【文档说明】湖南师范大学附属中学2020-2021学年高一下学期期中考试数学试卷 含解析【精准解析】.doc，共(22)页，1.552 MB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年湖南师大附中高一（下）期中数学试卷一、单项选择题（共8小题，每题5分，共40分）.1．设（﹣1+2i）x＝y﹣1﹣6i，x，y∈R，则|x﹣yi|＝（）A．6B．5C．4D．32．下列说法正确的是（）A．任意三点确定一个平面B

．两个不重合的平面α和β有不同在一条直线上的三个交点C．梯形一定是平面图形D．一条直线和一个点确定一个平面3．在边长为3的等边三角形ABC中，，则＝（）A．B．C．D．4．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为1的正方形（如图所示），则原平面图形的周长为（）A

．8B．2+2C．4D．85．已知||＝1，||＝，∠AOB＝，若且＝m+n，则＝（）A．5B．4C．2D．16．某正方体的平面展开图如图所示，则在这个正方体中（）A．NC与DE相交B．CM与ED平行C．AF与CN平行D．AF与C

M异面7．如图所示，CD是附中校园内一标志性雕像，小明同学为了估算该雕像的高度，在学校教学楼AB，高为（15﹣15）m，与雕像之间的地面上的点M处（B、M、D三点共线）测得楼顶A及雕像顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处又测得雕塑顶C的仰角为

30°，假设AB、CD和点M在同一平面内，则小明估算该雕像的高度为（）A．20mB．30mC．20mD．30m8．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂

直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图在堑堵ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，且AA1＝AB＝2．下列说法错误的是（）A．四棱锥B﹣A1ACC1为“阳马”B．四面体A1C1CB为“鳖臑”C．四棱锥B﹣A1ACC1体积最大

为D．过A点分别作AE⊥A1B于点E，AF⊥A1C于点F，则EF⊥A1B二、多选题：本大题共4个小题，每小题5分满分20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．对任意平面向量，，，下列命题中真命题是（）A．若•＝•，则＝B．若

＝，＝，则＝C．||﹣||＜||+||D．|•|≤||||10．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列推理不正确的是（）A．α∩β＝a，b⊂α⇒a∥bB．α∩β＝a，a∥b⇒b∥α，且b∥βC．a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥βD．α∥β，α∩γ＝a，

β∩γ＝b⇒a∥b11．在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，△ABC的面积为S，下列与△ABC有关的结论，正确的是（）A．若△ABC为锐角三角形，则sinA＞cosBB．若A＞B，则sinA＞sinBC．若acosA＝bcosB，则△ABC一定是等腰三角形

D．若△ABC为非直角三角形，则tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC12．直角三角形ABC中，P是斜边BC上一点，且满足，点M，N在过点P的直线上，若，，（m＞0，n＞0），则下列结论正确的是（）A．为常数B．m+2n的最小值为3C．m+n的最小值

为D．m，n的值可以为：，n＝2三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径为1的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是．14．如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与AD1异面且与A

D1所成的角为90°的面对角线共有条．15．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，已知．S△ABC＝，且b＝3，则a+c的值等于．16．如图，在△ABC中，AB＝8，BC+AC＝12，分别取三边的中点D，E，

F，将△BDE，△ADF，△CEF分别沿三条中位线折起，使得A，B，C重合于点P，则当三棱锥P﹣DEF的外接球的体积最小时，其外接球的半径为，三棱锥P﹣DEF的体积为．四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．已知复数z＝1+mi（m∈R），是实数

．（1）求复数z；（2）若复数z0＝m+z﹣1是关于x的方程x2+bx+c＝0的根，求实数b和c的值．18．在如图所示的平面直角坐标系中，已知点．A（1，0）和点B（﹣1，0），，且∠AOC＝x，其中O为坐标原点．（Ⅰ）

若，设点D为线段OA上的动点，求的最小值；（Ⅱ）若，向量，，求的最小值及对应的x值．19．在①bsinA+asinB＝csinAsinB，②bsinC﹣ccosAcosC＝acos2C，③（a﹣b）sinA+bsinB＝

csinC，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题．已知锐角△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，c＝2，_____．（1）求角C；（2）求a+b的取值范围．20．如图所示，在四棱锥

P﹣ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1，设M、N分别为PD、AD的中点．（1）求证：平面CMN∥平面PAB；（2）求三棱锥A﹣CMN的侧面积．21．党的十九大报告指

出，农业农村农民问题是关系国计民生的根本性问题，必须始终把解决好“三农”问题作为全党工作的重中之重，实施乡村振兴战略．如图，A村、B村分别位于某河流的南、北两岸，AC⊥BC，BC＝5公里，∠BAC＝30°，现需将A村

的农产品运往B村加工．乡政府经过调研知，在每次运输农产品总量相同的条件下，公路运输价格为a元/公里，水路运输价格为2a元/公里．（1）给出两种运输方案：第一种，直接从A村通过水路运输到B村；第二种，先从A村通过公路运输到与B村相对

的南岸近岸处C，再通过水路运输到B村．试比较两种方案，哪种方案更优？（2）为尽可能节约成本，乡政府决定在该河流南岸AC上选择一个中转站D，先将A村的农产品通过公路运往中转站D，再将农产品通过水路运往B村加工．试问：中转站应选址何处最佳？请说明你的理由．22．已知△

ABC的外心为O，内心为I．（1）如图1，若||＝||＝1，•＝0．①试用，表示；②求的值．（2）如图2，若存在实数λ，使，试求cosB+cosC的值．参考答案一、单项选择题（共8小题，每题5分，共40分）.1．设（﹣1+2i）x＝

y﹣1﹣6i，x，y∈R，则|x﹣yi|＝（）A．6B．5C．4D．3解：∵（﹣1+2i）x＝y﹣1﹣6i，x，y∈R，∴﹣x+2xi＝y﹣1﹣6i，∴，解得x＝﹣3，y＝4，∴|x﹣yi|＝|﹣3﹣4i|＝＝5．故选：B．2．下列说法正确的是

（）A．任意三点确定一个平面B．两个不重合的平面α和β有不同在一条直线上的三个交点C．梯形一定是平面图形D．一条直线和一个点确定一个平面解：A选项：不共线的三点确定一个平面，故A错误；B选项：两个不重合的平面α和β有公共点，则该点一定在两个平面的交线上，故B错误；D选项：一条直线和直线外一个点

确定一个平面，故D错误；故选：C．3．在边长为3的等边三角形ABC中，，则＝（）A．B．C．D．解：在边长为3的等边三角形ABC中，，所以＝，则＝＝3×＝﹣．故选：C．4．一水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，此直观图恰好是一个边长为1的正方形（如图所示），则原平面图形的

周长为（）A．8B．2+2C．4D．8解：还原直观图为原图形如图，因为O′A′＝1，所以O′B′＝，还原回原图形后，OA＝O′A′＝1，OB＝2O′B′＝2．OC＝＝3，所以原平面图形的周长为：3+1+3+1＝8．故选：A．5．已知||＝1，||＝，

∠AOB＝，若且＝m+n，则＝（）A．5B．4C．2D．1解：∵，∴，∴，∴m+n＝0，∴m||||cos+n||2＝0，∴，∴＝2，故选：C．6．某正方体的平面展开图如图所示，则在这个正方体中（）A．NC与DE相交B．CM与ED平行C．AF与CN平行D．AF与CM异

面解：由展开图恢复成正方体如图，其中F，M重合，显然CM与DE平行，故选：B．7．如图所示，CD是附中校园内一标志性雕像，小明同学为了估算该雕像的高度，在学校教学楼AB，高为（15﹣15）m，与雕像之间的地面上的点M处（B、M、D三点共

线）测得楼顶A及雕像顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处又测得雕塑顶C的仰角为30°，假设AB、CD和点M在同一平面内，则小明估算该雕像的高度为（）A．20mB．30mC．20mD．30m解：在Rt△ABM中，sin

15°＝，解得AM＝＝＝30，在△ACM中，∠CAM＝30°+15°＝45°，∠AMC＝180°﹣15°﹣60°＝105°，所以∠ACM＝180°﹣45°﹣105°＝30°，由正弦定理得，＝，故CM＝•AM＝＝＝60．在Rt△CDM中，∠CMD

＝60°，所以CD＝CMsin60°＝60×＝30，估算该雕像的高度为30米．故选：D．8．《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”．如图在堑堵AB

C﹣A1B1C1中，AC⊥BC，且AA1＝AB＝2．下列说法错误的是（）A．四棱锥B﹣A1ACC1为“阳马”B．四面体A1C1CB为“鳖臑”C．四棱锥B﹣A1ACC1体积最大为D．过A点分别作AE⊥A1B于点E，AF⊥A1C于点F，则EF⊥A

1B解：在ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，则BC⊥平面A1ACC1，又四边形A1ACC1为矩形，∴四棱锥B﹣A1ACC1为“阳马”故选项A正确；四面体A1C1CB中，△A1C1C、△A1BC、△A1BC1、△BCC1

都是直角三角形，∴四面体A1C1CB为“鳖臑”，故选项B正确；当AC＝BC＝时，四棱锥B﹣A1ACC1体积为：＝，故选项C错误；过点A分别做AE⊥A1B于点E，AF⊥A1C于点F，∵BC⊥AC，BC⊥AA1，AC∩AA1＝A，∴BC⊥平面AA1C1C，又AF⊂平面AA1C1C，∴BC⊥AF，

∵A1C∩BC＝C，∴AF⊥面A1BC，得AF⊥A1B，∵AE∩AF＝A，∴A1B⊥面AEF，而EF⊂面AEF，∴EF⊥A1B，故选项D正确．故选：C．二、多选题：本大题共4个小题，每小题5分满分20分.在每小题给出的选

项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．对任意平面向量，，，下列命题中真命题是（）A．若•＝•，则＝B．若＝，＝，则＝C．||﹣||＜||+||D．|•|≤||||解：若

•＝•则＝，反例，则与，具有任意性，所以A不正确；若＝，＝，则＝，向量向量相等的充要条件，正确；||﹣||＜||+||．如果，则不等式不成立，所以C不正确；|•|＝≤||||．正确；故选：BD．10．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，则下列推理不正确的是（）A．α∩β＝a，b⊂α⇒a∥b

B．α∩β＝a，a∥b⇒b∥α，且b∥βC．a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥βD．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b解：a，b表示直线，α，β，γ表示平面，对于A，α∩β＝a，b⊂α⇒a与b相交或平行，故A错误；对于B，α∩β＝

a，a∥b⇒b∥α或b⊂α，且b∥β或b⊂β，故B错误；对于C，a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α与β相交或平行，故C错误；对于D，由面面平行的性质得α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b，故D正确．故选：ABC．11．在△ABC中，内

角A、B、C所对的边分别为a、b、c，△ABC的面积为S，下列与△ABC有关的结论，正确的是（）A．若△ABC为锐角三角形，则sinA＞cosBB．若A＞B，则sinA＞sinBC．若acosA＝bcosB，则△ABC一定是等腰三角形D．若△A

BC为非直角三角形，则tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC解：对于A：当△ABC为锐角三角形时，A+B＞，A＞﹣B，∴sinA＞sin（﹣B）＝cosB，可得sinA＞cosB成立，故A正确．对于B，由于A＞B，可得a＞b，由正弦定理可得sinA＞sinB，故B正

确；对于C，若acosA＝bcosB，则由正弦定理得2rsinAcosA＝2rsinBcosB，即sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A+2B＝180°，即A＝B或A+B＝90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形，故C错误；对于D：△ABC为非直角三角形，所

以tanA＝﹣tan（B+C）＝﹣，整理得tanA+tanB+tanC＝tanAtanBtanC，故D正确；故选：ABD．12．直角三角形ABC中，P是斜边BC上一点，且满足，点M，N在过点P的直线上，若，，（

m＞0，n＞0），则下列结论正确的是（）A．为常数B．m+2n的最小值为3C．m+n的最小值为D．m，n的值可以为：，n＝2解：根据题意，如图：依次分析选项：对于A，P是斜边BC上一点，且满足，则＝+，若，，则＝+，又由M、P、N三

点共线，则+＝1，变形可得+＝3；故+为常数，A正确；对于B，m+2n＝（+）（m+2n）＝[5++]≥[5+2×]＝3，当且仅当＝，即m＝n＝1时等号成立，则m+2n的最小值为3，B正确；对于C，m+n＝（+）（m+n）＝[3++

]≥[3+2×]＝1+，当且仅当n＝m时等号成立，故C错误；对于D，当，n＝2，满足+＝3，此时M为AB的中点，C为AN的中点，符合题意；D正确；故选：ABD．三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13．若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为，半径

为1的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是4：3．解：圆锥的侧面积为S侧＝××12＝，设圆锥的底面圆半径为r，则2πr＝×1，解得r＝；所以圆锥的底面圆面积为S底＝π×＝，所以圆锥的表面积为S表＝S侧+S底＝+＝

，所以这个圆锥的表面积与侧面积的比为：＝4：3．故答案为：4：3．14．如图所示，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成的角为90°的面对角线共有1条．解：正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成的角为90°的面对角线有C

B1，共1条．故答案为：1．15．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，已知．S△ABC＝，且b＝3，则a+c的值等于3．解：由及正弦定理可得，2sinAcosB﹣sinCcosB＝sinB

cosC，所以2sinAcosB＝sinBcosC+sinCcosB＝sin（B+C）＝sinA，因为sinA≠0，所以cosB＝，即B＝，因为S△ABC＝acsinB＝ac＝，所以ac＝3，因为b＝3，由余弦定理可得，a2+c2﹣ac＝（a+c）2﹣3ac＝（a+

c）2﹣9＝9，则a+c＝3．故答案为：3．16．如图，在△ABC中，AB＝8，BC+AC＝12，分别取三边的中点D，E，F，将△BDE，△ADF，△CEF分别沿三条中位线折起，使得A，B，C重合于点P，则当三棱锥P﹣DEF的外接球的体积最小时，其外接球的半径为，三棱锥P﹣DEF

的体积为．解：由题意可知三棱锥P﹣DEF的对棱分别相等，设BC＝2a，则AC＝12﹣2a，将三棱锥P﹣DEF补成长方体，则面对角线长度分别为：a，6﹣a，4，三棱锥的外接球就是长方体的外接球，长方体的长宽高分别为：x，y，z，则x2+y2＝a2，y2+z2

＝（6﹣a）2，x2+z2＝16．所以x2+y2+z2＝a2﹣6a+26，所以外接球的半径为：r＝＝，当a＝3时，外接球半径取得最小值，外接球的体积取得最小值，此时r＝，解得x＝z＝2，y＝1，所以三棱锥的体积为：2＝．故答案为：；．四、解答题：本题共6个小题，共70分.解答

应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17．已知复数z＝1+mi（m∈R），是实数．（1）求复数z；（2）若复数z0＝m+z﹣1是关于x的方程x2+bx+c＝0的根，求实数b和c的值．解：（1）∵z＝1+mi，∴＝，∵是

实数，∴，即m＝﹣4．∴z＝1﹣4i；（2）∵z0＝m+z﹣1＝﹣2﹣4i是关于x的方程x2+bx+c＝0的根，∴（﹣2﹣4i）2+b（﹣2﹣4i）+c＝0，即（﹣2b+c﹣12）+（16﹣4b）i＝0，则，解得b＝4，c＝20．18．在如图所示的平面直角

坐标系中，已知点．A（1，0）和点B（﹣1，0），，且∠AOC＝x，其中O为坐标原点．（Ⅰ）若，设点D为线段OA上的动点，求的最小值；（Ⅱ）若，向量，，求的最小值及对应的x值．解：（Ⅰ）若，设D（t，0）（0≤t≤1），可得，所以，，所以…＝，所以当时

，取得最小值为，故最小值为．…（Ⅱ）由题意得C（cosx，sinx），则＝1﹣sin（2x+）．…因为，所以．所以当，即时，取得最大值1，所以时，取得最小值，所以的最小值为，此时．…19．在①bsinA+asin

B＝csinAsinB，②bsinC﹣ccosAcosC＝acos2C，③（a﹣b）sinA+bsinB＝csinC，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题．已知锐角△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的

对边，c＝2，_____．（1）求角C；（2）求a+b的取值范围．解：若选①bsinA+asinB＝csinAsinB，（1）由bsinA+asinB＝csinAsinB及正弦定理得，sinBsinA+sinAsinB＝sinCsinAsinB，即2sinAsinB＝sin

CsinAsinB，∴sinC＝，又C为锐角，∴C＝；（2）∵△ABC为锐角三角形，∴，解得＜B＜，由正弦定理得：，∴b+a＝＝＝＝．∵＜B＜，∴B+∈（），则sin（B+）∈（]．∴b+a∈（2，4]；若选②bsinC﹣ccosAcosC＝acos2

C，（1）由bsinC﹣ccosAcosC＝acos2C及正弦定理得，sinBsinC＝cosC（sinCcosA+sinAcosC），即sinBsinC＝cosCsin（A+C），∴sinBsinC＝，∵0＜B＜，∴sinB≠0，可得tanC＝，又0＜C＜，∴C

＝；（2）∵△ABC为锐角三角形，∴，解得＜B＜，由正弦定理得：，∴b+a＝＝＝＝．∵＜B＜，∴B+∈（），则sin（B+）∈（]．∴b+a∈（2，4]；若选③（a﹣b）sinA+bsinB＝csinC，（1）由（a﹣b）sinA+b

sinB＝csinC及正弦定理得（a﹣b）a+b2＝c2，即a2+b2﹣c2＝ab，由余弦定理得：cosC＝，∵0＜C＜，∴C＝；（2）∵△ABC为锐角三角形，∴，解得＜B＜，由正弦定理得：，∴b+a＝＝＝＝．∵＜B＜，∴B+∈（），则sin（B+）∈（]．∴b+a∈（2，4]．20．如图所示，在

四棱锥P﹣ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝2，AB＝1，设M、N分别为PD、AD的中点．（1）求证：平面CMN∥平面PAB；（2）求三棱锥A﹣CMN的侧面积．

【解答】证明：（1）∵∠ACD＝90°，N为AD的中点，∴AN＝CN，又∵∠CAD＝60°，∴△ACN为等边三角形，∴∠ACN＝60°，∴∠BCN＝∠BCA+∠ACN＝30°+60°＝90°，即CN⊥B

C，又∵AB⊥BC，∴CN∥AB，∴CN∥平面PAB，∵M、N分别为PD、AD的中点，∴MN∥PA，∴MN∥平面PAB，又∵MN∩CN＝N，MN⊂平面CMN，CN⊂平面CMN，∴平面CMN∥平面PAB．（2）∵PA⊥平面ABCD，MN∥PA

，∴MN⊥平面ABCD，且MN＝PA＝1，∴S△AMN＝×1×1＝，S△ACN＝×12＝，∵AC＝1，AM＝＝，CM＝＝，∴S△ACM＝×1×＝，故三棱锥A﹣CMN的侧面积为++＝．21．党的十九大报告指出

，农业农村农民问题是关系国计民生的根本性问题，必须始终把解决好“三农”问题作为全党工作的重中之重，实施乡村振兴战略．如图，A村、B村分别位于某河流的南、北两岸，AC⊥BC，BC＝5公里，∠BAC＝30°，现需

将A村的农产品运往B村加工．乡政府经过调研知，在每次运输农产品总量相同的条件下，公路运输价格为a元/公里，水路运输价格为2a元/公里．（1）给出两种运输方案：第一种，直接从A村通过水路运输到B村；第二种，先从A村通过公路运输到与B村相对的南岸近岸处C，再通过水路运输到B村．试比

较两种方案，哪种方案更优？（2）为尽可能节约成本，乡政府决定在该河流南岸AC上选择一个中转站D，先将A村的农产品通过公路运往中转站D，再将农产品通过水路运往B村加工．试问：中转站应选址何处最佳？请说明你的理由．解：（1）由于AB＝＝10公里，AC＝ABsin30°＝5公里，第

一种运输方案所需费用为20a元，第一种运输方案所需费用为（5+10）a元，∵5＜10，∴（5+10）a＜20a，∴第二种运输方案比第一种方案更优．（2）令∠BDC＝θ（θ∈[30°，90°]），则BD＝公里

，DC＝公里，AD＝5﹣DC＝5﹣公里，于是，所需总费用为W＝（5﹣）a+＝5a（），令y＝，则ysinθ+cosθ＝2，所以y2+12≥22，又y＞0，则y≥，当y＝时，θ＝60°，AD＝公里，即当中转站选址在南岸位于A东边

公里的D处是最佳的．22．已知△ABC的外心为O，内心为I．（1）如图1，若||＝||＝1，•＝0．①试用，表示；②求的值．（2）如图2，若存在实数λ，使，试求cosB+cosC的值．解：（1）①∵O是△ABC外心

，∴BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°且O在斜边BC上，O为BC中点．∴．②∵I为△ABC的内心，∴AO为线段BC的中垂线，∴AO⊥BC且∠OAC＝45°，∠BAO＝45°，∴I在AO上，作IE⊥A

C，OF⊥AC，设AE＝x，则，连接CI，∵CI为角平分线，∠IOC＝∠IEC＝90°，∴EI＝IO＝x，∴，∵，∴，∴，∴，解得，∴＝＝．（2）∵O为△ABC外心，∵I为△ABC内心，∵，，∴，，∴，∴，∴，∴3（b+c）＝2a+2（b+c），∴，，＝＝．