出

21ab=，然后根据2||()abab−=−即可求出答案．【解答】解：||||1ab==，||3ab+=，2()1123abab+=++=，21ab=，2||()1111abab−=−=+−=．故答案为：1．【点评】本题考查了向量数量积的运算，单位向量的定义，向量长度的求法，考查了计算

能力，属于基础题．24.（2021•湖北模拟）已知单位向量a，b满足|||2|abab+=−，则a与b的夹角为3．【分析】根据条件对|||2|abab+=−两边平方，进行数量积的运算即可得出ab的值，进而可求出cos,ab的值，从而可得出,ab的夹角．【解答】解：||||

1ab==，|||2|abab+=−，112144abab++=+−，解得12ab=，1cos,2||||ababab==，且,[0,]ab，,3ab=．【点评】本题考查了向量数量积的运算，

单位向量的定义，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．25.（2019秋•浦东新区校级期末）已知向量(1,3)a=−，(3b=，1)，则||ab−=22．【分析】由题意得ab−的坐标，然后结合向量数量积的性质可求．【解答】解：因为(1,3)a=−，(3b=，1)，

所以(13ab−=−−，31)−，则22||(13)(31)22ab−=−−+−=．故答案为：22．【点评】本题主要考查了向量的数量积的性质的坐标表示，属于基础题．26.（2020秋•南阳期中）已知平面向量，

，||1=，(1,3)=，(2)⊥−，则|2|+的值是10．【分析】根据(2)⊥−即可得出(2)0−=，进行数量积的运算即可求出的值，然后根据2|2|(2)+=+进行数量积的运算即可．【解答】解

：||1,||2==，(2)⊥−，2(2)2120−=−=−=，12=，222|2|(2)4444210+=+=++=++=．故答案为：10．【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运

算，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．27.（2020秋•慈溪市期中）已知向量a，b满足：||1aba==，||7ab+=，则向量a与b的夹角为3．【分析】根据条件对||7ab+=两边平方即可求出||b的值，然后根据cos,||||ababab=求出cos,ab的值，然后

即可求出a与b的夹角．【解答】解：||1,||7abaab==+=，22()1||27abb+=++=，||2b=，1cos,2||||ababab==，且,[0,]ab，,3ab=．故

答案为：3．【点评】本题考查了向量数量积的运算，向量夹角的范围，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．28.（2020秋•昌江区校级期中）若向量a与b相互垂直，同||2a=，||5ab+=，则|2|ab−=17．【分析】根据题意可得出0ab=，对||5ab+=两边

平方即可求出21b=，然后根据2|2|(2)abab−=−进行数量积的运算即可．【解答】解：ab⊥，0ab=，且||2,||5aab=+=，22()45abb+=+=，21b=，2|2|(2)16117a

bab−=−=+=．故答案为：17．【点评】本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．29.（2020秋•南宁期中）已知向量a，b满足||1a=，||2b=，且向量a，b的夹角为4，若ab−与b垂直，则实数的值为24．【分析】由已知利用

平面向量数量积的运算可求2ab=，由题意()0abb−=，即可解得的值．【解答】解：因为向量a，b满足||1a=，||2b=，且向量a，b的夹角为4，所以12cos24ab==，因为ab−与b垂直，所以2()240abbabb−=−=−=，解得24=．故答案为：

24．【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算，考查了转化思想，属于基础题．30.（2020秋•沈阳期中）已知3aij=+，2bi=，其中i，j是互相垂直的单位向量，则|2|ab−=23．【分析】由已知

可求0ij=，可得233abij−=−+，利用平面向量数量积的运算可求2(2)12ab−=，进而即可得解|2|ab−的值．【解答】解：因为3aij=+，2bi=，其中i，j是互相垂直的单位向量，可得0ij=，所以则23433abijiij−=+

−=−+，则2222|2|(2)932(3)39312ababijij−=−=+−−=+=，所以|2|23ab−=．故答案为：23．【点评】本题主要考查了平面向量数量积的运算，考查了转化思想，属于基础题．31

.（2020秋•南开区校级月考）已知a，b均为空间单位向量，且它们夹角为3，则|45|ab−=21．【分析】根据条件可求出12ab=，然后根据2|45|(45)abab−=−进行数量积的运算即可．【解答】解：||||1,,3abab===，12ab=，222|45|(45

)16402516202521ababaabb−=−=−+=−+=．故答案为：21．【点评】本题考查了单位向量的定义，向量数量积的计算公式和向量数量积的运算，向量长度的求法，考查了计算能力，属于基础题．1.（2021秋•海淀区期中）已知向量

(,2)ax=，(1,1)b=−，若//ab，则(x=)A．1B．1−C．2D．2−【分析】根据平面向量的坐标表示与共线定理，列出方程求出x的值．平面向量共线的坐标表示【解答】解：向量(,2)ax=，(

1,1)b=−，且//ab，12(1)0x−−=，解得2x=−．故选：D．【点评】本题考查了平面向量的坐标表示与共线定理的应用问题，是基础题目．2.（2021秋•河南月考）已知向量(1,2)a=−，(2,3)bk=−，若//ab，则(k=)A．2B．5C

．7D．9【分析】由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得k的值．【解答】解：向量(1,2)a=−，(2,3)bk=−，若//ab，则2312k−=−，求得7k=，故选：C．【点评】本题主要考查两个向量垂直的

性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．3.（2021秋•洮南市校级月考）已知向量(2,6)a=，(1,)b=，若//ab，则等于()A．2B．3−C．3D．2−【分析】根据平面向量共线的坐标表示列

方程求出的值．【解答】解：向量(2,6)a=，(1,)b=，因为//ab，所以2610−=，解得3=．故选：C．【点评】本题考查了平面向量共线的坐标表示应用问题，是基础题．4.（2021春•运城期中）已知向量(2,1)a=−，(4,4)b=−，若manb−与2ab−共线（其

中m，nR，0)m，则(mn=)A．2B．1C．12D．12−【分析】根据平面向量的坐标运算和共线定理，列方程求出mn的值．【解答】解：向量(2,1)a=−，(4,4)b=−，所以(24,4)manbmnmn−=−−+，2(0,2)ab−=，又manb−与2a

b−共线，所以240mn−=，即2mn=，又0m，所以2mn=．故选：A．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算和共线定理应用问题，是基础题．5.（2021春•河北期中）已知向量(1,1)a=，(2,3)b=，且ab+与2kab−

共线，则(k=)A．2−B．12−C．1D．2【分析】由向量共线的坐标表示可得关于k的方程，从而求解即可．【解答】解：向量(1,1)a=，(2,3)b=，则(3,4)ab+=，2(4,6)kabkk−=−−，又ab+与2kab−共线，所以3(6)4(4)0kk−−−=

，解得2k=−．故选：A．【点评】本题主要考查向量的坐标运算及平面向量共线的坐标表示，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．6.（2021春•赣州期中）已知向量(1,)am=−，(,4)bm=−，且//ab，则(m=)A．2−B．2C．2D．4【分析】根据平面向量

的共线定理，列方程求出m的值．【解答】解：因为向量(1,)am=−，(,4)bm=−，且//ab，所以1(4)0mm−−−=，解得2m=．故选：C．【点评】本题考查了平面向量的共线定理应用问题，是基础题．7.（2021春•安徽期中）设向量(1,2)a=，(,1

)bm=，且//()bab+，则(m=)A．1−B．12−C．12D．1【分析】利用向量共线的充要条件列出方程求解即可．【解答】解：向量(1,2)a=，(,1)bm=，(1,3)abm+=+，//()bab+，31mm=+，解得1

2m=，故选：C．【点评】本题考查向量共线的充要条件的应用，考查计算能力．8.（2021春•丽水期中）向量(4,5)a=−，(,1)b=，若//ab，则的值是()A．45−B．43−C．54−D．45【分析】因为//ab，所以(4)150−−=，解方程即

可．【解答】解：因为//ab，所以(4)150−−=，解得45=−．故选：A．【点评】本题考查平面向量共线的坐标形式，属于基础题．9.（多选）（2021春•庐阳区校级期末）已知向量(1,2)a=−，

||4||ba=，//ab，则b可能是()A．(4,8)B．(4,8)−C．(4,8)−−D．(4,8)−【分析】设(,)bxy=，由题意列方程组求出x、y的值即可．【解答】解：设(,)bxy=，由向量(1,2)a=−，//ab，所以20xy−

−=，可化为2yx=−，①又||4||ba=，所以222241(2)xy+=+−，可化为2280xy+=，②由①②解得48xy==−，或48xy=−=，所以b可能是(4,8)，也可能是(

4,8)−．故选：BD．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算和共线定理应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题．10.（2021秋•五华区校级月考）已知向量(6,)ak=，向量(3,1),bab=−+与b共线，则k=2−．【分

析】根据平面向量的坐标运算和共线定理列方程求出k的值．【解答】解：向量(6,)ak=，向量(3,1)b=−，所以(9,1)abk+=−，因为ab+与b共线，所以3(1)9(1)0k−−−=，解得2k=−．故答案为：2−．【点评】本题

考查了平面向量的坐标运算和共线定理的应用问题，是基础题．11.（2021秋•长治月考）已知平面向量(2,5)a=，(,2)b=，若//2ab，则=45．【分析】推导出2(2,4)b=，再由//2ab，列方程能求出的值．【解答】解：平面向量(2,5)a=，(,2)b

=，2(2,4)b=，//2ab，2524=，解得45=．故答案为：45．【点评】本题考查实数值的求法，考查向量平行等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12.（2021秋•运城月考）已知向量(1,4)OA=，(2,3)OB=，(1,)

bm=−，且//ABb，则实数m的值为1．【分析】先由平面向量的减法运算求得(1,1)AB=−，再根据共线的条件，得关于m的方程，解之即可．【解答】解：(1,4)OA=，(2,3)OB=，(1,1)ABOBOA=−=−，//ABb，

1(1)(1)m=−−，解得1m=．故答案为：1．【点评】本题考查平面向量的线性坐标运算，共线的条件，考查运算求解能力，属于基础题．13.（2021秋•河南月考）已知向量m，n满足(3,4)m=−，||1n=，//mn，则|5|mn+=0或10．【分析】设(3,4)nm

==−，由||1n=，求得，再分类求解5mn+的坐标，然后利用向量模的计算公式求解．【解答】解：(3,4)m=−，且//mn，设(3,4)nm==−，由||1n=，得22(3)(4)1−+=，解得15=−或15=，当15=−时，34(,)5

5n=−，5(3,4)n=−，5(3,4)(3,4)(0,0)mn+=−+−=，则|5|0mn+=；当15=时，34(,)55n=−，5(3,4)n=−，5(3,4)(3,4)(6,8)mn+=−+−=−，则22|5|(6)810mn+=−+=．故答案为：0或10．

【点评】本题考查向量共线的坐标运算及数乘运算，考查向量模的求法，是基础题．14.（2021•河南开学）已知向量(4,3)a=−，(2,)bm=，若//2ab，则m=32−．【分析】可求出2(4,2)bm=，然后根据//2ab即可求出m的值．【解答】解：(4,3)a=−，2(4,2)bm=，且

//2ab，8120m−−=，解得32m=−．故答案为：32−．【点评】本题考查了向量坐标的数乘运算，平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．15.（2021秋•安徽月考）已知向量(2,1)a=−，(5,3)b=，若()//()akbab−+，则k=1−．【分析】利用平面向量

的坐标运算得到(25,13)akbkk−=−−−，(7,2)ab+=，再利用平面向量的共线即可求解．【解答】解：(2,1)a=−，(5,3)b=，(25,13)akbkk−=−−−，(7,2)ab+=，()//()akbab−+，2(25)7(13

)0kk−++=，解得1k=−．故答案为：1−．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算，平面向量的共线问题，是基础题．16.（2021•武功县开学）已知向量(3,2)a=−，(2,)bm=，若()//(2)abab+−．则

m=43−．【分析】先求出ab+，2ab−的坐标表示，再代入12210xyxy−=列方程求解．【解答】解：(3ab+=−，2)(2+，)(1m=−，2)m+，2(3ab−=−，2)(4−，2)(7m=−，22)m−，因为(

)//(2)abab+−，所以(1)(22)(2)(7)0mm−−−+−=，解得43m=−．故答案为：43−．【点评】本题考查平面向量平行的坐标表示，属于基础题．17.（2021秋•蚌埠月考）已知向量(2

,1)a=−，(,2)bt=，若//ab，则t=4−．【分析】根据平面向量的共线定理列方程求出t的值．【解答】解：向量(2,1)a=−，(,2)bt=，若//ab，则1220t−−=，解得4t=−．故答案为：4−．【点评】本题考

查了平面向量的共线定理应用问题，是基础题．18.（2020秋•龙里县校级期末）已知平面向量(3,)mx=，16(,)3nx=，若//mn，则||m=5．【分析】由已知利用向量共线的坐标运算求得2x，再由向量模的计算公式求解||m．【解答】解：(3,)mx=，16(,)3n

x=，且//mn，216303x−=，即216x=，22||3255mx=+==．故答案为：5．【点评】本题考查向量共线的坐标运算，考查向量模的求法，是基础题．19.（2021秋•卡若区校级期中）已知向量(1,2)a=，(,3)bm=，若(2)//ab

b+，则m=32．【分析】先由向量坐标运算法则求出2(12,8)abm+=+，再由(2)//abb+，列方程能求出m．【解答】解：因为向量(1,2)a=，(,3)bm=，所以2(12,8)abm+=+，因为(2)//abb+，所以836mm=+，解得32m=．故答案为：32．【点

评】本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．